7.1条件概率与全概率公式7题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.1条件概率与全概率公式7题型分类 一、条件概率的概念 1．一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 二、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 三、条件概率的性质 1．P(Ω|A)＝1． 2．如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 3．设和B互为对立事件，则P()＝1－P(B)． 四、条件概率的两种解法 1．定义法：先求和，再由求． 2．基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数，再求事件A发生的条件下事件B包含的基本事件数，得. 五、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 六、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有P()=.i＝1，2，…，n. 七、贝叶斯公式的运用条件 1．A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知. 2．事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知. 3．P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到. 4．求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). （一） 由定义求条件概率 利用定义计算条件概率的步骤： (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 题型1：利用定义求条件概率 1．（2024·福建漳州模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·内蒙古呼和浩特·期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二·辽宁·期末）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东凤凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·江苏泰州·期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 . 题型2：由样本点数求条件概率 5．（2024高三·全国月考）已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·重庆黔江月考）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，记事件“取出一个蓝球，一个绿球”，则 . 7．（2024高二·广东深圳·期中）花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为 ． 题型3：乘法公式的应用 8．（2024高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二·重庆沙坪坝·期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（     ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 10．（2024高三·全国月考）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二·上海月考）一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是 . 12．（2024高二·全国月考）某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率． （二） 条件概率的性质与应用 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率． 题型4：条件概率的性质与应用 13．（2024高二·辽宁·期中）已知则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·湖北武汉模拟预测）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二·陕西西安月考）下列说法正确的是（    ） A． B．是可能的 C． D． （三） 全概率公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 题型5：全概率公式的应用16．（2024高二·黑龙江·期末）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（    ） A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 17．（2024高二·河南南阳·期末）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二·广东广州·期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”． (1)求； (2)求． 19．（2024高二·陕西汉中·期末）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ． 20．（2024高二·吉林·期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： (1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ (2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 21．（2024高三·全国月考）已知，则 . 22．（2024·全国模拟预测）某次女排比赛的其中一场半决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制．甲队中有一名主力队员，在其上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，在其不上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，甲队从全队战术、队员体力等各方面综合考量，决定该主力队员每局比赛上场的概率为．已知甲队已经取得了第一局比赛的胜利，则最终甲队以3：0战胜乙队的概率为 ． （四） 贝叶斯公式 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 题型6：贝叶斯公式的应用 23．（2024高三·云南曲靖月考）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 24．（2024高二·全国月考）已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是 ． 25．（2024高三·江苏常州·期中）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ） A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1 26．（2024·天津模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ． 27．（2024高二·河北石家庄月考）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件． (1)求这件产品是次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率． 题型7：全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 28．（2024高三·江苏常州月考）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（    ） A． B． C． D． 29．（2024高三·云南月考）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 30．（2024高二·福建龙岩月考）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 . 31．（2024高三·广东深圳·期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（    ） A． B． C． D． 32．（2024高三·江苏扬州·期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 . 一、单选题 1．