7.3.3 余弦函数的性质与图像 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.3.3　余弦函数的性质与图象 一、基础巩固 1.函数y=2cos x-3的值域是(　　) A.[-1,1] B.[-5,-1] C.[-5,+∞) D.(-∞,+∞) 2.函数y=cos的图象的一条对称轴方程为(　　) A.x=- B.x= C.x=- D.x= 3.为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=cos 2x的图象(　　) A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 4.下列函数中,周期为π,且在区间上为减函数的是(　　) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 5.(多选题)下列函数同时具有“最小正周期是π,图象关于点对称”两个性质的是(　　) A.y=sin B.y=cos C.y=cos D.y=sin 6.若y=sin x是减函数,且y=cos x是增函数,则角x的取值范围是　　　　　　　　　　.  7.若函数f(x)=3cos(ω>0)的最小正周期为,则f(0)=　　　　　;f(π)=　　　　　.  8.若把函数y=cos的图象向左平移m(m>0)个单位,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值是　　　　　.  9.判断下列函数的奇偶性,并求它们的周期. (1)y=3cos 2x,x∈R; (2)y=cos,x∈R. 10.求函数y=sin2x+acos x-a-的最大值为1时a的值. 二、能力提升 1.要得到y=cos的图象,只要将y=sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 2.函数y=2-cos x的单调递增区间是(　　) A.[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z) B.[kπ+π,kπ+2π](k∈Z) C.(k∈Z) D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z) 3.(多选题)已知函数f(x)=cos2x+,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.当x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最大值1 C.函数f(x)图象的一个对称中心是,0 D.将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位,则所得到的图象的函数解析式为y=cos 4x 4.方程cos πx=x的解的个数是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 5.已知函数y=3cos(π-x),则当x=　　　　　时,函数取得最大值.  6.已知函数f(x)=2cos,其中x∈,则函数f(x)的值域为　　　　　;函数f(x)的单调递减区间为　　　　　.  7.设函数f(x)=cos(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一个对称中心是. (1)求φ; (2)求函数y=f(x)的单调递增区间. 8.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为. (1)求f的值; (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间. 参考答案 一、基础巩固 1.答案　B 解析　∵-1≤cos x≤1,∴-2≤2cos x≤2, ∴-5≤2cos x-3≤-1,故选B. 2.答案　A 解析　当x=-时,cos=cos 0=1,取得最大值.而y=cos的图象的对称轴通过图象的最高点或最低点,故选A. 3.答案　C 解析　y=sin=cos-2x-=cos=cos=cos,即将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位. 4.答案　A 解析　周期为π,C和D被排除. A中y=sin=cos 2x,单调递减区间为2kπ≤2x≤2kπ+π,kπ≤x≤kπ+(k∈Z). 当k=0时,一个减区间为,而,故A正确;经验证B不正确. 5.答案　AB 解析　最小正周期是π,C和D被排除. 当x=时,y=sin=sin 0=0,故A正确;y=cos=cos=0,故B正确. 6.答案　,k∈Z 解析　x∈2kπ+,2kπ+,k∈Z时,y=sin x是减函数,x∈[2kπ+π,2kπ+2π],k∈Z时,y=cos x是增函数,故所求x的取值范围是,k∈Z. 7.答案　　- 解析　由T=,得ω==3, ∴f(x)=3cos, ∴f(0)=3cos. ∴f(π)=3cos=-3cos=-. 8.答案　 解析　向左平移m个单位后,得y=cosx++m的图象,关于y轴对称,所以当x=0时,cos=±1,即+m=kπ,m=-+kπ(k∈Z),当k=1时,m有最小正值. 9.解　(1)把2x看成一个新的变量u,那么cos u的最小正周期为2π,这就是说,当u增加到u+2π且必须至少增加到u+2π时,函数cos u的值重复出现. 而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x增加到x+π且必须至少增加到x+π时,函数值重复出现,因此,y=3cos 2x的周期为π. 因为y=f(x)=3cos 2x,f(-x)=3cos(-2x)=3cos 2x,所以y=3cos 2x为偶函数. (2)函数y=cos的周期T=. 因为x∈R,且y=f(x)=cos=sinx,所以f(-x)=sin=-sinx=-f(x),所以y=cos为奇函数. 10.解　y=1-cos2x+acos x-a-=-cos x-2+a-. cos x∈[-1,1],要使y最大,则必须满足cos x-2最小. ①当<-1,即a<-2时, 若cos x=-1,则ymax=-a-. 由题设,令-a-=1,得a=->-2(舍去); ②当-1≤≤1,即-2≤a≤2时, 若cos x=,则ymax=. 由题设,令=1,得a=1±(舍去正值); ③当>1,即a>2时, 若cos x=1,则ymax=, 由题设,令=1,得a=5. 综上所述,a=5或a=1-. 二、能力提升 1.答案　A 解析　cos=cos=sin2x+=sin,只需将y=sin 2x的图象向左平移个单位. 2.答案　D 解析　y=2-cos x是由y=2u和u=-cos x复合而成的,而y=2u在R上单调递增,由复合函数的 “同增异减”原则可知,y=2-cos x的单调递增区间即为u=-cos x的单调递增区间,即为y=cos x的单调递减区间,即为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),故D正确. 3.答案　AB 解析　对于选项A,f(x)的最小正周期T==π,故A正确;对于选项B,当x=kπ-(k∈Z)时,2x+=2kπ(k∈Z),f(x)=cos2x+=cos 2kπ=1(k∈Z),则f(x)取得最大值1,故B正确;对于选项C,令2x++kπ(k∈Z),可得x=(k∈Z),不存在k∈Z使得,故C不正确;对于选项D,将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=cosx+,再将所得图象向右平移个单位可得y=cosx-=cosx+≠cos 4x,故D不正确.故选AB. 4.答案　D 解析　作y1=cos πx,y2=x的图象(图略),当x=4时,y1=cos 4π=1=y2. 结合图象知,当x>0时,两图象有4个交点;当x<0时, 也有4个交点. 5.答案　2kπ+π(k∈Z) 解析　y=3cos(π-x)=-3cos x,故当x=2kπ+π(k∈Z)时,y有最大值. 6.答案　[1,2]　 解析　∵0≤x≤,∴-≤2x-,由余弦函数的单调性可知,当2x-=-,即x=0时,函数有最小值为2cos=1;当2x-=0,即x=时,函数有最大值2cos 0=2,故值域为[1,2];函数的单调递减区间为. 7.解　(1)∵函数图象的对称中心是, ∴cos=0,即+φ=+kπ(k∈Z), ∴φ=+kπ(k∈Z).又-π<φ<0,∴φ=-. (2)f(x)=cos的单调递增区间为-π+2kπ≤2x-≤2kπ,解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),故函数y=f(x)的单调递增区间是-+kπ,+kπ(k∈Z). 8.解　(1)∵f(x)的周期T=π,故=π,∴ω=2, ∴f(x)=2cos 2x,∴f=2cos. (2)将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=f的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到y=f的图象,故g(x)=f=2·cos2=2cos. 当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为4kπ+,4kπ+(k∈Z). 5 学科网（北京）股份有限公司 $$