第六章 平行四边形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第六章 平行四边形（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．平行四边形一定具有的特征是（    ） A．四边相等 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分 2．一个内角和为度的正多边形有几条边？（   ） A．十条 B．八条 C．七条 D．六条 3．图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 5．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．在平行四边形中，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．16 B．6 C．4 D．10 8．如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　） A．3 B． C．4 D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，点、、分别是直角的中点，，、分别为，，则的长为 ． 10．如图，在中，，以为边向形外作等边，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若的长 ． 11．在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则 ． 12．如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 13．如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，请求出的周长． 15．如图，，，，． (1)______，______； (2)求四边形各内角的度数． 16．如图，已知，，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线上，且．求证：． 17．（1）【课本再现】我们前面学习过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．请你尝试证明． 已知：如图1，是的中位线． 求证：． （2）【实践应用】 如图2，是的中位线，是边上的中线，与是否互相平分？请证明你的结论． 18．四边形中，，． (1)如图1，若，试求出的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点E，且，试求出的度数； (3)如图3，若和的角平分线交于点E，试求出的度数． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ． 20．如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     21．如图，在四边形中，，，，，E，F分别是，BC的中点，则的长为 ．    22．如图，在平面直角坐标系中，点O、、A、、B、、C……，都是平行四边形的顶点，点A、B、C……在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是 ． 23．如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在边上． (1)求a的值； (2)点F是边上一点，，连接．当_________时，四边形为平行四边形． 25．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 26．如图（1），在等腰中，，可以由通过顺时针旋转变换得到． (1)请直接写出旋转中心及最小旋转角的大小（用含的式子表示） ； (2)如图（2），若M为中点，点D在上，过点M作于Q，交于点N． ①求证：N为的中点； ②若，点D在上运动时（包括M，C两个端点），直接写出的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平行四边形（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．平行四边形一定具有的特征是（    ） A．四边相等 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质逐项判断即可得． 【详解】A.平行四边形的对边相等，四边不一定相等，此项不符合题意； B.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，此项不符合题意； C.平行四边形的对角相等，但四个角不一定是直角，此项不符合题意； D.平行四边形的对角线互相平分，此项符合题意； 故选：D 2．一个内角和为度的正多边形有几条边？（   ） A．十条 B．八条 C．七条 D．六条 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角与外角，根据多边形内角和计算公式求出多边形的边数即可．掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 即这个正多边形是正八边形，正八边形有八条边， 故选：B． 3．图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：D． 4．如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由是的角平分线可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，解方程即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 5．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 6．在平行四边形中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．16 B．6 C．4 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的中位线定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明是的中位线．连接交于O，由平行四边形的性质推出，，证明是的中位线，得到，求出，得到，求出，从而． 【详解】解：连接交于O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，点、、分别是直角的中点，，、分别为，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】利用三角形中位线的性质定理及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点、、分别是直角的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质定理、勾股定理，掌握这两个定理是关键． 10．如图，在中，，以为边向形外作等边，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若的长 ． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，四边形内角和为．熟练掌握旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质证为等边三角形，证．又证三点共线，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转得，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴A、C、E三点在同一条直线上， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， 故答案为：． 11．在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则 ． 【答案】/145度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图，熟练掌握平行四边形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键．角平分线的尺规作图可得，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握中位线定理，是解题的关键．利用中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，分别是的中点， ∴，， ∴四边形的周长为； 故答案为：． 13．如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由，可知，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，请求出的周长． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解； （2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长． 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 的周长为． 15．如图，，，，． (1)______，______； (2)求四边形各内角的度数． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了多边形内角与外角，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据可得出，可得，，得出，再由直角三角形的性质可得出的度数； （2）由得出，再得出与的度数，根据四边形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：由（1）得， ， ， 在 中，，， ，， ， ， 四边形的内角和为， ． 16．如图，已知，，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到，再根据平行的性质得到，然后再通过全等三角形的判定证明从而得到，即可证明． 【详解】证明：∵，； ∴四边形是平行四边形； ∴； ∴； ∵O为AC的中点； ∴； ∴在和中； ； ∴（）； ∴； ∴； 即． 17．（1）【课本再现】我们前面学习过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．请你尝试证明． 已知：如图1，是的中位线． 求证：． （2）【实践应用】 如图2，是的中位线，是边上的中线，与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）与互相平分，见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质； （1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，，再由，即可证明； （2）如图，连接，证明四边形为平行四边形，从而可得结论． 【详解】证明：（1）如图所示，延长到F，使得， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴，且； （2）如图，连接， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴分别为的三边中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． 18．四边形中，，． (1)如图1，若，试求出的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点E，且，试求出的度数； (3)如图3，若和的角平分线交于点E，试求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和公式的求解原理，平行线的性质以及三角形的内角和定理，角平分线的定义，仔细分析图形是解题的关键． （1）根据四边形的内角和等于360°列式即可求解； （2）先根据平行线的性质求出与的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可； （3）先根据四边形的内角和等于求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用三角形的内角和定理列式即可求出的度数． 【详解】（1）∵，，， ∴， 解得； （2）∵，，， ∴， ， ∵是的角平分线， ∴， 在中，； （3）∵，， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴， 在中，． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平移，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的特点，列出方程． 用平移点的坐标的方法，求点的坐标即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴经过平移可以与重合， ∵，，， ，，解得：，， ∴点的坐标为； 故答案为： 20．如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     【答案】 【分析】取的中点，连接，证明，得到，求出，由的中点，F为的中点，得到，，证明，则，即可求出． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵， ∴ ∵的中点，F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，构造中位线是解题的关键． 21．如图，在四边形中，，，，，E，F分别是，BC的中点，则的长为 ．    【答案】 【分析】取的中点，构造中位线，求出，的长，再证明是直角三角形，然后运用勾股定理即可求解． 【详解】设的中点为H，连接、，如图：    ∵E，F分别是，BC的中点， ∴，都是中位线， ∴，∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，平行线的性质，勾股定理，构造中位线是解题关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，点O、、A、、B、、C……，都是平行四边形的顶点，点A、B、C……在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，点的坐标规律，先求出前几个点的坐标，找到规律第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，    ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴重合， ∴， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中心，其坐标为； 同理可得，，，则的中点坐标即第2个平行四边形的对称中心坐标为 同理可得第3个平行四边形的对称中心坐标为即 …… 同理可得第个平行四边形的对称中心坐标为 ∴第个平行四边形的对称中心的坐标是即为． 故答案为：． 23．如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，利用轴对称和平行四边形的性质得出为四边形周长的最小值，据此解答即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，    ， ， ，的中点为， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形周长， 由两点之间线段最短知，此时四边形周长最小， 在中，， 四边形周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短距离，勾股定理，垂直平线的性质，平行四边形的判 定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正添加辅助线是解决此题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在边上． (1)求a的值； (2)点F是边上一点，，连接．当_________时，四边形为平行四边形． 【答案】(1)60；(2)2 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再证明为等边三角形得到，从而得的值； （2）先根据旋转的性得到，，再证明，根据平行四边形的判定方法，当时，四边形为平行四边形，接着中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以，从而得到的值． 【详解】（1）解：绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 为等边三角形， ， 即的值为60； （2）解：绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 当时，四边形为平行四边形， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和平行四边形的判定． 25．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，得到； （2）证明，得出四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ，， ， ； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； 26．如图（1），在等腰中，，可以由通过顺时针旋转变换得到． (1)请直接写出旋转中心及最小旋转角的大小（用含的式子表示） ； (2)如图（2），若M为中点，点D在上，过点M作于Q，交于点N． ①求证：N为的中点； ②若，点D在上运动时（包括M，C两个端点），直接写出的最小值． 【答案】(1)旋转中心为，旋转方向为顺时针，旋转角为 (2)①见解析；② 【分析】本题考查等腰三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质． （1）由旋转的相关定义可得旋转中心为，旋转方向是顺时针，旋转角为； （2）①过作于，交于，由可以由通过旋转变换得到，知，，，而，有，故，可得，，故，即可得，是的中位线，从而点为的中点； ②点在上运动（包括，两个端点），当与重合时，最小，故最小，根据，，为中点，可得，，证明是等边三角形，得，从而可知的最小值为． 【详解】（1）解：可以由通过旋转变换得到，，，， 旋转中心为，旋转方向是顺时针，旋转角为； （2）①证明：过作于，交于，如图： 可以由通过旋转变换得到， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ，， ， 是的中位线， 点为的中点； ②解：点在上运动（包括，两个端点），当与重合时，最小，故最小，如图： ，，为中点， ，， ，， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 的最小值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$