17 2025年学业水平考试预测模拟卷(一)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东专版）

— ９７— — ９８— — ９９— 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分） １．下列各数中最小的数是 （　　） Ａ．－π　　　　　　　　 Ｂ．－３　　　　　　　　Ｃ．－槡５　　　　　　　　Ｄ．０ ２．各学科的图形都蕴含着对称美。下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　） Ａ 　　　　　 Ｂ 　　　　　 Ｃ 　　　　　 Ｄ ３．中国海油２月２５日发布公告，我国渤海深层油气勘探取得新的重大发现。渤中２６６油田的新钻探 井测试产能创新高，新增油气探明储量超过４０００万立方米。数据４０００万立方米用科学记数法表 示为 （　　） Ａ．４×１０３立方米 Ｂ．０．４×１０８立方米 Ｃ．４×１０７立方米 Ｄ．４０００×１０４立方米 ４．圆柱切除部分之后及其俯视图如图所示，则其主视图为 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 第４题图 　　　　　 第７题图 ５．下列运算结果正确的是 （　　） Ａ．ｍ６÷ｍ３＝ｍ２ Ｂ．－ｍ（ｎ－ｍ）＝－ｍｎ－ｍ２ Ｃ．－（３ｍ）２＝－９ｍ２ Ｄ．（ｍ－１）２＝ｍ２－２ｍ－１ ６．某校学生去距离学校１２ｋｍ的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了２０ｍｉｎ后其余学生乘汽 车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车速度的２倍，则自行车的速度为 （　　） Ａ．０．３ｋｍ／ｍｉｎ Ｂ．０．６ｋｍ／ｍｉｎ Ｃ．０．８ｋｍ／ｍｉｎ Ｄ．１．２ｋｍ／ｍｉｎ ７．将一把直尺和正六边形ＡＢＣＤＥＦ按如图所示的位置放置，若∠１＝５０°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．５０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．６８° ８．围棋起源于中国，棋子分为黑、白两种颜色。在一个不透明的盒子中，装有２个黑色棋子和１个白色 棋子，每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出两个棋子，则摸出的两个棋子颜色不同的概率是 （　　） Ａ． １ ３ Ｂ． ５ ９ Ｃ． ２ ３ Ｄ． ４ ９ ９．如图，在ＡＢＣＤ中，１＜ ＡＢ ＢＣ ＜２，∠ＤＡＢ，∠ＡＢＣ的平分线分别交ＣＤ于点Ｅ，Ｆ，ＡＥ与 ＢＦ交于点 Ｇ。若 ＤＦ＝３，ＥＦ＝２，ＡＧ＝ｋＧＥ，则ｋ的值为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ １０．“读书众壑归沧海，下笔微云起太山”，为了开展学生阅读活动，某学校计划为九年级购进一批图书。 已知购买３本生物科学类图书和１本天文科学类图书需１４０元，购买５本生物科学类图书和３本天 文科学类图书需３００元。若该校准备购买生物科学类和天文科学类两种图书共４６本，总费用不超 过１７８０元，则至多购买天文科学类图书 （　　） Ａ．１２本 Ｂ．１６本 Ｃ．２０本 Ｄ．２４本 二、填空题（本题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．因式分解：３ａ２ｂ－９ａｂ＝ 。 １２．若关于ｘ的不等式组 ２（ｘ＋１）＞８， ３ｘ＋１＜ａ＋２，{ 有且只有２个整数解，则ａ的取值范围是 。 １３．写出一个正整数ｋ的值，使得关于ｘ的方程ｘ２－５ｘ＋２ｋ＝０有实数根，则ｋ的值可以为 。（写 出一个即可） １４．如图，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＢＤ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝７０°，则∠ＡＢＤ－∠ＣＢＤ＝ °。 第１４题图 　　　　　 第１５题图 １５．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，以点Ａ为圆心，适当长为半径画弧，分别交ＡＣ，ＡＢ于 点Ｍ，Ｎ，分别以点Ｍ，Ｎ为圆心，大于 １ ２ ＭＮ的长为半径画弧，两弧交于点Ｐ，过点Ａ作射线ＡＰ交ＢＣ 于点Ｄ，再用尺规作图作出ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，则ＢＤ的长为 。 １６．在平面直角坐标系中，对于点Ｐ（ｘ，ｙ），我们把点Ｐ１（ｙ－１，－ｘ－１）叫做点Ｐ的友好点。已知点Ａ１的 友好点为 Ａ２，点 Ａ２的友好点为 Ａ３，点 Ａ３的友好点为 Ａ４，这样依次得到各点。若点 Ａ２０２４的坐标为 （－３，２），设点Ａ１（ｍ，ｎ），则ｍ＋ｎ的值为 。 三、解答题（本题共７小题，共７２分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（１０分）（１）计算：３槡２７＋槡｜３－２｜－( １３) －２ ＋ｔａｎ６０°； （２）先化简，再求值：(ｍ＋４ｍ＋４ｍ )÷ ｍ＋２ ｍ２ ，其中ｍ＝槡２＋２。 １８．（９分）图１是井冈山红旗雕塑的实物图，其正面可大致简化成图２，底座ＢＣ＝２０ｍ，∠Ｂ＝２６°，红旗 边ＡＥ＝２ＡＢ，ＥＦ＝ＡＣ，ＡＣ∥ＥＦ，∠Ｅ＝５２°，点Ｂ，Ａ，Ｅ在同一条直线上。 （１）连接ＣＦ，求证：∠ＢＣＦ＝９０°； （２）求雕塑顶端Ｆ到地面ＢＣ的距离。（参考数据：ｓｉｎ２６°≈０．４４，ｃｏｓ２６°≈０．９０，ｔａｎ２６°≈０．４９） 图１ 　　 图２ １７２０２５年学业水平考试预测模拟卷（一） （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — １００— — １０１— — １０２— １９．（９分）为增强学生国家安全意识，激发爱国情怀，某市举行国家安全知识竞赛。竞赛结束后，发现 所有参赛学生的成绩（满分１００分）均不低于６０分。小明将自己所在班级学生的成绩（用ｘ表示） 分为四组：Ａ组（６０≤ｘ＜７０），Ｂ组（７０≤ｘ＜８０），Ｃ组（８０≤ｘ＜９０），Ｄ组（９０≤ｘ≤１００），绘制了如图不 完整的频数直方图和扇形统计图。 学生成绩的频数直方图 　　　　 学生成绩的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （１）补全学生成绩的频数直方图； （２）在扇形统计图中，Ａ组所对应的圆心角度数为 °，本班成绩的中位数落在 组； （３）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如 Ａ组：６０≤ｘ＜７０的中间值为６５）来代替，试 估算小明班级的平均成绩； （４）根据本班成绩，请估计全市参加竞赛的８０００名学生中成绩不低于８０分的有多少人？ ２０．（１０分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＜０）的图象经过点Ａ（－６，１），直线ｙ＝ａｘ－２ 经过点Ｂ（－２，２）。 （１）求ｋ，ａ的值； （２）过第二象限的点Ｐ（－１，４）作平行于ｘ轴的直线，交直线ｙ＝ａｘ－２于点Ｃ，交函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＜０）的 图象于点Ｄ。判断线段ＰＤ与ＰＣ的数量关系，并说明理由。 ２１．（１０分）如图，ＰＡ是⊙Ｏ的切线，切点为 Ａ，ＡＣ是⊙Ｏ的直径，连接 ＯＰ交⊙Ｏ于点 Ｅ。过点 Ａ作 ＡＢ⊥ＰＯ于点Ｄ，交⊙Ｏ于点Ｂ，连接ＢＣ，ＰＢ。 （１）求证：ＰＢ是⊙Ｏ的切线； （２）若ｃｏｓ∠ＰＡＢ＝槡 １０ １０ ，ＢＣ＝１，求ＰＯ的长。 ２２．（１２分）在正方形ＡＢＣＤ中，ＢＤ是一条对角线，点Ｐ在射线ＤＣ上（与点Ｃ，Ｄ不重合），连接 ＡＰ，平 移△ＡＤＰ。使点Ｄ移动到点Ｃ，得到△ＢＣＱ，过点Ｑ作ＱＨ⊥ＢＤ于点Ｈ，连接ＡＨ，ＰＨ。 （１）若点Ｐ在线段ＣＤ上，如图。 ①依题意补全下图； ②判断ＡＨ与ＰＨ的数量关系与位置关系并加以证明； （２）若点Ｐ在线段ＤＣ的延长线上，且∠ＡＨＱ＝１２０°，正方形ＡＢＣＤ的边长为１，直接写出ＤＰ的长。 　　　 备用图 ２３．（１２分）在平面直角坐标系中，已知二次函数ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过坐标原点Ｏ和点Ａ（４＋ａ，０）， 其中ａ≥０。 （１）当ａ＝０时，求ｙ关于ｘ的函数表达式，并求出当ｘ为何值时，ｙ有最大值，最大值为多少； （２）当ａ＞０时，在０≤ｘ≤４范围内，ｙ是否存在最大值１０？若存在，求出相应的 ａ和 ｘ的值；若不存 在，请说明理由。 △ＡＢＬ，连接ＭＬ， 则ＡＬ＝ＡＮ，ＢＬ＝ＤＮ＝槡２。 ∵ＡＢ＝ＡＤ＝５，∠ＢＡＤ＝９０°， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ＝４５°， ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２＝ ５２＋５槡 ２＝槡５２。 ∴∠ＡＢＬ＝∠ＡＤＮ＝４５°， ＢＮ＝ＢＤ－ＤＮ＝槡５２－槡２＝槡４２。 ∴∠ＬＢＭ＝∠ＡＢＬ＋∠ＡＢＤ＝９０°。 ∵∠ＥＡＧ＝∠ＥＡＢ＝ １ ２∠ ＢＡＧ， ∠ＦＡＧ＝∠ＦＡＤ＝ １ ２∠ ＤＡＧ， ∴∠ＥＡＦ＝∠ＥＡＧ＋∠ＦＡＧ＝ １ ２ （∠ＢＡＧ＋∠ＤＡＧ）＝ １ ２∠ ＢＡＤ＝４５°。 ∵∠ＢＡＬ＝∠ＤＡＮ，∴∠ＭＡＬ＝∠ＢＡＬ＋∠ＢＡＥ＝ ∠ＤＡＮ＋∠ＢＡＥ＝９０°－∠ＥＡＦ＝４５°。 ∴∠ＭＡＬ＝∠ＥＡＦ，即∠ＭＡＬ＝∠ＭＡＮ。 在△ＭＡＬ和△ＭＡＮ中， ＡＬ＝ＡＮ， ∠ＭＡＬ＝∠ＭＡＮ， ＡＭ＝ＡＭ，{ ∴△ＭＡＬ≌△ＭＡＮ（ＳＡＳ）。 ∴ＭＬ＝ＭＮ。 ∵ＢＬ２＋ＢＭ２＝ＭＬ２，且ＢＭ＝槡４２－ＭＮ， ∴（槡２） ２＋（槡４２－ＭＮ） ２＝ＭＮ２。 ∴ＭＮ＝ 槡 １７２ ８ ，即ＭＮ的长为 槡 １７２ ８ 。 １７２０２５年学业水平考试预测模拟卷（一） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ １．Ａ　【解析】根据实数比较大小的方法，可得－π＜ －３＜－槡５＜０，∴最小的数是－π。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，故 选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，不是中心对称 图形，故选项不符合题意；Ｃ既是中心对称图形，也 是轴对称图形，故选项符合题意；Ｄ是轴对称图形， 不是中心对称图形，故选项不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｃ　【解析】４０００万＝４０００００００＝４×１０７。故选Ｃ。 ４．Ｄ　【解析】该几何体的主视图是矩形，里面有两条 棱用实线，其主视图为 。故选Ｄ。 ５．Ｃ　【解析】Ａ．ｍ６÷ｍ３＝ｍ３，故选项计算错误； Ｂ．－ｍ（ｎ－ｍ）＝－ｍｎ＋ｍ２，故选项计算错误； Ｃ．－（３ｍ）２＝－９ｍ２，故选项计算正确； Ｄ．（ｍ－１）２＝ｍ２－２ｍ＋１，故选项计算错误。故选Ｃ。 ６．Ａ　【解析】设自行车的速度为ｘｋｍ／ｍｉｎ，则汽车的 速度是２ｘｋｍ／ｍｉｎ。 根据题意，得 １２ ｘ －２０＝ １２ ２ｘ ，解得 ｘ＝０．３。经检验，ｘ＝ ０．３是所列方程的根，且符合题意。故选Ａ。 ７．Ｃ　【解析】如图，过点Ｃ作ＣＧ∥ＰＱ。 ∵ＰＱ∥ＭＮ， ∴ＰＱ∥ＣＧ∥ＭＮ。 ∴∠２＝∠ＢＣＧ，∠１＝∠ＤＣＧ。 ∴∠１＋∠２＝∠ＢＣＧ＋∠ＤＣＧ＝∠ＢＣＤ。 ∵六边形ＡＢＣＤＥＦ是正六边形， ∴∠ＢＣＤ＝ （６－２）×１８０° ６ ＝１２０°＝∠１＋∠２。 ∵∠１＝５０°， ∴∠２＝１２０°－５０°＝７０°。故选Ｃ。 ８．Ｃ　【解析】列表如下： 黑 黑 白 黑 （黑，黑） （白，黑） 黑 （黑，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （黑，白） 共有６种等可能的结果，其中摸到不同颜色的棋子 的结果有４种，∴摸到不同颜色的两个棋子的概率 是 ２ ３ 。故选Ｃ。 ９．Ｃ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠ＤＥＡ＝∠ＢＡＥ，∠ＣＦＢ＝∠ＡＢＦ。 ∵ＡＥ是∠ＤＡＢ的平分线，ＢＦ是∠ＡＢＣ的平分线， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＥ，∠ＣＢＦ＝∠ＡＢＦ。 ∴∠ＤＥＡ＝∠ＤＡＥ，∠ＣＦＢ＝∠ＣＢＦ。 ∴ＤＥ＝ＡＤ，ＣＦ＝ＢＣ。 ∴ＤＥ＝ＣＦ＝ＤＦ＋ＥＦ＝３＋２＝５。 ∴ＡＢ＝ＣＤ＝ＤＥ＋ＣＦ－ＥＦ＝５＋５－２＝８。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴△ＡＢＧ∽△ＥＦＧ。                                                                —４６— ∴ ＡＧ ＧＥ ＝ＡＢ ＥＦ ＝８ ２ ＝４。 ∴ＡＧ＝４ＧＥ。∴ｋ＝４。故选Ｃ。 １０．Ｃ　【解析】设生物科学类图书的单价为ｘ元，天文 科学类图书的单价为ｙ元。 根据题意，得 ３ｘ＋ｙ＝１４０， ５ｘ＋３ｙ＝３００，{ 解得 ｘ＝３０，ｙ＝５０。{ ∴生物科学类图书的单价为３０元，天文科学类图 书的单价为５０元。 设该校购买天文科学类图书 ａ本，则购买生物科 学类图书（４６－ａ）本。 根据题意，得３０（４６－ａ）＋５０ａ≤１７８０，解得ａ≤２０。 ∴至多购买天文科学类图书２０本。故选Ｃ。 １１．３ａｂ（ａ－３）　【解析】３ａ２ｂ－９ａｂ＝３ａｂ（ａ－３）。 １２．１４＜ａ≤１７　【解析】 ２（ｘ＋１）＞８，① ３ｘ＋１＜ａ＋２，②{ 解不等式①，得ｘ＞３。 解不等式②，得ｘ＜ ａ＋１ ３ 。 ∴不等式组的解集为３＜ｘ＜ ａ＋１ ３ 。 ∵关于ｘ的不等式组 ２（ｘ＋１）＞８， ３ｘ＋１＜ａ＋２，{ 有且只有２个整 数解（即４和５）， ∴５＜ ａ＋１ ３≤ ６，解得１４＜ａ≤１７。 １３．３（答案不唯一）　【解析】∵关于ｘ的方程ｘ２－５ｘ＋ ２ｋ＝０有实数根，∴Δ＝ｂ２－４ａｃ≥０， 即（－５）２－４×１×２ｋ≥０，解得ｋ≤３ １ ８ 。 ∵ｋ为正整数，∴ｋ＝３或２或１。 １４．１５　【解析】如图，连接ＣＤ。 ∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＣＤ＝９０°。 ∵∠ＢＤＣ＝∠Ａ＝７０°， ∴∠ＣＢＤ＝９０°－７０°＝２０°。 ∵ＡＣ＝ＡＢ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝ １ ２ ×（１８０°－７０°）＝５５°。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ－∠ＤＢＣ＝５５°－２０°＝３５°。 ∴∠ＡＢＤ－∠ＣＢＤ＝３５°－２０°＝１５°。 １５．５　【解析】∵∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８， ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ６２＋８槡 ２＝１０。 由作图可知ＡＤ平分∠ＣＡＢ。 ∵ＤＣ⊥ＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，∴ＣＤ＝ＤＥ。 ∵Ｓ△ＡＣＢ＝Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＡＤＢ， ∴ １ ２ ×６×８＝ １ ２ ×６×ＣＤ＋ １ ２ ×１０×ＤＥ。 设ＣＤ＝ＤＥ＝ｘ，则２４＝３ｘ＋５ｘ。 ∴ｘ＝３，即ＣＤ＝ＤＥ＝３。 ∴ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝８－３＝５。 １６．３　【解析】∵点Ａ１（ｍ，ｎ），∴点Ａ２（ｎ－１，－ｍ－１），Ａ３ （－ｍ－２，－ｎ），Ａ４（－ｎ－１，ｍ＋１），Ａ５（ｍ，ｎ）。 由此可知，每四次一循环。 ∵２０２４÷４＝５０６，∴点Ａ２０２４与点Ａ４的坐标相同。 ∴－ｎ－１＝－３，ｍ＋１＝２，解得ｍ＝１，ｎ＝２。 ∴ｍ＋ｎ＝３。 １７．解：（１）原式＝３＋２－槡３－９＋槡３＝－４。 （２）原式＝(ｍ ２ ｍ ＋４ｍ ＋４ ｍ )· ｍ ２ ｍ＋２ ＝（ｍ ＋２）２ ｍ · ｍ２ ｍ＋２ ＝ｍ２＋２ｍ。 当ｍ＝槡２＋２时，原式＝（槡２＋２） ２＋２（槡２＋２） ＝２＋槡４２＋４＋槡２２＋４＝１０＋槡６２。 １８．（１）证明：如图，设ＡＥ，ＣＦ的交点为Ｇ。 ∵ＡＣ∥ＥＦ，∠Ｅ＝５２°， ∴∠ＥＦＧ＝∠ＡＣＧ，∠Ｅ＝∠ＣＡＧ＝５２°。 ∵ＥＦ＝ＡＣ， ∴△ＥＦＧ≌△ＡＣＧ（ＡＳＡ）。 ∴ＡＧ＝ＥＧ。 ∵ＡＥ＝２ＡＢ， ∴ＡＢ＝ＡＧ。 ∵∠Ｂ＝２６°， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＧ－∠Ｂ＝２６°＝∠Ｂ。 ∴ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＧ。 ∴∠ＡＣＧ＝∠ＡＧＣ＝ １ ２ （１８０°－５２°）＝６４°。 ∴∠ＢＣＧ＝∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＧ＝２６°＋６４°＝９０°，即 ∠ＢＣＦ＝９０°。 （２）解：∵∠Ｂ＝２６°，∠ＢＣＧ＝９０°，ＢＣ＝２０ｍ， ∴ＣＧ＝ＢＣ·ｔａｎ２６°≈２０×０．４９＝９．８（ｍ）。 由（１）知△ＥＦＧ≌△ＡＣＧ， ∴ＦＧ＝ＣＧ＝ １ ２ ＣＦ＝９．８ｍ。 ∴ＣＦ＝２×９．８＝１９．６（ｍ）。 ∴雕塑顶端Ｆ到地面ＢＣ的距离为１９．６ｍ。 １９．解：（１）∵班级人数为１０÷２５％＝４０， ∴Ｂ组的人数为４０×２０％＝８。                                                                —５６— 补全频数直方图如下： （２）∵Ａ组人数占班级人数的百分比为 ４÷４０×１００％＝１０％， ∴Ａ组所对应的圆心角度数为 ３６０°×１００％＝３６°。 本班成绩的中位数在８０—９０之间，即在Ｃ组。 故答案为３６；Ｃ。 （３）小明班级的平均成绩为 （６５×４＋７５×８＋８５×１０＋９５×１８）÷４０＝８５．５（分）。 （４）在抽取出的学生中，成绩不低于８０分的有 １０＋１８＝２８（人）， ８０００× ２８ ４０ ＝５６００（人）。 ∴估计全市参加竞赛的 ８０００名学生中成绩不低 于８０分的有５６００人。 ２０．解：（１）∵反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＜０）的图象经过点Ａ （－６，１）， ∴ｋ＝－６×１＝－６。 ∵直线ｙ＝ａｘ－２经过点Ｂ（－２，２）， ∴－２ａ－２＝２，解得ａ＝－２。 （２）ＰＤ＝ １ ４ ＰＣ，理由如下： 由（１），得反比例函数的表达式为ｙ＝－ ６ ｘ ，直线ＢＣ 的表达式为ｙ＝－２ｘ－２。 把ｙ＝４代入ｙ＝－２ｘ－２，解得ｘ＝－３。 ∴点Ｃ（－３，４）。 把ｙ＝４代入ｙ＝－ ６ ｘ ，解得ｘ＝－ ３ ２ 。 ∴点Ｄ(－３２，４)。 ∴ＰＣ＝－１－（－３）＝２， ＰＤ＝－１－(－３２) ＝１２。 ∴ＰＤ＝ １ ４ ＰＣ。 ２１．（１）证明：如图，连接ＯＢ。 ∵ＡＢ⊥ＰＯ，∴ＡＤ＝ＢＤ。 ∵ＯＡ＝ＯＢ，ＯＤ＝ＯＤ， ∴△ＯＡＤ≌△ＯＢＤ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＤ。 ∵ＯＡ＝ＯＢ，ＯＰ＝ＯＰ，∴△ＯＡＰ≌△ＯＢＰ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＯＡＰ＝∠ＯＢＰ。 ∵ＰＡ是⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＡＰ＝９０°。 ∴∠ＯＢＰ＝∠ＯＡＰ＝９０°。 ∵ＯＢ是⊙Ｏ的半径，∴ＰＢ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：由（１）可知∠ＯＡＰ＝９０°， ∴∠ＰＡＢ＋∠ＢＡＣ＝９０°。 ∵ＡＣ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＢＣ＝９０°。 ∴∠ＢＣＡ＋∠ＢＡＣ＝９０°。 ∴∠ＰＡＢ＝∠ＢＣＡ。 ∴ｃｏｓ∠ＰＡＢ＝ｃｏｓ∠ＢＣＡ＝ ＢＣ ＡＣ ＝槡１０ １０ ，即 １ ＡＣ ＝槡１０ １０ ， 解得ＡＣ＝槡１０。 ∴ＡＯ＝ １ ２ ＡＣ＝槡 １０ ２ 。 ∵ＡＢ⊥ＰＯ，∴∠ＤＯＡ＋∠ＢＡＣ＝９０°。 ∴∠ＤＯＡ＝∠ＢＣＡ。∴∠ＤＯＡ＝∠ＰＡＢ。 ∴ｃｏｓ∠ＤＯＡ＝ｃｏｓ∠ＰＡＢ＝ ＯＡ ＯＰ ＝槡１０ １０ ， 即 槡１０ ２ ＯＰ ＝槡１０ １０ ，解得ＰＯ＝５。 　图１ ２２．解：（１）①如图１。 ②ＡＨ＝ＰＨ，ＡＨ⊥ＰＨ。证明如下： 如图１，连接ＣＨ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＢＤＣ＝４５°。 又∵ＱＨ⊥ＢＤ， ∴∠ＤＨＱ＝９０°。∴∠ＤＱＨ＝∠ＢＤＣ＝４５°。 ∴△ＤＨＱ是等腰直角三角形。 由平移的性质可知ＤＰ＝ＣＱ。 在△ＨＤＰ和△ＨＱＣ中， ＨＤ＝ＨＱ， ∠ＨＤＰ＝∠ＨＱＣ， ＤＰ＝ＱＣ，{ ∴△ＨＤＰ≌△ＨＱＣ（ＳＡＳ）。 ∴ＰＨ＝ＣＨ，∠ＤＨＰ＝∠ＱＨＣ。 根据正方形是轴对称图形得到 ＡＨ＝ＣＨ，∠ＡＨＤ＝∠ＣＨＤ， ∴ＡＨ＝ＰＨ。 ∴∠ＡＨＤ＋∠ＤＨＰ＝∠ＣＨＤ＋∠ＱＨＣ＝９０°。 ∴∠ＡＨＰ＝９０°。 ∴ＡＨ＝ＰＨ，ＡＨ⊥ＰＨ。                                                                —６６— （２）如图２，点Ｐ在线段ＤＣ的延长线上，点Ｄ移动 到点Ｃ，得到△ＢＣＱ，过点Ｑ作ＱＨ⊥ＢＤ于点Ｈ，连 接ＡＨ，ＰＨ，ＣＨ，过点Ｈ作ＨＲ⊥ＰＣ于点Ｒ。 同（１）②可证ＡＨ＝ＰＨ，ＡＨ⊥ＰＨ， 　图２ ∴∠ＨＰＡ＝∠ＨＡＰ＝４５°。 ∵∠ＡＨＱ＝１２０°， ∴∠ＡＨＢ＝∠ＣＨＢ＝３０°。 ∴∠ＱＨＰ＝∠ＣＨＢ＝ ∠ＣＨＰ＝３０°。 ∴∠ＣＰＨ＝ １ ２ ×（１８０°－∠ＣＨＰ）＝７５°。 ∴∠ＡＰＤ＝∠ＣＰＨ－∠ＡＰＨ＝３０°。 在Ｒｔ△ＡＰＤ中，ＡＤ＝１， ∴ＤＰ＝ ＡＤ ｔａｎ３０° ＝槡３。 ２３．解：（１）当ａ＝０时，点Ａ（４，０）， 把点Ｏ（０，０），Ａ（４，０）代入ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 得 ｃ＝０， －８＋４ｂ＋ｃ＝０，{ 解得 ｂ＝２，ｃ＝０。{ ∴ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋２ｘ。 ∵ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋２ｘ＝－ １ ２ （ｘ－２）２＋２， ∴当ｘ＝２时，ｙ有最大值，最大值为２。 （２）当ａ＞０时，在 ０≤ｘ≤４范围内，ｙ存在最大值 １０。理由如下： ∵二次函数的图象经过原点Ｏ和点Ａ（４＋ａ，０）， ∴ ｃ＝０， －１ ２ ×（４＋ａ）２＋ｂ（４＋ａ）＋ｃ＝０。{ ∴ ｂ＝ １ ２ （４＋ａ）， ｃ＝０。{ ∴ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ １ ２ （４＋ａ）ｘ＝－ １ ２(ｘ－４ ＋ａ ２ ) ２ ＋（４ ＋ａ）２ ８ 。 ∴抛物线ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ １ ２ （４＋ａ）ｘ的对称轴为直线 ｘ ＝ａ ＋４ ２ 。 ①当 ａ＋４ ２≥ ４，即ａ≥４时， 则当ｘ＝４时，ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ １ ２ （４＋ａ）ｘ取得最大值。 ∴－ １ ２ ×４２＋ １ ２ （４＋ａ）×４＝１０，解得ａ＝５； ②当 ａ＋４ ２ ＜４，即０＜ａ＜４时， 则当ｘ＝ ａ＋４ ２ 时，ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ １ ２ （４＋ａ）ｘ取得最大值。 ∴ （４＋ａ）２ ８ ＝１０， 解得ａ＝－４－槡４５（小于０，舍去）或 ａ＝－４＋槡４５（大 于４，舍去）。 综上所述，当ａ的值为 ５，ｘ的值为 ４时，ｙ取得最 大值１０。 １８２０２５年学业水平考试预测模拟卷（二） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｄ Ａ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ａ Ａ Ａ １．Ｄ　【解析】Ａ．－槡２＜－１，故选项不符合题意； Ｂ．－２＜－１，故选项不符合题意； Ｃ．－３＜－１，故选项不符合题意； Ｄ．０＞－１，故选项符合题意。故选Ｄ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，故 选项不符合题意；Ｂ既不是轴对称图形，也不是中 心对称图形，故选项不符合题意；Ｃ既不是轴对称 图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； Ｄ既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符 合题意。故选Ｄ。 ３．Ａ　【解析】１２００００００＝１．２×１０７。故选Ａ。 ４．Ａ　【解析】观察图形可知，该几何体的主视图是 。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．ａ２＋ａ３不能合并，故选项不符合题意； Ｂ．ａ（ａ－１）＝ａ２－ａ，故选项不符合题意； Ｃ．（ａ－ｂ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２，故选项不符合题意； Ｄ．（２ａ）２＝４ａ２，故本选项符合题意。故选Ｄ。 ６．Ａ　【解析】设两台汽车的续航里程为ｘ千米， 根据题意，得 ４０×９ ｘ ＝６０ ×０．６ ｘ ＋０．５４。解得ｘ＝６００。 经检验，ｘ＝６００是所列方程的根，且符合题意。 故选Ａ。 ７．Ｃ　【解析】∵五边形ＡＢＣＤＥ是正五边形， ∴∠ＤＥＨ＝３６０°÷５＝７２°。 ∵四边形ＥＤＦＧ是正方形，∴ＤＥ∥ＦＧ。 ∴∠ＤＥＨ＋∠ＥＨＦ＝１８０°。 ∴∠ＥＨＦ＝１８０°－７２°＝１０８°。故选Ｃ。                                                                —７６—