1.1.3 导数的几何意义教学设计-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

课题 1.1.3 导数的几何意义（两课时） 编号 选择性必修 第二册 第一章 第1节 共5课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 本节课是高中数学选择性必修第二册《第1章导数及其应用》的第三节内容.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对高中阶段微积分的处理的要求：（1）注重微积分背景、基本思想方法和广泛应用；（2）淡化技巧计算；（3）突出几何直观的数学思考方式.本课时内容是在学生已经研究了物理学中的平均速度、瞬时速度，并由此经过数学抽象得出导数的概念及其表达式的基础上，数形结合直观感受“逼近”“以直代曲”的极限思想，进而得出一般曲线在点处的导数的几何意义. 从教材的单元教学编排意图看，导数几何意义的上位概念是平均变化率、瞬时变化率，并给出了导数的定义，这是从数的角度诠释概念；同时，导数的意义又是导数概念的下位知识，这是从“形的角度”诠释导数的概念，有助于学生进一步理解导数的含义与价值.此外，导数几何意义的学习，又为其下位内容“常见函数导数的计算”“导数在研究函数中的应用”及“研究函数曲线与直线的位置关系”奠定基础. 从内容背后的数学思想方法看，在本节课学习过程中，学生通过自主探究与合作交流，经历由特殊到一般、具体到抽象、量变到质变的过程，用运动变化的观点理解割线如何逼近成切线，真切感受、体会数形结合思想，同时深化对逼近思想、极限思想、以直代曲思想的理解. 从知识发生发展过程的角度看，导数几何意义的学习，一方面能将导数“数形融通”，以“形”助“数”，以“数”论“形”，达到概念学习的完整结构；另一方面，能使学生对曲线切线含义的理解在思维层次方面获得提升，它不是从公共点个数的角度来定义，而是由割线绕其一个交点旋转来逼近，把曲线的切线上升到一个新的思维层面，使学生深刻体会到对事物本质的探索是一个不断深入、去伪存真、由表及里、修正调整的过程，以及面对知识时质疑、创新、联系的科学精神. 教学目标 通过对实例的分析，再次经历由函数平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，温习导数概念的实际背景和抽象过程，体会导数的思想和内涵；通过函数图象，直观理解并抽象概括出导数的几何意义，生成一般曲线在某一点处的切线的定义；体会运用导数的概念和几何意义求切线方程，并能用其研究函数，解决实际问题. 通过合作探究活动，结合图形直观（有条件的可借助信息技术）感受逼近的极限思想和以直代曲的微积分重要思想，用运动变化的观点解决问题.通过实例提高学生对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力，提升数学建模的核心素养；经历导数概念的生成和几何意义的探究过程，发展学生观察、类比、概括的数学能力，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养. 经历“实际情景数学概念具体问题解决”的过程，以及切线定义的演变历程，使学生从中体会“特殊一般特殊”的认知发展规律，认识导数的工具性价值，提高学生的学习兴趣，培养其敢于质疑、勇于探索的学习习惯和科学精神，提升发现问题、分析问题和解决问题的能力，逐步养成扎实严格、实事求是的科学态度，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想. 核心素养 ○直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、●数学建模 教学重点 导数的几何意义及其应用，“以直代曲”、“数形结合”的数学思想. 教学难点 极限思想、导数几何意义的理解及应用. 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 情景问题1： 某质点在运动过程中位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为，那么时的瞬时速度是多少？速度关于时间t的导数又是什么呢？ 情境问题2： 我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况，那么，导数的几何意义是什么呢? 1.回顾复习，为本节做知识准备； 2.紧扣导数的本质设置情景问题，顺利自然引入新授内容. 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 一、探究活动：导数的几何意义 如图，是曲线上的一个定点，是曲线上的一个动点. 问题1：写出在上的平均变化率；它有什么几何意义？ 问题2：当点沿曲线趋于点，割线有什么变化特征？ 问题3：当点沿曲线无限逼近于点时，直线最终变成什么？ 问题4：割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？ 问题5：你能概括出导数的几何意义吗？ 问题6：曲线在一点处的切线和你以前所了解的圆的切线有什么异同？ 【教师总结】 如右图,， Q是曲 线上的两个点,直线是曲线的一条割线，是曲线的一条切线，让点沿曲线无限趋近点（即），割线将绕点转动并趋于一确定的位置,则称该位置上的直线为曲线在点的切线，或称直线与曲线在点出相切，其中点称为切点. 由切线的定义可知，当时，割线于切线，于是，割线的斜率将趋近于切线的斜率. 因为割线PQ的斜率为 且由导数的定义可知，当时， 因此，切线的斜率就是函数在处的导数，即 我们看到，求切线斜率的思路和过程，与求瞬时速度的思路和过程，在数学上是完全一致的. 当函数表示运动方程时，其导数的物理意义是该运动物体在时刻的瞬时速度；而当函数表示曲线方程时，其导数的几何意义就是该曲线在点，处的切线斜率. 二、微积分思想引入 切线的本质，是在切点附近最接近曲线的直线。在这一点附近，比起用其他直线，用切线近似地代替曲线，误差最小。 函数的表达式千变万化，但只要可导，就可以在一点附近用一次函数近似地代替，而使误差很小。这就是微积分中重要的思想方法 以直代曲。 三、数学文化 中国古代数学家刘徽在运用 “割圆术”求圆的周长时，在圆 内作正多边形，用多边形的周长 近似代替圆的周长，随着边数的 增加，正多边形的周长也越来越 接近于圆的周长，如图1.1-6. 刘徽通过此方法推导出了圆的周长公式，这是最早出现的“以直代曲”的例子。 四、数学史拓展 古希腊数学家欧几里得最早定义了圆的切线，接着数学家又沿用类似的方法定义了圆锥曲线等切线，但其仍局限在静态的定义下——与曲线只有一个公共点且位于曲线一侧的直线，十七世纪下叶，切线为割线的极限位置的思想初成共识，德国数学家莱布尼兹将“曲线上无限接近的两点的连线”定义为切线，此间，切线定义从静态走向动态跨越了两千年的时间. 五、典例剖析 例1．求函数的图象上点处切线的斜率. 例2．求曲线在点处切线的斜率. 例3．若曲线存在斜率为1的切线，试求出切线方程. 1. 通过完整的探究环节、生生互动、师生共析、数形结合，使学生从直观感受上升到理性思考，抽象概括出导数的几何意义，数学知识的产生水到渠成. 2.通过重构式教学模式的运用，有机自然地将数学史中“切线的演变历程”融入课堂，使学生深刻体会到对事物本质的探索是一个不断深入、去伪存真、由表及里的过程. 例1与例2帮助理解导数的几何意义，强化利用导数的几何意义来求切线斜率. 例3在掌握会利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线的斜率基础之上，如何灵活运用相关知识解决变式问题. 课堂练习 1. 设是曲线上一点，求曲线在点处切线的斜率. 2. 判断曲线在点处是否有切线，如果有，求出切线的斜率. 3. 求曲线过点的切线方程. 学生自己分析问题、解决问题、处理问题，培养自主探究能力. 总结提升 本节课你学到了哪些知识？ (1) 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； (2) 微积分中重要的思想方法——以直代曲； (3) 中国古代数学家刘徽运用“割圆术”推导出了圆的周长公式； (4) 用导数求曲线上某一点的切线斜率。 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 必做题 P14习题1.1第5、6、7题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P14习题1.1第11题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$