第11讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（5大知识点+8大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第11讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 题型归纳 1 题型01 平面的概念及其表示 1 题型02 平面的基本性质及辨析 4 题型03 点（线）确定的平面数量问题 6 题型04 空间中的点（线）共面问题 8 题型05 空间中的线共点问题 12 题型06 由平面的基本性质作截面图形 17 题型07 线面关系有关命题的判断 22 题型08 面面关系有关命题的判断 24 分层练习 28 夯实基础 28 能力提升 38 知识点01平面的概念、画法及表示 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的． 画法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 ①平行四边形的四个顶点：平面ABCD； ②对角顶点：平面AC或平面BD； ③希腊字母：平面α，平面β，平面γ 注意点： 一般按逆时针的顺序用大写字母标注平行四边形的四个顶点． 知识点02平面的基本性质及推论 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 推论 内容 图形 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 知识点03空间两条直线的三种位置关系 知识点04直线与平面的位置关系 位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与平 面α相交 直线a与平 面α平行 公共点 有无数个 公共点 有且只有一个 公共点 没有公共点 符号 表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形 表示 注意点： 若a⊂α，则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系；若直线a与平面α相交，则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系；若a∥α，则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系． 知识点05平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 注意点： 若α∥β，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线有平行或异面的关系；若α∩β＝l，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行或相交或直线在平面内，则其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线有平行或相交或异面的关系． 题型01平面的概念及其表示 【例1】（20-21高一下·浙江·期末）“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据点线面关系的表示方法直接表示即可. 【详解】点P在直线m上可表示为，m在平面内. 故选：B. 【变式1】（20-21高一上·陕西宝鸡·期末）用符号语言表示下列语句，正确的个数是（    ） （1）点A在平面内，但不在平面内：，． （2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，． （3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据点线面的位置关系结合表示方法可判断. 【详解】（1）错误，点A在平面内应表示为：，点A不在平面内应表示为,故错误. （2）正确. 由题意点A在直线a上，不在平面内，直线a不在平面内. 故表示为：，，，所以表示正确. （3）正确. 平面与平面相交于直线l，表示为 l经过点P，点P在直线l上，.故正确. 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据点、线、面的位置关系，及其符号表示逐一判断即可. 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 【变式3】（21-22高一下·上海浦东新·期末）若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作 . 【答案】，， 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案. 【详解】点在直线上，在平面内，则，， 故､､之间的关系可记作，，. 故答案为：，， 题型02 平面的基本性质及辨析 【例2】（23-24高一下·北京·期末）如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（    ） A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点 C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点 【答案】D 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据平面的性质判断即可. 【详解】如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面有一条过公共点的公共直线. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·天津滨海新·期末）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面 【答案】C 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】利用立体几何中的基本事实确定平面的方法求解即可. 【详解】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误， 四边形存在空间四边形，故选项B错误， 三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确， 当点在直线上时无法确定一个平面，故选项D错误. 故选：C. 【变式2】（22-23高一下·吉林长春·期末）下列命题①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直；②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行；③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直；④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；⑤过直线外一点，有且只有一个直线与这条直线平行，其中真命题的序号为 （将所有正确的序号都写上）． 【答案】①③⑤ 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，故①正确； 过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行，故②不正确； 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，故③正确； 过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故④不正确； 过直线外一点，有且只有一个直线与这条直线平行，故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 【变式3】（22-23高一下·全国·课后作业）直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 【答案】BD/DB 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】利用平面的基本性质证明，再根据点线、线面、及面面关系判断的位置. 【详解】由，，，、，故，， 同理，，故，      由，，则，，故，同理可得， 又直线直线，故，即， 所以必在的交线上. 故答案为： 题型03 点（线）确定的平面数量问题 【例3】（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 【变式1】（20-21高一下·天津滨海新·期末）经过同一条直线上的3个点的平面（    ） A．有且仅有1个 B．有无数个 C．不存在 D．有且仅有3个 【答案】B 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件． 【详解】解：∵空间中不在同一条直线上的三个点确定一个平面， ∴在同一直线上的三个点的平面，就是以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件， ∴有无数个平面， 故选：B． 【变式2】（22-23高一下·山东烟台·期末）下列几何元素可以确定唯一平面的是（    ） A．三个点 B．圆心和圆上两点 C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线 【答案】C 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据平面的确定方法求解. 【详解】对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误； 对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误； 对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确； 对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误， 故选:C. 【变式3】（20-21高一下·上海浦东新·期末）空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是 【答案】3 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据直线平行的性质即可得到结论． 【详解】解：若三条直线在同一平面内，则此时三条直线只能确定一个平面， 若三条直线不在同一平面内，则此时三条直线能确定三个平面， 故三条两两平行的直线可以确定平面的个数为1个或3个， 故答案为：3． 题型04 空间中的点（线）共面问题 【例4】（23-24高一下·北京房山·期末）“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】空间中的点（线）共面问题、平面的基本性质及辨析、平面的概念及其表示 【分析】由点线面的位置关系及其表示即可得解. 【详解】“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为，. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【答案】D 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 【变式2】（20-21高一上·陕西西安·期末）给出下列说法： ①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面． 其中正确说法的序号是 ． 【答案】④ 【知识点】空间中的点（线）共面问题、平面的基本性质及辨析 【解析】利用正方体可判断①②的正误，利用公理3及其推论可判断③④的正误. 【详解】如图，在正方体中，，， 但是异面，故①错误. 又交于点，但不共面，故②错误. 如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误. 如图，因为，故共面于， 因为，故，故即， 而，故，故即即共面，故④正确. 故答案为：④ 【变式3】（23-24高一下·云南大理·期中）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、平面的基本性质及辨析 【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 题型05 空间中的线共点问题 【例5】（21-22高二上·重庆沙坪坝·期中）已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（    ） A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点 C． D． 【答案】D 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】根据题设条件可得相应的空间图形，从而可得正确的选项. 【详解】∵，∴，， ∵，，∴，，， ∵，∴，∴，∴， 如图所示：故A，B，C错误； 故选：D． 【变式1】（22-23高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【详解】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．    【答案】证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】由已知条件利用基本事实三得到平面平面，且平面，平面，由此利用基本事实三，即可证得对角线与平面的交点一定在上. 【详解】证明：如图所示，连接， 因为是正方体的上底面的中心， 所以，且， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以平面平面， 因为对角线平面，所以平面，平面， 所以由基本事实三可得，对角线与平面的交点一定在上.    【变式3】（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)1. 【知识点】空间中的线共点问题、锥体体积的有关计算 【分析】（1）先通过证明且得到四点共面，且相交，再利用基本事实三可证明结论； （2）通过以及棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接，如图： 分别是的中点，，， 且， ∴四边形为平行四边形，， 在中，分别是的中点，，， 且四点共面， 设，平面，平面，平面，平面， 平面平面， 三条直线相交于同一点； （2），三棱锥的高为， 点是棱的中点，， 点分别是棱的中点，，， ． ． 题型06 由平面的基本性质作截面图形 【例6】（21-22高一下·福建福州·期中）已知正方体棱长为2，M，N，P分别是棱、、的中点，则平面截正方体所得的多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】利用平面基本性质作出正方体中的截面图，再由正方体的特征判断截面的性质，即可求周长. 【详解】过直线与射线分别交于，作射线交于， 连接交于，如下图示： 所以六边形即为面截正方体所得的多边形， 又M，N，P分别是棱、、的中点，易知：均为中点， 所以截面为正六边形，故周长为. 故选：C 【变式1】（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】连接，取的中点，连接，然后利用平面的性质可得过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形，从而可求出截面的面积. 【详解】连接，取的中点，连接， 因为是的中点，所以∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形， 连接交于，连接交于，连接， 因为， 所以，所以梯形为等腰梯形， 所以， 所以梯形的面积为， 故选：B    【变式2】（22-23高一下·江苏淮安·期中）正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面截正方体所截面的周长为 【答案】 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】先作出平面截正方体所得截面，进而求得该截面的周长. 【详解】连接并延长交延长线于Q，则 过Q作，交于H，交于K，则， 过K作，交于T，连接， 则六边形即为平面截正方体所得截面， 又均为棱的中点，则截面的周长为 故答案为： 【变式3】（21-22高一下·新疆塔城·期末）如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点． (1)画出过点，，的平面与平面的交线； (2)设平面，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、图形的性质 【分析】（1）通过平面，将延长后必与相交，设交点为，连接，即为过点，，的平面与平面的交线. （2）由可知，进而可通过勾股定理求得的长. 【详解】（1）如下图所示，∵平面，与不平行，∴与必相交．设交点为，连接． ∵平面，平面， ∴过点，，的平面与平面的交线为. （2）∵，∴，∴． ∴. 题型07 线面关系有关命题的判断 【例7】（23-24高一下·河南洛阳·期中）若直线在平面外，则（    ） A． B．与至多有一个公共点 C．与没有公共点 D．与至少有一个公共点 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据直线与平面的位置关系即可判断. 【详解】直线在平面外，包含两种情况：一是；二是与相交，此时与有一个公共点. 综上，与至多有一个公共点. 故选：B 【变式1】（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中线面的位置关系对每个选项逐一判断. 【详解】A选项，当时，在直线上，除了之外，其余点有无数个都不在内，故A选项错误； B选项，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，B选项错误； C选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，C选项错误； D选项，若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行，D选项正确. 故选：D 【变式2】（21-22高一下·山东青岛·期中）已知直线，和平面，且，，则与的位置关系为 ； 【答案】或； 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】由，，由线面垂直的性质和线面位置关系，可判断或． 【详解】解：①若，由可知，，符合题意，即可能在内； ②若，设过的平面为，且，，， 则，，故，符合题意，即可能与平行． 故答案为：或． 【变式3】（22-23高一下·浙江·期中）若直线不平行平面，则以下命题成立的是 . ①内的所有直线都与异面； ②内不存在与平行的直线； ③内直线都与相交； ④直线与平面有公共点. 【答案】④ 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】由题意得到直线在平面内或直线与平面相交，判断出①②③错误，④正确. 【详解】因为直线不平行平面，所以直线与平面的位置关系是：直线在平面内或直线与平面相交，则内的不是所有直线都与异面 若直线在平面内，存在与平行的直线，①②③错误，④正确. 故答案为：④ 题型08 面面关系有关命题的判断 【例8】（22-23高一下·安徽芜湖·期中）下列命题中，真命题为（    ） A．若两个平面，，，则∥； B．若两个平面，，，则与b平行或异面； C．若两个平面，，，则与b是异面直线； D．若两个平面，，则与一定相交． 【答案】B 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】根据面面平行的性质定理，以及线线的位置关系，即可判断选项. 【详解】对于A，B，C，若两个平面，，，则或异面，故A错误；B正确；C错误； 对于D，若两个平面，，则与相交或平行，故D错误. 故选：B 【变式1】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知平面平面β，，，则直线a和b的位置关系为（    ） A．平行 B．平行或异面 C．异面或相交 D．平行或异面或相交 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】借助正方体观察即可求解. 【详解】平面平面平面β，直线， 如图在正方体中，令平面，平面， 当时，显然有相交， 当时，显然有， 当时，显然有异面， 所以直线a，b的位置关系为平行或异面或相交. 故选：D. 【变式2】（21-22高一下·上海奉贤·期末）给出下列命题： ①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； ②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行； ③若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直； ④若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行； 其中所有错误命题的序号为 . 【答案】①③ 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】垂直于同一条直线的两条直线可能相交、可能平行、也可能异面，①错； 垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确； 垂直于同一平面的两个平面可能平行也可能相交，③错； 垂直于同一平面的两条直线平行，④正确． 故答案为：①③． 【变式3】（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知是两条不同直线，､是两个不同平面，对下列命题： ①若，则. ②若，则且. ③若，，则. ④若，则. ⑤若，则. 其中正确的命题是 （填序号）. 【答案】③⑤ 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由给定条件，举例说明判断命题①②④，利用线面垂直的性质判断③，利用线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理判断⑤作答. 【详解】如图，长方体中，记平面为， 对于①，记直线为，直线为，则，但与相交，①不正确； 对于②，记平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而，②不正确； 对于③，因为，，所以，又，所以，③正确， 对于④，记平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而与是异面直线，④不正确； 对于⑤，因，则过直线作平面，令，如图， 于是得，而，则有，由，所以，⑤正确. 故答案为：③⑤ 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则与相交 C．若，没有公共点，则，是异面直线 D．若，，，则，不可能相交 【答案】D 【分析】ABC选项，可举出反例，D选项，或异面，，不可能相交，D正确. 【详解】对于AD选项，若，，，则或异面，，不可能相交，A错误，D正确； 对于B选项，若，，，则与平行或与相交，B错误； 对于C选项，若，没有公共点，则，是异面直线或平行直线，C错误. 