5.3.1函数的单调性课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 导数在研究函数中的应用 ——单调性（2） 选择性必修第一册 第5章《导数及应用》 27 二月 2025 1 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间. 一般地，某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数的关系 对于函数y＝f(x)， 如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数； 如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数. 上述结论可以用下图来直观理解. 复习回顾 3 1.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)>0，那么f(x)在区间(a，b)内单调递增.(　　) 2.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它在区间(a，b)上都有f′(x)>0.(　　) [思考辨析 判断正误] × √ 　 不含参数的函数求单调区间 例1　求下列函数的单调区间： (1)y＝x3－2x2＋x； 解　y′＝3x2－4x＋1. 命题探究1 (2)f(x)＝3x2－2ln x. (2)f(x)＝3x2－2ln x. 解　函数的定义域为(0，＋∞)， 反思与感悟　(1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间. (2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式. (3)要特别注意函数的定义域. 跟踪训练1　函数f(x)＝x2ex(x∈R)的单调减区间为_________________. 解析　令f′(x)＝(x2＋2x)ex<0， 即x2＋2x<0，解得-2<x<0 (-2,0) 跟踪训练2 函数f(x)＝lnx-bx+c 在点（1， f(1) ）处的切线方程为 x+y+4=0. （1）求f(x)的解析式； （1）求f(x)的单调区间 　含参数的函数求单调区间 例2　讨论函数f(x)＝ ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性. 解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数. 令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数. 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数. 命题探究2 反思与感悟　(1)讨论参数要全面，要做到不重不漏. (2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解. 跟踪训练2　设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间. 解　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增. 若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)，单调减区间为(－∞，ln a). 例3　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是__________. 即k的取值范围为[1，＋∞). [1，＋∞) 命题探究3 已知函数的单调性求参数的范围 引申探究 1.若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围. 又f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 即k的取值范围为(－∞，0]. 2.若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围. 解　f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)， 当k≤0时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不符合题意. ∴k的取值范围是(0,1). 反思与感悟　(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意. ②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意. (2)恒成立问题的重要思路 ①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max. ②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. 解答 跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2＋ (x≠0，常数a∈R).若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围. 要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立， ∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立.∴a≤(2x3)min. ∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是增函数，∴(2x3)min＝16，∴a≤16. ∴a的取值范围是(－∞，16]. 1.函数f(x)＝(x－1)ex的单调增区间是_________. 1.(0，＋∞) 课堂检测 2.函数f(x)＝3＋x·ln x的单调增区间是___________. 3.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围 4.试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间. 3.[1，＋∞) 17 4.试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间. 解　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)， 当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 综上所述，当k≤0时，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)； 令3x2－4x＋1>0，解得x>1或x<， 因此，y＝x3－2x2＋x的单调增区间为(1，＋∞)，. 再令3x2－4x＋1<0，解得<x<1. 因此，y＝x3－2x2＋x的单调减区间为. 又∵x>0，∴0<x<. ∴f(x)的单调增区间为，单调减区间为.  f′(x)＝6x－＝2·. 令f′(x)>0，即2·>0，解得－<x<0或x>. 又∵x>0，∴x>. 令f′(x)<0，即2·<0， (2)当a>0时，f′(x)＝， (1)当a＝0时，  f′(x)＝ax＋1－＝. ∵a>0，∴－<0. 解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立. 由于k≥，而0<<1，所以k≥1. 解　∵f′(x)＝k－， ∴f′(x)＝k－≤0在(1，＋∞)上恒成立， 即k≤，∵0<<1，∴k≤0.  f′(x)＝k－. 当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝， 当x>时，f′(x)>0，当x<时，f′(x)<0， 只需∈(1，＋∞)，即>1，则0<k<1. 当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))恒成立. 解　f′(x)＝2x－＝. 即≥0在[2，＋∞)上恒成立. 2. ∴当k>0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为. 当k>0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为. f′(x)＝k－＝. 当k>0时，令f′(x)<0，即<0， 解得0<x<； 令f′(x)>0，即>0，解得x>. $$