13 2024年海阳市初四学业质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

∴⊙Ｏ的半径为 １５ ４ 。 ２３．解：（１）ＰＥ＝ＰＤ，ＰＥ⊥ＰＤ。理由如下： ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＢＣ＝ＣＤ，∠ＢＣＰ＝∠ＤＣＰ＝４５°，∠ＢＣＤ＝９０°。 ∵ＰＣ＝ＰＣ，∴△ＢＣＰ≌△ＤＣＰ（ＳＡＳ）。 ∴ＰＢ＝ＰＤ，∠ＰＢＥ＝∠ＰＤＣ。 ∵ＰＢ＝ＰＥ，∴ＰＤ＝ＰＥ，∠ＰＢＣ＝∠ＰＥＢ。 ∴∠ＰＤＣ＝∠ＰＥＢ。 ∵∠ＰＥＢ＋∠ＰＥＣ＝１８０°，∴∠ＰＤＣ＋∠ＰＥＣ＝１８０°。 ∵∠ＰＤＣ＋∠ＰＥＣ＋∠ＤＰＥ＋∠ＤＣＥ＝３６０°， ∴∠ＤＰＥ＝９０°。∴ＰＥ⊥ＰＤ。 ∴ＰＥ＝ＰＤ，ＰＥ⊥ＰＤ。 （２）成立。理由如下： 如图１，标注∠１，∠２。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＣ是对角线， 图１ ∴ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＰ＝∠ＤＡＰ＝４５°。 ∵ＰＡ＝ＰＡ， ∴△ＢＡＰ≌△ＤＡＰ（ＳＡＳ）。 ∴ＰＢ＝ＰＤ。 又∵ＰＢ＝ＰＥ，∴ＰＥ＝ＰＤ。 ∵△ＢＡＰ≌△ＤＡＰ， ∴∠ＡＢＰ＝∠ＡＤＰ。∴∠ＣＢＰ＝∠ＣＤＰ。 ∵ＰＢ＝ＰＥ，∴∠ＣＢＰ＝∠ＰＥＣ。∴∠ＰＥＣ＝∠ＰＤＣ。 ∵∠１＝∠２，∴∠ＤＰＥ＝∠ＤＣＥ＝９０°。 ∴ＰＥ⊥ＰＤ。 ∴ＰＥ＝ＰＤ，ＰＥ⊥ＰＤ。 （３）如图２，点Ｐ在ＡＣ的延长线上时， 过点Ｐ作ＰＨ⊥ＢＣ交ＢＣ的延长线于点Ｈ。 图２ ∵ＰＢ＝ＰＥ，ＰＨ⊥ＢＥ， ∴ＢＥ＝２ＢＨ。 同理可证△ＢＡＰ≌△ＤＡＰ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＢＰＡ＝∠ＤＰＡ＝ １ ２∠ ＢＰＤ＝１５°。 ∵∠ＢＣＰ＝１８０°－∠ＡＣＢ＝１３５°， ∴∠ＰＢＨ＝１８０°－∠ＢＰＣ－∠ＢＣＰ＝３０°。 ∴ＰＨ＝ １ ２ ＰＢ＝ ５ ２ 。 ∴ＢＨ＝ ＰＢ２－ＰＨ槡 ２＝槡５３ ２ 。 ∴ＢＥ＝槡５３。 ２４．解：（１）∵二次函数 ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点 Ａ （－１，０），Ｂ（３，０）， ∴ －１－ｂ＋ｃ＝０， －９＋３ｂ＋ｃ＝０，{ 解得 ｂ＝２，ｃ＝３。{ ∴抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３。 （２）在ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３中， 令ｘ＝０，得ｙ＝３，∴Ｃ（０，３）。 设直线ＢＣ的解析式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ， 则 ３ｍ＋ｎ＝０， ｎ＝３，{ 解得 ｍ＝－１，ｎ＝３。{ ∴直线ＢＣ的解析式为ｙ＝－ｘ＋３。 ∵ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３＝－（ｘ－１）２＋４， ∴Ｄ（１，４）。 如图，过点Ｄ作 ＤＥ⊥ｘ轴交直 线ＢＣ于点Ｅ， 则Ｅ（１，２）。∴ＤＥ＝４－２＝２。 ∴Ｓ△ＢＣＤ＝Ｓ△ＢＤＥ＋Ｓ△ＣＤＥ＝ １ ２ ×２×２＋ １ ２ ×２×１＝３。 （３）∵Ｂ（３，０），Ｃ（０，３），∴ＯＣ＝ＯＢ。 ∵△ＢＣＰ是以ＢＣ为底的等腰三角形，∴ＰＢ＝ＰＣ。 ∴点Ｐ在∠ＢＯＣ的角平分线上，即直线ｙ＝ｘ上。 联立，得 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３， ｙ＝ｘ，{ 解得 ｘ＝ １－槡１３ ２ ， ｙ＝ １－槡１３ ２ ，      或 ｘ＝ １＋槡１３ ２ ， ｙ＝ １＋槡１３ ２ 。      ∴Ｐ(１－槡１３２ ，１ －槡１３ ２ )或 (１ ＋槡１３ ２ ， １＋槡１３ ２ )。 １３２０２４年海阳市初四学业质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ １．Ｃ　【解析】∵π是无理数，又∵－２，－１，０的绝对值 分别为２，１，０，∴绝对值最大的有理数为－２。 故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】ａ６·ａ２＝ａ８，故 Ａ选项错误；ａ６÷ａ２＝ａ４， 故Ｂ选项错误；２ａ３＋３ａ２无法再继续化简，故Ｃ选项 错误；（－ａ３）２＝ａ６，故Ｄ选项正确。故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】如图，标注三角形的三个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ。 ∠２＝∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠ＡＣＢ。 由折叠，得∠ＢＣＡ＝∠１＝２０°。 ∵纸条的长边平行，∴∠ＡＢＣ＝∠１＝２０°。 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＡ。 ∴∠２＝∠ＢＡＣ＝１８０°－２∠ＡＢＣ＝１８０°－２∠１＝１８０°－ ２×２０°＝１４０°。故选Ｂ。 ４．Ｂ　【解析】Ａ．正三角形、正八边形内角分别为６０°， １３５°，显然不能构成３６０°的周角，故不能铺满；Ｂ．正 方形、正八边形内角分别为９０°，１３５°，由于１３５×２＋ ９０＝３６０°，故能铺满；Ｃ．，正五边形、正八边形内角分 别为１０８°，１３５°，显然不能构成３６０°的周角，故不能 铺满；Ｄ．正六边形、正八边形内角分别为 １２０°，                                                                —４４— １３５°，显然不能构成３６０°的周角，故不能铺满。 故选Ｂ。 ５．Ｄ　【解析】把这１０名学生的定时定点投篮进球数 从小到大排列，排在第５和第６个数是５，所以中位 数是５，故选项Ａ不符合题意；这１０名学生的定时定 点投篮进球数出现最多的数是５，所以众数是５，故 选项Ｂ不符合题意；平均数是 １ １０ ×（３＋４×２＋５×３＋６× ２＋７×２）＝５．２，故选项 Ｃ不符合题意；方差是 １ １０ × ［（３－５．２）２＋２×（４－５．２）２＋３×（５－５．２）２＋２×（６－５．２）２＋ ２×（７－５．２）２］＝１．５６，故选项Ｄ符合题意。故选Ｄ。 ６．Ｃ　【解析】∵直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ经过点（０，ｙ１）， （ｘ２，ｙ２），且ｘ２＞０时，ｙ２＜ｙ１＜０， ∴直线ｌ经过第二、三、四象限，不经过第一象限。 ∴直线ｌ不可能经过的点为（２，１）。故选Ｃ。 ７．Ｄ　【解析】如图，延长ＡＥ交⊙Ｏ于点Ｍ。 ∵Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｃ四点共圆， ∴∠ＧＢＣ＝∠ＡＤＣ＝７０°。 ∵ＡＥ⊥ＣＤ，∴∠ＡＥＤ＝９０°。 ∴∠ＥＡＤ＝９０°－７０°＝２０°。 ∵ＯＡ⊥ＣＤ，∴ＣＭ ) ＝ＤＭ) 。 ∴∠ＤＢＣ＝２∠ＥＡＤ＝４０°。故选Ｄ。 ８．Ｃ　【解析】由题意可得 ａ＋ｂｃ＝２１， ｂ＋ａｃ＝３９， ａ＝２ｂ。{ 解得 ａ＝２， ｂ＝１， ｃ＝１９。{ 故（２＋１）×１９＝５７。故选Ｃ。 ９．Ａ　【解析】∵二次函数图象开口方向向下，∴ａ＜０。 由图象可知，当ｘ＝０时，ｙ＝ｃ＞０。又∵其对称轴在ｙ 轴右侧，∴ｂ＞０。∴ａｂｃ＜０。故①错误；∵１－（－３）＞４ －１，∴ｙ１＜ｙ２。故②正确；由图象可知，当－１＜ｘ＜３ 时，ｙ＞０，故③错误；由图象可知，抛物线过（－１，０）， ∴ａ－ｂ＋ｃ＝０。∵对称轴为直线 ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝１，∴－ｂ＝ ２ａ。∴３ａ＋ｃ＝０。∵ａ＜０，∴３ａ＋ｃ＋５ａ＜０，即８ａ＋ｃ＜０。 故④错误。故选Ａ。 １０．Ｄ　【解析】根据题意，得 ＡｎＢｎ＝ １ ２ ｎ２－（－ １ ２ ｎ）＝ １ ２ ｎ（ｎ＋１）， ∴ １ ＡｎＢｎ ＝ ２ ｎ（ｎ＋１） ＝２×（ １ ｎ －１ ｎ＋１ ）。 ∴ １ Ａ１Ｂ１ ＋ １ Ａ２Ｂ２ ＋…＋ １ ＡＡ－１Ｂｎ－１ ＋ １ ＡｎＢｎ ＝２×(１－１２＋１２－１３＋…＋１ｎ－１－１ｎ＋１ｎ－１ｎ＋１) ＝２× (１－１ｎ＋１) ＝２ｎｎ＋１。故选Ｄ。 １１．ｍ≥０且ｍ≠１　【解析】由一元二次方程的定义可 得ｍ－１≠０，解得ｍ≠１；由二次根式有意义的条件 可得ｍ≥０。故ｍ的取值范围是ｍ≥０且ｍ≠１。 １２．１．０４３×１０１１　【解析】１０４３亿＝１０４３００００００００＝ １．０４３×１０１１。 １３．槡 ２３ ３ 　【解析】由题意，得 ＤＥ＝１ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝６０°，∴ＡＢ＝ ＢＣ ｔａｎＡ ＝３ 槡３ ＝槡３（ｃｍ）。 ∵ＤＥ∥ＢＣ，∴△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ。 ∴ ＤＥ ＢＣ ＝ＡＤ ＡＢ ，即 １ ３ ＝槡３ －ＢＤ 槡３ 。解得ＢＤ＝槡 ２３ ３ ｃｍ。 １４． １ ３ 　【解析】画树状图如下： ∵共有６种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发 光的结果有２种， ∴能让两盏灯泡同时发光的概率为 ２ ６ ＝１ ３ 。 １５． １ ３ 或槡 ２ ４ 　【解析】∵ｘ２－４ｘ＋３＝０， ∴（ｘ－１）（ｘ－３）＝０。解得ｘ１＝１，ｘ２＝３。 当ＢＣ＝１，ＡＣ＝３时，ｔａｎＡ的值为 ＢＣ ＡＣ ＝１ ３ ； 当ＢＣ＝１，ＡＢ＝３时，ＡＣ＝ 槡２２，ｔａｎＡ的值为 ＢＣ ＡＣ ＝ １ 槡２２ ＝槡２ ４ 。∴ｔａｎＡ的值为 １ ３ 或槡 ２ ４ 。 １６．３６　【解析】如图，过点 Ｐ分别作 ＡＢ，ｘ轴，ｙ轴的垂线，垂足分别为 Ｃ，Ｄ，Ｅ。 ∵Ａ（０，４），Ｂ（３，０）， ∴ＯＡ＝４，ＯＢ＝３。 ∴ＡＢ＝ ３２＋４槡 ２＝５。 ∵△ＡＯＢ的两个锐角对应的外角角平分线相交于 点Ｐ，∴ＰＥ＝ＰＣ，ＰＤ＝ＰＣ。∴ＰＥ＝ＰＣ＝ＰＤ。 设Ｐ（ｔ，ｔ），则ＰＣ＝ｔ。 ∵Ｓ△ＰＡＥ＋Ｓ△ＰＡＢ＋Ｓ△ＰＢＤ＋Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ矩形ＰＥＯＤ， ∴ １ ２ ×ｔ×（ｔ－４）＋ １ ２ ×５×ｔ＋ １ ２ ×ｔ×（ｔ－３）＋ １ ２ ×３×４＝ ｔ×ｔ。解得ｔ＝６。∴Ｐ（６，６）。 把Ｐ（６，６）代入ｙ＝ ｋ ｘ ，得ｋ＝６×６＝３６。 １７．解：原式＝ ａ－３ ３ａ２－６ａ ÷ａ ２－９ ａ－２ ＝ ａ －３ ３ａ（ａ－２） ÷（ａ ＋３）（ａ－３） ａ－２ ＝ ａ －３ ３ａ（ａ－２） · ａ－２ （ａ＋３）（ａ－３） ＝ １ ３ａ２＋９ａ 。                                                                —５４— ∵ａ２＋３ａ＋２＝０，∴３ａ２＋９ａ＋６＝０，即３ａ２＋９ａ＝－６。 ∴原式＝－ １ ６ 。 １８．解：（１）本次调查共抽取了１２÷５０％＝２４（名）学生； 在扇形统计图中 Ａ所对应圆心角的度数为３６０°× ２ ２４ ＝３０°； 选择基地Ｃ的学生约有４８０×２５％＝１２０（名）。 故答案为２４；３０°；１２０。 （２）将条形统计图补充完整如下： （３）选择基地Ｄ的学生中恰有两名女生，则有两名 男生，画树状图如下： 共有１２种等可能的结果，其中所选２人都是男生 的结果有２种， 所以所选２人都是男生的概率为 ２ １２ ＝１ ６ 。 １９．解：（１）∵四边形ＯＡＢＣ是矩形，点Ｂ的坐标为 （６，４），∴ＡＢ＝４，ＢＣ＝６。 ∵ＢＤ＝２，∴ＡＤ＝２，即点Ｄ的坐标为（６，２）。 将点Ｄ（６，２）代入ｙ＝ ｋ ｘ 中，得ｋ＝１２。 ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ １２ ｘ 。 ∵ＢＥ∥ｘ轴， ∴点Ｅ的纵坐标为４。 将ｙ＝４代入ｙ＝ １２ ｘ 中，得ｘ＝３， 即点Ｅ的坐标为（３，４）。 （２）如图，作点Ｄ关于ｘ轴的对称点Ｆ，连接ＥＦ与 ｘ轴交于点 Ｐ′。此时△ＰＤＥ周长最小，且最小值 为ＥＦ＋ＤＥ。 由题意，得 ＡＦ＝ＡＤ＝２，ＢＥ＝ＢＣ－ ＣＥ＝６－３＝３。 ∴ＢＦ＝ＡＢ＋ＡＦ＝６。 ∴ＥＦ＝ ３２＋６槡 ２＝槡３５， ＤＥ＝ ３２＋２槡 ２＝槡１３。 ∴△ＰＤＥ周长的最小值为 槡３５＋槡１３。 ２０．解：（１）设两次购进包装箱ｘ个，ｙ个。 根据题意，得当ｘ＝ｙ＝２００时，总金额为 ２×２００×５（１＋１０％）＝２２００（元），不符合题意。 ∴ｘ＜２００，ｙ＞２００或ｘ＞２００，ｙ＜２００。 由题意，得 ｘ＋ｙ＝４００， ５×（１＋１０％）ｘ＋５×（１－１０％）ｙ＝１９２０，{ 或 ｘ＋ｙ＝４００， ５×（１＋１０％）ｙ＋５×（１－１０％）ｘ＝１９２０。{ 解得 ｘ＝１２０， ｙ＝２８０，{ 或 ｘ＝２８０，ｙ＝１２０。{ 所以两次购进包装箱１２０个，２８０个。 （３）设他最低可以打ａ折。 由题意，得当一次性购进时，每个包装箱的单价为 ５×（１－１０％）＝４．５（元）。 由题意，得 ７５×０．１×ａ－４．５－４５．５ ４．５＋４５．５ ≥ ５％。解得ａ≥７。 ∴ａ的最小值为７。∴他最低可以打７折。 ２１．解：（１）由旋转，得∠Ｂ′＝∠ＡＢＥ。 ∵∠ＡＢＥ＋∠ＡＢＥ′＝１８０°，∴∠Ｂ′＋∠ＡＢＥ′＝１８０°。 ∵ＢＥ⊥Ｂ′Ｅ′，∴∠ＢＥ′Ｂ′＝９０°。 在四边形ＡＢＥ′Ｂ′中， ∠ＢＡＢ′＝３６０°－１８０°－９０°＝９０°。 （２）如图，过点 Ａ作 ＡＰ⊥ＢＥ于点 Ｐ，过点Ｂ′作Ｂ′Ｈ⊥ＡＰ于点Ｈ。 ∵ＡＦ∥ＢＥ， ∴∠ＡＢＰ＝∠ＢＡＦ。 ∴ｓｉｎ∠ＡＢＰ＝ｓｉｎ∠ＢＡＦ＝ ４ ５ ＝ＡＰ ＡＢ ＝ＡＰ ３０ 。 ∴ＡＰ＝２４ｃｍ。 在Ｒｔ△ＡＢＰ中，ＢＰ＝ ３０２－２４槡 ２＝１８（ｃｍ）。 由（１）知，∠ＢＡＢ′＝９０°，即∠Ｂ′ＡＰ＋∠ＰＡＢ＝９０°， ∵∠ＡＢＰ＋∠ＰＡＢ＝９０°，∴∠Ｂ′ＡＰ＝∠ＡＢＰ。 由旋转，得ＡＢ＝ＡＢ′。 ∴△ＢＰＡ≌△ＡＨＢ′（ＡＡＳ）。∴ＡＰ＝Ｂ′Ｈ＝２４ｃｍ。 ∴ＢＥ′＝ＢＰ＋ＰＥ′＝１８＋２４＝４２（ｃｍ）。 ∴ＢＥ′的长度为４２ｃｍ。 ２２．（１）证明：如图，连接ＣＤ。 ∵ＡＤ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＤ＝９０°， 即∠Ｄ＋∠ＣＡＤ＝９０°。 ∵∠Ｂ＝∠Ｄ，∠Ｂ＝∠ＥＡＣ， ∴∠ＣＡＤ＋∠ＥＡＣ＝９０°， 即ＡＥ⊥ＡＤ。 ∵ＯＡ是⊙Ｏ的半径，∴ＡＥ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：∵ＣＦ∥ＡＥ，∴∠ＡＣＦ＝∠ＥＡＣ＝∠Ｂ＝∠Ｄ。 ∵∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＦ，∴△ＡＢＣ∽△ＡＣＦ。 ∴ ＡＢ ＡＣ ＝ＡＣ ＡＦ ，即ＡＣ２＝ＡＢ·ＡＦ＝１２。∴ＡＣ＝槡２３。 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＡＤ＝６，ＡＣ＝槡２３， ∴ｓｉｎＤ＝ ＡＣ ＡＤ ＝槡２３ ６ ＝槡３ ３ 。∴ｓｉｎＢ＝槡 ３ ３ 。 ２３．解：（１）由题意，得ＤＣ＝ＤＥ，∠ＣＤＥ＝９０°。 ∵∠ＡＤＢ＝９０°，∴∠ＣＤＥ－∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ－∠ＡＤＣ， 即∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＣ。 ∵ＡＤ＝ＢＤ，∴△ＡＤＥ≌△ＢＤＣ（ＳＡＳ）。 ∴ＡＥ＝ＢＣ，∠ＤＡＥ＝∠ＤＢＣ。 在四边形ＡＣＢＤ中，∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°， ∴∠ＤＢＣ＋∠ＤＡＣ＝１８０°。                                                                —６４— ∴∠ＤＡＥ＋∠ＤＡＣ＝１８０°，即Ｃ，Ａ，Ｅ三点共线。 ∴△ＣＤＥ是等腰直角三角形，ＣＥ＝槡２ＣＤ。 ∴ＣＥ＝ＡＣ＋ＡＥ＝ＡＣ＋ＢＣ。∴ＡＣ＋ＢＣ＝槡２ＣＤ。 （２）如图，连接ＡＣ，ＡＤ，ＢＤ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°。 ∵ＡＤ) ＝ＢＤ) ，∴ＡＤ＝ＢＤ。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２， ∴ＡＣ＝ １３２－１２槡 ２＝５。 由（１）知，ＡＣ＋ＢＣ＝槡２ＣＤ，∴ＣＤ＝ １２＋５ 槡２ ＝ 槡１７２ ２ 。 （３）∵ＡＣ＝ＢＣ＝４，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ４２＋４槡 ２＝槡４２。 ∵Ｐ是ＡＢ的中点，∴ＡＰ＝ＢＰ＝槡２２。 ∵ＡＥ＝２，Ｑ是ＡＥ的中点，∴ＡＱ＝ＥＱ＝１。 ∵ＡＣ＝ＣＥ，∴∠ＡＱＣ＝９０°。 ∴ＣＱ＝ ＡＣ２－ＡＱ槡 ２＝ ４２－１槡 ２＝槡１５。 由（１）知，ＡＱ＋ＣＱ＝槡２ＰＱ， ∴ＰＱ＝ ＡＱ＋ＣＱ 槡２ ＝１ ＋槡１５ 槡２ ＝槡２ ＋槡３０ ２ 。 ２４．解：（１）将Ａ（－４，０），Ｂ（－１，０）代入 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－４， 得 １６ａ－４ｂ－４＝０， ａ－ｂ－４＝０，{ 解得 ａ＝－１，ｂ＝－５。{ ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２－５ｘ－４。 （２）四边形ＰＱＯＣ是平行四边形。理由如下： 设直线ＡＣ的表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ。 将Ｃ（０，－４）代入ｙ＝ｍｘ＋ｎ中，得ｎ＝－４。 将Ａ（－４，０）代入ｙ＝ｍｘ－４中，得ｍ＝－１。 ∴直线ＡＣ的表达式为ｙ＝－ｘ－４。 设点Ｑ（ｔ，－ｔ２－５ｔ－４）， 由ＰＱ∥ｙ轴，得点Ｐ的坐标为（ｔ，－ｔ－４）。 ∴ＰＱ＝－ｔ２－５ｔ－４－（－ｔ－４）＝－ｔ２－４ｔ＝－（ｔ＋２）２＋４。 当ｔ＝－２时，ＰＱ有最大值，最大值为４。 ∵ＰＱ＝ＯＣ＝４，ＰＱ∥ｙ轴， ∴四边形ＰＱＯＣ是平行四边形。 （３）存在。 如图，过点 Ｑ作 ｙ轴的平行线， 过点Ｅ作ｘ轴的平行线，两直线 交于点Ｆ。 ∵点Ｂ的坐标为（－１，０）， ∴点Ｂ在直线ｙ＝－２ｘ－２上。 ∵ＦＱ∥ｙ轴，∴∠ＦＱＢ＝∠ＯＤＱ。 ∴当∠ＤＱＥ＝２∠ＯＤＱ时，∠ＥＱＦ＝∠ＯＤＱ。 ∵直线ｙ＝－２ｘ－２与ｙ轴交于点Ｄ， ∴点Ｄ的坐标为（０，－２）。∴ＯＤ＝２。 ∴ｔａｎ∠ＥＱＦ＝ｔａｎ∠ＯＤＱ＝ ＯＢ ＯＤ ＝１ ２ ＝ＥＦ ＦＱ 。 ∴ＦＱ＝２ＥＦ。 设点Ｅ（ｋ，－ｋ２－５ｋ－４）， 由（２）知，点Ｑ的坐标为（－２，２）， ∴ＥＦ＝－２－ｋ，ＦＱ＝２－（－ｋ２－５ｋ－４）＝ｋ２＋５ｋ＋６。 ∴ｋ２＋５ｋ＋６＝２（－２－ｋ），得ｋ１＝－２（舍去），ｋ２＝－５。 ∴点Ｅ的坐标为（－５，－４）。 １４２０２３年芝罘区阶段检测练习题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ １．Ｂ　【解析】 槡∵ ４＝２， ∴无理数有槡６，π，共２个。故选Ｂ。 ２．Ｃ　【解析】圆台的主视图是 。 故选Ｃ。 ３．Ａ　【解析】１５５３７亿＝１５５３７００００００００＝１．５５３７× １０１２。故选Ａ。 ４．Ｄ　【解析】标注字母如图所示。 ∵点 Ｂ在点 Ａ的北偏西 ５０° 方向， ∴∠ＢＡＥ＝５０°。 ∴∠ＢＡＤ＝９０°－∠ＢＡＥ＝９０°－ ５０°＝４０°。 ∵点Ｃ在点Ｂ的正东方向， ∴ＢＣ∥ＡＤ。∴∠Ｂ＝∠ＢＡＤ＝４０°。 ∵ＡＢ＝ＢＣ，∴∠ＢＡＣ＝∠Ｃ＝ １ ２ ×（１８０°－４０°）＝７０°。 ∴∠ＥＡＣ＝７０°－５０°＝２０°。 ∴点Ａ相对于点Ｃ的方向是南偏西２０°。故选Ｄ。 ５．Ｃ　【解析】由题意，得ｘ＝１００－２０－３８－８－２＝３２。故 选项Ａ不符合题意；这组数据中２ｈ出现的次数最 多，故众数是２ｈ。