专题01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理7考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理7考点复习指南 知识点01：分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 知识点02：分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 知识点03：两个计数原理的联系与区别 联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事. ②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 考点1 分类加法计数原理的应用 1．（2024高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（    ） A．6种 B．10种 C．4种 D．60种 2．（2024高二·黑龙江大庆·期中）完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二·重庆月考）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 4．（2024高二·全国月考）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有 种不同的选法． 5．（2024高二·全国月考）如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，只关闭一个开关，使电灯发光的方法种数是 ． 考点2 分步乘法计数原理的应用 6．（2024高二·湖南长沙月考）用这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．48 7．（2024高二·山东月考）甲同学计划从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（    ） A．81种 B．64种 C．12种 D．7种 8．（2024高二·河南·期中）把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（    ）种方法. A．81 B．64 C．12 D．7 9．（2024高二·全国·单元测试）某小组有名男生，名女生，从中任选男生和女生各名去参加座谈会，则不同的选法有（    ） A．48种 B．24种 C．14种 D．12种 10．（2024高二·江苏月考）在图中的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？    考点3 代数中的计数问题 11．（2024高二·全国·单元测试）如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（    ） A．50 B．51 C．52 D．53 12．（2024高二·重庆·期末）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ） A．900个 B．891个 C．810个 D．648个 13．（2024高二·全国月考）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（    ） A．64 B．56 C．53 D．51 14．（2024高二·陕西·期中）对于自然数作竖式运算时不进位，那么称是“良数”，如32是“良数”，由于计算时不进位，23不是“良数”，由于计算时要进位，那么小于1000的“良数”有（   ） A．36个 B．39个 C．48个 D．64个 15．（2024高二·山东聊城·期末）数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为 . 16．（2024高二·北京朝阳·期中）世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在年和年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．如今，哥德巴赫猜想仍未解决．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有 种． 考点4 几何计数问题 17．（2024·江苏）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（    ）. A．20种 B．16种 C．12种 D．8种 18．（2024·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 19．（2024高二·全国月考）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（    ）. A．105种 B．225种 C．315种 D．420种 考点5 数字排列问题 20．（2024高二·江苏扬州·期中）用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 21．（2024高二·江苏宿迁·期中）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（    ）． A．42个 B．48个 C．54个 D．120个 22．（2024高二·江苏淮安月考）自然数是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把叫做“集中数”.那么，大于600的“集中数”的个数是（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 23．（2024高二·天津武清·期中）如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（    ） A．20 B．21 C．25 D．26 24．（2024高二·全国月考）用0，1，2，3，…，9十个数字可能组成多少个不同的 (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且没有重复数字的自然数？ 考点6 涂色问题 25．（2024·山西忻州·模拟预测）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．120种 B．240种 C．420种 D．720种 26．（2024高三·重庆月考）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 27．（2024高二·全国月考）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．64种 C．96种 D．144种 28．（2024高二·山东月考）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（    ） A．48种 B．72种 C．64种 D．256种 29．（2024高二·全国月考）用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？ 1 2 3 4 30．