精品解析：2024年江西省“三校生”第三次模拟冲刺系统性考试数学试题

6学科网命组卷网 2024年江西省“三校生”第三次模拟冲刺系统性考试 数学试卷 考试时间120分钟，满分150分 第I卷选择题 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对 的写正确，错的写错误) 1.若集合A={xr-1=0以，则{-1}eA.（) 【答案】错误 【解析】 【分析】根据集合与集合之间的符号表示判断即可 【详解】已知集合A={xr2-1=0}-{-1,) 所以{cA 故答案为：错误 2已知在平面直角坐标系0中，角“的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点(4,3) 则sina+π） 3 25.( 【答案】错误 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义和诱导公式即可得解 【详解】因为角“的终边经过点(4,3)， 第1页/共25页 6学科网6组卷网 3 3 4 4 sin a = 所以 V伞+325cosa= 42+325, 所以sia+ 故答案为：错误 3.若100=5，b=lg2,则2a+b=l.( 【答案】正确 【解析】 【分析】根据对数的运算法则化简即可判断. 【详解】已知 00°=5，b=lg2 则a=l1og1w5= 1 1g5 2 a+b=2×lg5+lg2=lg5+lg2=lg(5×2)=1 所以 2 故答案为：正确 a,B m,n 4.已知 是两个平面， 是两条直线， m⊥n,mla,nWB.a1B( ,则 【答案】错误 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的关系举反例判断即可. 【详解】若m1,m1a,mB,则2，P不-一定垂直，可能平行，如图。 第2页/共25页 可学科网命组卷网 故答案为：错误， 5若棱长为3 的正方体的8个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为9.《 ) 【答案】正确 【解析】 【分析】根据正方体的棱长求出外接球的半径，再利用球的表面积公式即可得解. 【详解】因为棱长为V5的正方体的8个顶点都在同一球面上， 所以外接球的半径为2×5xV5= r= 12 所以该球的表面积为S=4π× =9元 故答案为：正确 6.已知函数f(x)=r+anx+2,若f(m)=-2,则f(m)=4.( 【答案】错误 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的性质即可得解 【详解】因为函数f()=x+anx+2.f(m)=-2 所以m+anm+2=-2 所以m'+tanm=-4 所以f(-m）=(-m)'+tan(-m)+2=-m-tanm+2 =-(m3+tanm)+2=-(-4)+2=6 故答案为：错误 AC-DC=BD 7.在平行四边形ABCD中， 第3页/共25页 6学科网命组卷网 【答案】正确 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则即可判断。 【详解】如图，AC=AB+BC=DC+BC AC-1DC+1BC 则2 所号4c-Dc-0c+号C-Dc C-(BC-DC)( 故答案为：正确 8“m=-1”是“直线x+my+6=0与m-2)x+3y+2=0平行”的充要条件.（ ) 【答案】错误 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件求出m的值，再由充要条件的概念分析即可判断 【详解】若直线x+侧+6=0与(m-2)x+3y+2=0平行， 则m(m-2)=3,即m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3, 当m=-1时，直线 -y+6=0-3x+3y+2=0 与 平行成立， 当m=3时，直线 +3y+6=0,x+3y+2=0 平行成立， 所以m=-1能推出直线x+m+6=0与(m-2)x+3y+2=0平行. 第4页/共25页 6学科网命组卷网 但直线x+m+6=0与(m-2列x+3y+2=0平行不能推出m=-1, 所以“m=-1”是“直线x+四+6=0与（m-2)x+3y+2=0平行”的充分不必要条件， 故答案为：错误 9一组数据从小到大排列为，，，6,0，平均数为=5，方差为，除去=1,0=9 这两 个数据后平均数为又，方差为”，则x=又，>”.( 【答案】正确 【解析】 【分析】根据平均数的定义求出x,结合方差的意义即可得解 【详解)一组数据从小到大排列为，，西，，。，0，平均数为=5，所以 +x3+…+xo=5×10=50 -40 5 则为+为+…x,=50-1-9=40,所以=8，则则x=天， 由题意可知，方与0是偏离平均数较大的两个数，除去与·后，整体波动性减小，所以>” 故答案为：正确 1+an 10若数列{a,}清足4=2a1-0,则a=-3.（ 【答案】错误 【解析】 【分析】首先由数列的递推公式求出数列的前几项，找出数列的周期，再利用周期性求值即可 1+an 【详解】已知数列{a,}满足4=2，a1 1-an 第5页/共25页 6学科网列组卷网 1+(-3)1 1+2=-3,a=1-（3)2 则4=1-2 1+ 3,4= =2=4 1 1- 3 所以数列a}为周期为4的数列， 1 所以44=a-3, 故答案为：错误 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知向量a=(-1,2),6=(x,2),若a1i,则=（) A.V5 B.5 C.25 D.20 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标运算求出x,再利用向量模的坐标公式即可得解. 【详解】因为向量i=（,2),6=(x,2),a1i, 则6=-x+4=0,解得x=4,故b=(4,2) 则6=V42+2=2V5 故选：C x2 y2 =1 12.若椭圆m+4=的一个焦点坐标为(0，-)，则m的值为() A.2 B.3 C.5 D.3或5 【答案】B 第6页/共25页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点确定C的值，再由=b+ 即可求解 x2.y2 =1 【详解】已知椭圆m4的一个焦点坐标为(0，-)， 所以C=1,且焦点在y轴上， 则0=4，=m,所以m=4-1=3, 故选：B. 13.已知a=sin52°，b=log,2,c=0.505 则46C的大小关系为《) b<c<a A. B.a<b<e c ase<b D.c<a<b 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，以及正弦函数的单调性比较大小即可 【详解】已知a=sin52,b=log,2,c=0.505 因为'=9in,在45°≤x≤90° 为增函数， 且45°<52°<90°，所以sin45°<sin52°<sin90°， 2 2 即2 <sin52<1,则2 <a<1 因为y=1og,x在(0，+切)上为增函数， 且1<2<V5,所以log,1<log2<log,v5, 2,月mc=V2 2 所以b<c<a, 第7页/共25页 命学科网命组卷网 故选：A. 0,1,2,3,4,5 14.用 组成的无重复数字的六位数中，满足相邻数字的奇偶性不同的数共有() 36 A. 个 B60 个 72 D86 个 【答案】B 【解析】 【分析】分为奇偶奇偶奇偶或者偶奇偶奇偶奇两种情况讨论，再运用组合数与排列数计算即可， 【详解】如果这六位数为奇偶奇偶奇偶，则有AA=36个， 如果这六位数为偶奇偶奇偶奇，且0不在首位， 则有CAA;=24 所以共有36+24=60个， 故选：B. x2 y2 15已知双曲线正京=1(a>0,b>0)的新近线方程为5x士12y=0,则双曲线的离心率是（) 13 13 13或3 5或12 A.12 B.5 C.125 D.1313 【答案】A 【解析】 C 【分析】由双曲线的渐近线得到a,b的关系，再由双曲线的离心率e= a a2可得所求值， 【详解】由题意知双曲线的焦点在x轴上， b y=±2x 所以其渐近线方程为 a, 因为双曲线的渐近线方程为5x士12y=0,少≈大∫ 第8页/共25页 6学科网6组卷网 b5 由题意可得a12, .b2 故选：A log x,x>1, 16已知函数f()={2a-1)x+4a,x≤1在R上为减函数，则实数a的取值范周是《） 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性和一次函数的单调性列不等式组求解即可： log。x,x>1, 【详解】已知函数f(x)= (2a-1)x+4a,x≤1在R上为减函数， 0<a<1 a< 所以 0<a<1 ,即 2 2a-1<0 1 log.1≤2a-1+4a 1 解得6 a2,即装a的取值宽定后》 1 ≤a 故选：D 17.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个故事：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减 一半，六朝才得至其关.”其意思是：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走 的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.请问此人第三天走了() A.12 里 B24 96 里 里 D. 