故选项Ｂ不符合题意；这组数据 的中位数是 １．５＋１．５ ２ ＝１．５（ｈ）。故选项 Ｃ符合题意； 这组数据的平均数是 １ １００ ×（１×２０＋１．５×３２＋２×３８＋ ２．５×８＋３×２）＝１．７（ｈ）。故选项Ｄ不符合题意。 故选Ｃ。 ６．Ｂ　【解析】设侧面展开图的圆心角为度数ｎ°。 ∵圆锥的母线长为５ｃｍ，高为４ｃｍ， ∴圆锥底面圆的半径为 ５２－４槡 ２＝３（ｃｍ）。 ∴２π×３＝ ｎ×π×５ １８０ 。解得ｎ＝２１６。故选Ｂ。 ７．Ｃ　【解析】如图，设弓形所在圆的圆心为Ｏ，圆的半 径为ｒ，连接ＯＣ，ＯＡ。 由题意知，Ｏ，Ｃ，Ｄ三点共线。 ∵ＡＢ＝８，∴ＡＣ＝ １ ２ ＡＢ＝４。 ∵ＣＤ＝３，∴ＯＣ＝ｒ－３。 ∵ＯＡ２＝ＯＣ２＋ＡＣ２，∴ｒ２＝（ｒ－３）２＋４２。∴ｒ＝ ２５ ６ 。                                                                —７４— — ７３— — ７４— — ７５— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，满分３０分） １．在－２，－１，０，π这四个数中，绝对值最大的有理数为 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ．０ Ｂ．－１ Ｃ．－２ Ｄ．π ２．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ａ６·ａ２＝ａ１２ Ｂ．ａ６÷ａ２＝ａ３ Ｃ．２ａ３＋３ａ２＝５ａ５ Ｄ．（－ａ３）２＝ａ６ ３．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠１＝２０°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．１６０° Ｂ．１４０° Ｃ．１２０° Ｄ．１００° ４．装修房屋时，小明选中了一种漂亮的正八边形地砖，他知道只用该种地砖不能进行地面的镶嵌（彼此 之间不留空隙、不重叠），但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为他应选择的地砖是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ５．“双大课间”活动让师生共享美好体育生活。为检测学生体育锻炼效果，我市某校从某班随机抽取 １０名学生进行篮球定时定点投篮检测，并将投篮进球数据绘成如图所示的条形统计图，对于这１０名 学生的定时定点投篮进球数，下列说法错误的是 （　　） Ａ．中位数是５ Ｂ．众数是５ Ｃ．平均数是５．２ Ｄ．方差是２ 第５题图 　　　 第７题图 ６．若直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ经过点（０，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），且ｘ２＞０时，ｙ２＜ｙ１＜０，则直线ｌ不可能经过的点为 （　　） Ａ．（－２，－１） Ｂ．（２，－１） Ｃ．（２，１） Ｄ．（－２，１） ７．如图，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形，延长ＡＢ与ＤＣ交于点Ｇ，∠ＧＢＣ＝７０°，ＯＡ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ， 连接ＢＤ，则∠ＤＢＣ的度数为 （　　） Ａ．７０° Ｂ．６０° Ｃ．５０° Ｄ．４０° ８．小亮利用课本上的计算器计算（ａ＋ｂ）ｃ的值时，其按键顺序和计算器显示结果如图１，他意识到计算 器是先做乘法再做加法，于是他又依次按键（如图２），从而得到了正确结果。已知 ａ＝２ｂ，则正确的 结果应为 （　　） Ａ．２４ Ｂ．４０ Ｃ．５７ Ｄ．６０ 图１ 图２ 第８题图 　 第９题图 　 第１０题图 ９．