（2024高二·江苏宿迁·期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ）    A．240 B．360 C．480 D．600 31．（2024高二·全国月考）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（    ）    A．240 B．300 C．420 D．480 32．（2024高三·江西月考）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ）    A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种 考点7 两个计数原理的综合应用 33．（2024高二·山东菏泽月考）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球． (1)至少有一个白球的取法有多少种？ (2)两球的颜色相同的取法有多少种？ 34．（2024高二·上海月考）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过一次，有多少种不同的走法？    35．（2024高二·全国月考）某校数学课外活动小组有高一学生人，高二学生人，高三学生人． (1)选其中人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每一年级各选名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选出其中人去外校参观学习，要求这人来自不同年级，有多少种不同的选法？ 36．（2024高二·陕西西安·期中）用、、、、、这六个数字. (1)可以组成多少个数字不重复的三位数； (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数； (3)可以组成多少个数字不重复的小于的自然数. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理7考点复习指南 知识点01：分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 知识点02：分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 知识点03：两个计数原理的联系与区别 联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事. ②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 考点1 分类加法计数原理的应用 1．（2024高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（    ） A．6种 B．10种 C．4种 D．60种 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理求解即可. 【解析】根据分类加法计数原理，6+4=10. 故选：B. 2．（2024高二·黑龙江大庆·期中）完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分类加法计数原理直接求解即可. 【解析】由分类加法计数原理得：. 故选：A. 3．（2024高二·重庆月考）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 【答案】A 【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案. 【解析】依题意，不同的选法共有种. 故选：A 4．（2024高二·全国月考）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有 种不同的选法． 【答案】24 【分析】利用分类加法计算原理即可得解. 【解析】第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法； 第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法； 第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法； 由分类加法计数原理可得，共有种不同的选法． 故答案为：24. 5．（2024高二·全国月考）如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，只关闭一个开关，使电灯发光的方法种数是 ． 【答案】5 【分析】由分类计数加法原理可得. 【解析】在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键， 应用分类加法计数原理，共有2＋3＝5种接通电源使电灯发光的方法． 故答案为：5. 考点2 分步乘法计数原理的应用 6．（2024高二·湖南长沙月考）用这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．48 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【解析】由题意可知，首位数字有4种选择，则中间的数位有4种选择，末尾数字有3种选择. 由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位数的个数. 故选:. 7．（2024高二·山东月考）甲同学计划从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（    ） A．81种 B．64种 C．12种 D．7种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【解析】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种. 故选：C 8．（2024高二·河南·期中）把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（    ）种方法. A．81 B．64 C．12 D．7 【答案】B 【分析】分析每一个小球的放法，根据分步计数原理求解. 【解析】对于第一个小球有4种不同的放法， 第二个小球也有4种不同的放法， 第三个小球也有4种不同的放法， 即每个小球都有4种可能的放法， 根据分步计数原理知不同放法共有（种）. 故选：B. 9．（2024高二·全国·单元测试）某小组有名男生，名女生，从中任选男生和女生各名去参加座谈会，则不同的选法有（    ） A．48种 B．24种 C．14种 D．12种 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【解析】按照男生和女生分步完成，第一步：先选男生有种方法； 第二步：选女生有种方法； 完成这个事件的选法有种. 故选：A 10．（2024高二·江苏月考）在图中的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？    【答案】6 【分析】用分步计数原理计算即得答案. 【解析】在图中，按要求接通电路必须分两步进行： 第一步，合上A中的1只开关； 第二步，合上B中的1只开关.根据分步计数原理， 所以共有种不同的方法. 答：在图中的电路中，仅合上2只开关接通电 路，有6种不同的方法． 考点3 代数中的计数问题 11．（2024高二·全国·单元测试）如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（    ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】B 【分析】2013是四位数，故“好数”按四位数，按三大类分首位为0、1、2每一类再分，然后把数量相加即可． 【解析】解：本题可以把数归为“四位数”(含0006等)， 因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数， 第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数； 第二类可分为：10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数， 第二类可分为：2 004，共1个 故2 013为第28+21+1+1=51个数，故n＝51. 故选：B. 12．（2024高二·重庆·期末）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ） A．900个 B．891个 C．810个 D．648个 【答案】B 【分析】先求得所有6位 “回文数”的个数，再求得6位 “回文数”中各位数字全相同的个数，进而得到所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的个数. 【解析】6位 “回文数”中个位与十万位数字相同且不为0， 十位与万位数字相同，百位与千位数字相同， 第一步，确定个位与十万位数字，有9种可能， 第二步，确定十位与万位数字，有10种可能， 第三步，确定百位与千位数字，有10种可能， 则6位 “回文数”共有（个）， 又6位 “回文数”中各位数字全相同的共有9个， 则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（个）. 故选：B 13．（2024高二·全国月考）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（    ） A．64 B．56 C．53 D．51 【答案】C 【分析】按所取的两个数字中有数字1和没有数字1分别计算对数值的个数，再去掉对数值相等的个数即可得解. 【解析】由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0， 从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成个对数式， 其中，，，，，重复了4次， 所以得到不同对数值的个数为. 故选：C 14．（2024高二·陕西·期中）对于自然数作竖式运算时不进位，那么称是“良数”，如32是“良数”，由于计算时不进位，23不是“良数”，由于计算时要进位，那么小于1000的“良数”有（   ） A．36个 B．39个 C．48个 D．64个 【答案】C 【解析】如果 是良数，则的个位数字只能是 ，非个位数字只能是（首位不为 ），而小于 的数至多三位，一位的良数有 ，共 个，二位良数个位可取，十位可取，共有 个，三位良数个位可取，十位可取，百位可取，共有 ，综上，小于“良数”的个数为 个，故选C. 【方法点睛】本题考查分类技术加法原理分步计数乘法原理及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“良数”达到考查两计数原理的目的. 15．（2024高二·山东聊城·期末）数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为 . 【答案】12 【分析】讨论百位数为6、5、4、3、2、1分别列举出符合要求的“吉祥数”，即可得结果. 【解析】当百位为6，符合要求的“吉祥数”有600； 当百位为5，符合要求的“吉祥数”有510； 当百位为4，符合要求的“吉祥数”有420、402； 当百位为3，符合要求的“吉祥数”有330、312； 当百位为2，符合要求的“吉祥数”有240、204、222； 当百位为1，符合要求的“吉祥数”有150、114、132； 综上，共有12个“吉祥数”. 故答案为：12 16．（2024高二·北京朝阳·期中）世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在年和年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．如今，哥德巴赫猜想仍未解决．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有 种． 【答案】 【分析】列举出不超过的质数，分析可知必取，然后在剩余个奇数中任选一个即可，即可得出不同的选法种数. 【解析】不超过的质数有：、、、、、、，共个， 在这个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则必取， 然后在剩余个奇数中任选一个即可， 所以，不同的取法种数为种. 故答案为：. 考点4 几何计数问题 17．（2024·江苏）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（    ）. A．20种 B．16种 C．12种 D．8种 【答案】C 【分析】正方体共有条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有个 共有组，再考虑重复情况得到答案. 【解析】正方体共有条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有个 共有组，每组中包含两条棱，故有 故选： 【点睛】本题考查了计数问题，意在考查学生的空间想象能力. 18．（2024·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【解析】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 19．（2024高二·全国月考）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（    ）. A．105种 B．225种 C．315种 D．420种 【答案】C 【分析】首先选取一个点作为钝角顶点，并该点与圆心连线将其余14个顶点分成左右各7个：在左侧选取一个点作为第二顶点，依次选取右侧7个点作为第三顶点判断三角形形状，依此步骤即可得当前钝角顶点下的钝角三角形个数，最后乘以15即可得结果. 【解析】如图所示，以A为钝角顶点，在直径的左边取点，右边依次取，得到6个钝角三角形，当取时，△为锐角三角形； 同理，直径的左边取点，右边依次取，得到5个钝角三角形，当取，时，△、△为锐角三角形； …… 在直径的左边取点时，得到一个钝角△， 在直径的左边取点时，没有钝角三角形. 故以A为钝角顶点的三角形共有（个）. 以其余14个点为钝角顶点的三角形也各有21个， 所以总共有（个）钝角三角形. 故选：C 考点5 数字排列问题 20．（2024高二·江苏扬州·期中）用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据特殊位置优先安排的原则，结合乘法计数原理即可求解. 【解析】先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由种选择， 根据分步乘法计数原理可得共有个不重复的三位偶数， 故选：D 21．（2024高二·江苏宿迁·期中）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（    ）． A．42个 B．48个 C．54个 D．120个 【答案】A 【分析】分为五位数的个位数是,五位数的个位数是两类，依据两个计数原理求解. 【解析】若五位数的个位数是，则有种情形； 若五位数的个位数是，由于不排首位， 因此只有有种情形，中间的三个位置有种情形， 依据分步计数原理，可得种情形． 由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为. 故选：A． 22．（2024高二·江苏淮安月考）自然数是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把叫做“集中数”.那么，大于600的“集中数”的个数是（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】根据已知条件，一一列举即可. 【解析】当百位为6时，十位可以为5，6，7，当十位为5时，个位可以为4，5，6； 当十位为6时，个位可以为5，6，7；当十位为7时，个位可以为7，8，9； 共9个； 当百位为7时，十位可以为6，7，8，当十位为6时，个位可以为5，6，7； 当十位为7时，个位可以为6，7，8；当十位为8时，个位可以为7，8，9； 共9个； 当百位为8时，十位可以为7，8，9，当十位为7时，个位可以为6，7，8； 当十位为8时，个位可以为7，8，9；当十位为9时，个位可以为8，9； 共8个； 当百位为9时，十位可以为8，9，当十位为8时，个位可以为7，8，9； 当十位为9时，个位可以为8，9；共5个； 综上，总共9+9+8+5=31个，故A，C，D错误. 故选：B. 23．（2024高二·天津武清·期中）如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（    ） A．20 B．21 C．25 D．26 【答案】B 【分析】由分类计数加法原理和分布计数乘法原理，分别讨论十位是0，1，2，3，再确定百位和十位的可能情况即可． 【解析】当十位是时，百位可选，个位可选和，共个， 当十位是时，百位可选和，个位可选，和2，共个， 当十位是时，百位可选，和，个位可选，和，共个， 当十位是时，百位可选和，个位可选和，共个， 综上所述，共个， 故选：B． 24．（2024高二·全国月考）用0，1，2，3，…，9十个数字可能组成多少个不同的 (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且没有重复数字的自然数？ 【答案】(1)900（个） (2)648（个） (3)379（个） 【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案； （3）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析一位数，两位数与三位数满足条件的数字计算出正确答案. 【解析】（1）由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法， 十位与个位上的数字均有10种选法， 所以不同的三位数共有（个）； （2）百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法， 个位数字应从剩余8个数字中选取， 所以共有（个）无重复数字的三位数； （3）一位自然数有10（个）， 二位自然数有（个）， 小于500的三位自然数有（个）． 所以共有（个）小于500且无重复数字的自然数． 考点6 涂色问题 25．（2024·山西忻州·模拟预测）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．120种 B．240种 C．420种 D．720种 【答案】C 【分析】先对图中不同的区域命名，再运用分步计数和分类计数的方法从中央开始计数即可. 【解析】如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植， 若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择， 不同的布置方案有种； 故选：C. 26．（2024高三·重庆月考）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 【答案】A 【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解． 【解析】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择， ① 当,颜色相同时涂色方法数是：， ② 当,颜色不相同时涂色方法数是：， 满足题意的涂色方法总数是：． 故选：A． 27．（2024高二·全国月考）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．64种 C．96种 D．144种 【答案】C 【分析】先给中间涂色，再给外边每个涂色，利用分步乘法计算原理求解即可. 【解析】根据题意，假设正五角星的区域为，，，，，，如图所示， 先对区域涂色，有3种方法，再对，，，，这5个区域进行涂色， 因为，，，，这5个区域都与相邻，所以每个区域都有2种涂色方法， 所以共有种涂色方法． 故选：C. 28．（2024高二·山东月考）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（    ） A．48种 B．72种 C．64种 D．256种 【答案】A 【分析】利用分步乘法原理求解即可 【解析】从A开始摆放花卉，A有4种颜色花卉摆放方法， C有3种颜色花卉摆放方法，B有2种颜色花卉摆放方法； 由D区与A，B花卉颜色不一样，与C区花卉颜色可以同色也可以不同色， 则D有2种颜色花卉摆放方法. 故共有种绿化方案. 故选：A 29．（2024高二·全国月考）用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？ 1 2 3 4 【答案】260 【分析】利用分类加法计数原理把问题分成1号区域与4号区域同色，1号区域与4号区域不同色两种情况分析，每种情况用分步乘法计数原理求解，即可得出结果. 【解析】解：第一类，1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成， 第一步，涂1号区域和4号区域，有5种涂法； 第二步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有4种涂法； 第三步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有4种涂法. 由分步乘法计数原理知，有5×4×4=80种涂法. 第二类，1号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成， 第一步，涂1号区域，有5种涂法； 第二步，涂4号区域，只要不与1号区域同色即可，因此有4种涂法； 第三步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有3种涂法； 第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法. 由分步乘法计数原理知，有5×4×3×3=180种涂法. 依据分类加法计数原理知，不同涂色的方法种数为80+180=260. 30．（2024高二·江苏宿迁·期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ）    A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解. 【解析】将区域标号，如下图所示：    因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法； 若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法. 故选：C. 31．（2024高二·全国月考）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（    ）    A．240 B．300 C．420 D．480 【答案】C 【分析】以S→A→B→C→D的顺序分步染色,用分步乘法计数原理,同时注意根据同色与不同色用分类计算． 【解析】以S→A→B→C→D的顺序分步染色． 第1步，对S点染色，有5种方法． 第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法． 第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法． 第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类．当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法． 由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种． 故选：C． 32．（2024高三·江西月考）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ）    A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种 【答案】C 【分析】由题意可得，只需确定区域的颜色，先涂区域1，再涂区域2，再分区域3与区域1涂的颜色不同、区域3与区域1涂的颜色相同，最后根据分步乘法原理即可求解. 【解析】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定整个伞面的涂色. 先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择. 当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择. 当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择. 故不同的涂色方案有种. 故选：C 考点7 两个计数原理的综合应用 33．（2024高二·山东菏泽月考）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球． (1)至少有一个白球的取法有多少种？ (2)两球的颜色相同的取法有多少种？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解； （2）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解； 【解析】（1）根据题意分2类完成任务： 第一类：白球红球各一个有种，第二类：均为白球，种， 所以共有种； （2）根据题意分2类完成任务： 第一类：均为白球，种，第二类：均为红球，种， 所以共有种． 34．（2024高二·上海月考）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过一次，有多少种不同的走法？    【答案】种 【分析】根据分类加法原理以及分步乘法原理得出结果即可. 【解析】从甲地到丁地的走法可以分成两类： 第一类：从甲地经由乙地到丁地．这类走法可以分成两个步骤：先从甲地到乙地，有2种走法；再从乙地到丁地，有3种走法．根据乘法原理，这一类走法的种数为． 第二类：从甲地经由丙地到丁地．这类走法可以分成两个步骤：先从甲地到丙地，有4种走法；再从丙地到丁地，有2种走法．根据乘法原理，这一类走法的种数为． 根据加法原理，从甲地到丁地共有种不同的走法． 35．（2024高二·全国月考）某校数学课外活动小组有高一学生人，高二学生人，高三学生人． (1)选其中人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每一年级各选名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选出其中人去外校参观学习，要求这人来自不同年级，有多少种不同的选法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分类加法计数原理求得正确答案. （2）根据分步乘法计数原理求得正确答案. （3）结合两个计数原理求得正确答案. 【解析】（1）若从高一学生中选，则有种不同的选法； 若从高二学生中选，则有种不同的选法； 若从高三学生中选，则有种不同的选法； 所以由分类加法计数原理知，共有种不同的选法． （2）三个年级分别有种，种，种不同选法， 由分步乘法计数原理知，共有种不同选法． （3）选法可分三类：一类是人选自高一，人选自高二，有种选法； 第二类是人选自高一，人选自高三，有种选法； 第三类是人选自高二，人选自高三，有种选法， 所以共有种不同选法． 36．（2024高二·陕西西安·期中）用、、、、、这六个数字. (1)可以组成多少个数字不重复的三位数； (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数； (3)可以组成多少个数字不重复的小于的自然数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果； （2）分析可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）分三种情况讨论：个位数、两位数、三位数，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理可得结果. 【解析】（1）解：若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以，数字不重复的三位数个数为. （2）解：若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以，数字允许重复的三位数的个数为个. （3）解：若组成的数字为数字不重复的小于的自然数，分以下三种讨论： ①数字为个位数，共个； ②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个； ③数字为三位数，共有个. 综上所述，数字不重复的小于的自然数个数为个. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$