16 2023年莱州市诊断性测试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ９１— — ９２— — ９３— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） １．｜－５｜的值为 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ．－ １ ５ Ｂ．－５ Ｃ． １ ５ Ｄ．５ ２．不等式ｘ≤１在数轴上表示为 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一个相同的正方体，使主视图和 左视图都不变，第五个正方体摆放的位置有 （　　） Ａ．４处 Ｂ．３处 Ｃ．２处 Ｄ．１处 ４．中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中，既是轴对称图形又是中心对称 图形的是 （　　） Ａ 　　　　　 Ｂ 　　　　　 Ｃ 　　　　　 Ｄ ５．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ｘ３＋ｘ３＝ｘ６ Ｂ．（２ｘ）３＝６ｘ３ Ｃ．２ｘ２·３ｘ＝６ｘ３ Ｄ．（２ａ－２ｂ）２＝４ａ２－４ｂ２ ６．“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极 思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）。如图，在正方形ＡＢＣＤ的内切 圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概 率为 （　　） Ａ． １ ４ Ｂ． １ ２ Ｃ．π ８ Ｄ．π ４ ７．下列说法正确的是 （　　） Ａ．用计算器进行计算时，其按键顺序如下：（－） ２ ｓｉｎ ３ ０ ＋ ２ｎｄＦ 槡　 （ １ ａｂ／ｃ ８ ） ＝ ，则输出的结果为１ Ｂ．计算器上先输入某数，再依次按键 － １ ＝ ２ｎｄＦ ｘ２ － １ ＝ ，显示的结果 为－０．７５，则原来输入的某数为５ Ｃ．用计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：ＭＯＤＥ ２ ２ ＤＡＴＡ ３ ＤＡＴＡ ３ ＤＡＴＡ ６ ＤＡＴＡ ｘ ＝ ，则输出的结果为３．４ Ｄ．用计算器进行计算，在输入数据过程中，如果发现刚输入的数据有错误，可按键 ＯＮ／Ｃ清除最后一 步，再重新输入正确数据 ８．据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达６８０００００００元，这个数用科学记数法 表示正确的是 （　　） Ａ．６．８×１０９ Ｂ．６．８×１０８ Ｃ．６８×１０７ Ｄ．０．６８×１０９ ９．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，与ｘ轴正半轴交于（１，０），对称轴为直线ｘ＝－１，以下结论正 确的个数为 （　　） ①ａｂｃ＜０；②２ａ＋ｃ＜０；③９ａ－３ｂ＋ｃ＝０；④ａｍ２－ａ＋ｂｍ＋ｂ＞０（ｍ为任意实数）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 第９题图 　　　 第１０题图 １０．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ＯＡＢＣ是平行四边形，其中 Ａ（２，０），Ｂ（３，１）。将平行四边形 ＡＢＣＯ在ｘ轴上顺时针翻滚，如：第一次翻滚得到平行四边形ＡＢ１Ｃ１Ｏ１，第二次翻滚得到平行四边形 Ｂ１Ａ１Ｏ２Ｃ２……则第五次翻滚后，点Ｃ的对应点坐标为 （　　） Ａ．（６＋槡２２，槡２） Ｂ．（槡２，６＋槡２２） Ｃ．（槡２，６－槡２２） Ｄ．（６－槡２２，槡２） 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，共１８分） １１．因式分解：ｙ－２ｘｙ＋ｘ２ｙ＝ 。 １２．要使算式（－１）□３的运算结果最大，在“□”内分别填入＋，－，×，÷中的一个符号，使计算所得的结果 最大，则这个最大的结果为 。 １３．如果过多边形的一个顶点共有８条对角线，那么这个多边形的内角和为 度。 １４．已知圆锥的底面半径为２ｃｍ，母线长为１０ｃｍ，则圆锥的侧面展开图的圆心角为 度。 １５．七巧板被誉为“东方魔板”，小丽利用七巧板（如图１）中的各板块拼成一个“帆船”（如图２），则“帆 船”的长与高之比为 。 　　 　　　　　　　　　　　　 　　图１　　　　　　　　 图２ １６．如图，正方形ＡＢＣＤ的两个顶点Ｂ，Ｃ落在双曲线ｙ＝ ４ ｘ （ｘ＞０）上，点Ａ，Ｄ分别落在ｘ轴与ｙ轴的正半 轴上，则正方形ＡＢＣＤ的边长为 。 三、解答题（本大题共８个小题，共７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（５分）先化简，再求值： ａ２－９ ａ２－３ａ ÷(ａ ２＋９ ａ ＋６)，其中ａ２－４ａ＋３＝０。 １８．（８分）某市为了解九年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了４００名九年级学生２０２３年初的视 力数据，并调取该批学生２０２２年初的视力数据，制成如下统计图（不完整）： 　４００名九年级学生 ２０２３年初视力统计图 　 　 ４００名九年级学生２０２２年初视力统计图 　　　 青少年视力健康标准 类别 视力 健康状况 Ａ 视力≥５．０ 视力正常 Ｂ 视力＝４．９ 轻度视力不良 Ｃ ４．６≤视力≤４．８ 中度视力不良 Ｄ 视力≤４．５ 重度视力不良 根据以上信息解答下列问题： （１）分别求出被抽查的４００名学生２０２２年初视力正常（类别 Ａ）的人数和２０２３年初轻度视力不良 （类别Ｂ）的扇形圆心角度数； （２）若２０２３年初该市有九年级学生８０００人，请估计这些学生２０２３年初视力正常的人数比２０２２年 初增加了多少人； （３）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在６９％以内。请估计该市九年级学生２０２３年初 视力不良率是否符合要求，并说明理由。 １６２０２３年莱州市诊断性测试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ９４— — ９５— — ９６— １９．（８分）如图，在平行四边形纸片ＡＢＣＤ中，折叠纸片使点Ｄ落在边ＡＢ上的点Ｅ处，得折痕ＡＦ，再折 叠纸片使点Ｃ落在ＥＦ上的点Ｇ处，得折痕ＦＨ。 （１）证明：∠ＡＦＨ＝９０°； （２）证明：ＧＨ∥ＡＢ。 ２０．（６分）共享单车为大众出行提供了方便，图１为单车实物图，图２为单车示意图，ＡＢ与地面平行，点 Ａ，Ｂ，Ｄ共线，点Ｄ，Ｆ，Ｇ共线，坐垫Ｃ可沿射线ＢＥ方向调节。已知，∠ＡＢＥ＝７０°，∠ＥＡＢ＝４５°，车轮 半径为０．３ｍ，ＢＥ＝０．４ｍ。小明体验后觉得当坐垫Ｃ离地面高度为０．９ｍ时骑着比较舒适，求此时 ＣＥ的长。（结果精确到１ｃｍ，参考数据：ｓｉｎ７０°≈０．９４，ｃｏｓ７０°≈０．３４，ｔａｎ７０°≈２，７５，槡２≈１．４１） 图１ 　 图２ ２１．（１０分）草莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以２８５０元购进两种不同品种的盒装草莓，若按 标价出售可获毛利润１５００元（毛利润＝售价－进价），这两种盒装草莓的进价、标价如下表所示。 价格／品种 Ａ品种 Ｂ品种 进价（元／盒） ４５ ６０ 标价（元／盒） ７０ ９０ （１）求这两个品种的草莓各购进多少盒？ （２）该店计划下周购进这两种品种的草莓共１００盒（每种品种至少进１盒），并在两天内将所进草莓全 部销售完毕（损耗忽略不计）。因Ｂ品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进Ｂ品种的盒数不低于 Ａ品种盒数的２倍，且Ａ品种不少于２０盒，如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润为多少？ （３）该店第二次进货时采用了（２）中的设计方案，并且两次购进的草莓全部售出，请从利润率的角 度分析，哪一次进货更合算？ (注：利润率＝利润 成本 ×１００％ ) ２２．（１０分）如图，⊙Ｏ是正三角形ＡＢＣ的外接圆。 （１）尺规作图：作∠ＡＢＣ的平分线交⊙Ｏ于点Ｄ。过点Ｄ作⊙Ｏ的切线ＤＭ，交ＢＡ的延长线于点Ｍ； （不写作法，保留作图痕迹） （２）求证：ＡＣ∥ＤＭ； （３）连接ＯＭ，若ＯＭ＝２，求⊙Ｏ的半径。 ２３．（１２分）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点，连接ＤＥ。将△ＡＤＥ绕点Ａ逆 时针旋转α（０°＜α＜９０°），连接ＢＤ并延长与直线ＣＥ交于点Ｆ。 （１）若 ＡＢ＝ＡＣ，将△ＡＤＥ绕点 Ａ逆时针旋转至图 ２所示的位置，则线段 ＢＤ与 ＣＥ的数量关系 是 ； （２）如图３，若ＡＣ＝ｋＡＢ（ｋ≠１），将△ＡＤＥ绕点Ａ逆时针旋转，则（１）的结论是否仍然成立？若成立， 请加以证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由； （３）若ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，将△ＡＤＥ旋转至ＡＤ⊥ＢＤ时，请求出此时ＣＦ的长。 图１ 　 图２ 　 图３ ２４．（１３分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线ｙ＝ａｘ２－ ４ ３ ｘ＋ｃ的图象与ｘ轴交于点Ａ，Ｂ，点Ａ的坐 标为（３，０），点Ｂ的坐标为（－１，０），与ｙ轴交于点Ｃ。 （１）求抛物线的解析式； （２）若将直线ＡＣ绕点Ａ顺时针旋转，交抛物线于一点Ｐ，交ｙ轴的正半轴于点Ｄ，若∠ＢＡＰ＝∠ＢＡＣ， 求直线ＡＰ的解析式； （３）在（２）条件下，将线段ＡＣ平移（点Ａ，Ｃ的对应点分别为Ｍ，Ｎ），若点Ｍ落在抛物线上且点Ｎ落 在直线ＡＰ上，求点Ｍ的坐标。 　 备用图 ∴ＰＡ＋ＰＣ的最小值为 槡３２。 （３）存在。如图２，ＡＭ与ＢＦ相交于点Ｇ。 图２ ∵Ｆ是抛物线上一点，其横坐标为－２， ∴ｙ＝－４－４＋３＝－５。 ∴点Ｆ的坐标为（－２，－５）。 设直线ＢＦ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ。 将点Ｂ，Ｆ的坐标代入， 得 ３ｋ＋ｂ＝０， －２ｋ＋ｂ＝－５，{ 解得 ｋ＝１，ｂ＝－３。{ ∴ｙ＝ｘ－３。 设点Ｍ（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３）， ∴线段ＡＭ的中点Ｇ的坐标为 (－１＋ｍ２ ， －ｍ２＋２ｍ＋３ ２ )。 ∵直线ＢＦ平分线段ＡＭ， ∴直线ＢＦ过点Ｇ。 