专题07 重要的几何模型之中点模型（斜边中线、中位线、中点四边形）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题07 重要的几何模型之中点模型（斜边中线、中位线、中点四边形） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 21 模型3.中点四边形模型 50 76 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 例3．（2024·黑龙江·统考中考模拟预测）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，、相交于点，点、分别是、的中点，若，那么等于（    ） A． B． C． D． 例5．（2024下·广东·八年级假期作业）如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，M，N分别是BC和ED的中点．求证：． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，中，，平分，交于点E，平分，交于点F，交于点O，点G，H分别是和的中点，则的长为 ．    例3．（2023下·四川南充·八年级校考期中）如图，已知矩形的面积为1．分别为的中点，若四边形的面积为，分别为的中点，四边形的面积记为，…，依此类推，第n个四边形的面积记为，则 ．    例4．（2023·内蒙古赤峰·统考中考模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （    ）      A．2 B．3 C．4 D．5 例5．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2023上·四川达州·九年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.（    ） A． B．// C． D． 例2．（2023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，顺次连接四边中点，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形添加一个条件，使四边形成为一个矩形．这个条件是（    ）    A． B． C． D． 例3．（2022上·山东青岛·八年级统考期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 例4．（2023下·河北廊坊·八年级统考期中）如图，任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(        ) A．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形 B．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形 C．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形 D．当，，，不是各边中点时，四边形可能为平行四边形 例5．（2023下·广东江门·八年级校考期中）如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 例6．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 1．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形面积的 2．（2024下·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，E，F，G，H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，则；④；其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2020·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·青海·统考中考真题）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（    ） A．5 B．4 C．6 D．8 5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（    ）    A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 7．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（    ）    A． B． C． D． 8．（2024上·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在中，，于点D，且，于点E，连接，则的长为（　　）    A． B． C．5 D．6 9．（2024上·甘肃白银·九年级统考阶段练习）如图，在中，平分，E是中点，若，则的长为（   ）    A．3 B． C．4 D． 10．（2024·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在中，，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则度数是（    ） A．70° B．60° C．30° D．20° 11．（2024·山西吕梁·模拟预测）的周长为36，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则长（　　）    A．18 B．16 C．14 D．12 12．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．3 13．（2023·浙江·模拟预测）如图，中，，若于D点，于E点，F，G分别为、的中点，若，则的长为（　　） A． B． C．8 D．9 14．（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．（24-25九年级上·湖北·课后作业）如图，在中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，则（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．4 16．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在菱形中，，，分别是的中点，连接，且分别是的中点，连接，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 17．（2023·山东临沂·统考一模）四边形的对角线，交点，点，，，分别为边， ，，的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形； ②若，则四边形一定是菱形；③若，则四边形一定是矩形； ④若四边形是菱形，则四边形也是菱形．所有正确推断的序号是 ． 18．（2023下·江苏南京·八年级校考期中）点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点（不与A，B，C重合）．线段．，，，的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形；③存在无数个中点四边形是矩形；④存在一个中点四边形是正方形．所有正确结论的序号是 ． 19．（2023·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为的中点，若，则 ． 20．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是 ． ①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等． 21．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图 1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图 2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图 3 所示， 和是共边直角三角形，，求证：平分． 8 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 重要的几何模型之中点模型（斜边中线、中位线、中点四边形） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 21 模型3.中点四边形模型 50 76 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，D是的中点，∴， ∵，∴等边三角形，∴．故选：A． 例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中，，点E为的中点，，， ，，， ，故选B． 例3．（2023·黑龙江·统考中考模拟）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48，∴BD=16， ∵DH⊥AB，BO=DO=8，∴OH=BD=4．故选：A． 例4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，、相交于点，点、分别是、的中点，若，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点，∴AH=CH=BD． ∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH=90°． ∵∠BEC=80°，∴∠GEH=∠BEC=80°，∴∠GHE=90°-80°=10°．故选：B．    例5．（2023下·广东·八年级假期作业）如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，M，N分别是BC和ED的中点．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：如图，连接ME，MD．∵BD，CE分别是AC，AB边上的高， ∴，，∴．∵M为BC的中点，∴． 在中，∵，且N为DE的中点，∴． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线，∴；故选：C． 例2．（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，中，，平分，交于点E，平分，交于点F，交于点O，点G，H分别是和的中点，则的长为 ．    【答案】1 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 同理可得，∴，∴， ∵点G，H分别是和的中点，∴是的中位线，∴，故答案为：1． 例3．（2023下·四川南充·八年级校考期中）如图，已知矩形的面积为1．分别为的中点，若四边形的面积为，分别为的中点，四边形的面积记为，…，依此类推，第n个四边形的面积记为，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形为矩形，分别为的中点， ∴，∴，∴， 同理可得：，∴四边形为菱形， 连接，则，∴， 同理可得：，，……．故答案为：．    例4．（2023·内蒙古赤峰·统考中考模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （    ）      A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=BC=7，∴EF=DE-DF=3，故选：B 例5．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2023上·四川达州·九年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.（    ） A． B．// C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知是的中位线∴， 是的中位线∴， ∴，∴四边形EGFH是平行四边形 ∵是的中位线，∴ 当时，∴平行四边形EGFH是菱形故选A． 例2．（2023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，顺次连接四边中点，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形添加一个条件，使四边形成为一个矩形．这个条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：添加的条件为：；理由如下： ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，，∴四边形为平行四边形； ∵，∴，∴四边形为矩形， 故选：D． 例3．（2022上·山东青岛·八年级统考期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且． 理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形， ∴，，，，，，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴，∴平行四边形是菱形， ∵，∴，∵，， ∵，∴，∴菱形是正方形．故选：D． 例4．（2023下·河北廊坊·八年级统考期中）如图，任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(        ) A．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形 B．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形 C．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形 D．当，，，不是各边中点时，四边形可能为平行四边形 【答案】C 【详解】解：∵E，F，G，H是四边形ABCD各边中点， ∴EFAC，EF＝AC，GHAC，GH＝AC，∴EFGH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形． A．∵AC⊥BD，EFAC，EHBD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°， ∴四边形EFGH为矩形， 故选项正确，不符合题意； B．∵EF＝AC，EH＝BD，AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH是菱形．故选项正确，不符合题意； C．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点， 故选项错误，符合题意； D．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点， 故选项正确，不符合题意．故选：C． 例5．（2023下·广东江门·八年级校考期中）如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 【答案】B 【详解】解：∵E，F，G，H，是四边形各边中点， ∴，，．又∵，， ∴四边形的周长是．故选：B． 例6．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②垂直；③垂直且相等 【详解】（1）证明：∵点E为AC的中点，∴AE=CE， ∵在△AED和△CEF中，∴， ∴，，∴，∵点D为AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF， ∴四边形BCFD为平行四边形，∴，， ∵，∴，即DEBC，DEBC． （2）①连接AC、BD，如图所示： ∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点， ∴，，，， ∴，，∴四边形EFGH为平行四边形； ②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形； 根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形EFGH是矩形；故答案为：垂直； ③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形； 根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形， 根据解析①可知，，， ∵AC=BD，∴，∴四边形EFGH是正方形．故答案为：垂直且相等 1．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形面积的 【答案】C 【详解】解：连接，设交于点， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，， A. 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意； C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意； D. 四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意；故选C 2．（2024下·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，E，F，G，H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，则；④；其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， ，，，，，， ，，四边形是菱形， ∴四边形是菱形，故①正确；∴，故②正确； ∵，∴， ∵，，∴，， ∴，∴， ∴，故③错误； 当，如图所示：，分别为，中点，连接，延长到上一点， ，， ，只有时才可以成立，而本题与很显然不平行，故④错误． 综上所述，①②共2个正确．故选：B． 3．（2020·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过A点作轴于D点， 的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为．，， 为的中点，，，， 则点的坐标为：，．故选：． 4．（2022·青海·统考中考真题）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（    ） A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ．又为中线，． 为中点，即点是的中点， 是的中位线，则．故选：A． 5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接、，相交于点，    点分别是边的中点， ，，，同理，四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，，对角线互相垂直， ，，，， 是等边三角形，，在中，，， ，，，， 四边形的周长为．故选：C． 6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（    ）    A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 【答案】D 【详解】解：连接，如图1所示：        ，点是的中点，为斜边上的中线，， ，，点在线段的垂直平分线上， 即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意； 设，，，， ，，， 即，故选B正确，不符合题意； 当为中点时，则，，是线段的垂直平分线，， ，，，，， 是等边三角形，故选C正确，不符合题意； 连接，并延长交于，如图2所示：当为中点时， 点为的中点，根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点， 当为中点时，是等边三角形， ，，平分，平分，，， 在中，，，， ，，，故选项D不正确，符合题意．故选：D． 7．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点，,故选：B． 8．（2024上·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在中，，于点D，且，于点E，连接，则的长为（　　）    A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，且，∴， ∵，∴，故选：C． 9．（2024上·甘肃白银·九年级统考阶段练习）如图，在中，平分，E是中点，若，则的长为（   ）    A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 在中，E是中点，∴，故选：D 10．（2024·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在中，，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则度数是（    ） A．70° B．60° C．30° D．20° 【答案】B 【详解】解：∵点D、E分别是直角边AC、BC的中点， ∴DE是的中位线，∴，∴， ∵，，∴，∴，故选：B． 11．（2024·山西吕梁·模拟预测）的周长为36，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则长（　　）    A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形，其周长为36，对角线相交于点O， ∴，∵点E是的中点，∴是的中位线，，∴， ∵的周长为15，∴，即， ∴，∴，∴．故选：D． 12．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：如图，连接交于，作于， 在中，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴垂直平分线段是直角三角形， ∵，∴，∴， 在中，．故选：C． 13．（2023·浙江·模拟预测）如图，中，，若于D点，于E点，F，G分别为、的中点，若，则的长为（　　） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：连接，∵，F为的中点，∴，同理，，∴， ∵G为的中点，∴，，∴由勾股定理得：． 故选：A． 14．（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：如图，连接，并延长交与，连接， ， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵点G是的中点，∴，∵，∴， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∵H是的中点，，∴是的中位线，∴，故选：B． 15．（24-25九年级上·湖北·课后作业）如图，在中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，则（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：，分别是，的中点，为的中位线， ，，，． 的平分线交于点，， ，，．故选：B． 16．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在菱形中，，，分别是的中点，连接，且分别是的中点，连接，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】解：连接，与交于点O， ∵分别是的中点，且分别是的中点，∴，∴， ∵四边形是菱形，∴，， ∴，∴，∴，故选：A． 17．（2023·山东临沂·统考一模）四边形的对角线，交点，点，，，分别为边， ，，的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形； ②若，则四边形一定是菱形；③若，则四边形一定是矩形； ④若四边形是菱形，则四边形也是菱形．所有正确推断的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】解：点，，，分别为边， ，，的中点， 且，且， 且，是平行四边形，故①错误； 点，，，分别为边， ，，的中点，，， ，，是平行四边形，四边形是菱形，故②正确； 点，，，分别为边， ，，的中点，，， ，，，是平行四边形，是矩形，故③正确； 若要四边形是菱形，需满足,当四边形是菱形，不一定等于，故④错误； 综上，正确的有：②③，故答案为：②③． 18．（2023下·江苏南京·八年级校考期中）点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点（不与A，B，C重合）．线段．，，，的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形；③存在无数个中点四边形是矩形；④存在一个中点四边形是正方形．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：连接、，∵，，，的中点分别为M，N，P，Q， ∴，，，， ∴，， ①当与不平行时，∵，∴中点四边形是平行四边形， 故存在无数个中点四边形是平行四边形；          ②当且与不平行时， ∵，，，∴， ∴中点四边形是菱形；故存在无数个中点四边形是菱形； ③当（B，D不重合）时，∵，，， ∴，∴中点四边形是矩形；故存在无数个中点四边形是矩形； ④当，时，    ∵，，，∴， ∵，，， ∴∴中点四边形是正方形； 故存在两个中点四边形是正方形．综上：正确的有①②③．故答案为：①②③． 19．（2023·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为的中点，若，则 ． 【答案】4 【详解】解：∵分别为的中点，∴， ∵，是斜边上的中线，∴，故答案为4． 20．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是 ． ①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等． 【答案】②③④ 【详解】解∶如图1，设AC、BD交于点F，连接OC、OD， ∵，点O为A B的中点，∴OD=OC=OA=OB=AB， ∴点A、C、D到点O的距离相等，故④正确； ∵OD=OC=OA=OB=AB，∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC， ∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC， ∴∠BCD+∠BAD=∠ADC+∠ABC=，故③正确； ∵，∴，， ∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正确； 在四边形ABCD中，， AB中点O，连接OD、OC， 则OD=OC=OA=OB=AB， 若AD=BD，则OD⊥AB，∴， 若，则△BOC是等边三角形，∴，， 但是△ODC与△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立， ∴正确的是②③④，故答案为∶②③④． 21．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图 1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图 2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图 3 所示， 和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）解：如图所示即为所求作的三角形，          （2）解：取的中点，连接、，如图所示： ，，，由勾股定理得，， ∵，点为的中点，∴，， ，又，，，， ∴，即，解得， ； （3）证明：分别延长、交于点，如图所示： ，，，， ，，，又，，平分． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$