专题04 函数的单调性、极值及最值-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第二册）

专题04 函数的单调性、极值及最值 黄慧群高中数学辅导资料 专题04 函数的单调性、极值及最值 一、知识填空： 1．函数的单调性与导数的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b)上，如果 ，那么函数y＝ f(x)在区间(a,b)上单调递增；如果 ，那么函数y＝ f(x)在区间(a,b)上单调递减. （1）在某区间内f′(x)>0（f′(x)<0）是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件. （2）可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a,b)，都有f′(x)≥0（f′(x)≤0）且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零. 2．利用导数研究函数的极值 （1）极大值与极小值：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得 ，点称为函数的 ；在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得极小值，点称为函数的 ； （2）定理：设是函数的驻点． ①若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 ； ②若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 . 3．利用导数研究函数的最值 （1）在闭区间上的连续函数，函数的最大值和最小值 ； （2）在导数存在的前提下，对于闭区间上的连续函数，将极值点处的函数值与区间端点处的 进行比较，其中最大的就是 ，最小的就是 ． 自检自纠：1．f′(x)>0，f′(x)<0 2．（1）不大于，极大值，极大值点，不小于，极小值点 （2），，极大值，，，极小值 3． 一定存在，函数值，函数值，最大值，最小值 二、专题训练： 题组一：函数单调性与导数的关系 1．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（    ） A．函数在区间上是减函数 B．函数在区间上是减函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是单调函数 2．函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ） A．B． C．D． 4．已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（    ）   A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．曲线在处的切线的斜率为0 D．曲线在处的切线的斜率为4 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）   A．  B． C．  D．   6．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）   A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，>0 D．当时，=0 8．（多选）函数的图象如图所示，下列选项中正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．函数在定义域内是增函数 D．函数在定义域内的导数 9．函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则（   ）   A． B． C． D． 题组二：函数的单调区间及单调性判定 1．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．函数的单调递减区间为 ． 4．函数的单调递减区间为（    ）． A． B． C． D． 5．已知函数，则其单调增区间是（    ） A． B． C． D． 6．设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 7．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 8．函数（ ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递减，在上单调递增 9．已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（    ） A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞) 10．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 11．已知函数，则（    ） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增，在区间内单调递减 D．在区间内单调递减，在区间内单调递增 12．若函数在上单调递减，则称为函数．下列函数中为函数的是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）下列函数在定义域内是增函数的有（    ） A． B． C． D． 题组三：函数的极值及最值 1．函数有（    ） A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为 2．函数的极大值为 . 3．设函数，则（    ） A．在区间递减 B．在区间上递增 C．在点处有极大值 D．在区间上递减 4．函数在[－3，3]上的最大值、最小值分别是(    ) A．6，0 B．32，0 C．25，6 D．32，16 5．函数，的最大值是 A． B． C． D． 6．函数的值域为 ． 7．（多选）设函数，则（    ） A．有两个极大值点 B．有两个极小值点 C．是的极大值点 D．是的极小值点 8．（多选）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．为其定义域上的增函数 B．为偶函数 C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点 9．（多选）已知是的导函数，且，则（    ） A． B． C．的图象在处的切线的斜率为0 D．在上的最小值为 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D．和 2．若函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数 C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点 5．函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 6．函数在上的最大值和最小值分别是（　 　） A．12， B．5， C．5， D．12， 7．函数的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 8．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．如图是函数的导函数的图象，则（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 10．函数的极值点是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的极小值点为 C．函数无极大值 D．函数在上的最大值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知函数,则函数的单调减区间为 . 13．函数的单调减区间为 ． 14．函数的单调减区间为 . 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04 函数的单调性、极值及最值 黄慧群高中数学辅导资料 专题04 函数的单调性、极值及最值 一、知识填空： 1．函数的单调性与导数的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b)上，如果 ，那么函数y＝ f(x)在区间(a,b)上单调递增；如果 ，那么函数y＝ f(x)在区间(a,b)上单调递减. （1）在某区间内f′(x)>0（f′(x)<0）是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件. （2）可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a,b)，都有f′(x)≥0（f′(x)≤0）且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零. 2．利用导数研究函数的极值 （1）极大值与极小值：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得 ，点称为函数的 ；在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得极小值，点称为函数的 ； （2）定理：设是函数的驻点． ①若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 ； ②若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 . 3．利用导数研究函数的最值 （1）在闭区间上的连续函数，函数的最大值和最小值 ； （2）在导数存在的前提下，对于闭区间上的连续函数，将极值点处的函数值与区间端点处的 进行比较，其中最大的就是 ，最小的就是 ． 自检自纠：1．f′(x)>0，f′(x)<0 2．（1）不大于，极大值，极大值点，不小于，极小值点 （2），，极大值，，，极小值 3． 一定存在，函数值，函数值，最大值，最小值 二、专题训练： 题组一：函数单调性与导数的关系 1．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（    ） A．函数在区间上是减函数 B．函数在区间上是减函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是单调函数 【答案】A 【详解】由函数的导函数的图像知， A：时，，函数单调递减，故A正确； B：时，或，所以函数先单调递减，再单调递增，故B错误； C：时，，函数单调递增，故C错误； D：时，或，所以函数先减再增，不是单调函数，故D错误. 故选：A 2．函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象可知，当，，时，，当时，，函数在上单调递减，在，，上单调递增，函数的一个单调递减区间是.故选：B． 3．已知为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【详解】导数正负决定函数的增减，根据导数先正，后负，后正，所以函数图像先增后减再增，应从B，C中选取，再根据导数的几何意义是切线斜率，所以当是很大的正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大，所以应选B，不选C.故选：B. 4．已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（    ）   A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．曲线在处的切线的斜率为0 D．曲线在处的切线的斜率为4 【答案】BD 【详解】由导函数的图象可知当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，A错误；由图象可知当时，，在上单调递增，B正确；由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4，C错误，D正确，故选：BD 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）   A．  B． C．  D．   【答案】B 【详解】从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，当时最大，所以函数的图象的变化率也先增大后减小，在时变化率最大，选项B符合，A中在时变化率最小，故错误；C中变化率是越来越大的，故错误；D中变化率是越来越小的，故错误．故选：B． 6．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；故选：C． 7．已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）   A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，>0 D．当时，=0 【答案】C 【详解】由图像可知函数的增区间为，减区间为，故AB正确；由单调性可知，函数在处取得极值，所以，D正确；当时，函数单调递减，所以，C错误.故选：C 8．（多选）函数的图象如图所示，下列选项中正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．函数在定义域内是增函数 D．函数在定义域内的导数 【答案】AB 【详解】由图象可知，函数的定义域为，值域为，故A，B正确；函数在定义域内两段上分别是单调递增，但整个定义域内不是增函数.选项C，D都不正确.故选：AB. 9．函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数图象与导函数大小的关系可知：当时，，当时，，故当时，； 当时，；当时，，故的解集为. 故选：A 10．已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则（   ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别表示曲线在处切线的斜率， 结合图象可知，当时，是一个大于0的常数，时，小于0且随着x的增大而减小，所以．故选：B. 题组二：函数的单调区间及单调性判定 1．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，由得，解得，因此函数的单调增区间是.故选：C. 2．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【详解】由题知，，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，函数无单调减区间，故选：D. 3．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】，由，即，解得，所以f(x)=(x2+2x)ex的单调递减区间为．故答案为： 4．函数的单调递减区间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域是，，所以在区间单调递减.故选：D 5．已知函数，则其单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，函数定义域为，求导，令，得或（舍去）,所以单调增区间是.故选：A. 6．设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，求导得，由，即，解得或，所以函数的单调减区间为和.故选：C 7．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，， 由得，所以的单调减区间为.故选：D. 8．函数（ ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递减，在上单调递增 【答案】A 【详解】∵,∴，∴在上单调递增.故A正确,BCD不正确.故选：A 9．已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（    ） A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞) 【答案】A 【详解】由题设，则，可得，而，则，所以，即，则且递增，当时，即递减，故递减区间为(-,0).故选：A 10．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 【答案】A 【详解】因为在定义域上，，所以在上是增函数，所以有，故选A. 11．已知函数，则（    ） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增，在区间内单调递减 D．在区间内单调递减，在区间内单调递增 【答案】B 【详解】由题意，，当时，，则，所以在区间上单调递减．故选B. 12．若函数在上单调递减，则称为函数．下列函数中为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，则，在上，即递增，不是函数；B：，则，在上，即递减，在上，即递增，不是函数；C：，则，在上，即递减，在上，即递增，不是函数；D：，则，在上，即递减，是函数.故选：D 13．（多选）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，令可得，所以函数的单调增区间为：，故选：CD. 14．（多选）下列函数在定义域内是增函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为所以单调递增，又因为为奇函数，所以在上单调递增，故选项正确；当时，，在单调递增，当时，在 单调递增，但 ，所以在上不是单调递增函数，故选项不正确.在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故选项正确.恒成立，所以在单调递增，故选项正确； 故选：ACD 题组三：函数的极值及最值 1．函数有（    ） A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为 【答案】A 【详解】,由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时，取得极大值，无极小值.故选：A 2．函数的极大值为 . 【答案】 【详解】令，则.所以当时，；当时，.所以当时，函数有极大值为.故答案为：. 3．设函数，则（    ） A．在区间递减 B．在区间上递增 C．在点处有极大值 D．在区间上递减 【答案】A 【详解】，令，解得，令，解得，所以函数在单调递减，单调递增，所以在区间递减，A正确；在区间递减，B错误；在点处有极小值，C错误；在区间递增，D错误；故选:A. 4．函数在[－3，3]上的最大值、最小值分别是(    ) A．6，0 B．32，0 C．25，6 D．32，16 【答案】B 【详解】函数y求导得：，∴在上，，函数y单调递增； 在上，，函数y单调递减；在上，，函数y单调递增．又时，时，时，时，∴函数y在[－3，3]上的最大值为32，最小值为0．故选：B． 5．函数，的最大值是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，易得当时，恒成立，所以在闭区间内单调递减，故当时，取最大值，即，故选A． 6．函数的值域为 ． 【答案】[2,+∞） 【详解】的定义域为，,令得：,令得：.所以函数在上单调递减,在上单调递增.所以时，函数取得极小值，也是最小值, 即.所以此函数值域为.故答案为： 7．（多选）设函数，则（    ） A．有两个极大值点 B．有两个极小值点 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】根据题意，可得，于是 x 1 0 0 0 极小值 极大值 极小值 因此函数有2个极小值点，以及1个极大值点．故选：BC 8．（多选）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．为其定义域上的增函数 B．为偶函数 C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点 【答案】B 【详解】由题意，的定义域为，则，所以为上的增函数，故A正确；，所以为奇函数，B错误；因为当时，解得， 此时，所以斜率为0的切线为，当时，的在原点的切线方程为，所以C正确；为上的增函数，，所以有唯一的零点，D正确.故选：B 9．（多选）已知是的导函数，且，则（    ） A． B． C．的图象在处的切线的斜率为0 D．在上的最小值为 【答案】BCD 【详解】，， 对于B：令，则，故B正确； 对于A：，，，故A错误； 对于C：的图象在处的切线的斜率为，故C正确； 对于D：，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】B 【详解】函数的定义域为，且.由，可得，解得.所以，函数的单调递增区间为.故选：B. 2．若函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，定义域为，，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C. 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数的定义域为，则，令，解得， 所以，函数的单调递增区间为.故选：C. 4．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数 C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点 【答案】D 【详解】对于A，在区间，，故A不正确；对于B，在区间，，故B不正确；对于C、D，由图可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，所以为函数的极大值点，故C不正确，D正确.故选：D 5．函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 【答案】A 【详解】∵，∴在上恒成立，∴在上是增函数．故选：A 6．函数在上的最大值和最小值分别是（　 　） A．12， B．5， C．5， D．12， 【答案】C 【详解】由求导得：，令可解得：或，因，故，由可解得：，由可解得：，故函数在区间上单调递增，在上单调递减，故当时，函数；又，故当时，函数. 即函数在上的最大值和最小值分别是.故选:C． 7．函数的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】，令，因为，解得或，所以可得函数在和上单调递减，在上单调递增．因为，所以函数的最小值为．故选：A． 8．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，且，所以为偶函数，又，令，则， 所以（）在定义域上单调递增，又，所以当时，所以在上单调递增，因为，所以，又，所以.故选D. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．如图是函数的导函数的图象，则（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 【答案】BCD 【详解】由图可知当时，当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.故选：BCD 10．函数的极值点是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意，，所以，令，得，即，即，解得或或，所以当或时，； 当或时，，所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，所以与为极小值点，为极大值点，综上，函数的极值点为或或．故选：ABC． 11．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的极小值点为 C．函数无极大值 D．函数在上的最大值为 【答案】BCD 【详解】因为，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以A错误，B正确，C正确；在上递减，在上递增，，，所以函数在上的最大值为，D正确.故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知函数,则函数的单调减区间为 . 【答案】 【详解】求导，令，得到，∴函数的单调减区间为.故答案为 13．函数的单调减区间为 ． 【答案】 【详解】∵，则,令，则,∴函数的单调减区间为.故答案为：. 14．函数的单调减区间为 . 【答案】 【详解】由题意得，令，解得，所以单调递减区间为，故答案为： 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$