第九章中心对称图形——平行四边形 专题一 旋转、中心对称2024-2025学年苏科版数学八年级下册

第九章中心对称图形——平行四边形 专题提优练习 2024-2025苏科版数学八年级下册 专题一 旋转、中心对称 模块一：旋转 旋转的概念：将图形绕着一个定点转动一定的角度，叫作图形的旋转。 【补充说明】如图所示，是绕定点O逆时针旋转得到的，其中点A与点A’叫作对应点，线段OB与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度。 【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角。 旋转的特征：1）对应点到旋转中心的距离相等（例：OA与OA’）； 2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(∠AOA’=∠BOB’=45°)； 3）旋转前后的两个图形全等（△ABO≌△A’B’O）。 旋转作图的步骤方法： 1)确定旋转中心、旋转方向、旋转角； 2）找出图形上的关键点； 3）连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点； 4）按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形。 经典例题 例1、（1）如图1，在正方形网格中，画出 △ABC绕点O逆时针旋转图形． （2）如图2，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． ①请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O； ②直接写出旋转角的度数． 例2、如图，线段A′B′是线段AB绕点O逆时针旋转后得到的图形（旋转角小于180°）．用直尺和圆规作点O（保留作图痕迹，不写作法）； 巩固练习 1.如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ） A B C D 2.如图 4×4 的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（   ） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4.如图，在△ABC中，∠BAC = 45°，∠C = 15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°<α<180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（   ） A．50° B．55° C．60° D．65° 5.如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为 . 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，将绕点A逆时针旋转得到．若点D在线段的延长线上，则∠B的大小为 . 7.如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到．点恰好落在边上，且，则旋转角的度数为 . 8.(1)如图1，已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1． (2)如图2，在平面直角坐标系中，将线段AB绕平面内一点P旋转得到线段A′B′，使得A′与点B重合，B′落在x轴负半轴上．请利用无刻度直尺与圆规作出旋转中心P．（不写作法，但要保留作图痕迹） 模块二：中心对称 中心对称的概念：一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫作对称中心. 【补充说明】如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点. 中心对称图形概念：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （3）对称点在两个图形上. （4）对称中心在两个图形之间. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心在图形上. 联系 （1）都是通过把图形旋转重合来定义的。 （2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称。 中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）中心对称的两个图形是全等图形。 作中心对称图形的一般步骤（重点）： 1）作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键的对称点。 2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形。 找对称中心的方法和步骤： 方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心。 方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心。 经典例题 例1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣2，﹣1），B（﹣4，﹣4），C（﹣1，﹣3）． （1）把△ABC向右平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（　 　，　 　）成中心对称． 例2、（1）如图（1），已知AD是△ABC 的中线，画出△ABD关于点D成中心对称的三角形. （2）如图（2），已知四边形ABCD和点P，画四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称（不写作法，保留作图痕迹） 巩固练习 1.如图，与关于点成中心对称，下列说法：①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（   ） 第1题图 第2题图 A．个 B．个 C．个 D．个 2.如图，以某网格线所在直线建立平面直角坐标系，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，已知点A（2，-1），点P的坐标为（   ） A．（-2，2） B．（2，-2） C．（1，-3） D．（-3，1） 3.下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4.三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（   ） 第4题图 第5题图 A．① B．② C．③ D．④ 5.如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6.在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是_____． 7.平面直角坐标系中，点关于点成中心对称的点的坐标是_______． 8.如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2． 第8题图 第9题图 9.如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为 . 10.如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． 图甲 图乙 图丙 11.已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC=CD； （2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$