第03讲：组合和组合数【10大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第03讲：组合和组合数 【考点梳理】 · 考点一、组合概念的理解 · 考点二、组合数（方程）的计算 · 考点三、组合数的性质及应用 · 考点四、实际问题中的组合计数问题 · 考点五、代数中的组合计数问题 · 考点六、几何组合计数问题 · 考点七、分组分配问题 · 考点八、x+y+z=n的整数解的个数 · 考点九、其它组合计数问题 · 考点十：组合的综合问题 【知识梳理】 知识点一　组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 知识点二　排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 知识点三　组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 知识点四　组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 【题型归纳】 题型一、组合概念的理解 1．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 2．（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 3．（22-23高二下·山西晋中·期中）下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 题型二、组合数（方程）的计算 4． （21-22高二下·重庆） （1）若，求的值； （2）求的值. 5． （23-24高二下·山东青岛） （1）计算：；(请用数字作答) （2）解关于正整数n的方程： 6．（23-24高二上·上海）解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 题型三、组合数的性质及应用 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 8．（23-24高二下·山西长治·期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 9．（23-24高二下·四川眉山·期中）若，则的值为（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 题型四、实际问题中的组合计数问题 10．（24-25高二下·全国）已知四棱锥有5个顶点，则以其中任意3个顶点组成的三角形的个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 11．（24-25高二下·全国）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 12．（23-24高二下·全国·单元测试）从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（   ） A． B．   C． D． 题型五、代数中的组合计数问题 13．（2024·河北承德·二模）对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（    ） A．97个 B．91个 C．84个 D．75个 14．（23-24高二下·湖北宜昌·阶段练习）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（    ） A．240 B．216 C．180 D．108 15．（2024·广西·三模）已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（    ） A．55个 B．70个 C．40个 D．35个 题型六、几何组合计数问题 16．（23-24高二下·广东广州·期末）以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（    ） A．70 B．64 C．58 D．24 17．（23-24高二下·河北唐山·期中）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（  ） A．35 B．34 C．31 D．30 18．（23-24高二下·四川眉山·期末）一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（    ）对异面直线 A．174 B．180 C．210 D．368 题型七、分组分配问题 19．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 20．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 21．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 题型八、x+y+z=n的整数解的个数 22．（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 23．（22-23高二下·山西朔州·阶段练习）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 24．（20-21高二上·江苏南京·期末）方程的非负整数解有（    ） A．组 B．136组 C．190组 D．68组 题型九、其它组合计数问题 25．（2024·湖北·模拟预测）互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（ ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 26．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（    ） A．504 B．126 C．112 D．56 27．（22-23高二下·山西忻州·阶段练习）如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 题型十：组合的综合问题 28．（24-25高二下·全国）从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： (1)有女生但不少于男生； (2)女生甲不担任物理课代表； (3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 29．（23-24高二下·天津）甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，共有多少种不同的排列方法？ (2)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (3)排成一排，甲乙相邻，共有多少种不同排列方法？ (4)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (5)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 30．（23-24高二下·江苏扬州·期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【高分演练】 一、单选题 31．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的值可以是（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 32．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 34．（24-25高二下·全国·课后作业）某地区计划安排5名工作人员到3个乡镇进行农村人居环境调查，每个乡镇至少1名工作人员，其中甲、乙两人去同一乡镇，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．36种 C．40种 D．46种 35．（24-25高二下·全国）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 36．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（   ）种分配方法. A．90 B．60 C．126 D．120 37．（23-24高二下·江苏镇江·期末）化简结果为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 39．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 40．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（    ） A．68种 B．136种 C．272种 D．544种 二、多选题 41．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 42．（24-25高三上·吉林白城）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 43．（22-23高二下·山东·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法 B．小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法 C．英文单词“”由个字母构成，将这个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词） D．六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有种 44．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（    ）． A．若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种； B．若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种； C．若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种； D．若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种； 45．（23-24高二下·四川凉山·期中）在四川省新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据普通高等学校统一招生要求，必在物理、历史2门学科中选择1门，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（    ） A．若任意选科，则选法总数为12种 B．若政治必选，则选法总数为3种 C．若化学、地理至少选一门，则选法总数为10种 D．若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为5种 三、填空题 46．（24-25高二下·全国）小明将个不同时期的生肖纪念币分成份进行观赏，每份至少个，且每份数量不同，则不同的分配方法有 种． 47．（24-25高二下·全国）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．若已定好节目单，后来情况有变，需加上小品和魔术2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，则有 种不同的节目演出顺序． 48．（24-25高二下·全国）某次征文大赛评选结束后，学校要从高二的5篇优秀范文和高一的4篇优秀范文中各选2篇放置在学校的宣传栏的第一排供师生阅读与欣赏，要求高一、高二的范文在宣传栏中的摆放顺序岔开，则不同的摆放方案共有 种． 49．（23-24高二下·天津滨海新）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 种. 50．（24-25高三·上海·课堂例题）某地8名防疫工作人员到、、、四个社区做疫苗接种宣传，每名工作人员只去1个社区，社区安排1名、社区安排2名、社区安排3名，剩下的人员到社区，则不同的安排方法共有 种． 四、解答题 51．（23-24高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 52．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有4名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： (1)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？ (2)学校从观看《我本是高山》的4名男教师和2名女教师中选派3名教师参加市教育局组织的观影分享会，若要求选派的3名教师中至少要有1名女教师，那么有多少种选派方法？ 53．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）从A，B，C等7人中选5人排成一排． ①若A必须在内，有多少种排法？ ②若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ （2）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有多少种？ 54．（23-24高二下·广东茂名·期中）某校高二年级开设了《数学建模》、《电影赏析》、《经典阅读》、《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的． (1)三人共有多少种不同的课程选择种数? (2)求三位同学选择的课程互不相同的概率; (3)若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数? 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：组合和组合数 【考点梳理】 · 考点一、组合概念的理解 · 考点二、组合数（方程）的计算 · 考点三、组合数的性质及应用 · 考点四、实际问题中的组合计数问题 · 考点五、代数中的组合计数问题 · 考点六、几何组合计数问题 · 考点七、分组分配问题 · 考点八、x+y+z=n的整数解的个数 · 考点九、其它组合计数问题 · 考点十：组合的综合问题 【知识梳理】 知识点一　组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 知识点二　排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 知识点三　组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 知识点四　组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 【题型归纳】 题型一、组合概念的理解 1．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】根据排列、组合的定义判断即可. 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 2．（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 3．（22-23高二下·山西晋中·期中）下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】D 【分析】根据组合的性质逐一判断即可. 【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题； 因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题； 因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题； 因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题， 故选：D 题型二、组合数（方程）的计算 4． （21-22高二下·重庆） （1）若，求的值； （2）求的值. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）根据组合数的定义及组合数的性质即可求解； （2）根据组合数的定义及组合数的性质即可求解； 【详解】（1）由，得或，解得或； 实数的值为或. （2）由组合数的性质知， . 所以的值为. 5． （23-24高二下·山东青岛） （1）计算：；(请用数字作答) （2）解关于正整数n的方程： 【答案】（1）448；（2） 【分析】（1）利用组合数的性质将原式化简重组即可求得结果； （2）先利用组合数性质化简，再运用组合数和排列数公式展开计算即可求得. 【详解】（1）原式 ； （2）由化简得 展开得， 因，故可化简得：， 解得或 (舍)，故方程的正整数解为. 6．（23-24高二上·上海）解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解. 【详解】（1）x为正整数， 由可得或， 故或，解得或或或（舍去）， 又均为整数，且， 所以或符合要求，不符合要求， 故或 （2）由组合数的性质可得， 所以由可得，进而可得， 解得或（舍去）， 由于，所以，故只取，舍去， 题型三、组合数的性质及应用 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 【答案】D 【分析】根据组合数的性质来求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 8．（23-24高二下·山西长治·期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以，解得. 故选：B 9．（23-24高二下·四川眉山·期中）若，则的值为（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】C 【分析】由组合数的性质计算，结合二项式系数的性质求结论. 【详解】因为，又 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C. 题型四、实际问题中的组合计数问题 10．（24-25高二下·全国）已知四棱锥有5个顶点，则以其中任意3个顶点组成的三角形的个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】B 【分析】根据组合数的知识求解即可. 【详解】因为这5个点中任何3个点都不在一条直线上，并且构成的三角形的点没有顺序区分， 所以所有三角形的个数是． 故选：B. 11．（24-25高二下·全国）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【答案】C 【分析】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得. 【详解】若恰有1名女生参加，则有种， 若恰有2名女生参加，则有种， 所以共有种不同的选派方式． 故选：C. 12．（23-24高二下·全国·单元测试）从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（   ） A． B．   C． D． 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理直接计算可得结果. 【详解】从1，3，5，7，9中任取三个数有种方法， 从2，4，6，8中任取两个数有种方法， 再把取出的5个数全排列共有种， 故一共可以组成数字不重复的五位数的个数是. 故选：C. 题型五、代数中的组合计数问题 13．（2024·河北承德·二模）对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（    ） A．97个 B．91个 C．84个 D．75个 【答案】C 【分析】在中任取3个数，其大小关系确定，故只需任取3个即可，结合组合数运算求解. 【详解】在中任取3个数，其大小关系确定，所以“渐升数”共有个. 故选：C. 14．（23-24高二下·湖北宜昌·阶段练习）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（    ） A．240 B．216 C．180 D．108 【答案】C 【分析】按照是否取到0进行分类讨论，结合排列组合求解. 【详解】按照是否取到0进行分类： ①若从0，2，4中取的2个数字中不含0，则共有个无重复数字的四位数； ②若从0，2，4中取的2个数字中含0，则共有个无重复数字的四位数. 因此满足条件的共有个数. 故选：C 15．（2024·广西·三模）已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（    ） A．55个 B．70个 C．40个 D．35个 【答案】A 【分析】分有和没有两种情况讨论，选项出数字，再排列. 【详解】若这三个数字里没有，则共有个， 若这三个数字里有，则共有个，则共有个. 故选：A. 题型六、几何组合计数问题 16．（23-24高二下·广东广州·期末）以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（    ） A．70 B．64 C．58 D．24 【答案】C 【分析】利用平行六面体的性质，结合构成四面体的4个顶点不共面，先求8个顶点任选4个顶点的总数，再去掉4个顶点共面的情况，即为所求平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数. 【详解】由题意知：要使平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面， 1、8个顶点任选4个，有种， 2、8个顶点任选4个，共面的有12种， ∴以平行六面体的顶点为顶点的四面体有个. 故选：C 17．（23-24高二下·河北唐山·期中）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（  ） A．35 B．34 C．31 D．30 【答案】C 【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可. 【详解】从这七个点任意选取三个点有个， 其中共线的四点中有个不能构成三角形， 所以不同的三角形个数有31个， 故选：C. 18．（23-24高二下·四川眉山·期末）一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（    ）对异面直线 A．174 B．180 C．210 D．368 【答案】B 【分析】分析底面是梯形的直四棱柱中，任取4个顶点能构成四面体的最多个数，再利用一个四面体有3对异面直线，列式计算即得. 【详解】每对异面直线，需4个顶点并且这4个顶点不共面，而不共面的4个点顺次连接构造一个四面体， 一个四面体的3组相对棱都是异面直线，底面是梯形的直四棱柱有8个顶点， 从8个顶点中任取4个有种方法，其中6个表面四边形4个顶点共面， 对角面都是平面四边形，4个顶点共面， 因此从底面是梯形的直四棱柱的8个顶点中任取4个顶点，构成四面体的个数最多有， 所以最多能组成异面直线对数是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求出异面直线对数的关键是求出最多的四面体个数. 题型七、分组分配问题 19．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论. 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种， 再将余下人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名， 故满足条件的报名方法有, 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法， 再安排余下三人，有种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种， 所以满足条件的不同的报名方法共有种方法. 故选：C. 20．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【答案】C 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 21．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 【答案】C 【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C 题型八、x+y+z=n的整数解的个数 22．（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 【答案】A 【分析】将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解. 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为， 所以， 从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球， 一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 23．（22-23高二下·山西朔州·阶段练习）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 【答案】B 【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可． 【详解】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球， 采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可， 故共有种． 故选：B. 24．（20-21高二上·江苏南京·期末）方程的非负整数解有（    ） A．组 B．136组 C．190组 D．68组 【答案】C 【分析】根据题意，将问题转化，利用插空法分析即可得出答案. 【详解】根据题意，对于方程， 将“18”看成18个“1”， 18个“1”共有19个空， 从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板， 即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为的数值， 则有. 方程的非负整数解有190组. 故选：C 题型九、其它组合计数问题 25．（2024·湖北·模拟预测）互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（ ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【答案】D 【分析】由题意得对红菊花所处位置进行分类，每一类根据分步计数原理可得. 【详解】红菊花在正中间位置时，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻， 即红菊花两边各一盆白色，黄色菊花，故有； 红菊花在首位或者尾端时，先排好白菊花，产生三个空再对黄菊花分类排即可， 故； 红菊花在第2或者第4位置时，先给首位或者尾端任意放一种，剩下的3盆花位置就确定了，故； 综上，共有种摆放方法. 故选：D 26．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（    ） A．504 B．126 C．112 D．56 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用隔板法列式计算得解. 【详解】取9个小球排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，把9个小球分成4部分， 每一部分的小球个数即为分配到4个班的名额数， 所以不同的分配方法的种数为. 故选：D 27．（22-23高二下·山西忻州·阶段练习）如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 【答案】A 【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数. 【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为； 若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为； 则不同的信号总数为. 故选：A． 题型十：组合的综合问题 28．（24-25高二下·全国）从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： (1)有女生但不少于男生； (2)女生甲不担任物理课代表； (3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 【答案】(1)5400 (2)13440 (3)4620 【分析】（1）分类讨论有3个女生2个男生或有4个女生1个男生，利用排列组合结合分类计数原理即可求解； （2）从除女生甲外的其他8人中选取1人担任除物理课代表，再从剩下的8个人中选其余4科课代表，结合排列组合即可求解； （3）分类讨论男生甲入选和不入选，利用排列组合结合分类计数原理即可求解. 【详解】（1）由女生人数不少于男生可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生， ①有4个女生的选法有：种； ②有3个女生的选法有：种； 不同的安排方法种数有种． （2）因为女生甲不担任物理课代表，从除女生甲外的其他8人中选取1人担任除物理课代表， 再从剩下的8个人中选其余4科课代表，所以不同的安排种数有种； （3）因为女生乙人选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表， ①男生甲入选的选法有：种； ②男生甲不入选的选法有：种； 所以不同的安排方法种数有种． 29．（23-24高二下·天津）甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，共有多少种不同的排列方法？ (2)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (3)排成一排，甲乙相邻，共有多少种不同排列方法？ (4)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (5)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 【答案】(1)120 (2)72 (3)48 (4)243 (5)150 【分析】（1）根据全排列公式求解即可； （2）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得； （3）利用捆绑法求解即可； （4）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. （5）把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解. 【详解】（1）甲乙丙丁戊五个同学排成一排，共有种不同的排列方法； （2）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有种方法， 再将甲乙插空隙中，有种方法， 所以共有不同排法数为（种） （3）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙相邻，先将甲乙排在一起，有种排法， 再与其他同学全排列有种排法，共有种排法； （4）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去， 因此每个人都有3种选择，所以不同游览方法有（种）. （5）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人， 则先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 30．（23-24高二下·江苏扬州·期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【答案】；； 【分析】（1）利用捆绑法计算即可； （2）利用分类加法计数原理结合部分平均分组计算即可； （3）利用分类加法计数原理结合分组分配问题计算即可. 【详解】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法； （2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况， 若是3,1,1,1分组，则有种， 若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法； （3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出， 有种派法； 若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生， 有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生， 此时派法有种， ②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种， 合计288种方法； 综上共有种派法. 【高分演练】 一、单选题 31．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的值可以是（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】由可得或，解得或， 故选：A 32．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 33．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 【答案】B 【分析】分类考虑，甲乙有可能各自参加一个足球场或者甲乙有一人和别人一起参加志愿服务，分别求出分配方案的种数，相加即得答案. 【详解】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案， 当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案， 故不同的分配方案共有种， 故选：B 34．（24-25高二下·全国·课后作业）某地区计划安排5名工作人员到3个乡镇进行农村人居环境调查，每个乡镇至少1名工作人员，其中甲、乙两人去同一乡镇，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．36种 C．40种 D．46种 【答案】B 【分析】先将甲、乙分在一个乡镇，再讨论将剩下3名工作人员分配到3个乡镇或3名工作人员分配到剩下两个乡镇，即可得出答案. 【详解】先将甲、乙分在一个乡镇，有种情况，剩下3名工作人员有2种分配情况： ①3名工作人员分配到3个乡镇，有种情况； ②3名工作人员分配到剩下两个乡镇，有种情况． 故共有种安排方案． 故选：B. 35．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 36．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（   ）种分配方法. A．90 B．60 C．126 D．120 【答案】C 【分析】将问题转化为将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，进而结合隔板法求解即可得到. 【详解】若每个班至少3人参加，由于（1）班有2个志愿者队长， 故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额， 再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额， 故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，有种分配方法. 故选：C. 37．（23-24高二下·江苏镇江·期末）化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由排列数、组合数的运算性质计算求解即可. 【详解】 ， ， ， ， ， ， 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用排列数和组合数性质将依次巧妙变形得，然后根据此式依次变形计算即可求解. 38．（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 【答案】D 【分析】根据排列组合知识结合分组问题求解即可. 【详解】因为甲没有选景点，所以甲有种选法， 其余5名学生可以选3个景点或4个景点. 当其余5名学生选3个景点时，有种选法； 当其余5名学生选4个景点时，有种选法. 故共有种不同的选法. 故选：D. 39．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 【答案】A 【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可. 【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班， 所以必有一人值班3天，另两人各值班2天. 第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法； 第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法； 第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法. 故选：A 40．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（    ） A．68种 B．136种 C．272种 D．544种 【答案】C 【分析】根据题意，按甲乙是否放在同一排两种情况讨论，由加法原理计算即可． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①甲乙放在同一排，有种放法， ②甲乙不放在同一排，有种放法， 则有种不同的放法． 故选：C． 二、多选题 41．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】CD 【分析】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 42．（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】BD 【分析】根据分步计数原理可判断A；先分组，然后再分配可判断BCD. 【详解】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误； 对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故B正确； 对C，先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故C错误； 对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确. 故选：BD. 43．（22-23高二下·山东·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法 B．小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法 C．英文单词“”由个字母构成，将这个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词） D．六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有种 【答案】ABC 【分析】利用隔板法求将个团员指标分到个班，每班要求至少得个的方法数，判断A，利用间接法判断B，利用插空法求满足条件的方法数，判断C，先求除甲，乙，丙外的三人排成一排的方法数，再考虑排甲的方法数，再按要求插入乙，丙确定其方法数，由此可得结论，判断D. 【详解】对于A，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下个团员指标排成一排，个指标之间有个空，用块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将个指标分给个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种，A正确； 对于B，因为借回至少本的反面为本都不借，又小明所有的借书方法数为种，所以借回至少本的方法数为种，B正确； 英文单词“”中字母有个，字母有个，字母、、各有一个，优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种方法，再插入个字母，共有种方法，所以一共有种方法，C正确； 先将除甲，乙，丙外的三人排成一排，共有种方法，再将甲排在丁相邻的位置，有种方法，再将乙，丙插空排入队列中，且保证不插在甲的两侧，有种方法，故共有种方法，D错误； 故选：ABC. 44．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（    ）． A．若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种； B．若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种； C．若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种； D．若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种； 【答案】BCD 【分析】利用捆绑法与插空法可判定A，利用分类计数原理计算可判定B、D，利用定序法可判定C. 【详解】对于A，甲乙相邻可看作一人，与戊一起排列形成3个空，插入丙、丁两人即可， 方法数为，故A错误； 对于B，若甲排最左端，则有种排法， 若乙排最左端，则最右端有人可选，中间三人有种排法，计种排法， 合计同的排法共有42种，故B正确； 对于C，五个位置，先排丁、戊两人，有， 余下三个位置甲、乙、丙三人按从左到右就1种排法，故C正确； 对于D，五人分三组，有3、1、1或2、2、1两个分派方法， 若分为3、1、1三组，则有种方法， 若分为2、2、1三组，则有种方法，合计150种方法，故D正确. 故选：BCD 45．（23-24高二下·四川凉山·期中）在四川省新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据普通高等学校统一招生要求，必在物理、历史2门学科中选择1门，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（    ） A．若任意选科，则选法总数为12种 B．若政治必选，则选法总数为3种 C．若化学、地理至少选一门，则选法总数为10种 D．若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为5种 【答案】ACD 【分析】借助组合数的定义，逐项计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 46．（24-25高二下·全国·课后作业）小明将个不同时期的生肖纪念币分成份进行观赏，每份至少个，且每份数量不同，则不同的分配方法有 种． 【答案】 【分析】满足条件的分类方式有，分别求出其方法总数，由分类加法计数原理即可得出答案. 【详解】由题可得，满足条件的分类方式有． 由分类加法计数原理可得，满足要求的分配方法有种． 故答案为：. 47．（24-25高二下·全国·课后作业）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．若已定好节目单，后来情况有变，需加上小品和魔术2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，则有 种不同的节目演出顺序． 【答案】110 【分析】除去首尾2个节目，加上小品和魔术后共有11个位置，第一步先排小品和魔术求出排法的数量，第二步让其他节目按原来顺序排入的排法数量，求出节目演出顺序的排法数量. 【详解】除去首尾2个节目，加上小品和魔术后共有11个位置， 第一步先排小品和魔术，有种排法， 第二步让其他节目按原来顺序排入，只有1种排法， 所以共有种排法． 故答案为：. 48．（24-25高二下·全国·课后作业）某次征文大赛评选结束后，学校要从高二的5篇优秀范文和高一的4篇优秀范文中各选2篇放置在学校的宣传栏的第一排供师生阅读与欣赏，要求高一、高二的范文在宣传栏中的摆放顺序岔开，则不同的摆放方案共有 种． 【答案】480 【分析】先将4篇范文选出来有种方法，再利用插空法求解摆放顺序，即可求解. 【详解】由题可得，先从高二的5篇中选2篇，从高一的4篇中选2篇，则有种不同的选择方案， 再将高二的2篇安排在某两个位置，最后将高一的2篇利用插空法进行摆放， 则有种不同的选择方案，故共有种不同的摆放方案． 故答案为：480 49．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】1560 【分析】分涂5种颜色、4种颜色、3种颜色三种情况，应用分步乘法及排列组合数求不同涂色方法数. 【详解】 用5种颜色，则共有种， 用4种颜色，选出4种颜色有种，选B和E、A和C中的一组区域涂一种颜色有种，其它三个区域有种，则共有种， 用3种颜色，选出3种颜色有种，其中B和E、A和C两组区域分别各涂一种颜色有种，剩下的一个区域有1种涂法，则共有种， 所以，共有种. 故答案为：1560 50．（24-25高三·上海·课堂例题）某地8名防疫工作人员到、、、四个社区做疫苗接种宣传，每名工作人员只去1个社区，社区安排1名、社区安排2名、社区安排3名，剩下的人员到社区，则不同的安排方法共有 种． 【答案】1680 【分析】由题意，根据不同社区选人，利用分步乘法计数原理列式计算即可. 【详解】依题意，只需依次根据不同社区选工作人员即可， 即不同的安排方法共有种. 故答案为：1680. 四、解答题 51．（23-24高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 【答案】(1)70种 (2)150种 【分析】（1）根据题意，结合组合数的计算即可求解； （2）根据分类加法和分布乘法计数原理结合组合数的计算即可求解． 【详解】（1）由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有种． （2）分三类：第一类，甲校有3人有种；全是男专家有种；全是女专家有种， 则符合题意的有； 第二类，甲校4人有种，全是男专家有种；3女1男有种， 则符合题意的有； 第三类，甲校5人，有种；全是男专家有种；3女2男有种， 则符合题意的有． 故每所学校至少3人且必须有女专家共有150种． 52．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有4名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： (1)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？ (2)学校从观看《我本是高山》的4名男教师和2名女教师中选派3名教师参加市教育局组织的观影分享会，若要求选派的3名教师中至少要有1名女教师，那么有多少种选派方法？ 【答案】(1)480种； (2)16种. 【分析】（1）根据给定条件，利用插空法列式计算即得. （2）根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】（1）依题意，先将4名男教师排好，有种坐法， 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入2名女教师，有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有种坐法. （2）依题意，有1名女教师和2名男教师时，选派方法数为种， 有2名女教师和1名男教师时，选派方法数为种， 所以共有种选派方法. 53．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）从A，B，C等7人中选5人排成一排． ①若A必须在内，有多少种排法？ ②若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ （2）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有多少种？ 【答案】（1）①1800，②144；（2）52 【分析】（1）根据相邻问题捆绑不相邻问题插空计算即可； （2）根据甲乙参加A活动或不参加A活动分类得出分组计算. 【详解】（1）①根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有种排法. ②根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法， 将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法， 排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况， 所以共有种不同的排法． （2）甲或乙参加A活动的情况有种， 甲和乙都不参加A活动的情况有种， 则他们参加活动的不同方案有种 54．（23-24高二下·广东茂名·期中）某校高二年级开设了《数学建模》、《电影赏析》、《经典阅读》、《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的． (1)三人共有多少种不同的课程选择种数? (2)求三位同学选择的课程互不相同的概率; (3)若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数? 【答案】(1)64 (2) (3)10 【分析】（1）由分步计数原理计算即可； （2）先计算出三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果； （3）分两种情况讨论：有两位同学选择《数学建模》和三位同学都选择《数学建模》，分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）因为每位同学都有四种不同的选择，所以选课种数为； （2）三位同学选择的课程互不相同的选课种数为， 所以三位同学选择的课程互不相同的概率为； （3）恰有两位同学选择《数学建模》，另一位同学在其它三门选一门，故选课种数为， 三位同学都选择《数学建模》的选课种数为1， 所以若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有10种不同的选课种数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$