专题07 离散型随机变量的均值5考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题07 离散型随机变量的均值5考点复习指南 知识点01：离散型随机变量的均值 （1）离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. （2）离散型随机变量的均值的深层理解 ①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. ②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. ③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. （3）两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 （4）均值的性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. 知识点02：样本均值与离散型随机变量均值的比较 （1）样本均值 样本数据；；；；记 均值：，其中. （2）离散型随机变量均值 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 知识点03：求离散型随机变量的均值步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 考点1 两点分布的均值 1．（2024高二·山西吕梁·期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 2．（2024高二·浙江嘉兴·期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 3．（2024高二·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 4．（2024高二·山西朔州月考）已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 考点2 求离散型随机变量的均值 5．（2024高二·广西河池·期中）为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二·江苏月考）节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是（    ） ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 7．（2024·河北·模拟预测）2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（    ） A．300元 B．元 C．350元 D．元 8．（2024高三·河南洛阳月考）某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量表示该游客游览的景点个数，错误的是（    ） A．该游客至多游览一个景点的概率为 B． C． D． 9．（2024高二·江苏连云港·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.64 q2 1－2q 则E(X)=（    ） A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8 10．（2024高二·江苏徐州·期中）设为正实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A．3 B．1 C． D． 11．（2024高二·全国月考）设随机变量的分布列为： 0 1 2 P 则的数学期望的最小值是(    ) A． B．0 C．2 D．随p的变化而变化 考点3 离散型随机变量均值性质 12．（2019届浙江省高三学期4月高考模拟测试数学试题）已知随机变量的分布列是 则（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二·河南商丘·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示 x 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 b 0.2 0.1 则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2024高二·河北保定月考）已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 15．（2024高二·全国月考）若，是离散型随机变量，且，其中，为常数，则有.利用这个公式计算（ ） A． B． C． D．不确定 16．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为： X 0 1 P a b 则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 考点4 由离散型随机变量的均值求参数 17．（2024高二·河北邯郸·期中）甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 2 3 18．（2024高二·浙江宁波·期中）设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，若的均值 ，则等于（    ） A． B． C． D． 19．（2024高二·浙江杭州·期中）某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高二·辽宁铁岭·期中）设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（    ） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A． B． C． D． 21．（2024高二·北京·期中）某篮球运动员一次投篮得分的分布列为： 若他在一次投篮中得分的期望，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 22．（2024高三·全国月考）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 考点5 均值的实际应用 23．（2024高三·贵州贵阳月考）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”． 甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95； 乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113； 丙：92，102，97，105，89，94，92，97． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立． (1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率； (2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望． 24．（2024·全国·模拟预测）2023年国庆节假期期间，某超市举行了购物抽奖赢手机活动．活动规则如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期间，消费金额（单位：元）不低于100元的顾客可以参与一次活动（假设每名顾客只消费一次），每5人一组，每人可以随机选取A或B两个字母，其中选取相同字母的人数较少者每人获得10元购物券，其他人获得抽取价值6999元手机的资格（例如5人中有2人选取A，则这2人每人获得10元购物券，另外3人获得抽取手机的资格；5人全部选取A，则这5人均获得抽取手机的资格），根据统计，在此活动期间，顾客在该超市消费金额的频率分布直方图如图所示． (1)从活动期间在该超市购物的顾客中随机选取2名，求这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率 (2)设每5人组获得购物券的人数为X． （ⅰ）求X的分布列与数学期望： （ⅰⅰ）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%，则每1000名顾客最多送出多少部手机？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 25．（2024高三·北京月考）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 26．（2024高一·北京月考）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 保单份数 已知：一份保单的保费为万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元. (1)从抽取的份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为抽取的份保单的毛利润平均值，求的值； （ii）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值与（i）中的大小. 索赔次数 保单份数 毛利润(单位：万元) 27．（2024高三·江苏常州月考）已知某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的. (1)求甲任选一题并答对的概率； (2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为，求的分布列和期望. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题07 离散型随机变量的均值5考点复习指南 知识点01：离散型随机变量的均值 （1）离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. （2）离散型随机变量的均值的深层理解 ①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. ②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. ③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. （3）两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 （4）均值的性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. 知识点02：样本均值与离散型随机变量均值的比较 （1）样本均值 样本数据；；；；记 均值：，其中. （2）离散型随机变量均值 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 知识点03：求离散型随机变量的均值步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 考点1 两点分布的均值 1．（2024高二·山西吕梁·期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【解析】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 2．（2024高二·浙江嘉兴·期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 【答案】/ 【分析】X服从两点分布，结合两点分布的均值公式，即可求解. 【解析】由题意可得，X服从两点分布， ， 故. 故答案为：. 3．（2024高二·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出 【解析】由题意得， 因为， 所以解得， 所以， 故选：D 4．（2024高二·山西朔州月考）已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 【答案】 0.66 0.34 【分析】由两点分布的性质及期望公式即可得出结论. 【解析】由两点分布可知， . 故答案为：0.66;0.34. 考点2 求离散型随机变量的均值 5．（2024高二·广西河池·期中）为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意得到的可能取值，再求出对应的概率，从而求解期望即可. 【解析】由题意得，随机变量的可能取值是2，4，6， 设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为， 若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响， 所以，，， 所以期望为． 故选：B． 6．（2024高二·江苏月考）节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是（    ） ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 【答案】A 【分析】先求得节日期间这种鲜花需求量的均值，再由利润，利用均值的性质求解. 【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为 (束)． 设利润为Y，则， 所以 (元)． 故选：A. 7．（2024·河北·模拟预测）2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（    ） A．300元 B．元 C．350元 D．元 【答案】B 【分析】求出X的可能取值及对应的概率，得到数学期望. 【解析】由题知X的所有可能取值为150，250，350，450， ， ， ， ， 所以数学期望（元）． 故选：B． 8．（2024高三·河南洛阳月考）某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量表示该游客游览的景点个数，错误的是（    ） A．该游客至多游览一个景点的概率为 B． C． D． 【答案】C 【分析】确定的所有可能取值为0，1，2，3，4．结合独立事件概率公式、互斥事件概率公式计算出相应的概率，再求出期望，然后判断各选项． 【解析】的所有可能取值为0，1，2，3，4． 则， ， 所以该游客至多游览一个景点的概率为，故A正确． ，故B正确． ，故C错误． 又， 所以，故D正确． 故选：C． 9．（2024高二·江苏连云港·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.64 q2 1－2q 则E(X)=（    ） A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8 【答案】A 【分析】由概率之和为1可求出的值，再根据分布列直接计算均值.. 【解析】由题可得，解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ； 所以可得分布列为 X 0 1 2 P 0.64 0.16 0.2 ， 故选：A. 10．（2024高二·江苏徐州·期中）设为正实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先由概率和为1，求出a，再求. 【解析】因为随机变量的分布列为， 所以，解得：a=3. 所以. 故选：C 11．（2024高二·全国月考）设随机变量的分布列为： 0 1 2 P 则的数学期望的最小值是(    ) A． B．0 C．2 D．随p的变化而变化 【答案】A 【分析】根据分布列和概率的性质求出p的范围，再求数学期望关于p的函数即可求其最小值. 【解析】由分布列的性质得，解得， ， ∴的最小值为. 故选：A. 考点3 离散型随机变量均值性质 12．（2019届浙江省高三学期4月高考模拟测试数学试题）已知随机变量的分布列是 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性质可求得结果. 【解析】由分布列的性质可得，得，所以，， 因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 13．（2024高二·河南商丘·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示 x 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 b 0.2 0.1 则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求出b的值，再利用期望定义求出，再进一步求出. 【解析】由题得， 所以 所以. 故选：A 14．（2024高二·河北保定月考）已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据均值的性质可得，则即为，解方程求得答案. 【解析】因为，所以， 解得或（舍去）, 故选：D 15．（2024高二·全国月考）若，是离散型随机变量，且，其中，为常数，则有.利用这个公式计算（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】由期望的运算性质直接求解即可. 【解析】是常数，. 故选：A. 16．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为： X 0 1 P a b 则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据期望的性质可求得，再根据期望公式及概率之和为1，列出方程组，解之即可得解. 【解析】解：因为， 所以， 则有， 解得. 故选：C. 考点4 由离散型随机变量的均值求参数 17．（2024高二·河北邯郸·期中）甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值． 【解析】随机变量可能的取值为2，3． ， ， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得或． 故选：D． 18．（2024高二·浙江宁波·期中）设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，若的均值 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将，2，3，4代入的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值. 【解析】依题意可的的分布列为： 1 2 3 4 依题意得 ，解得，， 故. 故选：A 19．（2024高二·浙江杭州·期中）某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X的分布列，根据数学期望的公式即可计算p的范围. 【解析】考试次数的所有可能取值为1，2，3， ，，， ∴， 即，解得或， 又，故． 故选：B. 20．（2024高二·辽宁铁岭·期中）设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（    ） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根数学期望的公式，结合概率的性质求解即可 【解析】由分布列的性质可得，，即①， ， ，即②， 联立①②解得，， 故． 故选：A． 21．（2024高二·北京·期中）某篮球运动员一次投篮得分的分布列为： 若他在一次投篮中得分的期望，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量数学期望求解公式可得，利用基本不等式可求得结果. 【解析】由题意得：， （当且仅当时取等号），. 即的最大值为. 故选：D. 22．（2024高三·全国月考）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可. 【解析】结合题意：， 因为，所以，解得：， 故选：A. 考点5 均值的实际应用 23．（2024高三·贵州贵阳月考）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”． 甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95； 乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113； 丙：92，102，97，105，89，94，92，97． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立． (1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率； (2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)甲同学“破百”的概率为，乙同学“破百”的概率为，丙同学“破百”的概率为 (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接计算得解； （2）写出的可能取值，计算对应的概率，根据期望公式求解即可. 【解析】（1）甲同学“破百”的概率为， 乙同学“破百”的概率为， 丙同学“破百”的概率为． （2）的可能取值为0，1，2，3，则： ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以，期望． 24．（2024·全国·模拟预测）2023年国庆节假期期间，某超市举行了购物抽奖赢手机活动．活动规则如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期间，消费金额（单位：元）不低于100元的顾客可以参与一次活动（假设每名顾客只消费一次），每5人一组，每人可以随机选取A或B两个字母，其中选取相同字母的人数较少者每人获得10元购物券，其他人获得抽取价值6999元手机的资格（例如5人中有2人选取A，则这2人每人获得10元购物券，另外3人获得抽取手机的资格；5人全部选取A，则这5人均获得抽取手机的资格），根据统计，在此活动期间，顾客在该超市消费金额的频率分布直方图如图所示． (1)从活动期间在该超市购物的顾客中随机选取2名，求这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率 (2)设每5人组获得购物券的人数为X． （ⅰ）求X的分布列与数学期望： （ⅰⅰ）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%，则每1000名顾客最多送出多少部手机？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析， （ⅱ）3 【分析】（1）根据古典概型计算公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）（ⅰ）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （ⅱ）根据频率分布直方图，通过计算平均数进行判断即可. 【解析】（1）由频率分布直方图可知，每名顾客获得抽奖资格的概率为． 参与抽奖的顾客获得10元购物券的概率为， 则每名顾客获得10元购物券的概率， 则这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率． （2）（ⅰ）的所有可能取值为0，1，2， ，，， 则的分布列为 0 1 2 则的数学期望． （ⅱ）由频率分布直方图可知，顾客消费金额的平均值（元）， 则1000名顾客的消费总金额为（元）． 设每1000名顾客最多送出部手机， 则， 又，所以，故每1000名顾客最多送出3部手机． 25．（2024高三·北京月考）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的取值集合为，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）计算出三个传感器判断无障碍的概率，比较大小后可得出结论. 【解析】（1）80个路段中，传感器1判断正确的路段有个． 设“传感器1对该路况判断正确”为事件，则. （2）80个路段中共有60个有障碍的路段．60个有障碍的路段中，传感器1判断正确的路段有40个， 错误的有个，传感器2判断正确的路段有45个，判断错误的路段有个 的取值集合为． ，， ， 故的分布列为 随机变量的数学期望 （3）可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于． 分析：共有20个无障碍地路段，传感器1判断无障碍的有15个， 由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器1判断无障碍的概率为． 传感2判断无障碍的有15个，由频率估计概率，故无障碍路段上， 估计传感器2判断无障碍的概率为． 若传感器3在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为1． 小汽车在无障碍的道路上减速的概率：． 故可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于． 26．（2024高一·北京月考）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 保单份数 已知：一份保单的保费为万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元. (1)从抽取的份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为抽取的份保单的毛利润平均值，求的值； （ii）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值与（i）中的大小. 【答案】(1) (2)（i）0.122；（ii） 【分析】（1）用频率估计概率，根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率； （2）（i）用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求毛利润平均值；（ii）先算出下一期保单的毛利润，结合（i）的结果可求． 【解析】（1）根据题中数据，在份保单中，索赔次数不少于2的保单份数为，故一份保单索赔次数不少于2的概率可估计为． （2）（i）由题设， 索赔次数 保单份数 毛利润(单位：万元) 所以． （ii）这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值大于（i）中的估计值. 如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加， 份保单毛利润变化为， . 因此. 27．（2024高三·江苏常州月考）已知某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的. (1)求甲任选一题并答对的概率； (2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用全概率公式即可求出题目答对的概率； （2）由题意可求出的每个值对应的概率，即得分布列，进而求得数学期望. 【解析】（1）记“甲任选一道题并答对”为事件，“甲知道答题涉及内容”为事件．   依题意，，，，．     因为事件与互斥，所以      ． （2）依题意，随机变量的可能取值为， 所以，， ，， ，；   所以的分布列： X 0 1 2 4 P 所以． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$