将点Ｇ的坐标代入ｙ＝ｘ－３， 得 －ｍ２＋２ｍ＋３ ２ ＝ －１＋ｍ ２ －３， 解得ｍ１＝ １＋槡４１ ２ ，ｍ２＝ １－槡４１ ２ 。 当ｍ＝ １＋槡４１ ２ 时，ｙ＝ －１３＋槡４１ ２ ； 当ｍ＝ １－槡４１ ２ 时，ｙ＝ －１３－槡４１ ２ 。 综上所述，点 Ｍ的坐标为 (１＋槡４１２ ， －１３＋槡４１ ２ ) 或 (１－槡４１２ ， －１３－槡４１ ２ )。 １６２０２３年莱州市诊断性测试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ １．Ｄ　【解析】｜－５｜＝５。故选Ｄ。 ２．Ｂ　【解析】不等式ｘ≤１在数轴上表示为 。故选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】再增加一个相同的正方体， 使主视图和左视图都不变，第五个正方 体摆放的位置只有在图中的阴影部分。 故选Ｄ。 ４．Ｂ　【解析】Ａ即不是轴对称图形，也不是中心对称 图形；Ｂ既是轴对称图形，又是中心对称图形；Ｃ不 是轴对称图形，是中心对称图形；Ｄ是轴对称图形， 不是中心对称图形。故选Ｂ。 ５．Ｃ　【解析】Ａ．ｘ３＋ｘ３＝２ｘ３，故本选项计算错误； Ｂ．（２ｘ）３＝８ｘ３，故本选项计算错误；Ｃ．２ｘ２·３ｘ＝６ｘ３， 故本选项计算正确；Ｄ．（２ａ－２ｂ）２＝４ａ２－８ａｂ＋４ｂ２，故 本选项计算错误。故选Ｃ。 ６．Ｃ　【解析】根据图形的对称性知黑色部分的面积为 圆面积的一半，设圆的半径为１，则正方形的面积为 ４，黑色部分的面积为 １ ２π ×１２＝π ２ 。∴点取自太极 图中黑色部分的概率为 π ２ ４ ＝π ８ 。故选Ｃ。 ７．Ｂ　【解析】Ａ．按键顺序如下： （－） ２ ｓｉｎ ３ ０ ＋ ２ｎｄＦ 槡　 （ １ ａｂ／ｃ ８ ） ＝ ，最 后输出的结果为－０．５。故本选项错误；Ｂ．设原来输 入的数为ｘ。由题意，得方程 １ ｘ－１ －１＝－０．７５，解得 ｘ ＝５。经检验，ｘ＝５是方程的解，所以原来输入的数 为５。故本选项正确；Ｃ．用计算器求一组数据的平 均数，其按键顺序如下：ＭＯＤＥ ２ ２ ＤＡＴＡ ３ ＤＡＴＡ ３ ＤＡＴＡ ６ ＤＡＴＡ ｘ ＝ ，最后输出的结果为３．５。故 本选项错误；Ｄ．在计算器的使用中 ＤＥＬ表示清除 刚输入的数据。故本选项错误。故选Ｂ。 ８．Ｂ　【解析】６８０００００００＝６．８×１０８。故选Ｂ。 ９．Ｃ　【解析】∵抛物线开口向上，∴ａ＞０。 ∵对称轴为直线ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝－１＜０，∴ａ，ｂ同号。 ∵ａ＞０，∴ｂ＞０。 ∵抛物线与ｙ轴的交点在ｙ轴的负半轴，∴ｃ＜０。 ∴ａｂｃ＜０。故①正确；                                                                —４５— ∵抛物线过点（１，０），∴ａ＋ｂ＋ｃ＝０。 ∵对称轴为直线ｘ＝－１， 即－ ｂ ２ａ ＝－１，∴ｂ＝２ａ。 ∴ａ＋２ａ＋ｃ＝０，即３ａ＋ｃ＝０。 ∵ａ＞０，∴２ａ＋ｃ＜０。故②正确； 由二次函数的图象，可知抛物线与 ｘ轴的一个交点 的坐标为（１，０），由对称性，可知抛物线与ｘ轴的另 一个交点的坐标为（－３，０）， ∴９ａ－３ｂ＋ｃ＝０。故③正确； 由二次函数的图象，可知当ｘ＝－１时，ｙ的最小值为 ａ－ｂ＋ｃ，当ｘ＝ｍ时，ｙ＝ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ， ∴ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ≥ａ－ｂ＋ｃ，即ａｍ２－ａ＋ｂｍ＋ｂ≥０。 