精品解析：湖北省十堰市丹江口市第二中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷

丹江二中高一下学期开学考试数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A B. C. D. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个扇形的弧长为4，面积为2，则这个扇形中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 6. 式子（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC､直角边AB､AC，已知以直角边AC､AB为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为（ ） A. -1 B. -2 C. 0 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 函数的定义域是 C. 函数（，且）的图象经过定点 D. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数在上单调递减，则实数________． 13. 已知是钝角，，则________． 14. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 16. 化简求值： （1）计算：； （2）计算：． （3）． 17. 设函数，．，用表示，中的最大者，记为．已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，值，并写出的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值． 19. 已知. （1）化简，并求； （2）若，求的值； （3）求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丹江二中高一下学期开学考试数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式求对应参数范围，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，则， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求代数式的值. 【详解】因为终边过点，故，所以， 故选：B. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指对数函数及正弦函数的性质判断大小关系即可. 【详解】由，即. 故选：A 4. 若一个扇形的弧长为4，面积为2，则这个扇形中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的弧长及面积公式列方程求中心角弧度. 【详解】令扇形中心角为，半径为，则，可得. 故选：D 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的大小可求得结果. 【详解】函数定义域为，关于原点对称， 因为， 则为奇函数，图象关于原点对称，排除A和B两个选项， 当时，，，则， 即当时，函数值，选项D符合题意. 故选：D. 6. 式子（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得. 详解】 . 故选：C. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 又∵ ∴ 故选C 8. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC､直角边AB､AC，已知以直角边AC､AB为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为（ ） A. -1 B. -2 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得，即有，将目标式由弦化切求值即可. 【详解】以直角边AC，AB为直径半圆的面积分别为：，， 由面积之比为，得：，即， 在中，，则， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 函数的定义域是 C. 函数（，且）的图象经过定点 D. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时 【答案】ABD 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题写出命题的否定判断A；由分式、对数的性质求函数定义域判断B；根据指数的性质求函数所过的定点判断C；应用偶函数性质求函数解析式判断D. 【详解】A：由全称命题的否定为特称命题，则“，都有”的否定为“，使得”，对； B：由解析式有或，故函数定义域为，对； C：由，故函数的图象必过定点，错； D：若，则，故， 又，所以，对. 故选：ABD 10. 已知，，则（ ） A B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平方关系求得的值，再结合诱导公式、商数关系逐项化简判断即可. 【详解】因为，，所以， 则，， ，，则A，C正确，B，D错误. 故选：AC. 11. 若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断A选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】因为正实数、满足， 又因为，即，当且仅当时等号成立， ，故的最大值为，故A正确； 因为， 当且仅当 且 ，即时等号成立，故B错误； 因为，所以， ， 当且仅当且 ，即，时，等号成立， 又实数，，可知等号不成立，故C错误； 因为， 当，时，的最小值为，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数在上单调递减，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质及区间单调性列方程、不等式求参数值. 【详解】由题意. 故答案为： 13. 已知是钝角，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系得，应用诱导公式化简求值即可. 【详解】由是钝角，，则， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】问题化为与恰有两个交点，根据分段函数解析式及二次函数、对数函数性质画出大致图象，数形结合确定参数范围. 【详解】函数恰有2个零点，即与恰有两个交点， 由函数解析式，可得其大致图象如下， 如上图，当或时，与恰有两个交点. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求解指数不等式求集合，再由交运算求集合； （2）集合并运算求集合，再由包含关系并讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由， 当时，，解得，此时， 当时，要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 16. 化简求值： （1）计算：； （2）计算：． （3）． 【答案】（1）0 （2）5 （3）1 【解析】 【分析】（1）先将带分数化为假分数，再根据指数运算法则计算即可； （2）根据对数的运算法则可求得结果； （3）根据诱导公式化简. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 . 17. 设函数，．，用表示，中的最大者，记为．已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值，并写出的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集求参数值，进而有，再由的定义求解析式； （2）求出的最小值，根据不等式恒成立及对数函数的单调性列不等式求参数范围. 【小问1详解】 因为的解集为，所以是方程的两个根， 由根与系数的关系得，解得，所以， 由，得，即，解得或， 由，得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，的最小值为0，所以， 即， 所以，解得，或， 所以的取值范围是. 18. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用同角三角函数的平方关系可得，然后结合诱导公式可解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为，，所以， 又因为是第三象限角，所以为第三象限角， 所以， 故． 19. 已知. （1）化简，并求； （2）若，求的值； （3）求函数的值域. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由诱导公式化简可得，进而可得； （2）由平方关系和商数关系可转化条件为，即可得解； （3）转化条件为，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意可得， 故； （2）∵， 故 ； （3）因为， 所以， 因为， 所以当时，，当时， 所以的值域为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$