精品解析：福建省厦门第六中学2025届高三下学期基础知识检测数学试题

厦门六中2025届高三基础知识检测 数 学 满分：100分 考试时时间：75分钟 命题：李婷 审核：王楠 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，且在上的投影为，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，的对边分别是，，，，则角（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（   ） A. B. C. D. 6. 某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表： 二月 三月 四月 五月 六月 月份代码 1 2 3 4 5 月借阅量（百册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得关于的经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 借阅量的下四分位数为5.7 C. 与的线性相关系数 D. 七月的借阅量一定不少于百册 8. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 函数的值域为 B. 若函数关于对称，则的最小值为 C. 若函数在上单调，则的取值范围是 D. 若，当时，函数的所有零点的和为 三、填空题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 9. 复数（其中为虚数单位），则的虚部为___________． 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线交的左支于，两点.（为坐标原点），点到直线的距离为，则该双曲线的离心率为___________． 四、解答题(本题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 11. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 12. 已知：是数列的前项和，若 （1）求证：为等差数列. （2）设数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 13. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． （1）证明：； （2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门六中2025届高三基础知识检测 数 学 满分：100分 考试时时间：75分钟 命题：李婷 审核：王楠 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A，B，根据交集的定义写出即可． 【详解】由，即，即，解得， 所以集合， 又集合， 所以， 即 故选：B 2. 已知向量满足，且在上的投影为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在上的投影公式得到方程，求出，结合求出答案. 【详解】由题意得，在上的投影向量为， 故，即，， 解得. 故选：A 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程. 【详解】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 4. 在中，角，，的对边分别是，，，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果. 【详解】在中，由及正弦定理， 得， 则， 而，，则，所以. 故选：B 5. 记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质有即可判断A；由得，又即可判断C，由即可判断B，由解出即可判断D. 【详解】由有，故A错误； 由，，所以，故C正确； ，故B错误； 由，故D错误. 故选：C. 6. 某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】甲获胜的情形有三种：第一种，甲第一次就摸到红球；第二种，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到红球；第三种，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到红球.利用古典概率的加法求解即可 【详解】； 故选：C. 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表： 二月 三月 四月 五月 六月 月份代码 1 2 3 4 5 月借阅量（百册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得关于的经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 借阅量的下四分位数为5.7 C. 与的线性相关系数 D. 七月的借阅量一定不少于百册 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据回归方程必过样本中心点分析运算；对于B：根据百分位的定义分析运算；对于C：根据相关系数的概念分析理解；对于D：取，代入回归直线分析运算. 【详解】对于A：因为，， 所以，得，所以A正确； 对于B：因为，所以借阅量的下四分位数为，所以B错误； 对于C：因为，所以与的线性相关系数，所以C正确； 对于D：由选项A可知线性回归方程为， 当，则， 所以七月的借阅量约为百册，所以D错误； 故选：AC. 8. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 函数的值域为 B. 若函数关于对称，则的最小值为 C. 若函数在上单调，则的取值范围是 D. 若，当时，函数的所有零点的和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，化简可得，结合正弦函数性质可得出值域；对于B，利用对称性，可得出，得出的最小值；对于C，结合正弦函数的单调性列不等式，即可求出的取值范围；对于D，求出零点的值，即可求和． 【详解】因为， 又， 所以函数的值域为，所以选项A正确； 由函数关于对称可得，， ， ，的最小值为，所以选项B正确； 若函数在上单调， 则，， 解得，， ，所以选项C错误； 若，则， 令，即， 当时，则， ， 则， ，所以选项D正确． 故选：ABD． 三、填空题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 9. 复数（其中为虚数单位），则的虚部为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出，进而求出其虚部. 【详解】依题意，， 所以的虚部为. 故答案为： 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线交的左支于，两点.（为坐标原点），点到直线的距离为，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合三角形中位线性质、双曲线定义，借助直角三角形列式求出离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由， 得，，连接，由为的中点，得， 则，，， 因此，即，整理得， 所以离心率． 故答案为： 四、解答题(本题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 11. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值； （2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积． 【小问1详解】 在中，，，则， ， 在中，由正弦定理得， . 【小问2详解】 在和中，由余弦定理得 ， ， 得，又，得， 则，， 四边形ABCD的面积 . 12. 已知：是数列的前项和，若 （1）求证：为等差数列. （2）设数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明：因为，所以是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，即①， 所以②，由②①可得， 即，所以， 所以，所以为等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得是以为首项，以为公差的等差数列，即可得到，再由递推关系可得，从而证明； （2）由条件可得，代入计算即可求得，再将问题转化为，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 则 ， 由对任意的恒成立，可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 又，所以，即或， 所以的取值范围为. 13. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． （1）证明：； （2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连结，因为是等腰直角三角形，且为斜边的中点， 所以，且， ，， 所以， 所以，且，平面， 所以平面，且平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据线面平行的性质定理说明，再根据（1）的结果，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结，因为平面，平面，平面平面， 所以，即， 由（1）知平面， 如图以点为原点，为轴，过点作与平行的直线为轴， ，，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $