专题05 三角函数（14大基础题型4重难点 题型训练）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题05 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型/题组目录 · 题型一 任意角的概念 · 题型二 弧度制、弧长、扇形面积公式 · 题型三 任意角的三角函数 · 题型四 三角函数的符号问题 · 题型五 同角三角函数的关系 · 题型六 诱导公式 · 题型七 三角函数的图像 · 题型八 三角函数的性质 · 题型九 三角函数的图像变换 · 题型十 三角和角计算 · 题型十一 二倍角公式 · 题型十二 正弦定理 · 题型十三 余弦定理 · 题型十四 三角形的面积公式 · 重难点题型一 求与三角函数有关的函数的值域 · 重难点题型二 三角函数单调性、奇偶性的运用 · 重难点题型三 三角形形状的判断 · 重难点题型四 利用正弦型函数的图像求参数 题组/题型一 任意角的概念 【典例1】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如，，但，故④不成立. 故选：B. 【变式1】下列选项中叙述正确的是（   ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．终边不同的角同名三角函数值不相等 D．钝角一定是第二象限的角 【答案】D 【解析】对于A选项，小于，但不是锐角，A错； 对于B选项，是第二象限的角，是第一象限角，但，B错； 对于C选项，，但和的终边不相同，C错； 对于D选项，钝角一定是第二象限的角，D对. 故选：D. 【变式2】下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B． C．) D．) 【答案】C 【解析】与角终边相同角可以表示为； 对A，由找不到整数让，所以A错误； 对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，C项正确，； 对D 项，当时，角为，当时，角为，得不到角，故D错误， 故选：C. 题组/题型二 弧度制、弧长、扇形面积公式 【典例1】一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是–， ∴经过15分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，∴弧长为（cm）． 故选：C． 【变式1】一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r， 则解得， 故选：C． 【变式2】已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为，则扇形所对的圆心角的弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设这个扇形的圆心角的弧度数为，， 根据扇形的弧长公式得，解得． 故选：A． 题组/题型三 任意角的三角函数 【典例1】已知点是角终边上的一点，则 ． 【答案】/0.75 【解析】由题可知, 所以， 【变式1】已知角α的终边与单位圆交于点，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角函数的定义可知，所以， 故选：A. 【变式2】已知角的终边上一点，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，解得， 又因为，所以， 所以. 题组/题型四 三角函数的符号问题 【典例1】已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解析】因为点在第二象限，所以，， 所以的终边在第三象限. 故选：C. 【变式1】若C为的内角，则下列函数中一定取正值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，故，、的符号不定， 所以A为正值，B、C、D的符号不定， 故选：A． 【变式2】已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 题组/题型五 同角三角函数的关系 【典例1】已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，且为锐角， 所以. 故选：A. 【典例2】已知扇形的半径为6，且扇形的弧长为，设其圆心角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由弧长公式变形得到，∴， 故选：D. 【变式1】 【变式2】若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为，所以， 故选：B. 题组/题型六 诱导公式 【典例1】的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：， 故选：A． 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ， 故选：A. 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 根据诱导公式得， 即，所以， 故选：A. 题组/题型七 三角函数的图像 【典例1】函数，的图像与直线的交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】 在同一平面直角坐标系内，先画函数，的图像，再画直线，可知所求交点的个数为2．故选：C． 【变式1】函数在区间上的图象与轴的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】作出的图像如下： ， 观察图像可得函数在区间上的图象与轴的交点个数是个. 故选：C. 【变式2】函数的图象与的图象（        ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】A 【解析】函数的图象与的图象关于x轴对称， 故B、C、D错误，A正确， 故选：A 题组/题型八 三角函数的性质 【典例1】关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】D 【解析】对A，，，故A错误； 对B，，，故B错误； 对C，，，故C错误； 对D，，此时，故D正确， 故选：D. 【变式1】以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求； 对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求； 对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求； 对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求， 故选：B. 【变式2】函数的图像的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 令，解得， 故选：C. 题组/题型九 三角函数的图像变换 【典例1】把函数的图像向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把函数的图像向左平移个单位长度可得， 再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得， 故选：A 【变式1】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得图象的函数解析为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，平移后的解析式为， 故选：B. 【变式2】将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），然后再把图像向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为 ． 【答案】 【解析】将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）可得到， 然后再把图像向右平移个单位可得=， 故则所得函数图像的解析式为. 题组/题型十 三角和角计算 【典例1】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【典例2】在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在中，，，则，， 故选：D. 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选：C. 【变式2】若是第三象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是第三象限角， 所以，所以， 所以. 故选：C. 题组/题型十一 二倍角公式 【典例1】 的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：，故选：A． 【典例2】已知角终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由角终边上一点得， . 故选：C. 【变式1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得. 故选：A 【变式2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，可得，从而，． 故选：A 题组/题型十二 正弦定理 【典例1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（    ） A．8 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【解析】在中，，∵， ∴， 由正弦定理得， 故选：C． 【变式1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理可得，即， 解得，且不等于0， 当为锐角时，， 当为钝角时，. 综上所述：. 故选：B. 【变式2】在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】依题意，由正弦定理得， 故选：A. 题组/题型十三 余弦定理 【典例1】在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为由正弦定理可得，所以又 所以. 故选：D 【变式1】在中，，，分别是的对边，，，，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】在中，，，， 由余弦定理得：，即， 化简得 解得：，或 （舍去）， 故选：D. 【变式2】在中，角所对的边分别为，若，则（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由得，，由余弦定理得， 因为，所以. 故选：C 题组/题型十四 三角形的面积公式 【典例1】的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，所以，解得， 故选：C． 【变式1】设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【解析】∵，∴， 由三角形的面积公式可知，的面积为. 故选：B 【变式2】在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，角是锐角，所以， 由余弦定理，，解得， 所以的面积. 故选：B. 重难点题型一 求与三角函数有关的函数的值域 【典例1】函数的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，则当，即时，， 当，即时，， 所以所求最大值、最小值分别为. 故选：A 【变式1】函数的最大值与最小值分别是（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是 【答案】C 【解析】由正弦函数性质可知，， 所以，所以， 所以，函数的最大值是，最小值是. 故选：C 【变式2】将函数向左平移个单位后得函数，则在上的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数向左平移个单位后得函数， 所以， ， 故选：D. 重难点题型二 三角函数单调性、奇偶性的运用 【典例1】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数. 故选：A 【典变式1】函数的一个单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出的图象，如下，    可以看出的一个单调减区间为，其他选项不合要求. 故选：C. 【变式2】下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，函数是奇函数，而当时，取最大值， 则在上不单调，C不是； 对于D，函数是奇函数，在上单调递减，D不是. 故选：A 重难点题型三 三角形形状的判断 【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由，利用正弦定理，， 即,因,则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：A. 【典例2】已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【解析】因为，所以设， 由余弦定理得， 因为，所以，所以为钝角三角形. 故选：C 【变式1】在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】A 【解析】因为， 由正弦定理得， 则该三角形的形状是直角三角形， 故选：A. 重难点题型四 集利用正弦型函数的图像求参数 【典例1】已知函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】1 【解析】由题意知：，则，解得，即，又，又，则，即，则， 故答案为：1. 【变式1】函数 的部分图象如图所示，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象知函数周期 ，， 把​代入解析式， 得， 即，又， 故选：A. 【变式2】已知正弦型函数（＞0，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如下图所示，则为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】∵=－=，∴==，∴=2，由图知振幅A=2，∴，带入最高点，得，∴正弦型函数的解析式为，=. 故选：D. $$专题05 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型/题组目录 · 题型一 任意角的概念 · 题型二 弧度制、弧长、扇形面积公式 · 题型三 任意角的三角函数 · 题型四 三角函数的符号问题 · 题型五 同角三角函数的关系 · 题型六 诱导公式 · 题型七 三角函数的图像 · 题型八 三角函数的性质 · 题型九 三角函数的图像变换 · 题型十 三角和角计算 · 题型十一 二倍角公式 · 题型十二 正弦定理 · 题型十三 余弦定理 · 题型十四 三角形的面积公式 · 重难点题型一 求与三角函数有关的函数的值域 · 重难点题型二 三角函数单调性、奇偶性的运用 · 重难点题型三 三角形形状的判断 · 重难点题型四 利用正弦型函数的图像求参数 题组/题型一 任意角的概念 【典例1】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列选项中叙述正确的是（   ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．终边不同的角同名三角函数值不相等 D．钝角一定是第二象限的角 【变式2】下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B． C．) D．) 题组/题型二 弧度制、弧长、扇形面积公式 【典例1】一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 【变式1】一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 【变式2】已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为，则扇形所对的圆心角的弧度为（    ） A． B． C． D． 题组/题型三 任意角的三角函数 【典例1】已知点是角终边上的一点，则 ． 【变式1】已知角α的终边与单位圆交于点，则=（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知角的终边上一点，且，则 . 题组/题型四 三角函数的符号问题 【典例1】已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式1】若C为的内角，则下列函数中一定取正值的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题组/题型五 同角三角函数的关系 【典例1】已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【典例2】已知扇形的半径为6，且扇形的弧长为，设其圆心角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】 【变式2】若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 题组/题型六 诱导公式 【典例1】的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 题组/题型七 三角函数的图像 【典例1】函数，的图像与直线的交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】函数在区间上的图象与轴的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】函数的图象与的图象（        ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称 题组/题型八 三角函数的性质 【典例1】关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【变式1】以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（          ） A． B． C． D． 【变式2】函数的图像的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 题组/题型九 三角函数的图像变换 【典例1】把函数的图像向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得图象的函数解析为（    ） A． B． C． D． 【变式2】将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），然后再把图像向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为 ． 题组/题型十 三角和角计算 【典例1】（    ） A． B． C． D． 【典例2】在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【变式2】若是第三象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 题组/题型十一 二倍角公式 【典例1】 的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知角终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 题组/题型十二 正弦定理 【典例1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（    ） A．8 B．6 C．5 D．3 【变式1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 题组/题型十三 余弦定理 【典例1】在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【变式1】在中，，，分别是的对边，，，，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】在中，角所对的边分别为，若，则（       ） A． B．或 C． D．或 题组/题型十四 三角形的面积公式 【典例1】的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．12 D． 【变式2】在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 重难点题型一 求与三角函数有关的函数的值域 【典例1】函数的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的最大值与最小值分别是（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是 【变式2】将函数向左平移个单位后得函数，则在上的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点题型二 三角函数单调性、奇偶性的运用 【典例1】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【典变式1】函数的一个单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型三 三角形形状的判断 【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式1】已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2】在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 重难点题型四 集利用正弦型函数的图像求参数 【典例1】已知函数的部分图象如图所示，则 ． 【变式1】函数 的部分图象如图所示，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知正弦型函数（＞0，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如下图所示，则为（ ） A．1 B．2 C． D． $$