故选：D 2．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 【答案】D 【分析】对于A，与相交、平行或异面；对于B，或；对于C，由于直线未必相交，故无法判定与平行；对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分． 【详解】直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面， 对于A，若，，则与相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，且，，由于直线未必相交，所以与不一定平行，故C错误； 对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分，故D正确 故选：D． 3．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例，排除ADC，结合异面直线定义证明C正确. 【详解】对于A，当点位于位置时，证明与直线相交，A错误； 对于D，当点位于位置时，证明与直线相交，D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形， 所以也为的中点， 因为，所以四点共面， 所以与共面，B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，C正确； 故选：C. 4．（23-24高一下·北京·期中）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 【答案】C 【分析】由异面直线的判定定理判断即可. 【详解】因为平面，平面，， 所以直线与是异面直线. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）以下命题属于基本事实的是（    ） A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】ABD 【分析】由基本事实的内容即可选择. 【详解】在 A 中，由基本事实2知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故 A 是基本事实； 在 B 中，由基本事实1得，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故 B 正确； 在 C 中，由等角定理知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故 C 是定理，不是基本事实； 在 D 中，由基本事实4得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故 D 是基本事实． 故选：ABD. 6．（23-24高一下·福建福州·期中）若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（    ） A．内的所有直线与是异面直线 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一一条直线与平行 D．内的所有直线与都相交 【答案】ACD 【分析】依题意可知与平面相交，再判断直线与平面内的直线的位置关系即可. 【详解】因为直线不平行于平面，且，则与平面相交， 设交点为，则平面内所有过点的直线与直线相交，即共面， 平面内所有不过点的直线与直线异面，故A错误，D错误； 显然内不存在与平行的直线，故B正确，C错误. 故选：ACD 三、填空题 7．（22-23高一下·天津·期中）直线上所有点都在平面α内，可以用符号表示为 ． 【答案】 【分析】根据线面位置关系的符号表示，可得答案. 【详解】由题意直线上所有点都在平面α内，则直线l在平面α内， 故用符号表示为， 故答案为： 8．（23-24高一下·湖南·期末）在直三棱柱中，分别为的中点，则过作直三棱柱的截面，则截面的面积等于 . 【答案】 【分析】取的中点，连接，过作直三棱柱的截面就是梯形，计算可求截面等腰梯形的面积. 【详解】如图，取的中点，连接， 结合三棱柱的性质知：且，因为是的中位线， 所以且，所以且，所以四点共面， 则过作直三棱柱的截面就是梯形. 因为，所以由勾股定理得， ， 则等腰梯形的高， 所以截面等腰梯形的面积. 四、解答题 9．（20-21高一下·山西晋城·期中）如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且． （1）证明：E，F，G，H四点共面． （2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用三角形中对应边成比例，证得，，进而得到，即可得出结果． （2）由，可知EG，FH必相交于一点，设为点O,平面平面，通过证明，即可． 【详解】证明：（1）在中，因为E，F分别是PA，AB的中点， 所以． 在中，因为， 所以，从而． 所以，即E，F，G，H四点共面． （2）由（1）知，，， 所以EG，FH必相交于一点，设为点O． 因为平面PAC，所以平面PAC． 同理平面ABC，即O是平面PAC与平面ABC的公共点． 因为平面平面， 所以，即三直线EG，FH，AC交于一点． 10．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 11．（22-23高一下·辽宁·期末）如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、、、，则四边形即为所求； （2）依题意可得四边形为菱形，连接，，求出，，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、、、， 则四边形即为过点、和的平面截直四棱柱所得截面； 取的中点，连接、，因为为的中点，为直四棱柱，底面为正方形， 所以且，且，所以且， 所以为平行四边形，所以， 又且，所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面. （2）在直四棱柱中，，、分别为、的中点， 所以， 所以四边形为菱形，连接，，则， 又，， 所以. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东烟台·期末）若是异面直线，则下列结论一定正确的是（    ） A．存在与都平行的直线 B．存在与都垂直的平面 C．存在过且与垂直的平面 D．存在过且与平行的平面 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义，结合线面垂直和线面平行的定理和性质判断四个选项即可. 【详解】对于A，如果存在存在与都平行的直线，则，与是异面直线矛盾，故A错误； 对于B，如果存在与都垂直的平面，则，与是异面直线矛盾，故B错误； 对于C，如果存在过且与垂直的平面，则，因为是异面直线，不一定垂直，故C错误； 对于D，设为直线上一点，在上取两点，则确定一个平面， 在内过作，此时与确定一个平面即为过且与平行的平面，故D正确， 故选：D. 2．（23-24高一下·河北唐山·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断选项即可. 【详解】对于A, 若,则，或，或，或与相交，故A错误； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误； 故选：B 3．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，，三点都在平面与平面的交线上，可判断（1）；由平面，可判断（2）；由，可判断（3）. 【详解】因为，直线平面， ，直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，所以（1）正确； 平面，所以（2）错误； 由于，所以（3）错误. 