（2024·四川甘孜模拟预测）某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·辽宁大连·期中）已知与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二·全国·单元测试）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（    ） A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7 4．（2024高二·江苏南京月考）学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（    ） A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65 5．（2024高二·全国月考）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·云南大理模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国模拟预测）某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01．现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（    ） A．0.03 B．0.024 C．0.012 D．0.015 8．（2024·湖北模拟预测）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（2024高二·山东德州月考）已知为两个随机事件，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024高三·黑龙江大庆月考）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（      ） A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65 11．（2024·全国模拟预测）现有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球和3个黑球．随机选择一个袋子，然后从中随机摸出2个球，则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二·江西新余月考）在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二·陕西西安月考）下列说法正确的是（    ） A． B．是可能的 C． D． 二、多选题 14．（2024高二·山东德州月考）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（    ） A．事件与相互独立 B． C． D． 15．（2024·全国模拟预测）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（    ） A．第二天去甲游乐场的概率为0.54 B．第二天去乙游乐场的概率为0.44 C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为 D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 三、填空题 16．（2024高一·宁夏石嘴山月考）甲箱中有个白球，个黑球，乙箱中有个白球，个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是 ． 17．（2024高三·重庆沙坪坝月考）记为事件的对立事件，且，则 . 18．（2024高三·全国月考）抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，则P（B|A）＝ ；P（A|B）＝ . 19．（2024高三·上海浦东新·期中）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 . 20．（2024高二·山东烟台月考）若甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球（），3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为 . 21．（2024·吉林长春模拟预测）某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 22．（2024高三·山东滨州·期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则 23．（2024高二·辽宁月考）已知是一个随机试验中的两个事件，若，则 四、解答题 24．（2024高二·河南南阳·期末）一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球. (1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率. 25．（2024高二·福建泉州·期末）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人 (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 26．（2024高二·江苏月考）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行新冠疫情防控宣传．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求该社区居民遇到一位进行新冠疫情防控宣传的同学恰好是女生的概率． 27．（2024高二·北京·期中）某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲员工 30天 20天 40天 10天 乙员工 20天 25天 15天 40天 假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率； (2)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由． 28．（2024高二·安徽滁州月考）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选. (1)求女生乙被选中的概率； (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率. 29．（2024高二·河北沧州月考）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为． (1)求首次摸球就试验结束的概率； (2)在首次摸球摸出红球的条件下． ①求选到的袋子为乙袋的概率； ②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 30．（2024高二·上海月考）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和. (1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率； (2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？ 31．（2024高二·山东日照月考）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”． (1)求的值： (2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 32．（2024高二·山东潍坊·期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个. (1)求这个零件是次品的概率； (2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.1条件概率与全概率公式7题型分类 一、条件概率的概念 1．一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 二、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 三、条件概率的性质 1．P(Ω|A)＝1． 2．如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 3．设和B互为对立事件，则P()＝1－P(B)． 四、条件概率的两种解法 1．定义法：先求和，再由求． 2．基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数，再求事件A发生的条件下事件B包含的基本事件数，得. 五、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 六、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有P()=.i＝1，2，…，n. 七、贝叶斯公式的运用条件 1．A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知. 2．事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知. 3．P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到. 4．求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). （一） 由定义求条件概率 利用定义计算条件概率的步骤： (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 题型1：利用定义求条件概率 1．（2024·福建漳州模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由古典概型、条件概率计算公式即可得解. 【解析】甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有（种）， 事件发生的情况共有（种），事件和事件同时发生的情况共有6种， 所以. 故选：B. 2．（2024高三·内蒙古呼和浩特·期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意代入条件概率公式计算即可得出结果. 【解析】根据题意可得 利用条件概率公式可得. 故选：B 3．（2024高二·辽宁·期末）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东凤凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算事件的概率，再利用条件概率计算即可. 【解析】由题意可知两家都没选择丹东凤凰山，即， 所以， 而有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则， 所以. 故选：D 4．（2024高三·江苏泰州·期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 . 【答案】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【解析】记事件A为第1次摸到白球，事件为第2次摸到黑球， 则， 所以. 故答案为：. 题型2：由样本点数求条件概率 5．（2024高三·全国月考）已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：设出事件，求出事件包含的基本事件数，根据条件概率公式进行求解； 解法二：根据题意得到在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，从而求出相应的概率. 【解析】解法一：设第1次抽到白球为事件A，第2次取到的是黑球为事件B， 则，， 所以. 解法二：盒中共有10个球，其中3白、7黑，在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球， 从中任取一球，取到黑球的概率为． 故选：D 6．（2024高三·重庆黔江月考）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，记事件“取出一个蓝球，一个绿球”，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【解析】事件“取出的两个球颜色不同”，包括一个黄球一个蓝球， 一个黄球一个绿球以及一个蓝球一个绿球，三种情况， 则, 事件“取出一个蓝球，一个绿球”， 则， 所以. 故答案为： 7．（2024高二·广东深圳·期中）花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为 ． 【答案】/ 【分析】使用条件概率进行计算即可. 【解析】设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”， 则积事件“两束花都是郁金香”， 事件中样本点的个数为， 积事件中样本点的个数为， ∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为 . 故答案为：. 题型3：乘法公式的应用 8．（2024高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率的计算公式求解即可. 【解析】由题意，知. 故选：C. 9．（2024高二·重庆沙坪坝·期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（     ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 【答案】C 【分析】根据条件概率公式求解即可． 【解析】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B， 则由题意得，， 所以她两次均击中9环的概率为． 故选：C． 10．（2024高三·全国月考）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式进行求解. 【解析】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B. 由题意，知，，所以， 所以两次都取到红球的概率为. 故选：C. 11．（2024高二·上海月考）一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是 . 【答案】 【分析】由题知第一次取出的是黑球，设出事件，求出相应概率，带入条件概率公式即可求得第二次才取出红球的概率. 【解析】由题意知第一次取出的是黑球，设为事件， 第二次取出红球设为事件， 则，则， 所以第二次才取出红球的概率是. 故答案为： 12．（2024高二·全国月考）某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率． 【答案】72%. 【分析】根据条件概率公式，进行变形应用，即可求得答案. 【解析】记A：合格品,记B：一等品，由于,则， 由题意，， 故， 即一等品率为72%. （二） 条件概率的性质与应用 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率． 题型4：条件概率的性质与应用 13．（2024高二·辽宁·期中）已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得和，从而求得. 【解析】由题知，，， ， 又， 则. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用条件概率的定义分别求得事件同时发生的概率，再利用求得. 14．（2024·湖北武汉模拟预测）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设有，根据条件概率公式有，结合，即可得答案. 【解析】由，则，故， 而，则，又， 所以. 故选：D 15．（2024高二·陕西西安月考）下列说法正确的是（    ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及概率的性质判断各项的正误. 【解析】由，当，则，A错误； 当A或B为不可能事件时，，C错误； B：要使，即，当恰好为A的子事件成立，正确； D：由，故错误. 故选：B （三） 全概率公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 题型5：全概率公式的应用 16．（2024高二·黑龙江·期末）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（    ） A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 【答案】A 【分析】根据给定条件，由全概率公式列式，求解计算即可求出结果. 【解析】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，，由对立事件的概率公式可得. 由全概率公式可得 ，解得. 故选：A 17．（2024高二·河南南阳·期末）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合全概率公式列式求解作答. 【解析】令=“玩手机时间超过1小时的学生”，=“玩手机时间不超过1小时的学生”，=“任意调查一人，此人近视”， ，且互斥，， 依题意有，解得 从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为. 故选：C 18．（2024高二·广东广州·期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”． (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)0.81. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得. （2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算即得. 【解析】（1）依题意，. （2）依题意，， 由（1）知， 由全概率公式得 . 19．（2024高二·陕西汉中·期末）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ． 【答案】0.012 【分析】利用全概率公式计算即可. 【解析】设事件“取得一件次品”事件：“取得次品是甲厂生产”，：“取得次品是乙厂生产”， 由题意可知, 所以由全概率公式知取得次品的概率为. 故答案为： 20．