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，与 ｘ轴的一个交点为（３，０），对称轴为直线 ｘ＝１，则下列结 论：①ａｂｃ＞０；②若（－３，ｙ１），（４，ｙ２）在抛物线上，则ｙ１＜ｙ２；③当－１＜ｘ＜３时，ｙ＜０；④８ａ＋ｃ＞０。其中正确 结论的个数为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ １０．如图，分别过点Ｐｎ（ｎ，０）（ｎ为正整数）作ｘ轴的垂线交二次函数ｙ＝ １ ２ ｘ２（ｘ＞０）的图象于点Ａｎ，交直 线ｙ＝－ １ ２ ｘ（ｘ＞０）于点Ｂｎ，则 １ Ａ１Ｂ１ ＋ １ Ａ２Ｂ２ ＋…＋ １ ＡＡ－１Ｂｎ－１ ＋ １ ＡｎＢｎ ＝ （　　） Ａ． ｎ－１ ｎ Ｂ． ｎ ｎ＋１ Ｃ． ２ｎ－２ ｎ Ｄ． ２ｎ ｎ＋１ 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，满分１８分） １１．若方程（ｍ－１）ｘ２＋槡ｍｘ＝１是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的取值范围是 。 １２．海阳核电１，２号机组是世界首批三代核电机组，实现商运五周年来，累计安全稳定发电１０４３亿度， 成为世界首个发电量超 １０００亿度的三代核电项目。将数据 １０４３亿用科学记数法表示为 。　 １３．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，∠Ａ＝６０°，直尺的一边与ＢＣ重合，另外一边分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ， Ｅ。点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ处的读数分别为１５，１２，０，１（单位：ｃｍ），则直尺的宽ＢＤ的长为 ｃｍ。 第１３题图 　　　 第１４题图 　　　 第１６题图 １４．某一物理实验的电路图如图所示，其中Ｋ１，Ｋ２，Ｋ３为电路开关，Ｌ１，Ｌ２为能正常发光的灯泡。任意闭 合开关Ｋ１，Ｋ２，Ｋ３中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为 。 １５．若关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋３＝０的两个根分别是 Ｒｔ△ＡＢＣ的两条边长，Ｒｔ△ＡＢＣ最小的角为∠Ａ，则 ｔａｎＡ＝ 。 １６．如图，在平面直角坐标系中，以Ｏ（０，０），Ａ（０，４），Ｂ（３，０）为顶点的 Ｒｔ△ＡＯＢ，其两个锐角对应的外 角平分线相交于点Ｐ，且点Ｐ恰好在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象上，则ｋ的值为 。 三、解答题（本大题共８个小题，满分７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）先化简，再求值： ａ－３ ３ａ２－６ａ ÷(ａ＋２－５ａ－２)，其中ａ ２＋３ａ＋２＝０。 １８．（７分）研学旅行是综合实践育人的有效途径。为开展研学旅行活动，我市某校选取了Ａ“海阳市地 雷战景区”，Ｂ“海阳市东方航天港指挥中心”，Ｃ“海阳市博物馆”，Ｄ“许世友将军在胶东纪念馆”四 个基地。为了解学生喜好情况，随机抽取部分学生进行调查（每名学生只能选择一个基地），并将统 计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图。 （１）本次调查共抽取了 名学生；在扇形统计图中Ａ所对应的圆心角的度数为 ；若 该校共有４８０名学生，则选择基地Ｃ的学生约有 名； （２）请将条形统计图补充完整； （３）学校想从选择基地Ｄ的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择基地 Ｄ的 学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选２人都是男生的概率。 　　 １９．