热点02 方程（组）与不等式（组）（16大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

热点02 方程（组）与不等式（组） 中考数学中方程（组）与不等式（组）部分主要考向分为四类： 一、一次方程（组）（每年1~4道，6~18分） 二、一元二次方程（每年2~3道，3~12分） 三、分式方程（每年1~3题，3~15分） 四、不等式及不等式组（每年1~3题，3~12分） 方程（组）与不等式（组）是四川中考必考题型，通常以选择题、填空题、解答题等形式出现。其中分为基础题和综合题，基础题包含①一元一次方程：简单解方程，通常以选择题或填空题为主；②二元一次方程组：考查带入消元法和加减消元法解方程，通常以填空题或解答题的形式出现；③一元一次不等式（组）：解不等式或不等式组，注意不等式号方向；④一元二次方程：利用四种常用方法解一元二次方程，以及根的判别式和根与系数的关系。综合题主要以实际应用的形式出现，题型较多，解题时需要理清楚整体思路在下笔，避免出现计算错误等情况。 考向一：一次方程（组） 【题型1 利用一元一次方程的解求值】 利用一元一次方程的解求值时，核心思路是通过已知解代入方程求解未知数，或结合代数式变换完成计算，主要方法有以下3个： ①直接法代入求参数：先将已知解代入方程，替换未知数x，再解关于参数的方程，求出参数值； ②利用解的关系求参数：先解其中一个方程，得到解的表达式，再将解代入另一个方程或条件，解关于参数的方程； ③代数式求值：通过方程求出参数的值，再将参数代入代数式进行计算。 做此类题型最重要的就是注意计算，避免出现计算上的失误。 1．（2024·四川南充·一模）若，则（    ） A．3 B． C． D． 2．（2024·四川成都·二模）若实数a，b，c满足，且，则 ． 3．（2023·四川成都·二模）若与互为相反数，则n的值为 ． 4．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为 ． 5．（2024·四川成都·三模）定义运算：，例如，则关于的方程的解是 ． 6．（2024·四川巴中·二模）已知，，，为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，的值是 ． 【题型2 一元一次方程实际应用题】 一元一次方程的实际应用在四川中考中主要以选择题和填空题的形式出现，偶尔出现在解答题的第一小问，难度中等，常见题型如下： ①行程问题：相遇问题：（相向而行） 追击问题：（同向而行） 航行问题：，； ②工程问题：总工作量为1，工作效率=，合作时，总效率=各个效率之和； ③利润和销售问题：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%； ④配套问题；⑤数字与年龄问题等；⑥分段计费与方案选择问题。 1．（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（    ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 2．（2023·四川成都·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川南充·中考真题）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 N的力．（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂） 4．（2024·四川达州·一模）在数学文化节游园活动中，“智取九宫格”活动规则是：在九宫格的每一个方格中填入一个数，使每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则 ． 5．（2024·四川阿坝·中考真题）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 人． 6．（2024·四川德阳·二模）将9个不重复的数字填入如图6的九个格子中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，则这9个数的和为 （用含a的整式表示）． 【题型3 二元一次方程组的解 】 二元一次方程组的解中主要考查的是加减消元法和代入消元法： ①代入消元法：适用于某未知数系数较为简单。 首先从任一方程中选择一个未知数（如x），用另一个未知数（y）表示，其次将此表达式代入另一个方程，消去x，得到关于y的一元一次方程，解出y的值，再回代求x，最后检验解是否满足方程； ②加减消元法：两方程中某未知数的系数相等或成倍数关系。 首先调整方程，使某一未知数的系数绝对值相等，其次通过相加或相减消去该未知数，得到一元一次方程，最后解出剩余未知数，回代求另一未知数，检验解。 1．（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2024·四川内江·二模）若与互为相反数，则 ． 3．（2024·四川宜宾·一模）已知满足方程组，则 ． 4．（2024·四川内江·一模）若中每一个数值只能取，，中的一个，且，求的值 ． 5．（2024·四川德阳·二模）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的个数之和相等，表是一个已完成的幻方．表是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 表 表 6．（2023·四川乐山·中考真题）解二元一次方程组： 【题型4 二元一次方程组的实际应用】 二元一次方程组实际应用的解题步骤如下： ①审题和建模：明确题目中的已知量、未知量及关键等量关系（如总量关系、倍数关系、比例关系等）； ②设未知数：Ⅰ直接设元：问题问什么就设什么；Ⅱ间接设元：当直接设元较为复杂时，选择中间量或比例进行设元； ③列方程：根据题目的描述，建立两个独立方程。关键技巧：Ⅰ利用“总量=各部分之和”；Ⅱ关注隐藏条件 ④解方程与检验：选择的合适消元法解方程，验证解是否符合实际意义（如人数、时间不能为负数，商品数量必须为整数等）。 1．（2024·四川南充·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川遂宁·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． (1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价； (2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 5．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． (1)求A，B两种水果各购进多少千克； (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【题型5 三元一次方程的应用】 三元一次方程组的解法与二元一次方程组类似，先将三元转换为二元，再将二元转换为一元即可。 解题注意事项： ①检验解的正确性：将解代入原方程验证是否满足所有方程； ②避免重复计算：消元过程中注意保留中间步骤，减少重复计算； ③灵活选择消元顺序：根据系数的复杂度调整消元顺序，优先消去容易处理的未知数。 1．（2023·四川内江·一模）已知x，y，z为实数，满足，那么的最小值是 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 3．（2024·四川成都·二模）若实数m，n，p满足，且，我们将，，这三个数中最小的一个数记为t，则t的最大值为 ． 考向二：一元二次方程 【题型6 一元二次方程的根】 本题型四川中考常考题型，主要分为以下几类： ①已知一元二次方程的根求参数的值：将题目已知条件所给的未知数的值代入已知方程即可直接求出参数的值； ②已知一元二次方程的根求代数式的值：先将题目所给字母代入方程得到一个关系式，再将所求代数式进行化简即可得到答案。 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 2．（2024·四川广元·一模）已知关于的一元二次方程有一个根为， 则的值为（   ） A． B．5 C． D．4 3．（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．2023 C．2024 D．2025 5．（2024·四川泸州·一模）如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·四川眉山·三模）已知m，n是方程的两根，则的值为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 7．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【题型7 解一元二次方程】 解一元二次方程的主要方法分为：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，是四川中考常考知识点，其中主要涉及在选择题、填空题以及解答题中，难度适中。 