（2024高二·吉林·期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： (1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ (2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）利用条件概率求解； （3）利用全概率求解. 【解析】（1）设事件“取出饺子是肉馅”，， （2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”， 事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”， （3）设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”. 设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”， 21．（2024高三·全国月考）已知，则 . 【答案】 【分析】由全概率公式计算得出结果. 【解析】由， 得，解得． 故答案为：. 22．（2024·全国模拟预测）某次女排比赛的其中一场半决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制．甲队中有一名主力队员，在其上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，在其不上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，甲队从全队战术、队员体力等各方面综合考量，决定该主力队员每局比赛上场的概率为．已知甲队已经取得了第一局比赛的胜利，则最终甲队以3：0战胜乙队的概率为 ． 【答案】/0.36 【分析】根据全概率公式即可求解. 【解析】记事件“每局比赛甲队战胜乙队”，“甲队的主力队员上场比赛”，“甲队第一局获胜的条件下，甲队以3：0战胜乙队”．由已知得，，，所以， 于是． 故答案为： （四） 贝叶斯公式 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 题型6：贝叶斯公式的应用 23．（2024高三·云南曲靖月考）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可. 【解析】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B， 则本题所求． 故选：A． 24．（2024高二·全国月考）已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是 ． 【答案】 【分析】以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由已知得，，.根据贝叶斯公式可求得答案. 【解析】解：以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”. 由题意，知，，. 由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为 . 故答案为：. 25．（2024高三·江苏常州·期中）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ） A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1 【答案】C 【分析】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【解析】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以， ， 现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是： . 故选：C. 26．（2024·天津模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ． 【答案】 /0.4 【分析】利用条件概率公式求摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式和贝叶斯公式求红球来自乙箱的概率. 【解析】记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”， 则，， 故， 即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为； 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则，， ，， 所以 ， 所以， 即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是. 故答案为：； 27．（2024高二·河北石家庄月考）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件． (1)求这件产品是次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取到第批产品为事件，，取到次品为事件，由全概率公式求解； （2）由条件概率公式结合乘法公式求解. 【解析】（1）设取到第批产品为事件，，取到次品为事件. . （2）. 题型7：全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 28．（2024高三·江苏常州月考）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的性质及变式可求得，由已知可求得，根据贝叶斯公式可求得答案． 【解析】解：因为，所以， 因为，所以， 所以由全概率公式可得， 因为， 所以． 所以． 故选：A 29．（2024高三·云南月考）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式和条件概率公式，即可求解. 【解析】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题； 设事件表示答对该题，则， 设事件表示答对某个题， 则， 设事件表示将有思路的题目做对，则， 故选：B 30．（2024高二·福建龙岩月考）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 . 【答案】 【分析】利用条件概率计算公式即可求得若取到的芯片是次品则该芯片是甲厂生产的概率. 【解析】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件， 记取到的芯片是次品为事件， 则， ， ， 故， 则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为. 故答案为： 31．（2024高三·广东深圳·期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答. 【解析】因为抽到的次品可能来自于，两条生产线，设“抽到的产品来自生产线”， “抽到的产品来自生产线”，“抽到的一件产品是次品”， 则， 由全概率公式得， 所以它来自生产线的概率是. 故选：B 32．（2024高三·江苏扬州·期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 . 【答案】 【分析】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，根据题设有，，，再应用对立事件、条件概率、全概率及贝叶斯公式求垃圾邮件被该系统成功过滤的概率. 【解析】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则，，， 所以，， 故， 所以. 故答案为： 一、单选题 1．（2024·四川甘孜模拟预测）某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率的定义解题即可. 【解析】设事件A=“第一次取得次品”，事件B=“第二次取得次品”， 则，，故. 故选：C 2．（2024高二·辽宁大连·期中）已知与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的性质进行求解即可. 【解析】因为与独立，所以， 故选：A 3．（2024高二·全国·单元测试）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（    ） A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7 【答案】C 【分析】利用全概率公式可求球队某场比赛不输球的概率. 【解析】设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”． 则 ， 所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为． 故选：C． 4．（2024高二·江苏南京月考）学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（    ） A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65 【答案】D 【分析】利用全概率公式求解即可. 【解析】设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”； 则,,, 由全概率公式可知 , 故选：D. 5．