里 第9页/共25页 命学科网 命组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，每天走的路程可以构成等比数列，再根据等比数列的前项和公式求出首项，再由 通项公式求值即可 【详解】由题意可知，每天走的路程可以构成等比数列， 且8。=378，首项为4，由每天走的路程为前一天的一半可知公比为9=2， 所以S6= =378,即 63 1- 644=189 解得a=192,所以4，=192× 1-2 48里， 故选：C 18函数y=a(a>0且a≠)与'=a冈在同一平面直角坐标系内的图像可能是(） 1.1 (1,1) 【答案】D 第10页/供25页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】根据指数函数的图像，结合一次函数的图像分析即可 【详解1已知y=a(a>0且a≠) 当a>1时， y=a 为增函数， ax,x≥0 y=ax= -a心，x<0,所以x≥0时，该函数为增函数， 当x<0时，该函数为减函数， 当x=1时，y=a,则y=a风过点（山a) 因为a>1,所以点（在点)的上方，放C错误， 当0<a<l时，y=d为减函数， y=ax= x,x≥0 一心，x<0,所以x≥0时，该函数为增函数， 当x<0时，该函数为减函数， 当x=1时，y=a,则y=a过点(（L,a) 因为0<a<1,所以点（山，a)在点，）的下方，故AB错误，D符合题意， 故选：D. 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19.函数f()=g(2-1-0的定义域为 (用区间表示)· 【答案)（1,3) 第11页/共25页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】根据0和负数无对数列不等式求解即可 【详解】要使函数f()=lg(2-l-)有意义， 必须有2-1->0，则-<2 得-2<1-x<2,即-3<-x<1, 解得-1<x<3, 所以函数f(,=lg(2-1-0的定义域为(-1,3)， 故答案为：（13) 20如图T示是话=4sn(a+p(4>0@>0q<)分图隐，则送两敏的解新式足 2元 3 【答案】 y=2sin 2x+ 3 【解析】 【分析】根据图像可知最值和周期由此确定A,o的值，再将点(12’代入解析式确定p的值即可 【详解】由图可知，函数的最大值为2，最小值为-2，所以A=2, 第12页/供25页 6学科网命组卷网 2π =元，解得0=2， 则函数解析式为 y=2sin(2x+p) 下2 又由图可知，点12’在图像上， 所以。+p=。+2k机，卡∈2 ,即=+2,ke 因为小水受，-号， 即函数解析式为 y=2si 2x+ y=2sin 2x+ 故答案为： 3 个 21.若某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为2的扇形，则该圆锥的体积为 V15V15元 【答案】3兀拼3 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图确定圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式求值即可· π 【详解】己知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为2的扇形， 2=Tx4 则圆锥的母线为4，设圆锥的底面半径为”，则 2 第13页/共25页 6学科网命组卷网 解得r=1,所以圆锥的高为h=V4-卫-V5 所以该圆锥的体积为 =xπx1Px5=5元 3 3 v15 故答案为： 3 22.在二项式 2x 的展开式中，常数项是 21 【答案】2擗-10.5 【解析】 9-3k 进而可得常数项 （ 其展开式第k+项为 -cc 9-3k=0 当2 ,即k=3时，展开式第k+1项为常数项， 时=jc=头. 1 故答案为： -2 y=cos2x+sinx 23.函数 的最大值是 第14页/供25页 6学科网 命组卷网 9 【答案】8拼1.125 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，再用换元法求二次函数最值 【详解】y=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,令1=sinx∈[-l, 原式网化为=-2+11=-2-+号. 9 9 所以当4时，函数y取得说大值 9 故答案为：8、 24.在平面直角坐标系内，一只蚂蚁从点1(-2，-2)出发，爬到y轴后又爬到因C:(x++(0-2=1上， 则它爬到圆上经过的最短路程是 【答案】4 【解析】 【分析】先由圆的标准方程得到圆心和半径并求出点A关于y轴的对称点A',利用两点间的距离公式和圆 上一点即可得解， 【详解】由圆C:(x++(y-2}=1, 得圆心坐标C(12),半径为r=1, 点4(-2，-2)关于y轴的对称点1(2-2)， 则点A'到圆C上的点的最短距离即为它爬到圆上的最短路程， 所以它爬到圆上的最短路程是 CA-r=V-1-2)2+[2-(-2)]-1=5-1=4 故答案为：4. 