第06讲 复数的概念 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第06讲 复数的概念 目录 知识点一：数系的扩充和复数的概念 2 知识点二：复平面及复数的几何意义 3 考点1：复数的有关概念 4 考点2：有关复数的分类求参问题 4 考点3： 复数相等的充要条件 5 考点4： 复数几何意义的应用 6 考点5：复数的模及其应用 7 考点6：复数模的几何意义 8 知识点一：数系的扩充和复数的概念 1. 虚数单位的引入 在实数集中，方程无解。为了解决类似这样的方程，我们引入数，并规定。 2. 复数的概念 形如的数叫复数，记作：； 其中，叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集。 3. 复数的分类 对于复数，当且仅当时，是实数；当时，叫作虚数；当且时，叫作纯虚数。 复数 用集合表示如下图： 显然，实数集是复数集的真子集，即. 4. 复数相等 与相等的充要条件是且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。 只有当两个复数全是实数时才能比较大小。虚数只有相等与不相等之分，不能比较大小。 5. 共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数的共轭复数用表示，即复数的共轭复数为． 实数的共轭复数仍是本身，即，这是判断一个复数是否为实数的一个准则。 知识点二：复平面及复数的几何意义 1. 复平面、实轴、虚轴 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2. 复数的几何意义———与点对应 每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集C中的数和复平面内的点按以下方式建立了一一对应关系，即 复数复平面内的点 3. 复数的几何意义———与向量对应 如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即 复数平面向量 4. 复数的模及其几何意义 (1) 复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或． 由模的定义可知：. (2) 复数的模的几何意义 1　 复数的模就是复数在复平面内对应的点到原点的距离. 2　 复数在复平面内对应的点为表示一个大于0的常数，则满足条件的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部。 考点1：复数的有关概念 【例1.1.】 （多选）下列命题中，正确的是（    ） A．复数的模总是非负数 B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应 C．如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D．相等的向量对应着相等的复数 【例1.2.】 设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（    ） A．5 B． C．3 D． 【例1.3.】 （多选）下列说法中，错误的是（    ） A．两个复数不能比较大小 B．在复数集内，的平方根是 C．是虚数的一个充要条件是 D．若是两个相等的实数，则是纯虚数 考点2：有关复数的分类求参问题 方法提炼 确定复数的实部和虚部， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【例1.1.】 当实数为何值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 【例1.2.】 已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（    ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 【例1.3.】 如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 【例1.4.】 复数是纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．且 B． C．且 D． 考点3： 复数相等的充要条件 方法提炼 (1) 与相等的充要条件是且，应用复数相等的充要条件时要注意先将复数化为的形式，即分离实部和虚部。 (2) 如果两个复数可以比较大小，那么这两个复数必定全是实数。 (3) 。 【例3.1.】 设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知复数，，若，求实数的取值范围 . 【例3.3.】 已知()成立，则实数a的值为 . 【例3.4.】 已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点4： 复数几何意义的应用 方法提炼 (1) 复数与复平面内的点一一对应，利用这一点，可将复数问题转化为平面内点的坐标问题，通过解方程（组）或不等式组求解。 (2) 复数与平面向量一一对应，利用这种几何意义，可以将复数问题转化为平面向量问题来解决。同理，平面向量问题也可以用复数方法来解决。 (3) 复数的对应点的特征： ①点在，②点在，③点在 ④点在直线上：. 【例4.1.】 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4.3.】 已知平面直角坐标系中O是原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是 . 【例4.4.】 （多选）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【例4.5.】 已知复数，其中i为虚数单位，. (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围. (3)当点位于直线上时，求实数的值． 【例4.6.】 四边形为复平面内的平行四边形，向量对应的复数为，对应的复数为 ，对应的复数为 ． (1)求点对应的复数； (2)求平行四边形的面积. 考点5：复数的模及其应用 方法提炼 对于复数，它的模。关于复数的模的最值问题可以转化为一元二次函数的最值问题或三角函数的最值问题求解。 【例5.1.】 （多选）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的模 C．若，则或 D．若复数是纯虚数，则或 【例5.2.】 已知复数，，则的最小值为 ． 【例5.3.】 若复数满足（为实数），则的最大值为 ． 【例5.4.】 设复数，满足，，则= . 【例5.5.】 已知设，则，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点6：复数模的几何意义 方法提炼 (1) 解决复数模的几何意义问题，把握两个关键点：一是表示点到原点的距离，可依据满足的条件判断点的集合表示的图形；二是利用复数的模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决。 (2) 复数在复平面内对应的点为复数在复平面内对应的点为表示一个大于0的常数，则 1　 满足条件的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部； 2　 满足条件的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部。 【例6.1.】 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 【例6.2.】 设：,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ （1）； （2）. 【例6.3.】 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例6.4.】 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 复数的概念 目录 知识点一：数系的扩充和复数的概念 2 知识点二：复平面及复数的几何意义 3 考点1：复数的有关概念 4 考点2：有关复数的分类求参问题 5 考点3： 复数相等的充要条件 7 考点4： 复数几何意义的应用 8 考点5：复数的模及其应用 12 考点6：复数模的几何意义 14 知识点一：数系的扩充和复数的概念 1. 虚数单位的引入 在实数集中，方程无解。为了解决类似这样的方程，我们引入数，并规定。 2. 复数的概念 形如的数叫复数，记作：； 其中，叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集。 3. 复数的分类 对于复数，当且仅当时，是实数；当时，叫作虚数；当且时，叫作纯虚数。 复数 用集合表示如下图： 显然，实数集是复数集的真子集，即. 4. 复数相等 与相等的充要条件是且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。 只有当两个复数全是实数时才能比较大小。虚数只有相等与不相等之分，不能比较大小。 5. 共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数的共轭复数用表示，即复数的共轭复数为． 实数的共轭复数仍是本身，即，这是判断一个复数是否为实数的一个准则。 知识点二：复平面及复数的几何意义 1. 复平面、实轴、虚轴 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2. 复数的几何意义———与点对应 每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集C中的数和复平面内的点按以下方式建立了一一对应关系，即 复数复平面内的点 3. 复数的几何意义———与向量对应 如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即 复数平面向量 4. 复数的模及其几何意义 (1) 复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或． 由模的定义可知：. (2) 复数的模的几何意义 1　 复数的模就是复数在复平面内对应的点到原点的距离. 2　 复数在复平面内对应的点为表示一个大于0的常数，则满足条件的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部。 考点1：复数的有关概念 【例1.1.】 （多选）下列命题中，正确的是（    ） A．复数的模总是非负数 B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应 C．如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D．相等的向量对应着相等的复数 【答案】ABD 【详解】设复数， 对于A，，故A正确． 对于B，复数对应的向量为， 且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确． 对于B，复数对应的向量为， 且对于平面内的任一向量，其对应的复数为， 故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确． 对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限， 故C错． 对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确． 故选：ABD． 【例1.2.】 设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案. 【详解】复数的实部与虚部互为相反数， ，解得：， 故选：A. 【例1.3.】 （多选）下列说法中，错误的是（    ） A．两个复数不能比较大小 B．在复数集内，的平方根是 C．是虚数的一个充要条件是 D．若是两个相等的实数，则是纯虚数 【答案】ACD 【详解】A选项，当两个复数的虚部为0时，两个复数为实数，可以比较大小，A错误； B选项，在复数集内，，故的平方根是，B正确； C选项，不妨设，此时为实数，则，满足，故C错误； D选项，不妨设，，不是纯虚数，D错误. 故选：ACD 考点2：有关复数的分类求参问题 方法提炼 确定复数的实部和虚部， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【例1.1.】 当实数为何值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 【答案】（1）；（2）且；（3）或. 【详解】（1）因为是实数，则，解得； （2）因为是虚数，则，解得且； （3）因为是纯虚数，则，解得或. 【例1.2.】 已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（    ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 【答案】C 【详解】因为为实数，所以， 故选：C 【例1.3.】 如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为， 如果复数是纯虚数，则 解得:. 故选:C. 【例1.4.】 复数是纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【详解】因为复数是纯虚数的充要条件是且， 又因为且是且的充分不必要条件， 所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件. 故选：C. 考点3： 复数相等的充要条件 方法提炼 (1) 与相等的充要条件是且，应用复数相等的充要条件时要注意先将复数化为的形式，即分离实部和虚部。 (2) 如果两个复数可以比较大小，那么这两个复数必定全是实数。 (3) 。 【例3.1.】 设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为R，，所以，解得：． 故选：B. 【例3.2.】 已知复数，，若，求实数的取值范围 . 【答案】 【解析】， ，令， 根据对勾函数单调性可知函数在上严格单调递减， ， 所以的范围为. 故答案为：. 【例3.3.】 已知()成立，则实数a的值为 . 【答案】 【详解】因为，根据复数相等 得 解得或 所以. 【例3.4.】 已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 所以，所以， 解得：， 所以. 故选：C 【例3.5.】 已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A 考点4： 复数几何意义的应用 方法提炼 (1) 复数与复平面内的点一一对应，利用这一点，可将复数问题转化为平面内点的坐标问题，通过解方程（组）或不等式组求解。 (2) 复数与平面向量一一对应，利用这种几何意义，可以将复数问题转化为平面向量问题来解决。同理，平面向量问题也可以用复数方法来解决。 (3) 复数的对应点的特征： ①点在，②点在，③点在 ④点在直线上：. 【例4.1.】 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 【例4.2.】 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为复数为纯虚数，则，解得， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 【例4.3.】 已知平面直角坐标系中O是原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是 . 【答案】 【详解】. 故向量对应的复数为：. 【例4.4.】 （多选）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】BD 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：BD. 【例4.5.】 已知复数，其中i为虚数单位，. (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围. (3)当点位于直线上时，求实数的值． 【答案】(1)； (2); (3). 【详解】（1）因为z是纯虚数， 所以， 解得. （2）因为z在复平面内对应的点在第二象限， 所以， 解得， 所以m的取值范围为. （3）依题意得当，即时，点位于直线上． 【例4.6.】 四边形为复平面内的平行四边形，向量对应的复数为，对应的复数为 ，对应的复数为 ． (1)求点对应的复数； (2)求平行四边形的面积. 【答案】(1)-1+4i (2)26 【详解】（1） 设点，则由题意得 ， ∴ ， 由得： ， ， ，即 ； 点对应的复数为 ； （2）由 得 ， ∴四边形ABCD是矩形， ； 综上，点对应的复数为，四边形ABCD的面积为26. 考点5：复数的模及其应用 方法提炼 对于复数，它的模。关于复数的模的最值问题可以转化为一元二次函数的最值问题或三角函数的最值问题求解。 【例5.1.】 （多选）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的模 C．若，则或 D．若复数是纯虚数，则或 【答案】AB 【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，A正确； 若，则，B正确； 因为，，所以C不正确； 因为是纯虚数，所以， 解得，D不正确. 故选：AB 【例5.2.】 已知复数，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【例5.3.】 若复数满足（为实数），则的最大值为 ． 【答案】2 【详解】由题意知 ， 因为， 所以当 故答案为：2. 【例5.4.】 设复数，满足，，则= . 【答案】 【详解】方法一：如图所示，设复数所对应的点为,, 由已知, ∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴， ∴. 方法二：设，， ， ，又，所以，， . 故答案为：. 【例5.5.】 已知设，则，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由，可得，可令， 则 （为锐角，且） 由，可得 则的最小值为3. 故选：A 考点6：复数模的几何意义 方法提炼 (1) 解决复数模的几何意义问题，把握两个关键点：一是表示点到原点的距离，可依据满足的条件判断点的集合表示的图形；二是利用复数的模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决。 (2) 复数在复平面内对应的点为复数在复平面内对应的点为表示一个大于0的常数，则 1　 满足条件的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部； 2　 满足条件的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部。 【例6.1.】 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】则．故选C． 【例6.2.】 设：,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ （1）； （2）. 【答案】（1）以原点O为圆心，以3为半径的圆. （2）以原点O为圆心，以2及5为半径的两个圆所夹的圆环，包括内边界，但不包括外边界 【详解】解：（1）由得，向量的模等于3,所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆. （2）不等式可化为不等式组,不等式的是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆上的点及其外部所有的点组成的集合，所以，满足条件的集合是以原点O为圆心，以2及5为半径的两个圆所夹的圆环，包括内边界，但不包括外边界（如图所示）.    【例6.3.】 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】令，由，得， 点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限， 故选：D 【例6.4.】 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】复数满足，即 即复数对应的点到点的距离满足 设，表示复数对应的点到点的距离 数形结合可知的最大值 故答案为： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$