（８分）如图，矩形ＯＡＢＣ的顶点Ａ，Ｃ分别在ｘ轴，ｙ轴的正半轴上，点Ｂ的坐标为（６，４），反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＞０）的图象分别与ＡＢ，ＢＣ交于Ｄ，Ｅ两点，ＢＤ＝２。 （１）求点Ｅ的坐标； （２）若点Ｐ是线段ＯＡ上一动点，求△ＰＤＥ周长的最小值。 １３２０２４年海阳市初四学业质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ７６— — ７７— — ７８— ２０．（８分）在乡村振兴战略背景下，越来越多的大学毕业生选择返乡成为时代“新农人”。我市大学生 小张毕业后回乡创办了蓝莓种植基地。最近，他准备在网店购买每个５元的某种水果包装箱共４００ 个，该网店的快递费和优惠率如下表： 网购个数 １—２００ ２００以上（含２００） 快递费用 商品总价的１０％ 免费邮寄 价格优惠 不优惠 优惠１０％ （１）若小张分两次购进该种包装箱，总计金额为１９２０元，求两次购进包装箱各多少个？ （２）若小张一次性购进该种包装箱，每个包装箱装满蓝莓（蓝莓的成本为４５．５元）后，每箱标价７５ 元进行销售。小张想在“五一”期间以ａ折出售且利润率不低于５％，则他最低可以打几折？ ２１．（９分）如图１是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图２所示模型，其中ＡＦ∥ＢＥ， ｓｉｎ∠ＢＡＦ＝ ４ ５ ，箱盖开启过程中，点 Ｂ，Ｅ绕点 Ａ沿逆时针方向转动相同角度，分别至点 Ｂ′，Ｅ′的位 置，且点Ｅ′在线段ＥＢ的延长线上，ＢＥ⊥Ｂ′Ｅ′。 （１）求旋转角∠ＢＡＢ′的度数； （２）若ＡＢ＝３０ｃｍ，求ＢＥ′的长度。 图１ 　　　 图２ ２２．（１０分）如图，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＤ是⊙Ｏ的直径，过点 Ａ的直线与 ＢＣ的延长线相交于点 Ｅ，∠Ｂ ＝∠ＥＡＣ。 （１）求证：ＡＥ是⊙Ｏ的切线； （２）已知ＣＦ∥ＡＥ，ＣＦ与ＡＢ，ＡＤ分别相交于点Ｆ，Ｈ，若ＡＢ·ＡＦ＝１２，ＡＤ＝６，求ｓｉｎＢ的值。 ２３．（１１分）【问题背景】 如图１，在四边形ＡＣＢＤ中，ＡＤ＝ＢＤ，∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°，请说明线段ＡＣ，ＢＣ，ＣＤ之间的数量关系。 【问题解决】 （１）小亮的做法如下：如图２，将线段ＤＣ绕点Ｄ逆时针旋转９０°至ＤＥ，连接ＡＥ。在证明△ＣＤＥ是等 腰直角三角形后，即可得 ＡＣ，ＢＣ，ＣＤ的数量关系。请按照小亮的做法，写出上述题目完整的解题 过程； 【拓展应用】 （２）如图３，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，且ＡＤ ) ＝ＢＤ ) ，若ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，求ＣＤ的长； （３）如图４，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝ＣＥ＝４，ＡＥ＝２，Ｐ，Ｑ分别是线段 ＡＢ，ＡＥ的中点，请直接写出线段 ＰＱ的长。 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ 　　　 图４ ２４．（１３分）如图，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－４与ｘ轴交于Ａ（－４，０），Ｂ（－１，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ。 （１）求抛物线的表达式； （２）如图１，Ｐ是线段ＡＣ上的一个动点（不与点Ａ，Ｃ重合），ＰＱ∥ｙ轴交抛物线于点Ｑ。当线段ＰＱ 长度最大时，判断四边形ＰＱＯＣ的形状并说明理由； （３）如图２，在（２）的条件下，直线ＤＱ：ｙ＝－２ｘ－２与ｙ轴交于点Ｄ，在抛物线上是否存在一点Ｅ，使得 ∠ＤＱＥ＝２∠ＯＤＱ？若存在，求出点Ｅ的坐标；若不存在，请说明理由。 图１ 　　　 图２