方法选择建议： 1.优先建议：直接开方法→因式分解→公式法→配方法； 2.特殊形式：①缺一次项（如）：直接开方法；②缺常数项（如）：因式分解；③系数简单可分解（如）：十字乘法。 3.复杂方程：公式法最稳妥，但需要注意判别式的正负。 1．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ． 2．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 3．（2024·四川雅安·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 ． 4．（2024·四川广元·一模）选择适当的方法解方程； (1)； (2)． 【题型8 一元二次方程根的判别式】 一元二次方程根的判别式（）是分析方程实数根情况的核心工具。 ①基本定义与判断根的情况：Ⅰ当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；Ⅱ当△=0时，方程有两个相等的实数根；Ⅲ当△＜0时，方程无实数根。 ②逆用根的判别式：若已知方程根的情况（如有两个实数根、无实数根等），可以逆用根的判别式，求参数的取值范围。 1．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·四川广元·一模）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川达州·一模）对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 5．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 6．（2023·四川遂宁·中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【题型9 一元二次方程根与系数的关系】 对于分别为，则满足： ， 常见题型与解题方法： ①已知一个根，求另一个根及参数：将已知根代入方程解出参数，用韦达定理求另一个根； ②已知两个根，求参数：结合韦达定理和已知条件联立方程； ③利用根与系数的关系求代数式的值： 注意：使用韦达定理的前提是：△≥0. 1．（2023·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 3．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 4．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 5．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 6．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【题型10 实际问题与一元二次方程】 一元二次方程的实际应用中常见的题型和方法： ①传播问题：若初始有1个人感染，每轮传播x个人，则n轮后总感染的人数为； ②增长率（降低率）问题：基数×=终值； ③面积问题：利用平移法，将道路、边框等不规则的部分进行平移，转化为规则图形计算； ④利润与销售问题：总利润=（售价-成本）×销量，注意售价变化与销售量之间的线性关系，例如某商品每降价x元，销售量增加，列方程（原价x-售价）×（原销售量+增量）=目标利润； ⑤数字与排列问题：两位数的表示为10a+b，利用位数关系列方程，n人两两握手次数为，列方程求人数。 1．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）《九章算术》中有这样题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何？”大意是说： 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·二模）某商店销售一款进价为20元新背包，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． (1)若该背包销售单价为30元，销售该背包每天获利多少元？ (2)设该背包销售单价为元，销售该背包每天获利为元，当为多少时，销售该背包每天获得的利润最大，最大的利润是多少元？ (3)经过试营销后，商店按（2）中单价销售，为了回馈广大顾客，同时提高该背包知名度，商店决定开展降价促销活动，若每个背包降价率为，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，求的值． 4．（2024·四川成都·二模）世界羽坛最高水平团体赛成都 “汤尤杯”将于4月日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为元，如果以单价元销售，那么每天可以销售套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少套． (1)若商家每天想要获取元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ (2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 5．（2024·四川泸州·一模）如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 考向三：分式方程 【题型11 解分式方程】 解分式方程是四川中考常考题型，主要注意事项如下： ①去分母：找到所有分母的最简公分母，避免漏乘无分母项； ②验根：解分式方程后一定要把未知数的值代入原方程进行检验，剔除增根； ③符号处理：移项时注意符号的变化，分式变形避免颠倒分子分母的符号。 注意：在解答题中解分式方程，一定要检验！检验！检验！ 1．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川南充·一模）有一组并联电路，如图所示，两个电阻的电阻值分别为、，总电阻值为R，三者关系为：．若已知，则 ． 3．（2024·四川广元·中考真题）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ． 5．（2024·四川泸州·中考真题）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ． 6．（2023·四川达州·一模）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程解的情况是（    ） A． B． C． D．无解 【题型12 根据分式方程的解求值】 根据分式方程的解求值常以选择题、填空题的形式出现，在选择填空题中主要终点考查基础解法（如去分母等）和增根问题，例如判断分式方程解的情况或求参数的取值范围 解题注意事项：①无解与多解问题：分式方程无解可能因为增根问题或矛盾方程，注意需要分情况讨论； ②含参数问题：若解为正（负）数，需同时满足分母不为0以及不等式的条件。 1．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 2．（2024·四川南充·三模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（2024·四川凉山·二模）若关于x的分式方程的解为负数，a的取值范围（    ） A．且 B．且 C． D． 4．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程有增根，则 ． 5．（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ． 【题型13 分式方程的实际应用】 分式方程的实际应用属于中考中高频考点，牢记解题步骤是得分的关键： ①审题建模：明确问题中的已知量、未知量以及等量关系，可通过列表格、画示意图、列代数式梳理题目中的关键信息； ②设元列方程：将题目中所求量直接设为未知数或者找中间量间接设，再根据题目中的等量关系列出方程，注意统一单位； ③解方程与检验：去分母转化为整式方程，解出结果后进行双重检验，一重为代入最简公分母检验是否为增根，二重为检验解是否符合实际意义。 1．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为 ． 4．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 5．（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元． (1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ (2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 考向四：不等式及不等式组 【题型14 解一元一次不等式（组）】 中考解一元一次不等式（组）主要以基础题型出现，常见题型包括直接解一元一次不等式（组），判断解集或在数轴上表示。想得高分需要注意以下几点： ①在不等式性质应用中尤其需要注意“乘除负号时方向改变”的易错点； ②要求用数轴准确标注解集（空心/实心点，方向）； 注意：解一元一次不等式（组）的时候，乘除负号时不等式号方向需要改变！ 1．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·四川自贡·模拟预测）不等式的自然数解有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·四川眉山·二模）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 4．（2024·四川泸州·二模）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围为 ． 5．（2024·四川南充·三模）若关于x的不等式组所有整数解的和为12，则整数m的值为 ． 6．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【题型15 由一元一次不等式（组）的情况求参数】 由一元一次不等式（组）的情况求参数，主要分为两个大题型： ⅰ已知不等式组的解集求参数：①单不等式参数问题：将不等式整理为>b或<b，通过解集方向确定参数的符号；②不等式组解集的问题：利用数轴或口诀求参数的取值范围； ⅱ已知不等式组有解或无解求参数：①有解条件：若不等式解集在数轴上有重叠；②无解条件：解集无解集； ⅲ已知整数解个数求参数：①固定整数解个数：若不等式组有k个整数解，需满足参数满足的区间。若解集且整数解有3个（-1,0,1），则；②特殊解问题：如非负整数、最大/最下整数解等，需要通过边界值验证。 1．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 2．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ． 4．（2024·四川泸州·一模）关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ． 5．（2023·四川泸州·二模）若整数使关于的分式方程的解为整数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【题型16 一元一次不等式（组）的应用】 一元一次不等式(组)在实际生活中的应用广泛，主要用于解决涉及数量范围优化方案、资源分配等问题。是中考应用题型常考题。解题步骤如下： ①审题：明确已知量、未知量，划出关键语句(如“至少”“不超过“等)； ②设未知数：通常选择问题中需要求解的量为变量； ③找不等关系：根据题意挖掘隐含条件(如费用限制、数量匹配等)； ④列不等式组：将每个不等关系转化为数学表达式； ⑤求解与验证：解不等式组，结合实际问题筛选合理解； ⑥作答：用规范语言描述方案或结论。 1．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 2．（2023·四川广安·中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元． (1)种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 3．（2023·四川内江·中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克） 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元． (1)求a，b的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值． 4．（2024·四川南充·三模）某超市准备购进A，B两种商品，进30件A，40件B需要2700元；进50件A，20件B需要3100元．商品A，B销售单价分别定为80元，45元． (1)商品A，B每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种数量不低于B种数量的一半，商店有几种进货方案？ (3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A商品售价优惠元，B商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 5．（2024·四川德阳·二模）德阳“万达广场”某商铺购进甲，乙两种商品，若购进甲种商品5件和乙种商品件，共需元；若购进甲种商品件和乙种商品件，共需元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)若商铺计划甲商品每件售价元，乙商品每件售价元，根据市场需求，购进的乙商品数量比购进的甲商品数量的倍还多件，且乙商品最多可购进件，销售完后总利润不低于元，问共有多少种进货方案？ (3)为减少库存，采取优惠活动，现决定购进甲、乙两种商品共件，甲种商品售价下调元，乙种商品售价保持原价．若该商铺保持甲、乙两种商品进价不变，并且该商铺无论如何进货，甲、乙两种商品销售总利润不变，试求出的值． 6．（2024·四川攀枝花·二模）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套 (1)求书籍和实验器材各有多少套？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来 （建议用时：25分钟） 1．（2024·四川眉山·中考真题）不等式组的解集是（    ） A． B． C．或 D． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（    ） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 3．（2023·四川绵阳·中考真题）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　） A．11 B．15 C．18 D．21 4．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川宜宾·中考真题）分式方程的解为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 7．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程的两根，则 ． 8．（2024·四川自贡·二模）A、B两种商品售价共为960元，若A打8折，B打9折出售后共售814元，求打折前A、B售价分别为 ． 9．（2024·四川泸州·一模）关于x值不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为 ． 10．（2024·四川南充·三模）关于的不等式的解集为，则的值为 ． 11．（2024·四川绵阳·三模）关于x的方程的解为非负数，则k的取值范围是 ． 12．（2024·四川成都·中考真题）解不等式组： 13．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． (1)求，两种花卉的单价． (2)该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 14．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 15．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点02 方程（组）与不等式（组） 中考数学中方程（组）与不等式（组）部分主要考向分为四类： 一、一次方程（组）（每年1~4道，6~18分） 二、一元二次方程（每年2~3道，3~12分） 三、分式方程（每年1~3题，3~15分） 四、不等式及不等式组（每年1~3题，3~12分） 方程（组）与不等式（组）是四川中考必考题型，通常以选择题、填空题、解答题等形式出现。其中分为基础题和综合题，基础题包含①一元一次方程：简单解方程，通常以选择题或填空题为主；②二元一次方程组：考查带入消元法和加减消元法解方程，通常以填空题或解答题的形式出现；③一元一次不等式（组）：解不等式或不等式组，注意不等式号方向；④一元二次方程：利用四种常用方法解一元二次方程，以及根的判别式和根与系数的关系。综合题主要以实际应用的形式出现，题型较多，解题时需要理清楚整体思路在下笔，避免出现计算错误等情况。 