精品解析：天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

2024~2025学年度第二学期开学检测 高三数学 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知为正实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A B. C. D. 5. 设函数，则 A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 6. 函数的最小正周期为为图像的对称轴，则在区间上的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. b>c>a 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为关于渐近线的对称点.若，且的面积为4，则的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知复数，若是实数，则实数的值为__________. 11. 在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）． 12. 过抛物线的焦点作圆的切线，切点为．若，则__________． 13. 某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________． 14. 如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是______；若是平面内一点，且满足，则的最小值是______. 15. 设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为______. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. （1）求的值； （2）求的周长； （3）求值. 17. 如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，． （1）求证：平面PBC； （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； （3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值． 18. 已知椭圆离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足，求的取值范围. 19. 设是等差数列，其前项和为，为等比数列，公比大于1.已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求的前2n项和； （3）求数列的前项和. 20. 设函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有两个零点； （i）求满足条件的最小正整数a的值. （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期开学检测 高三数学 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故选：B 2. 已知为正实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由指对数函数的单调性，根据充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若，结合已知有，又在定义域上递增，故，充分性成立； 若，则，又在定义域上递增，故，必要性成立； 所以是的充要条件. 故选：C 3. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于， 由此可得． 故选:A. 4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D. 点评：该题主要考查函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键. 5 设函数，则 A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以． 又，所以为的极小值点． 考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则． 点评：极值点的导数为0 ，但导数为0的点不一定是极值点． 6. 函数的最小正周期为为图像的对称轴，则在区间上的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件求出、的值，然后求出在区间上的最大值、最小值即可. 【详解】由题意得， ， ， 因此 ， 当 时，，即最大值与最小值的和为， 故选：D. 7. 已知，，，则（ ） A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. b>c>a 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数式的运算规则和不等式的性质，求三个数的范围，即可比较大小 【详解】因为，，所以， 而，，所以. 故选：B. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为关于渐近线的对称点.若，且的面积为4，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，利用中位线定理与条件求得，进而求得，从而得解. 【详解】依题意，不妨设点为关于渐近线对称点， 则直线垂直平分线段， 设渐近线与交点为， 则N为的中点，， 又为的中点，所以， 因为，即，所以，则， 因为的面积为4， 所以，则， 在中，，即， 渐近线可化为，， 所以， 所以， 故双曲线的方程为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：设渐近线与交点为，说明，是解决本题的关键. 9. 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在三角形中求出的范围，取中点，，再在三角形中求出的范围，二者相结合即可得到答案． 【详解】设四面体的底面是，，，顶点为， 在三角形中，因为三角形两边之和大于第三边，所以，① 取中点，是中点，所以直角三角形与直角三角形全等， 所以在三角形中，， 两边之和大于第三边 ，得，（负值0值舍）② 由①②得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论． 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知复数，若是实数，则实数的值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算可得，进而结合题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 若是实数，则，解得. 故答案为：. 11. 在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】由题知的展开式的通项为，令得，即可得常数项. 【详解】由题知的展开式的通项为， 令得，则常数项为． 故答案为：60 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力. 12. 过抛物线的焦点作圆的切线，切点为．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，即，求解即可 【详解】由题可知抛物线的焦点为， 圆心的坐标为，圆的半径， 由题意可知. 即， 解得或. 又， 所以. 故答案为： . 13. 某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加的概率，进而求至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）. 【详解】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率， 至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率， 所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率. 故答案为：， 14. 如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是______；若是平面内一点，且满足，则的最小值是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果；令可得点T 在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果. 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 15. 设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】或. 【解析】 【分析】函数恰有4个零点说明与的图象有四个交点，对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况下的函数图象，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围. 【详解】因为函数恰有4个零点，所以与的图象有四个交点， 当时，，函数图象如图1所示， 的图象与的图象仅有两个交点，不合题意. 当时，点，且时，，， 如图2，当与相切时， 联立得，， 由得或（舍）， 如图3，当时，与的图象在上有一个交点，在上有两个交点，不合题意. 如图4，当时，与的图象在上没有交点，在上有两个交点，不合题意. 如图2，当时，与的图象在上没有交点，在上有三个交点，不合题意. 如图5，当时，与的图象在上没有交点，在上有四个交点，符合题意. 当时，点，且时，，， 如图6，当与相切时， 联立得，， 由得或（舍）， 如图7，当时，与的图象在上有两个交点，在上有四个交点，不合题意. 如图6，当时，与的图象在上有两个交点，在上有三个交点，不合题意. 如图8，当时，与的图象在上有两个交点，在上有两个交点，符合题意. 如图9，当时，与的图象在上有一个交点，在上有两个交点，不合题意. 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的应用，关键在于利用数形结合与分类讨论的思想，需要通过讨论取值范围，结合范围的限制，判断交点个数，得到的取值. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. （1）求的值； （2）求的周长； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，根据，解得． （2）由余弦定理，建立方程 ，根据，，互不相等，求得，即可求出周长． （3）由，得，应用二倍角的三角函数求得，应用两角和差的三角函数求. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，，， 可得， 因为，所以，即， 显然，解得． 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 得，解得或． 由已知，，互不相等，所以， 所以． 【小问3详解】 因为，所以， 所以，， 所以. 17. 如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，． （1）求证：平面PBC； （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； （3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)建立坐标系，利用平面的法向量与的数量积为零可证明； (2)利用与平面的法向量可求解； (3)利用平面的法向量可求解. 【小问1详解】 以点O为原点，直线OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 由上得，，， 设平面PBC的法向量为，则由得 取，得，因为，所以， 又平面PBC，所以平面PBC． 【小问2详解】 由（1）知平面PBC法向量为， 因为，所以， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为． 【小问3详解】 显然，平面POC的法向量为， 由（1）知平面PBC的法向量为， 设平面POC与平面PBC的夹角为，则． 18. 已知椭圆的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的面积和椭圆的性质列方程组即可得出； （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、数量积运算即可得出； 【小问1详解】 由已知可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设， 联立，得， ，即， ，，. ，. , ，即，由，则 ， 由，则，且， 所以，且，则， 当直线的斜率不存在时，设， ，即， 又， 所以， 的取值范围是. 19. 设是等差数列，其前项和为，为等比数列，公比大于1.已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求的前2n项和； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得到方程组，求出，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得； （3）先求出数列的通项，再用错位相减法求和即可； 【小问1详解】 依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，， 又，，所以，解得或（舍去）， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 【小问3详解】 ， 设， ， ， 两式相减可得， 所以. 20. 设函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有两个零点； （i）求满足条件的最小正整数a的值. （ii）求证：. 【答案】（1） （2）（i）3（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义，求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程即可； （2）（i）求得，由有两个零点得，的最小值为，且， 由此可得，由函数是增函数，通过估值可得最小正整数的值； （ii）证明，设，由，可把用表示，不等式中的可替换，然后变形为的不等式，设，则，构造函数，通过单调性即可得到证明. 【小问1详解】 当时，，， 所以， 又当时，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （i）． 因为函数有两个零点，所以，此时当时，当时， 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以的最小值，即. 因为，所以. 令，显然在上为增函数， 且，所以存在. 当时，；当时，，所以满足条件的最小正整数. 又当时，函数在单调递增，在单调递减， 且，所以， 所以在和上各有一个零点， 所以时，有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数的值为3.                                  （ii）证明 ：不妨设，于是， 即， ． 因为，所以，所以， 所以. 因为，当时，，当时，， 故只要证即可，即证明， 即证， 也就是证. 设． 令，则. 因为，所以， 当且仅当时，， 所以在上是增函数． 又，所以当总成立,所以原题得证． 【点睛】方法点睛：函数（含有参数）有两个零点，证明不等式的基本方法是：第一步，由，把用表示，这样不等式就转化为不含参数的不等式；第二步，不等式再变形为关于的不等式，然后换元，设，，上述不等式转化为关于的不等式； 第三步，用导数研究函数的单调性、最值，完成证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$