第15页/供25页 6学科网 命组卷网 四、解答题（本大题共6小题，25~28小题每小题8分，2930小题每小题9分，共50分.解 答应写出过程或步骤) 25.已知S为数列a,}的前n项和，且。=n+3n (1)求数列a,}的通项公式 4 (2)若 bn= aanl,求数列{b}的前n项和Tn. 【答案】(1)a,=2n+2 （2)7 n 2n+4 【解析】 S,n=1 【分析】(1)根据a,= Sn-Sn1,n≥2，求值即可 (2)根据裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 已知S为数列a}的前n项和，且S,=n+3n, 则当n=1时，4=8=12+3×1=4 当n≥2时，a。=S。-S1=n2+3n-(n-1)2-3(n-l)=2n+2 又4=4 满足上式， 所以0。=2n+2 【小问2详解】 第16页/供25页 6学科网6组卷网 4 4 b=- 因为 a,a1(2n+2)(2n+4) 1 1 1 (n+1)(n+2)n+1n+2, 物}的前m-公引店+气12》 11 n 2n+22n+4. 26已知函数f()=a+b(a>0且a≠1，b∈R),且f(0)=0,f(2)=3」 山求a,b的值 (2)解不等式：f(9+2)<f(3)】 【答案】(1)a=2,b=-1 (2){x0<x<log,2} 【解析】 【分析】1)将(0)=0，f(2)=3代入解析式联立解方程组即可 (2)根据指数函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 已知函数f()=a+b(a>0且a≠l,beR) 且f(0)=0,f(2)=3 f(0)=a°+b=0, 则f(2)=ad2+b=3, =2,b=-1或a=-2,b=1(合)， 解得 或 第17页供25页 6学科网可组卷网 =2,b=-1 所以 【小问2详解】 由(1)得(x)=2-1 则函数f()在R上单调递增。 又f(9+2)<f(3）,则9+2<3， 即(3-33+2<0，令1=3,1>0 则-31+2<0，即4-2-1)<0 解得1<1<2，则1<3<2， 因为=3 为增函数，且3”=130%2=2 0<x<1og32 所以 故不等式的解集为{x0<r<1og,2} 27.如图，在△ABC中，AB=L4C=V2,∠BAC=135°，过点A作AD1AB交BC于点D. B (1)求BC的长： (2)求△ADC的面积. 【答案】(1) BC=5 (2)4 第18页/供25页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】(1)由余弦定理即可得解： (2)由余弦定理和三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 在△ABC中，由余弦定理得， BC2=AB2+AC2-2AB·AC.COS∠BAC -12-2-5 所以BC=V5 【小问2详解】 方法：由余弦定理得，0s∠ABC=1B+BC2-AC-1+5-22V5 2ABBC 255, 所以sin∠ABC=V1-cos2∠ABc= 5, 故an∠ABC 2 在Rt△ABD中 tan∠ABC='sAD 24B:4B=1 所y 4D=1 2,∠DAC=∠BAC-∠BAD=45°， 所以ac= =AD.AC-sin∠DAC= 2 方法二：由余弦定理得， COS LABC=AB2+BC2-AC21+5-2 25 2AB·BC 255 第19页/共25页 6学科网命组卷网 在RteABD中，由os∠ABC= 25 AB 5 BD, 可得出D、 2,即D为BC的中点， 1 11 所以 SAADC =-SAANCAB AC sin ZBAC 2 22 28.全国文明城市创建工作是一项长期的系统工程，需要广大市民自觉参与，为了增进全体市民对创建文 明城市工作的了解，某学校组织学生开展文明城市应知应会知识竞赛活动，现将抽取的100名学生的成绩 分成6组： [40,50),[50,60),[60,70)[70,80),[80,90),[90,10].并整理得到如下的频率分布直方图。 个频率 组距 0.030 0.024-------- ☑---------- 0.016 0.006 0.004---厂 o 405060708090100成绩/分 (1)求这100名学生的平均成绩（同组数据用该组区间的中点值作代表）： (2)为了更好地了解学生对文明城市知识的登握情况，学校决定在成绩高的第5,6组中用分层抽样的方 法抽取5名学生，进行第二轮比赛，最终从这5名学生中确定2人参加该市举办的创建文明城市知识竞赛 记这2人中成绩 [90,100]内的学生人数为X,求X的分布列. 