考向一：一次方程（组） 【题型1 利用一元一次方程的解求值】 利用一元一次方程的解求值时，核心思路是通过已知解代入方程求解未知数，或结合代数式变换完成计算，主要方法有以下3个： ①直接法代入求参数：先将已知解代入方程，替换未知数x，再解关于参数的方程，求出参数值； ②利用解的关系求参数：先解其中一个方程，得到解的表达式，再将解代入另一个方程或条件，解关于参数的方程； ③代数式求值：通过方程求出参数的值，再将参数代入代数式进行计算。 做此类题型最重要的就是注意计算，避免出现计算上的失误。 1．（2024·四川南充·一模）若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：移项，得：， 故选：B． 2．（2024·四川成都·二模）若实数a，b，c满足，且，则 ． 【答案】2 【详解】解：由得：，，， 代入到等式中，得： ， 解得：． 故答案为：2． 3．（2023·四川成都·二模）若与互为相反数，则n的值为 ． 【答案】2 【详解】解：由题意知，， 解得， 故答案为：2． 4．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【详解】解： 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得，， ∴， 把代入得， ， 解得， 故答案为： 5．（2024·四川成都·三模）定义运算：，例如，则关于的方程的解是 ． 【答案】/ 【详解】解：由题可知，， 即， 解得：， 故答案为：． 6．（2024·四川巴中·二模）已知，，，为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，的值是 ． 【答案】/ 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【题型2 一元一次方程实际应用题】 一元一次方程的实际应用在四川中考中主要以选择题和填空题的形式出现，偶尔出现在解答题的第一小问，难度中等，常见题型如下： ①行程问题：相遇问题：（相向而行） 追击问题：（同向而行） 航行问题：，； ②工程问题：总工作量为1，工作效率=，合作时，总效率=各个效率之和； ③利润和销售问题：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%； ④配套问题；⑤数字与年龄问题等；⑥分段计费与方案选择问题。 1．（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（    ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 据题题意：， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 故选：D． 2．（2023·四川成都·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 3．（2023·四川南充·中考真题）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 N的力．（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂） 【答案】100 【详解】解：设动力为， 根据阻力阻力臂动力动力臂， 当动力臂在1.5m时，可得方程，解得， 当动力臂在2m时，可得方程，解得， ，故节省100N的力， 故答案为：100． 4．（2024·四川达州·一模）在数学文化节游园活动中，“智取九宫格”活动规则是：在九宫格的每一个方格中填入一个数，使每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则 ． 【答案】6 【详解】解：设第二行第一个数为， 根据题意得：， 即， 解得：． 故答案为：6． 5．（2024·四川阿坝·中考真题）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 人． 【答案】5 【详解】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：5． 6．（2024·四川德阳·二模）将9个不重复的数字填入如图6的九个格子中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，则这9个数的和为 （用含a的整式表示）． 【答案】 【详解】解：设第三行第三个数为x， 则：第一行的第一个数为， 最中间的数为， 第一行的第二个数为：， 第一行的第三个数为：， ∴， ∴， ∴9个数的和为：； 故答案为：． 【题型3 二元一次方程组的解 】 二元一次方程组的解中主要考查的是加减消元法和代入消元法： ①代入消元法：适用于某未知数系数较为简单。 首先从任一方程中选择一个未知数（如x），用另一个未知数（y）表示，其次将此表达式代入另一个方程，消去x，得到关于y的一元一次方程，解出y的值，再回代求x，最后检验解是否满足方程； ②加减消元法：两方程中某未知数的系数相等或成倍数关系。 首先调整方程，使某一未知数的系数绝对值相等，其次通过相加或相减消去该未知数，得到一元一次方程，最后解出剩余未知数，回代求另一未知数，检验解。 1．（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】解：法一：， 得， 解得， 将代入，解得， ， ， 得到， ， 法二： 得：，即：， ∵， ∴， ， 故选：D． 2．（2024·四川内江·二模）若与互为相反数，则 ． 【答案】6 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴， 解得： ， ∴ 故答案为：6． 3．（2024·四川宜宾·一模）已知满足方程组，则 ． 【答案】 【详解】∵， ∴，得， 即， ∴， 故答案为：． 4．（2024·四川内江·一模）若中每一个数值只能取，，中的一个，且，求的值 ． 【答案】 【详解】设有个取，个取，有 ， 解得 ， 所以原式． 故答案为：． 5．（2024·四川德阳·二模）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的个数之和相等，表是一个已完成的幻方．表是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 表 表 【答案】 【详解】设左下角的空格中的数字为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 6．（2023·四川乐山·中考真题）解二元一次方程组： 【答案】 【详解】解： ①，得②， 将②+③，得， 解得． 将代入①， 得， ∴方程组的解为：． 【题型4 二元一次方程组的实际应用】 二元一次方程组实际应用的解题步骤如下： ①审题和建模：明确题目中的已知量、未知量及关键等量关系（如总量关系、倍数关系、比例关系等）； ②设未知数：Ⅰ直接设元：问题问什么就设什么；Ⅱ间接设元：当直接设元较为复杂时，选择中间量或比例进行设元； ③列方程：根据题目的描述，建立两个独立方程。关键技巧：Ⅰ利用“总量=各部分之和”；Ⅱ关注隐藏条件 ④解方程与检验：选择的合适消元法解方程，验证解是否符合实际意义（如人数、时间不能为负数，商品数量必须为整数等）。 1．（2024·四川南充·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 2．（2024·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 3．（2023·四川遂宁·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为， 故选：D． 4．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． (1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价； (2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 【答案】(1)A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元 (2)至少应购买B款纪念品30个 【详解】（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元． （2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个， 由题意得，， 解得，， 答：至少应购买B款纪念品30个． 5．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． (1)求A，B两种水果各购进多少千克； (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】(1)A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 (2)A种水果的最低销售单价为元/ 【详解】（1）解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：， 解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故A种水果的最低销售单价为元/ 【题型5 三元一次方程的应用】 三元一次方程组的解法与二元一次方程组类似，先将三元转换为二元，再将二元转换为一元即可。 