故④不正确。 综上所述，正确的结论有①②③，共３个。故选Ｃ。 １０．Ａ　【解析】∵四边形 ＯＡＢＣ是平行四边形，其中 Ａ（２，０），Ｂ（３，１）， ∴Ｃ（１，１）。∴∠ＣＯＡ＝４５°，ＯＣ＝ＡＢ＝槡２。 ∵ＡＢＣＯ在ｘ轴上顺时针翻滚，四次一个循环， ∴第五次翻滚后，点Ａ的对应点坐标为（６＋槡２２，０）。 ∵把点Ａ向上平移槡２个单位长度得到点Ｃ１， ∴第五次翻滚后，点Ｃ的对应点坐标为（６＋槡２２，槡２）。 故选Ａ。 １１．ｙ（１－ｘ）２　　【解析】原式＝ｙ（１－２ｘ＋ｘ２）＝ｙ（１－ｘ）２。 １２．２　【解析】（－１）＋３＝２，（－１）－３＝－４，（－１）×３＝ －３，（－１）÷３＝－ １ ３ ，－４＜－３＜－ １ ３ ＜２。 ∴最大的结果为２。 １３．１６２０　【解析】∵过ｎ边形的一个顶点共有８条对 角线， ∴ｎ－３＝８。∴ｎ＝１１。 ∴（１１－２）×１８０°＝１６２０°。 ∴这个多边形的内角和为１６２０°。 １４．７２　【解析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数 为ｎ°，根据题意，得 ２π·２＝ ｎ·π·１０ １８０ 。解得 ｎ＝ ７２，即圆锥的侧面展开图的圆心角为７２°。 １５． ８ ５ 　【解析】如图１，设大正方形的边长为４，则大等 腰直角三角形的直角边为 槡２２，小正方形的边长为 槡２，平行四边形的两边分别为槡２和２。如图２，ＡＢ＝２， ＧＨ＝２，ＨＫ＝２，则“帆船”的长为２＋４＋２＝８，“帆船”的 高为２＋２＋１＝５，∴“帆船”的长与高之比为 ８ ５ 。 图１ 　 图２ １６．２　【解析】如图，作 ＢＥ⊥ｘ轴于点 Ｅ，ＣＦ⊥ｙ轴于 点Ｆ。 设ＯＡ＝ｍ，ＯＤ＝ｎ。 ∵∠ＢＡＤ＝９０°，∠ＡＯＤ＝９０°， ∴∠ＡＤＯ＋∠ＤＡＯ＝∠ＤＡＯ＋∠ＢＡＥ＝９０°。 ∴∠ＡＤＯ＝∠ＢＡＥ。 在△ＤＡＯ和△ＡＢＥ中， ∠ＡＤＯ＝∠ＢＡＥ， ∠ＡＯＤ＝∠ＢＥＡ， ＡＤ＝ＢＡ，{ ∴△ＤＡＯ≌△ＡＢＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＡＥ＝ＯＤ＝ｎ，ＢＥ＝ＯＡ＝ｍ。∴Ｂ（ｍ＋ｎ，ｍ）。 同理，△ＤＡＯ≌△ＣＤＦ， ∴ＣＦ＝ＯＤ＝ｎ，ＤＦ＝ＯＡ＝ｍ。∴Ｃ（ｎ，ｍ＋ｎ）。 ∵点Ｂ，Ｃ落在双曲线ｙ＝ ４ ｘ （ｘ＞０）上， ∴ｋ＝（ｍ＋ｎ）·ｍ＝ｎ·（ｍ＋ｎ）。 ∴ｍ＝ｎ。∴ｋ＝２ｍ２＝２ｎ２＝４。∴ｍ２＝ｎ２＝２。 ∴ＡＤ＝ ＯＡ２＋ＯＤ槡 ２＝ ｍ２＋ｎ槡 ２＝２。 ∴正方形ＡＢＣＤ的边长为２。 １７．解：原式＝ （ａ＋３）（ａ－３） ａ（ａ－３） ÷(ａ ２＋９＋６ａ ａ ) ＝（ａ ＋３）（ａ－３） ａ（ａ－３） · ａ （ａ＋３）２ ＝ １ ａ＋３ 。 解方程ａ２－４ａ＋３＝０，得ａ１＝１，ａ２＝３。 由题意，得ａ≠３， ∴ａ＝１。∴原式＝ １ １＋３ ＝１ ４ 。 １８．解：（１）被抽查的 ４００名学生 ２０２２年初视力正常 的人数＝４００－４８－９１－１４８＝１１３。 被抽查的４００名学生２０２３年初轻度视力不良的扇 形圆心角度数＝３６０°×（１－３１．２５％－２４．５％－３２％）＝ ４４．１°。 （２）该市九年级学生 ２０２３年初视力正常的约有 ８０００×３１．２５％＝２５００（人）。 这些学生２０２２年初视力正常的约有８０００× １１３ ４００ ＝ ２２６０（人）。 所以估计增加了２５００－２２６０＝２４０（人）。 （３）该市九年级学生 ２０２３年初视力不良率＝１－ ３１．２５％＝６８．７５％。 因为６８．７５％＜６９％， 所以该市九年级学生 ２０２３年初视力不良率符合 要求。 １９．证明：（１）∵折叠纸片使点 Ｄ落在边 ＡＢ上的点 Ｅ 处，∴∠ＤＦＡ＝∠ＥＦＡ。                                                                —５５— ∵折叠纸片使点Ｃ落在ＥＦ上的点Ｇ处， ∴∠ＣＦＨ＝∠ＧＦＨ。 ∵∠ＤＦＡ＋∠ＥＦＡ＋∠ＧＦＨ＋∠ＣＦＨ＝１８０°， ∴∠ＥＦＡ＋∠ＧＦＨ＝ １ ２ ×１８０°＝９０°。 ∴∠ＡＦＨ＝９０°。 （２）由折叠的性质，得∠Ｄ＝∠ＡＥＦ，∠Ｃ＝∠ＦＧＨ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ。∴∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°。 ∴∠ＡＥＦ＋∠ＦＧＨ＝１８０°。 ∵∠ＡＥＦ＋∠ＦＥＢ＝１８０°。 ∴∠ＦＧＨ＝∠ＦＥＢ。∴ＧＨ∥ＡＢ。 ２０．解：如图，过点Ｃ作ＣＮ⊥ＡＢ，交ＡＢ于点Ｍ，交地面 于点Ｎ。 由题意可知，ＭＮ＝０．３ｍ，当 ＣＮ＝０．９ｍ时，ＣＭ＝ ＣＮ－ＭＮ＝０．９－０．３＝０．６（ｍ）， 在Ｒｔ△ＢＣＭ中，∵ｓｉｎ∠ＡＢＥ＝ ＣＭ ＢＣ ， ∴ＢＣ＝ ＣＭ ｓｉｎ７０°≈ ０．６ ０．９４≈ ０．６３８（ｍ）。 ∴ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝０．６３８－０．４≈０．２４（ｍ）＝２４ｃｍ。 ∴ＣＥ的长约为２４ｃｍ。 ２１．解：（１）设 Ａ品种的草莓购进 ｘ盒，Ｂ品种的草莓 购进ｙ盒。 由题意，得 ４５ｘ＋６０ｙ＝２８５０， （７０－４５）ｘ＋（９０－６０）ｙ＝１５００。{ 解得 ｘ＝３０， ｙ＝２５。{ ∴Ａ品种的草莓购进３０盒，Ｂ品种的草莓购进２５盒。 （２）设Ａ品种的草莓购进 ａ盒，毛利润为 ｗ元，则 Ｂ品种的草莓购进（１００－ａ）盒。 由题意，得ｗ＝（７０－４５）ａ＋（９０－６０）×（１００－ａ）＝ －５ａ＋３０００。 ∵－５＜０，∴ｗ随ａ的增大而减小。 ∵水果店计划购进Ｂ品种的盒数不低于Ａ品种盒 数的２倍，且Ａ品种不少于２０盒， ∴ １００ －ａ≥２ａ， ａ≥２０，{ 解得２０≤ａ≤３３１３。 ∴当ａ＝２０时，ｗ取得最大值，最大值为－５×２０＋ ３０００＝２９００，此时１００－ａ＝１０－２０＝８０。 ∴购进２０盒Ａ品种的草莓，８０盒 Ｂ品种的草莓， 才能使毛利润最大，最大毛利润为２９００元。　 （３）第一次的利润率为 １５００ ２８５０ ×１００％≈５２．６％，第二 次的利润率为 ２９００ ４５×２０＋６０×８０ ×１００％≈５０．９％。 ∵５２．６％＞５０．９％， ∴对于该店来说第一次进货更合算。 ２２．解：（１）如图１，作∠ＡＢＣ的平分线交⊙Ｏ于点 Ｄ， 过点Ｄ作⊙Ｏ的切线ＤＭ，交ＢＡ的延长线于点Ｍ。 （２）证明：∵△ＡＢＣ是正三角形，ＢＤ平分∠ＡＢＣ， ∴ＢＤ⊥ＡＣ，ＢＤ过点Ｏ。 ∵ＤＭ是⊙Ｏ的切线， ∴ＢＤ⊥ＤＭ。∴ＡＣ∥ＤＭ。 图１ 　 图２ （３）如图２，连接ＯＭ。 ∵△ＡＢＣ是正三角形，∴∠ＡＢＣ＝６０°。 ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＤ＝３０°。 设⊙Ｏ的半径为ｒ。 在Ｒｔ△ＢＤＭ中，ＢＤ＝２ｒ，∠ＤＢＭ＝３０°， ∴ＤＭ＝ＢＤ·ｔａｎ３０°＝槡 ２３ ３ ｒ。 在Ｒｔ△ＤＯＭ中，ＯＤ２＋ＤＭ２＝ＯＭ２， ∴ｒ２＋( 槡２３３ｒ) ２ ＝２２， 解得ｒ１＝ 槡２ ２１ ７ ，ｒ２＝－ 槡２ ２１ ７ （舍去）。 ∴⊙Ｏ的半径为 槡 ２ ２１ ７ 。 ２３．解：（１）∵ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点， ∴ＡＤ＝ＡＥ。 ∵∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°， ∴∠ＣＡＤ＋∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＥ＝９０°。 ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ。 ∴△ＢＡＤ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ）。 ∴ＢＤ＝ＣＥ。 故答案为ＢＤ＝ＣＥ。 （２）此时（１）的结论不成立，ＢＤ与 ＣＥ的数量关系 为ＣＥ＝ｋＢＤ。理由如下： ∵Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点， ∴ＡＤ＝ １ ２ ＡＢ，ＡＥ＝ １ ２ ＡＣ。 ∴ ＡＤ ＡＥ ＝ＡＢ ＡＣ 。 ∵∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＣ， ∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ。∴△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ。 ∴ ＣＥ ＢＤ ＝ＡＣ ＡＢ ＝ｋ。∴ＣＥ＝ｋＢＤ。 （３）∵ＡＤ⊥ＢＤ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＦ＝９０°。                                                                —６５— 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ＝ ＡＢ２－ＡＤ槡 ２＝ ６２－３槡 ２＝槡３３。 由（２）知，△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ， ∴∠ＡＥＣ＝∠ＡＤＢ＝９０°， ＣＥ ＢＤ ＝ＡＣ ＡＢ ＝８ ６ ＝４ ３ 。 ∴ＣＥ＝ ４ ３ ＢＤ＝槡４３。 ∵∠ＤＡＥ＝９０°， ∴四边形ＡＤＦＥ是矩形。∴ＥＦ＝ＡＤ＝３。 ∴ＣＦ＝ＣＥ－ＥＦ＝槡４３－３。 ２４．解：（１）设抛物线的解析式为 ｙ＝ａ（ｘ－３）（ｘ＋１）＝ ａ（ｘ２－２ｘ－３）＝ａｘ２－２ａｘ－３ａ， ∴－２ａ＝－ ４ ３ 。解得ａ＝ ２ ３ 。 ∴抛物线的解析式为ｙ＝ ２ ３ ｘ２－ ４ ３ ｘ－２。 （２）∵ｙ＝ ２ ３ ｘ２－ ４ ３ ｘ－２，当ｘ＝０时，ｙ＝－２， ∴Ｃ（０，－２）。 ∵∠ＢＡＰ＝∠ＢＡＣ，∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＣ＝９０°，ＯＡ＝ＯＡ， ∴△ＡＯＤ≌△ＡＯＣ（ＡＳＡ）。∴ＯＣ＝ＯＤ＝２。∴Ｄ（０，２）。 设直线ＡＰ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋２。 将点Ａ（３，０）代入，得０＝３ｋ＋２，解得ｋ＝－ ２ ３ 。 ∴直线ＡＰ的解析式为ｙ＝－ ２ ３ ｘ＋２。 （３）设点Ｍ(ｍ，２３ｍ２－４３ｍ－２)，点Ｎ(ｎ，－２３ｎ＋２)， 由平移，得ＡＣ∥ＭＮ且ＡＣ＝ＭＮ。 ∴四边形ＡＣＮＭ是平行四边形。 ∴ ｍ＋０＝３＋ｎ， －２＋ ２ ３ ｍ２－ ４ ３ ｍ－２＝０－ ２ ３ ｎ＋２，{ 解得ｍ１＝４，ｍ２＝－３。 当ｍ＝４时， ２ ３ ｍ２－ ４ ３ ｍ－２＝ １０ ３ ； 当ｍ＝－３时， ２ ３ ｍ２－ ４ ３ ｍ－２＝８。 ∴点Ｍ的坐标为 (４，１０３)或（－３，８）。 １７２０２５年学业水平考试预测模拟卷（一） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ａ １．Ｃ　【解析】∵ｔａｎ６０°＝槡３， ３－槡 ２７＝－３，∴１．１０１００１０００１， ２２ ７ ， ３－槡 ２７是有理数，ｔａｎ６０°是无理数。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】∵ ２０２４－ｘ＝ｘ－２０２４， ∴２０２４－ｘ≤０，即ｘ≥２０２４。故选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，不 符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对称图形，不 符合题意；Ｃ既不是轴对称图形，也不是中心对称 图形，不符合题意；Ｄ既是轴对称图形，又是中心对 称图形，符合题意。故选Ｄ。 ４．Ａ　【解析】该几何体的主视图是 。 故选Ａ。 ５．Ｂ　【解析】Ａ．（２ａ３ｂ）３＝８ａ９ｂ３，故选项错误；Ｂ．ａ５·ａ３ ＝ａ８，故选项正确；Ｃ．（ａ２）３＝ａ６，故选项错误；Ｄ．ａ１０÷ ａ５＝ａ５，故选项错误。故选Ｂ。 ６．Ｄ　【解析】ｘ －３（２ｘ－１）≥８，① －２ｘ＋１＜７，②{ 解不等式①，得ｘ≤－１。解不等式②，得ｘ＞－３。 所以不等式的解集为－３＜ｘ≤－１。故选Ｄ。 ７．Ｃ　【解析】∵甲和丙的平均数相等且比乙和丁的平 均数大，又∵丙的方差比甲的小，∴应该选丙运动 员参加比赛。故选Ｃ。 ８．Ａ　【解析】投中“送一本书”的概率是 ６０° ３６０° × π×３０２－π×１５２ π×３０２ ＝１ ８ 。故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】∵抛物线开口方向向下，与 ｙ轴交于正 半轴，∴ａ＜０，ｃ＞０。 ∵对称轴为直线ｘ＝１， ∴ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝１。∴ｂ＝－２ａ＞０。∴ａｂｃ＜０。故①正确； ∵当ｘ＝－１时，ｙ＝０，∴ａ－ｂ＋ｃ＝０。故②错误； ∵当ｘ＝２时，ｙ＞０，∴４ａ＋２ｂ＋ｃ＞０。故③错误； ∵ｂ＝－２ａ，∴２ａ＋ｂ＝０。故④正确； ∵当ｘ＝１时，ｙ＞０，∴ａ＋ｂ＋ｃ＞０。∴ａ－２ａ＋ｃ＞０。 ∴－ａ＋ｃ＞０。故⑤正确； ∵对称轴为直线ｘ＝１，ａ＜０， ∴当ｘ＝１时，ｙｍａｘ＝ａ＋ｂ＋ｃ。 ∴ａｍ２＋ｂｍ－ｂ≤ａ。故⑥错误。故选Ｃ。 １０．Ａ　【解析】∵△Ａ１Ｂ１Ａ２是等边三角形， ∴∠Ｂ１Ａ１Ａ２＝６０°。 ∵∠ＭＯＮ＝３０°，∴∠Ａ１Ｂ１Ｏ＝３０°。 ∴ＯＡ１＝Ａ１Ｂ１。 ∴ＯＡ２＝２ＯＡ１＝２。 同理可求得 ＯＡｎ＋１＝２ＯＡｎ＝４ＯＡｎ－１＝…＝２ ｎ－１ＯＡ２＝ ２ｎＯＡ１＝２ ｎ。 在△ＯＢｎＡｎ＋１中，∠Ｏ＝３０°，∠ＢｎＡｎ＋１Ｏ＝６０°， ∴∠ＯＢｎＡｎ＋１＝９０°。 ∴ＢｎＡｎ＋１＝ １ ２ ＯＡｎ＋１＝ １ ２ ×２ｎ＝２ｎ－１，即△ＡｎＢｎＡｎ＋１的 边长为２ｎ－１。 ∴△Ａ２０２４Ｂ２０２４Ａ２０２５的边长为２ ２０２４－１＝２２０２３。 １１．５．２３×１０７　【解析】５２３０万＝５２３０００００＝５．２３×１０７。 １２．１２１°　【解析】如图，延长ＤＣ 交ＡＥ于点Ｆ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠Ａ＝∠ＥＦＣ＝８６°。 ∵∠Ｅ＝３５°，                                                                —７５—