【答案】(1)76.2 (2)答案见解析 【解析】 【分析】(1)根据频率直方图中的所有小矩形的和为1列方程求出4，再用每组中点值为代表，估算平均 值即可 （2)首先根据分层抽样的概念得出抽取的5名学生中，成绩在[90,100]内的有2名学生，得出X的所有 第20页/供25页 命学科网命组卷网 取值，再分别求出对应取值的概率，列出分布列即可： 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， (0.004+0.006+0.016+a+0.024+0.030)×10=1,解得a=0.020, 所以这100名学生的平均成绩为： x=45×0.04+55×0.06+65×0.20+75×0.30+85×0.24+95×0.16=76.2 【小问2详解】 由频率分布直方图可知， 成绩落在[80,90)，[90,100]内的频率之比为0.24：0.16=3：2， 用分层抽样法抽取5名学生，则成绩在80,90)内的有3名学生， 成续在90,10]内的有2名学生，所以X的可能取值为0,12 C210 所以X的分布列为： X 0 1 P 3 3-5 1 10 10 29.一副三角板由一块有一个内角为30°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，将△BCD 折起，使智商角4-C-D的大小为只，￡F分C,加 分别是 的中点。 第21页/供25页 6学科网可组卷网 (1)求证：平面AEF⊥平面BCD: (2)当0=90°时，求平面AEF与平面ACD所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)45°. 【解析】 【分析】(I)由题可得，EF⊥BC,BC⊥CD,根据线面垂直的判定，可证明BC⊥平面AEF,再 利用面面垂直的判定定理可证明结果： (2)设平面ACD∩平面AEF=l,根据线面平行的判定和性质，可得CDIEF,结合面面垂直的性 质，可证利EF上平面ABC,从石L平面MBC,则E11C1,即∠BMC为平面ABF与平面 ACD ABC 所成角的平面角，在等腰直角 中可求解。 【小问1详解】 在△BCD中，BC1CD,又因为B,F分别是BC E,F BC,BD 的中点， 所以EF//CD,所以EF⊥BC. 在等腰直角三角形ABC中，AE⊥BC, AE∩EF=EAE,EF 因为 ”都在平面AEF 内， 第22页/共25页 6学科网 命组卷网 所以BC⊥平面AEF BC∈平面BCD,所以平面EF上平面 BCD 又 【小问2详解】 因为EFIICD,EF∈平面AEF,CD￥平面AEF, 所以CD∥平面AEF,设平面ACD∩平面AEF=l,如图，则UICDIIEF, 当0=0°时，即平面ABC⊥平面BCD 因为平面 ABCn平面BD=BC,EF∈平面BCD.EF LBC 平面 所以EF⊥平面ABC,所以I⊥平面ABC, AE,AC 因为 都在平面BC。 内， E1,4CL1,即∠B1C为平面4BF与平面1CD 所以 成角的平面角. 在等腰直角△ABC中，可知∠EAC=45°， 所以当B=90°时，平面AEF与平面ACD所成角为45°. 30.如图，已知抛物线C:少=2px(p>0)上的点1，m(m>0)到其点的距离为2， 第23页/供25页 6学科网命组卷网 B (1)求抛物线C的标准方程： (2)若过点B(3,-2)的直线l与抛物线C相交于M,N两个不同点（均与点A不重合），设直线 AM,AN 的斜率分别为 ,:,求证：k~为定值。 【答案】(1)y2=4x (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的定义，利用焦半径公式，列方程可求P,据此可求解： M,N (2)分两种情况，当直线的斜率不存在，求出 的坐标，利用斜率公式可判断结果；当直线的斜 率存在时， 设直线方程为y+2=k(x-3). 与抛物线方程联立，消元，利用韦达定理，结合斜率公式， 化简可证明结果 【小问1详解】 南横物线C:少=2压可如，共线方程为=号. 根据题和抛物线的定义，可得1-（号)-2，解得p=2 所以抛物线C的标准方程为广=4x】 【小问2详解】 直线1与抛物线C相交于两个不同点，所以直线1的斜率不为0 第24页/供25页 6学科网6组卷网 ①当直线的斜率不存在时，即直线的方程为r=3,代入抛物线方程广=4红，可得 M3,23,N3,-23) 42.46-25225-2之 3-13-1 ②当直线的斜率存在且不为0时，设直线1的方程为y+2=k(x-3), [y2=4x, 联+2(-3，消去得广-(+20， 天4-+是+4=6+20 段M6,.小.X+%-是-促12. kk=1-2-2-片-2.-2=44 x-1x2-1 14片-1月+2+2 4-1 16 5+2(0+)+4-2 故岳：6为定值。 