解题注意事项： ①检验解的正确性：将解代入原方程验证是否满足所有方程； ②避免重复计算：消元过程中注意保留中间步骤，减少重复计算； ③灵活选择消元顺序：根据系数的复杂度调整消元顺序，优先消去容易处理的未知数。 1．（2023·四川内江·一模）已知x，y，z为实数，满足，那么的最小值是 【答案】14 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为14． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【答案】乙槽 【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽． 故答案为：乙槽． 3．（2024·四川成都·二模）若实数m，n，p满足，且，我们将，，这三个数中最小的一个数记为t，则t的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：， ，，， 令，，， ，，， ，， ，， ， ， ， 将，，这三个数中最小的一个数记为t， 则，，， ， 解得：， t的最大值为， 故答案为： 考向二：一元二次方程 【题型6 一元二次方程的根】 本题型四川中考常考题型，主要分为以下几类： ①已知一元二次方程的根求参数的值：将题目已知条件所给的未知数的值代入已知方程即可直接求出参数的值； ②已知一元二次方程的根求代数式的值：先将题目所给字母代入方程得到一个关系式，再将所求代数式进行化简即可得到答案。 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 2．（2024·四川广元·一模）已知关于的一元二次方程有一个根为， 则的值为（   ） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【详解】解：根据题意，关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程， 可得， 解得． 故选：A． 3．（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ． 故选：A． 4．（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 5．（2024·四川泸州·一模）如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， ， 或， ，， 故此选项不符合题意； B、， ， ， ， 故此选项符合题意； C、， ，， 故此选项不符合题意； D、， ， 故此选项不符合题意； 故选：B． 6．（2023·四川眉山·三模）已知m，n是方程的两根，则的值为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】B 【详解】解：∵m，n是方程的两根， ∴，． ∴ ∴． ∴． 故选：B． 7．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 【题型7 解一元二次方程】 解一元二次方程的主要方法分为：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，是四川中考常考知识点，其中主要涉及在选择题、填空题以及解答题中，难度适中。 方法选择建议： 1.优先建议：直接开方法→因式分解→公式法→配方法； 2.特殊形式：①缺一次项（如）：直接开方法；②缺常数项（如）：因式分解；③系数简单可分解（如）：十字乘法。 3.复杂方程：公式法最稳妥，但需要注意判别式的正负。 1．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：设，则， 整理可得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 2．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 3．（2024·四川雅安·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ∴， 故答案为：． 4．（2024·四川广元·一模）选择适当的方法解方程； (1)； (2)． 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【题型8 一元二次方程根的判别式】 一元二次方程根的判别式（）是分析方程实数根情况的核心工具。 ①基本定义与判断根的情况：Ⅰ当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；Ⅱ当△=0时，方程有两个相等的实数根；Ⅲ当△＜0时，方程无实数根。 ②逆用根的判别式：若已知方程根的情况（如有两个实数根、无实数根等），可以逆用根的判别式，求参数的取值范围。 1．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 3．（2024·四川广元·一模）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∵两个同号的实数根， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·四川达州·一模）对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且，故C正确． 故选：C． 5．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 6．（2023·四川遂宁·中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)10；(2)且． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【题型9 一元二次方程根与系数的关系】 对于分别为，则满足： ， 常见题型与解题方法： ①已知一个根，求另一个根及参数：将已知根代入方程解出参数，用韦达定理求另一个根； ②已知两个根，求参数：结合韦达定理和已知条件联立方程； ③利用根与系数的关系求代数式的值： 注意：使用韦达定理的前提是：△≥0. 1．（2023·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】/0.5 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 3．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 4．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 5．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)或． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 6．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，；(2)，；(3)． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 【题型10 实际问题与一元二次方程】 一元二次方程的实际应用中常见的题型和方法： ①传播问题：若初始有1个人感染，每轮传播x个人，则n轮后总感染的人数为； ②增长率（降低率）问题：基数×=终值； ③面积问题：利用平移法，将道路、边框等不规则的部分进行平移，转化为规则图形计算； ④利润与销售问题：总利润=（售价-成本）×销量，注意售价变化与销售量之间的线性关系，例如某商品每降价x元，销售量增加，列方程（原价x-售价）×（原销售量+增量）=目标利润； ⑤数字与排列问题：两位数的表示为10a+b，利用位数关系列方程，n人两两握手次数为，列方程求人数。 1．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）《九章算术》中有这样题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何？”大意是说： 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， 故选：D 3．（2024·四川南充·二模）某商店销售一款进价为20元新背包，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． (1)若该背包销售单价为30元，销售该背包每天获利多少元？ (2)设该背包销售单价为元，销售该背包每天获利为元，当为多少时，销售该背包每天获得的利润最大，最大的利润是多少元？ (3)经过试营销后，商店按（2）中单价销售，为了回馈广大顾客，同时提高该背包知名度，商店决定开展降价促销活动，若每个背包降价率为，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，求的值． 【答案】(1)2000元 (2)当为35元时，销售该背包每天获得的利润最大，最大的利润是2250元 (3)40 【详解】（1）解：根据题意得： （元． 答：销售该背包每天获利2000元； （2）解：根据题意得：， ， ． ， 当时，取得最大值，最大值为2250． 答：当为35元时，销售该背包每天获得的利润最大，最大的利润是2250元； （3）解：根据题意得：， 整理得：， 即， 解得：，， 又要使销量尽可能的大， ． 答：的值为40． 4．（2024·四川成都·二模）世界羽坛最高水平团体赛成都 “汤尤杯”将于4月日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为元，如果以单价元销售，那么每天可以销售套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少套． (1)若商家每天想要获取元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ (2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)元 (2)销售单价为元时每天获利最大，最大利润元 【详解】（1）解：设每套吉祥物的售价为x元， 依题意得，， 整理得：， 解得，， ∴为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为元． （2）解：设每天销售吉祥物获得的利润为y元， 依题意得，∵且， 解得， ， ∵， ∴当，最大，最大值为， 答：销售单价为元时每天获利最大，最大利润元． 5．（2024·四川泸州·一模）如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 【答案】若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为， 【详解】解：设，则； 根据题意列方程的， ， 解得，； 当，， 当，，而墙长，不合题意舍去． 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，． 考向三：分式方程 【题型11 解分式方程】 解分式方程是四川中考常考题型，主要注意事项如下： ①去分母：找到所有分母的最简公分母，避免漏乘无分母项； ②验根：解分式方程后一定要把未知数的值代入原方程进行检验，剔除增根； ③符号处理：移项时注意符号的变化，分式变形避免颠倒分子分母的符号。 注意：在解答题中解分式方程，一定要检验！检验！检验！ 1．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验是该方程的解， 故选：D． 2．（2024·四川南充·一模）有一组并联电路，如图所示，两个电阻的电阻值分别为、，总电阻值为R，三者关系为：．若已知，则 ． 【答案】12 【详解】解：由题意得：， 即， 解得：； 故答案为：12． 3．（2024·四川广元·中考真题）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：等式两边都乘以，得， 令，则， ∴“美好点”的坐标为， 故答案为（答案不唯一） 5．（2024·四川泸州·中考真题）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ． 【答案】3 【详解】解：设黄球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴黄球的个数为3个． 故答案为：3． 6．（2023·四川达州·一模）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程解的情况是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， 去分母得， 解得：， 把代入得，， ∴原方程无解， 故选；D． 【题型12 根据分式方程的解求值】 根据分式方程的解求值常以选择题、填空题的形式出现，在选择填空题中主要终点考查基础解法（如去分母等）和增根问题，例如判断分式方程解的情况或求参数的取值范围 解题注意事项：①无解与多解问题：分式方程无解可能因为增根问题或矛盾方程，注意需要分情况讨论； ②含参数问题：若解为正（负）数，需同时满足分母不为0以及不等式的条件。 1．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 2．（2024·四川南充·三模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的分式方程的解是非负数， ， ∴， ， ， 解得：， 的取值范围是：且， 故选：C． 3．（2024·四川凉山·二模）若关于x的分式方程的解为负数，a的取值范围（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 根据题意得： ， 解得：， 又∵， ∴； 又∵ ∴， 则的取值范围为且． 故选：A． 4．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【详解】， 解：方程两边同时乘以，得， ∴， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ． 【答案】且 【详解】解：，化简得：， ∵，即， ∴，解得：， ∵有实数根， ∴， 解得：， ∴综上且， 故答案为：且． 【题型13 分式方程的实际应用】 分式方程的实际应用属于中考中高频考点，牢记解题步骤是得分的关键： ①审题建模：明确问题中的已知量、未知量以及等量关系，可通过列表格、画示意图、列代数式梳理题目中的关键信息； ②设元列方程：将题目中所求量直接设为未知数或者找中间量间接设，再根据题目中的等量关系列出方程，注意统一单位； ③解方程与检验：去分母转化为整式方程，解出结果后进行双重检验，一重为代入最简公分母检验是否为增根，二重为检验解是否符合实际意义。 1．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得： ． 故选：A． 2．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为 ． 【答案】60 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，并符合题意， ∴原计划的速度为； 故答案为：60． 4．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 (2)该公司原计划最多应安排8名工人施工 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 5．（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元． (1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ (2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务． (2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则 ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； 答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务． （2）由题意可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∵都为正整数， ∴为3的倍数， ∴或或， ∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式， 方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元）， 方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元）， 方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元）， ∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 考向四：不等式及不等式组 【题型14 解一元一次不等式（组）】 中考解一元一次不等式（组）主要以基础题型出现，常见题型包括直接解一元一次不等式（组），判断解集或在数轴上表示。想得高分需要注意以下几点： ①在不等式性质应用中尤其需要注意“乘除负号时方向改变”的易错点； ②要求用数轴准确标注解集（空心/实心点，方向）； 注意：解一元一次不等式（组）的时候，乘除负号时不等式号方向需要改变！ 1．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 2．（2024·四川自贡·模拟预测）不等式的自然数解有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并同类项：， 所以， ∴不等式的自然数解有0，1，2共3个， 故选：C． 3．（2024·四川眉山·二模）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 【答案】B 【详解】解：令， 解不等式得：； 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 故选：B． 4．（2024·四川泸州·二模）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意可得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 将代入中可得， 解得：， 故答案为：． 5．（2024·四川南充·三模）若关于x的不等式组所有整数解的和为12，则整数m的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， ∵所有整数解的和为12， ∴整数解是3，4，5． ∴， 解得：． 故答案为：． 6．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【详解】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： 【题型15 由一元一次不等式（组）的情况求参数】 由一元一次不等式（组）的情况求参数，主要分为两个大题型： ⅰ已知不等式组的解集求参数：①单不等式参数问题：将不等式整理为>b或<b，通过解集方向确定参数的符号；②不等式组解集的问题：利用数轴或口诀求参数的取值范围； ⅱ已知不等式组有解或无解求参数：①有解条件：若不等式解集在数轴上有重叠；②无解条件：解集无解集； ⅲ已知整数解个数求参数：①固定整数解个数：若不等式组有k个整数解，需满足参数满足的区间。若解集且整数解有3个（-1,0,1），则；②特殊解问题：如非负整数、最大/最下整数解等，需要通过边界值验证。 1．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【详解】解： 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：； 由于不等式组的解集为， 所以， 则， 所以； 故选：A． 2．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 3．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ． 【答案】或 【详解】解：由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 所有整数解的和为， ①整数解为：、、、， ， 解得：， 为整数， ． ②整数解为：，，，、、、， ， 解得：， 为整数， ． 综上，整数的值为或 故答案为：或． 4．（2024·四川泸州·一模）关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由，可得． ∵原不等式组的整数解仅有5个， ∴, 解得：． 故答案为：． 5．（2023·四川泸州·二模）若整数使关于的分式方程的解为整数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】2 【详解】解：关于的一元一次不等式组的解集为， 关于的一元一次不等式组有解， ， ． 关于的分式方程的解为， 原分式方程有可能产生增根3， ， ， 整数使关于的分式方程的解为整数，， 或3， 所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：2． 【题型16 一元一次不等式（组）的应用】 一元一次不等式(组)在实际生活中的应用广泛，主要用于解决涉及数量范围优化方案、资源分配等问题。是中考应用题型常考题。解题步骤如下： ①审题：明确已知量、未知量，划出关键语句(如“至少”“不超过“等)； ②设未知数：通常选择问题中需要求解的量为变量； ③找不等关系：根据题意挖掘隐含条件(如费用限制、数量匹配等)； ④列不等式组：将每个不等关系转化为数学表达式； ⑤求解与验证：解不等式组，结合实际问题筛选合理解； ⑥作答：用规范语言描述方案或结论。 1．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元； (2)购进A商品的件数最多为20件 【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 2．（2023·四川广安·中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元． (1)种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元 (2)购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元 【详解】（1）解：设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元， 由题意得：， 解得， 答：种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元． （2）解：设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱， 购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍， ， 解得， 又为正整数， 所有可能的取值为18，19，20， ①当，时，购买总费用为（元）， ②当，时，购买总费用为（元）， ③当，时，购买总费用为（元）， 所以购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元． 3．（2023·四川内江·中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克） 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元． (1)求a，b的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值． 【答案】(1)(2)(3)1.2 【详解】（1）由题意列方程组为：， 解得； （2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克， ∴当时， ； 当时， ； 综上所述，； （3）当时，， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 当时，， ∴（元）， ∴由上可得：当时，y取最大值520（元）， ∴由题意可得，， ∴解得． ∴m的最大值为1.2． 4．（2024·四川南充·三模）某超市准备购进A，B两种商品，进30件A，40件B需要2700元；进50件A，20件B需要3100元．商品A，B销售单价分别定为80元，45元． (1)商品A，B每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种数量不低于B种数量的一半，商店有几种进货方案？ (3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A商品售价优惠元，B商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】(1)商品A每件的进价为50元，商品B每件的进价为30元 (2)该商店有5种进货方案 (3)当时，购进A种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大；当时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同；当时，购进A种商品14件，B种商品26件时，销售这40件商品获得总利润最大． 【详解】（1）解：设商品A每件的进价为x元，商品B每件的进价为y元， 由题意可得：， 解得： 答：商品A每件的进价为50元，商品B每件的进价为30元； （2）设购进商品A有a件，则商品B有件， 由题意可得： 解得． 又∵a为整数， ∴a可以为14，15，16，17，18， ∴该商店有5种进货方案； （3）设销售这40件商品获得总利润为w元， 则． 若，即时，w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时； 若，即时，w的值不变； 若，即时，w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当时，购进A种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大； 当时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同； 当时，购进A种商品14件，B种商品26件时，销售这40件商品获得总利润最大． 5．（2024·四川德阳·二模）德阳“万达广场”某商铺购进甲，乙两种商品，若购进甲种商品5件和乙种商品件，共需元；若购进甲种商品件和乙种商品件，共需元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)若商铺计划甲商品每件售价元，乙商品每件售价元，根据市场需求，购进的乙商品数量比购进的甲商品数量的倍还多件，且乙商品最多可购进件，销售完后总利润不低于元，问共有多少种进货方案？ (3)为减少库存，采取优惠活动，现决定购进甲、乙两种商品共件，甲种商品售价下调元，乙种商品售价保持原价．若该商铺保持甲、乙两种商品进价不变，并且该商铺无论如何进货，甲、乙两种商品销售总利润不变，试求出的值． 【答案】(1)每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元；(2)共有种进货方案；(3)． 【详解】（1）解：设每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元， 根据题意得，， 解得， 答：每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元； （2）解：设购进件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意得，， 解得， 又∵为正整数， ∴m可以为， ∴共有种进货方案； （3）解：设购进件甲种商品，该商店销售完两种商品后获得的总利润为元，则购进件乙种商品， 根据题意得，， ∵的值与值无关， ∴， 解得， ∴的值为． 6．（2024·四川攀枝花·二模）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套 (1)求书籍和实验器材各有多少套？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来 【答案】(1)书籍和实验器材各有240套，120套； (2)有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． 【详解】（1）解：设书籍和实验器材各有x套，y套， 由题意得，， 解得， 答：书籍和实验器材各有240套，120套； （2）解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车辆， 由题意得，， 解得， ∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． （建议用时：25分钟） 1．（2024·四川眉山·中考真题）不等式组的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故不等式组的解集为． 故选：D． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（    ） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 【答案】C 【详解】解：设用个大箱，个小箱， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为： 或， ∴所装的箱数最多为箱； 故选C． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　） A．11 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴， ∴， ∴符合要求的所有整数m的值为5，6，7， ∴符合要求的所有整数m的和为． 故选C． 4．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选D． 5．（2023·四川宜宾·中考真题）分式方程的解为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：， 方程两边同时乘以得到， ， 检验：当时，， 是原分式方程的解， 故选：C． 6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 【答案】4 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 7．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程的两根，则 ． 【答案】 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 8．（2024·四川自贡·二模）A、B两种商品售价共为960元，若A打8折，B打9折出售后共售814元，求打折前A、B售价分别为 ． 【答案】500元，460元 【详解】设打折前A、B售价分别为x，y元 由题意得：，解得： ∴打折前A、B售价分别为500元，460元 故答案为：500，460． 9．（2024·四川泸州·一模）关于x值不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为 ． 【答案】18 【详解】解∶ ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴， ∴ ∴符合要求的所有整数m的值为5，6，7， ∴符合要求的所有整数m的和为． 故答案为：18． 10．（2024·四川南充·三模）关于的不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】1 【详解】∵, 解得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为：1． 11．（2024·四川绵阳·三模）关于x的方程的解为非负数，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：， 去分母得： 解得， ∵， ∴且， 解得且， ∴k的取值范围是且． 故答案为：且． 12．（2024·四川成都·中考真题）解不等式组： 【答案】 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 13．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． (1)求，两种花卉的单价． (2)该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株 (2)当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元 【详解】（1）解：设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株， 由题意得：， 解得：， 答：种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株． （2）解：设采购种花卉株，则种花卉株，总费用为元， 由题意得：， ， 解得：， 在中， ， 随的增大而减小， 当时的值最小， ， 此时． 答：当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元． 14．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】(1)种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； (2)当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【详解】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 15．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 (2)要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【详解】（1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； （2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得： 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$