（2024高二·全国月考）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合贝叶斯公式求解即可. 【解析】设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”， 则由贝叶斯公式得， 故选：A 6．（2024·云南大理模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解. 【解析】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 则， ， 故， 故. 故选：D 7．（2024·全国模拟预测）某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01．现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（    ） A．0.03 B．0.024 C．0.012 D．0.015 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算即可. 【解析】设事件表示“抽到的商品为奶类饮品”，事件表示“抽到的商品为面包类食品”， 则， 设事件表示“抽检的商品不合格”， 则， 所以， 故选：C． 8．（2024·湖北模拟预测）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】上午打球为事件A，下午游泳为事件B，利用全概率公式求出，再利用条件概率公式计算即得. 【解析】设上午打球为事件，下午游泳为事件， 则， 于是，因此， 所以上午打球的概率为. 故选：C 9．（2024高二·山东德州月考）已知为两个随机事件，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合条件概率和全概率公式，列出方程，即可求解. 【解析】由为两个随机事件，，且，，, 可得， 即，解得. 故选：D． 10．（2024高三·黑龙江大庆月考）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（      ） A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【解析】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件， 依题意，，，，， 由全概率公式得，. 故选：B 11．（2024·全国模拟预测）现有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球和3个黑球．随机选择一个袋子，然后从中随机摸出2个球，则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式求得，，，再进行计算即可. 【解析】设“选到第一个袋子”为事件，“选到第二个袋子”为事件，“随机摸出2个球， 恰好摸出1个红球和1个黑球”为事件， 则，，， 所以． 故选：C． 12．（2024高二·江西新余月考）在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件为第一次抽到卡片中奖，事件为第二次抽到卡片中奖，则，，根据条件概率公式得到答案. 【解析】设事件为第一次抽到卡片中奖，事件为第二次抽到卡片中奖， 则，，故. 故选：B 13．（2024高二·陕西西安月考）下列说法正确的是（    ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及概率的性质判断各项的正误. 【解析】由，当，则，A错误； 当A或B为不可能事件时，，C错误； B：要使，即，当恰好为A的子事件成立，正确； D：由，故错误. 故选：B 二、多选题 14．（2024高二·山东德州月考）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（    ） A．事件与相互独立 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A选项，计算出，根据，判断出与相互独立；BD选项，利用条件概率求出答案；C选项，利用全概率公式求出答案. 【解析】A选项，由题意，，， 而，A错误； B选项，由，， 所以，B正确； C选项， ，C正确； D选项，，正确． 故选：BCD． 15．（2024·全国模拟预测）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（    ） A．第二天去甲游乐场的概率为0.54 B．第二天去乙游乐场的概率为0.44 C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为 D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 【答案】AC 【分析】利用条件概率公式、全概率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可. 【解析】设事件：小王同学第一天去甲游乐场，事件：小王同学第二天去甲游乐场， 事件：小王同学第一天去乙游乐场，事件：小王同学第二天去乙游乐场， 则，，，， 所以， 故选项A正确； ，故选项B不正确； 因为，， 所以，， 所以，故选项C正确； ， 故选项D不正确， 故选:AC． 三、填空题 16．（2024高一·宁夏石嘴山月考）甲箱中有个白球，个黑球，乙箱中有个白球，个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是 ． 【答案】/ 【分析】根据全概率公式直接求解即可. 【解析】记事件为“从甲箱中取出一个白球放入乙箱”，事件为“从乙箱中取出白球”， 则，，，， . 故答案为：. 17．（2024高三·重庆沙坪坝月考）记为事件的对立事件，且，则 . 【答案】/0.75 【分析】利用条件概率公式可得，进而即得. 【解析】因为， ∴， ∴. 故答案为：. 18．（2024高三·全国月考）抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，则P（B|A）＝ ；P（A|B）＝ . 【答案】 / / 【分析】根据条件概率的求概率公式，分别求出，，或，，代入公式求解即可. 【解析】解法一：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为， 事件A的基本事件数为，所以； 由于，， ， 所以事件B的基本事件数为，所以； 事件AB的基本事件数为6，故； 由条件概率公式得： ①＝＝＝； ②＝＝＝． 解法二：； 由，，， ，知，其中； 所以＝＝＝； ＝＝＝． 故答案为：； 19．（2024高三·上海浦东新·期中）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 . 【答案】0.18 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【解析】设事件“任取一名同学，成绩为优秀”，“抽取的选修第门选修课的同学”（）， 则，且两两互斥，依题意，， ， 所以成绩是优秀的概率为 . 故答案为：0.18 20．（2024高二·山东烟台月考）若甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球（），3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为 . 【答案】6 【分析】分三种情况，求出相应的概率，相加后得到不等式，求出答案. 【解析】若从甲盒中取出的是白球，则从乙盒中取出的也是白球的概率为， 若从甲盒中取出的是红球，则从乙盒中取出的也是红球的概率为， 若从甲盒中取出的是黑球，则从乙盒中取出的也是黑球的概率为 ， 故，解得， 故的最大值为6 故答案为：6 21．（2024·吉林长春模拟预测）某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得. 【解析】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”， “第2天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式， 得， 因此该同学第天去餐厅用餐的概率为. 故答案为：. 22．（2024高三·山东滨州·期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则 【答案】 【分析】由题设求出，，，利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可． 【解析】由题意得，，， 若发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则， 先发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则， 先发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则． ， ； . 故答案为： 23．（2024高二·辽宁月考）已知是一个随机试验中的两个事件，若，则 【答案】3 【分析】由条件概率计算公式计算得，，求的值. 【解析】因为，所以，即， 同理，由得， 因为，所以， ，所以， 所以． 故答案为：3. 四、解答题 24．（2024高二·河南南阳·期末）一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球. (1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分先白后黑和先黑后白两种情况，由概率公式计算. （2）利用条件概率公式求解. 【解析】（1）设事件：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球. 因为采取放回抽样方式， 所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为， 所以. 即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为. （2）设事件为第一次摸到黑球， 事件第二次摸到黑球， 所以，， 所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为： . 25．（2024高二·福建泉州·期末）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人 (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全条件概率公式进行求解即可； （2）利用条件概率公式进行求解即可. 【解析】（1）此人来自三个地区分别为事件，事件为这个人患流感， 所以， 因此 ； （2）. 26．（2024高二·江苏月考）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行新冠疫情防控宣传．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求该社区居民遇到一位进行新冠疫情防控宣传的同学恰好是女生的概率． 【答案】 【分析】用事件分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，根据题意利用全概率公式运算求解. 【解析】用事件分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”， 则，且互斥，， 由题意可知，且， 由全概率公式可知. 27．（2024高二·北京·期中）某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲员工 30天 20天 40天 10天 乙员工 20天 25天 15天 40天 假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率； (2)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由． 【答案】(1)甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为. (2)甲员工更有可能午餐选A餐厅，理由见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）根据古典概型的概率公式求出所对应的条件概率，即可判断． 【解析】（1）设事件C＝“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”， 事件D＝“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”． 由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30， 乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40， 所以，； （2）设N1＝“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”， N2＝“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”， M1＝“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”， M2＝“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，． 因为， 所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐． 28．（2024高二·安徽滁州月考）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选. (1)求女生乙被选中的概率； (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用古典概型的概率求解即可. （2）先算男生甲被选中的概率，再算女生乙被选中，然后根据条件概率求解. 【解析】（1）女生乙被选中事件的概率. （2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件， 则 29．（2024高二·河北沧州月考）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为． (1)求首次摸球就试验结束的概率； (2)在首次摸球摸出红球的条件下． ①求选到的袋子为乙袋的概率； ②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 【答案】(1)； (2)①；②选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大. 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）①利用条件概率概率公式计算可得；②分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可. 【解析】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 所以． 所以摸球一次就试验结束的概率为． （2）①因为，是对立事件，． 所以， 所以选到的袋子为乙袋的概率为． ②由①，得， 所以方案一中取到白球的概率为． 方案二中取到白球的概率为， 因为． 所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 30．（2024高二·上海月考）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和. (1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率； (2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算得解； （2）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解. 【解析】（1）这两件产品来自同一流水线的概率为. （2）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，， 由题，，，，， 且，，，， 从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是： . 31．（2024高二·山东日照月考）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”． (1)求的值： (2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)可判断该黑球来自3号箱的概率最大. 【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件属于全概率事件，分别计算出和，代入全概率公式即得； （2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率，根据条件概率公式分别计算再比较即得. 【解析】（1）由已知得：,而 由全概率公式可得： （2）因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：,其概率为, “小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：,其概率为, “小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：,其概率为. 综上，最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大. 32．（2024高二·山东潍坊·期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个. (1)求这个零件是次品的概率； (2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【解析】（1）解：记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件， 记事件：这个零件是次品， 由题意可得，，，， 由全概率公式可得： . （2）解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为 . 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$