第25页/供25页 2024年江西省“三校生”第三次模拟冲刺系统性考试 数学试卷 考试时间120分钟，满分150分 第Ⅰ卷 选择题 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. 若集合，则．（ ） 2. 已知在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则．（ ） 3. 若，则．（ ） 4. 已知是两个平面，是两条直线，若，则.（ ） 5. 若棱长为的正方体的8个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．（ ） 6. 已知函数，若，则．（ ） 7. 在平行四边形中，．（ ） 8. “”是“直线与平行”的充要条件．（ ） 9. 一组数据从小到大排列为，平均数为，方差为，除去，这两个数据后平均数为，方差为，则．（ ） 10. 若数列满足，则．（ ） 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 已知向量，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 20 12. 若椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 3或5 13. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 14. 用组成的无重复数字的六位数中，满足相邻数字的奇偶性不同的数共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 17. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个故事：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关．”其意思是：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．请问此人第三天走了（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 18. 函数且与在同一平面直角坐标系内的图像可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 函数的定义域为____________（用区间表示）． 20. 如图所示是函数的部分图像，则该函数的解析式是____________． 21. 若某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为____________． 22. 在二项式的展开式中，常数项是______． 23. 函数的最大值是______. 24. 在平面直角坐标系内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到圆上经过的最短路程是____________． 四、解答题（本大题共6小题，25~28小题每小题8分，29~30小题每小题9分，共50分．解答应写出过程或步骤） 25. 已知为数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 26. 已知函数且，且． （1）求的值； （2）解不等式：． 27. 如图，在中，，过点作交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 28. 全国文明城市创建工作是一项长期的系统工程，需要广大市民自觉参与．为了增进全体市民对创建文明城市工作的了解，某学校组织学生开展文明城市应知应会知识竞赛活动，现将抽取的名学生的成绩分成6组：，并整理得到如下的频率分布直方图． （1）求这名学生的平均成绩（同组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）为了更好地了解学生对文明城市知识的登握情况，学校决定在成绩高的第5，6组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮比赛，最终从这5名学生中确定2人参加该市举办的创建文明城市知识竞赛，记这2人中成绩在内的学生人数为，求的分布列． 29. 一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，将折起，使得二面角的大小为，分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成的角的大小． 30. 如图，已知抛物线上的点到其焦点的距离为2． （1）求抛物线的标准方程； （2）若过点的直线与抛物线相交于两个不同点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $