精品解析：江苏省宿迁市沭阳县建陵高级中学2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试卷

高二年级调研测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ） A. 6 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和与通项公式即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得， 则. 故选：D 2. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C 3. 已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】联立，可得，所以与的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为， 代入得，所以， 所以直线的方程为，满足题设. 故选：A 4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆方程性质，可得，求解即可. 【详解】由题意可得：，解得：. 故选：B. 5. 圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离等1求解即可； 【详解】因为圆的半径为2， 由题意可知：圆心到直线的距离为1， 即，解得：， 故选：C 6. 当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，将与代入即可求得答案. 【详解】函数求导得， 将代入得，将代入得， 则， 故选：B 7. 设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，可得，两式相减，求得，得到数列为等比数列，进而求得其通项公式. 【详解】由，当时，可得， 两式作差，可得，即， 所以， 当时，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为，设，则， 又由双曲线的定义，得，， 所以，， 又因为，可得，即， 解得， 由，即，可得， 双曲线C的离心率为.    故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 点关于直线的对称点为 C. 两条平行直线与之间的距离为 D. 当实数时，直线和互相垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由直线过定点，按参数整理，令参数的系数为0求解即可；对于B，利用点关于直线的对称的性质求解；对于C，利用平行线之间的距离公式求解；对于D，利用直线垂直的系数关系判定即可. 【详解】对于A，，，故直线过定点，故A错误； 对于B，设点关于直线的对称点为,则 即点关于直线的对称点为，B正确； 对于C， ，，故C正确； 对于D， 时，，故直线和互相垂直，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知数列的首项，则下列说法中正确的有（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是以5为首项，4为公差的等差数列 B. 若是公差为2的等差数列，则是以9为首项，3为公比的等比数列 C. 若是公比为3的等比数列，则是以8为首项，3为公比的等比数列 D. 若是公比为3的等比数列，则是以为首项，1为公差的等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】由等差数列，等比数列的通项公式逐项判断即可； 【详解】对于A：易得，所以，即以5为首项，4为公差的等差数列，正确； 对于B：易得，所以，是以9为首项，9为公比的等比数列，错误； 对于C：易得，所以，是以12为首项，9为公比的等比数列，错误； 对于D，易得，所以，以为首项，1为公差的等差数列，正确； 故选：AD 11. 已知抛物线通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 点的坐标为 C. 设点，若点为上的动点，则的最小值为 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的通径长求出的值，可判断B选项；将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可判断A选项；利用抛物线的定义可判断C选项；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】抛物线的焦点为，联立，解得， 所以，抛物线的通径长为，可得， 对于B选项，抛物线的焦点为，B对； 对于A选项，抛物线的标准方程为， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，A对； 对于C选项，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得，则，如下图所示： 当、、三点共线时，即当时，取最小值，C错； 对于D选项，设点、， 先证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，即，则， 所以，抛物线在点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 由于这两条切线的交点为，则， 所以，点、的坐标均满足方程， 联立可得，解得，， 所以，， 设点的横坐标为，由题意可知，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，则，解得， 此时，有，解得，则，即点， 所以，点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】首先确定，即可得到焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【详解】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又，故解得． 故答案为：1． 13. 已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题干条件先求出点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，再利用直线与圆的位置关系即可求得结果. 【详解】设点，由，则， 整理得，即点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上， 若直线上存在点M，使，则直线与圆有交点， 故圆心到直线的距离小于等于半径；即， 解得：或， 故答案为：或 14. 令对抛物线y=f（x）持续实施下面“牛顿切线法”的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； …… 得到一个数列，则的值为______；数列的前n项和______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据定义，求出在处的切线即可得到答案； （2）根据牛顿切线法定义，，再化简得出，最后应用错位相减法求和计算即可； 【详解】由于，所以，切线方程为， 令，得，所以， 在点处的切线方程为， 因为该切线交x轴于点， 则，， 所以是以为首项以为公比的等比数列，所以 所以 所以， 又， 作差得出， 所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且满足 （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）函数在区间上的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，即方程， 解得 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 16. 已知圆C的圆心在直线上，且过两点、. （1）求圆C的方程； （2）直线l过点，且与圆C相交于M，N两点，若求直线l方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，再结合圆心特点以及圆所过点即可解出圆的方程； （2）首先求出到距离为，再分直线斜率不存在和存在讨论即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为圆的圆心在直线上，所以． 因为圆过， 代入圆C方程 解得 故圆的标准方程为． 【小问2详解】 设到的距离为，由，解得 当直线斜率不存在时，，满足题意． 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 则圆心到直线的距离为，解得， 直线方程为 综上，直线方程为或 17. 已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 【答案】（1） （2）①证明见解析;② 【解析】 【分析】（1）先根据椭圆离心率得到之间的关系；再根据椭圆过点，代入椭圆方程即可求出，进而得出椭圆的标准方程. （2）①先根据椭圆的方程得出右顶点的坐标，根据已知条件分析设出及直线的方程；再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得出的关系；最后根据平面向量的数量积公式得出，即证得OA⊥OB. ②法一：先设出及直线为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出之间的关系；再根据得出；最后根据点到直线距离公式即可求解.法二：先设直线，直线；再联立方程组得出，，根据两点间距离公式得出、、；最后根据三角形等面积可即可求解. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，可得：，整理得：， 则椭圆的方程可化为. 代入点得， 则椭圆方程为. 【小问2详解】 由椭圆方程为可得：该椭圆的右顶点为. ①设， 当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不满足题意. 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则为方程的两不等根，有． 因为, 所以， 故． ②法一：设，直线为. 由联立方程组，整理得：（*）， 由为方程*的两不等实数根，得. 由①知， 则，有. 因为， 所以， 整理得：， 则有. 则根据点到直线距离公式可得：点到直线的距离为. 法二：不妨设位于轴的上方，则点在第一象限，点在第四象限 设直线，则直线 联立直线和椭圆得方程，解得. 同理可得 则 ， ， ， 则根据三角形等面积可得： 点到直线的距离为：. 18. 已知函数，a∈. （1）若曲线在点处切线方程为，求实数a的值； （2）设函数在区间I上有定义，若对任意的都有则称函数y=ω（x）为区间I上的下凸函数.利用上述定义证明：函数为定定义域上的下凸函数； （3）若对任意的，都有f（x）≥0，求实数a的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）1 【解析】 【分析】第一问：对函数求导根据切点的导数值等于切线的斜率求出a的值. 第二问：利用题中下凸函数的定义及函数解析式,作差，结合对数运算性质化简，再根据基本不等式判断差的正负情况，进而得到结论. 第三问：方法1：对原函数求导，对参数a进行分类讨论，然后通过导函数的正负确定原函数的单调性求得最小值看是否符合题意以确定a的取值范围. 方法2（分离法）：对原函数分离常数a构造了新函数，通过进行两次求导确定它的最大值，进而得到a的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，解得. 【小问2详解】 定义域为，设， 则 因为， 所以， 所以（当且仅当时取等号） 所以（当且仅当时取等号） 所以， 即 所以是定义域内的下凸函数. 【小问3详解】 法1：因为， 当时，因为，所以，即为减函数， 又与矛盾， 所以不满足题意； 当时，令，解得 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以． 设，所以在是增函数， 又， 所以当时，； 当时，． 因为恒成立，所以． 综上可得，即的最小值为1． 法2（分离法）：由且， 得对任意佰成立 设，所以， 令，则 所以函数在上是减函数，且． 所以当时，；当时，． 当单调递增； 当单调递减， ， 所以． 即的最小值为1． 19. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. （1）若a=3，b=4，求S₆的值; （2）若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; （3）三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“隙积术”， 代入公式直接计算. （2）用表示，再利用公式建立方程并求出正整数解即可. （3）求出第所放物体数，再将各层物体数乘以2，利用“隙积术”求解即可. 【小问1详解】 依题意，，则， 所以. 【小问2详解】 依愿意，， 由给出的公式，得， 即，整理得， 而为正整数，又，则， 而，则是30的正约数，因此或， 或，所以. 【小问3详解】 依题意，第所放物体个数为， 从上往下n层三角垛，将每层所放物体数乘以2， 从上往下各层物体数依次为：，物体总数为， 此时，项数为， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：正确理解“隙积术”的意义，确定公式中的各量是求解的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级调研测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ） A 6 B. 20 C. 25 D. 30 2. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 当某种针剂药注入人体后，血液中该药浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（ ） A. B. C. D. 7. 设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（ ） A B. C. D. 8. 已知双曲线左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 点关于直线的对称点为 C. 两条平行直线与之间的距离为 D. 当实数时，直线和互相垂直 10. 已知数列的首项，则下列说法中正确的有（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是以5为首项，4为公差的等差数列 B. 若是公差为2的等差数列，则是以9为首项，3为公比的等比数列 C. 若是公比为3的等比数列，则是以8为首项，3为公比的等比数列 D. 若是公比为3等比数列，则是以为首项，1为公差的等差数列 11. 已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 点的坐标为 C. 设点，若点为上的动点，则的最小值为 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 13. 已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是______. 14. 令对抛物线y=f（x）持续实施下面“牛顿切线法”的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； …… 得到一个数列，则的值为______；数列的前n项和______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且满足 （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 已知圆C的圆心在直线上，且过两点、. （1）求圆C的方程； （2）直线l过点，且与圆C相交于M，N两点，若求直线l方程. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 18. 已知函数，a∈. （1）若曲线在点处切线方程为，求实数a的值； （2）设函数在区间I上有定义，若对任意的都有则称函数y=ω（x）为区间I上的下凸函数.利用上述定义证明：函数为定定义域上的下凸函数； （3）若对任意的，都有f（x）≥0，求实数a的最小值. 19. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. （1）若a=3，b=4，求S₆的值; （2）若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; （3）三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $