6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 第 6 章 平面向量及其应用 学习目标 掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． 能用坐标表示平面向量垂直的条件． 目录 CATALOG 01.平面向量数量积的坐标表示 03.题型强化训练 02.向量的模和夹角的坐标表示 04.小结及随堂练习 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 01 平面向量数量积的坐标表示 复习旧知 如图， 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量， 对于平面内的任一个向量 ，由平面向量基本定理可知，则有且只有一对实数x，y，使得： 我们把有序数对(x，y)叫做向量 的坐标，记作： 复习旧知 平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： 学习新知 探究 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 已知a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),怎样用a,b的坐标表示a·b呢？ 学习新知 (1)若 ，则 ，或 . (2)设 ，则 两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 那么: 注意区别： 学习新知 (2)设 ，则 这就是平面内两点间的距离公式. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 那么: 学习新知 例10：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC是什么形状？ 证明你的猜想. 解： 所以△ABC是直角三角形． 向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一 学习新知 例10：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC是什么形状？ 证明你的猜想. 勾股定理逆定理是判断两条直线是否垂直的重要方法之一 解： 所以△ABC是直角三角形． 学习新知 学习新知 补充例题 直角没有指明，需要分类讨论. 分析 02 向量的模和夹角的坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学习新知 思考： 已知a,b都是非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a,b的坐标表示a与b的夹角θ呢？ 特殊情形： 学习新知 例11： 解： 学习新知 学习新知 学习新知 例12： 证明： O A B y x (1) O A B y x (2) 学习新知 运用向量工具进行探索，过程多么简洁啊 ！ 学习新知 学习新知 学习新知 03 题型强化训练 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 能力提升 题型一：平面向量数量积的坐标运算 能力提升 题型一：平面向量数量积的坐标运算 能力提升 题型二：平面向量的模 能力提升 题型二：平面向量的模 能力提升 题型二：平面向量的模 能力提升 题型三：平面向量的夹角、垂直问题 能力提升 题型三：平面向量的夹角、垂直问题 能力提升 题型三：平面向量的夹角、垂直问题 04 小结及随堂练习 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课堂总结1 课堂总结1 课堂总结2 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则: 两点间的距离公式:已知 课堂总结3 作业 教材第 36 页练习第 1,2,3 题. 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 练习(第36页) 练习(第36页) 练习(第36页) 习题6.3(第36页) A B C D E 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) A B C D E F G 习题6.3(第36页) A B C D E F G 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) O P x y 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 柯西（Cauchy）不等式 习题6.3(第36页) THANKS 感谢您的聆听 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 【变式】在四边形 中， ，则四边形 的 面积为（    ） A． B． C．30 D．15 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及坐标求模，再列式 求出四边形面积. 【详解】在四边形 中, , ， 即 ，又 ， 所以四边形 的面积 . 故选：D 【变式】 为平面向量,已知 ,则 夹角的余弦值等于( ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】由平面向量夹角公式的坐标运算即可得到答案. 【详解】设 向量的夹角为θ，则 . 故选：A. 【反思感悟】解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【变式】已知O为坐标原点,点 , , , ,则 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、 差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据数量积的坐标运算逐一求解，即可求解. 【详解】由题意可得 , ， , , 【变式】已知O为坐标原点,点 , , , ,则 ( ) A． B． C． D． 故 , , EMBED Equation.DSMT4 , 因此 EMBED Equation.DSMT4 ，故选：A 【反思感悟】　 (1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题． 【练习1】已知向量 ，若 ，则 （    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】利用向量垂直关系可得向量积为0,然后用向量的坐标运算即可求得结果. 【详解】 , , 由 得： ， 则 ，所以 ，故选：B. 【反思感悟】平面向量数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质． 解题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． 【练习2】已知 , ,则 （    ） A． B．1 C． D． 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量模的坐标表示、已知 模求数量积 【分析】根据 ，利用 求出 ， 根据 即可求解. 【练习2】已知 , ,则 （    ） A． B．1 C． D． 【详解】∵ ，所以 ， 由 ，所以 . 故选：B. 【反思感悟】求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ eq \r(x2＋y2) .　 (3)此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【练习3】已知 =（1，2）， =（-2，4）， (1) //( + )，求 . (2) ⊥ ，求 与 夹角的余弦值 【详解】(1)由 =（1，2）， =（-2，4）， 可得 + ， , 故由 //( + )，可得 ，解得 ； 故 ，则 ； 【练习3】已知 =（1，2）， =（-2，4）， (1) //( + )，求 . (2) ⊥ ，求 与 夹角的余弦值 【详解】(2)由 ⊥ 可得： ，则 ， 故 ， ， ， ， 故 . 【反思感悟】利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； (2)利用|a|＝ eq \r(x2＋y2) 计算出这两个向量的模； (3)由公式cos θ＝2),\s\do1(1)) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) )·\r(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) )) 直接求出cos θ 的值； (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.　 1. 知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. 若 a与b的夹角为 ,则 ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. ,或 (4)若a,b为非零向量，则 【点拨】公式 与 都是用来求两向量的数量积 的x没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导. 若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式 求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式 求解. 2．平面向量的模． 3．平面向量的夹角、垂直问题． 4．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错． $$