故选：B. 4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【分析】根据空间中的点线面的位置关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，则，C正确， 对于D，少了与相交的条件，故D错误. 故选：C 二、多选题 5．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）在空间中，下列命题为假命题的是（    ） A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. 【答案】ABC 【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明. 【详解】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交， 如图1，直线⊥，⊥，但与异面，故A错误； B选项，如图2，，，则， 故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误； C选项，如图3，平面与平面垂直，交线为， 则过平面内一点的直线m垂直于交线，但m与另外一个平面平行，C错误； 选项D，如图4，直线，直线⊥，则，理由如下： 因为，，，所以， 因为⊥，，所以⊥，故，证毕. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确 故选：ABC. 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知平面平面，则下列说法错误的是（    ） A．平面内所有的直线与直线异面 B．平面内存在一条直线与直线平行 C．平面内存在无数条直线与直线相交 D．有且只有一个过直线的平面与平面平行 【答案】ABD 【分析】根据空间线面位置关系即可判断. 【详解】对A，当平面内的直线过点时，该直线与直线相交，故A错误； 对B，假设平面内存在一条直线与直线相互平行，则该直线与直线共面，即该直线与相交，显然不成立，故B错误； 对C，在平面内过的直线都与直线相交，故C正确 对D，平面，因此不存在过直线AB的平面与平面平行，故D错误． 故选：ABD． 三、填空题 7．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【答案】 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 8．（22-23高一下·天津南开·期中）如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 . 【答案】 【分析】为中点，则截面图形为梯形，利用勾股定理求各边的长，可得周长. 【详解】为中点，连接， 正方体中，，，则四边形为平行四边形， 有，， 为中点，是的中点，则，得， 则平面截正方体所得的截面图形为梯形， 其中，，， 则梯形的周长为 即所得的截面图形的周长是 故答案为： 四、解答题 9．（22-23高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面； （2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.    【答案】证明过程见解析 【分析】（1）设两平行直线确定的平面为，从而得到，，直线，即平面，证明出结论； （2）作出辅助线，得到，且，得到四边形为梯形，与交于一点，再证明点在直线上，证明出结论. 【详解】（1）证明：设直线与，分别交于点， 如图1，    因为，所以确定一个平面，记为平面， 因为点直线，点直线，所以，， 所以直线，即平面，所以过，，有且只有一个平面； （2）在空间四边形中，连接， 因为分别为的中点，则，且， 又由，则，且， 故，且，故四边形为梯形，与交于一点， 设与交于点，如图2，    由于平面，点在平面内，同理点在平面内， 又因为平面平面， 所以点在直线上， 故直线相交于一点. 10．（21-22高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点. (1)求证：E，F，C1，四点共面； (2)求证：A1E，F，B交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接EF，根据E，F分别为AB，BC的中点，得到，再根据三棱柱的性质证明即可； （2）由（1）得且E，F，，四点共面，得到与必相交，设，再证明即可. 【详解】（1）证明：如图， 连接EF， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴.. 又在三棱柱中，， ∴. 则E，F，，四点共面. （2）由（1）得且E，F，，四点共面， 则与必相交. 设. ∵平面，∴P∈平面. ∵⊂平面，∴P∈平面.. 又平面∩平面 ∴. 则，，交于一点. 11．（22-23高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解 (2)证明见祥解 【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面； （2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面， 所以，进而得到A，O，D三点共线. 【详解】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 题型归纳 1 题型01 平面的概念及其表示 1 题型02 平面的基本性质及辨析 2 题型03 点（线）确定的平面数量问题 3 题型04 空间中的点（线）共面问题 3 题型05 空间中的线共点问题 5 题型06 由平面的基本性质作截面图形 6 题型07 线面关系有关命题的判断 8 题型08 面面关系有关命题的判断 8 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 14 知识点01平面的概念、画法及表示 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的． 画法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 ①平行四边形的四个顶点：平面ABCD； ②对角顶点：平面AC或平面BD； ③希腊字母：平面α，平面β，平面γ 注意点： 一般按逆时针的顺序用大写字母标注平行四边形的四个顶点． 知识点02平面的基本性质及推论 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 推论 内容 图形 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 知识点03空间两条直线的三种位置关系 知识点04直线与平面的位置关系 位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与平 面α相交 直线a与平 面α平行 公共点 有无数个 公共点 有且只有一个 公共点 没有公共点 符号 表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形 表示 注意点： 若a⊂α，则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系；若直线a与平面α相交，则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系；若a∥α，则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系． 知识点05平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 注意点： 若α∥β，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线有平行或异面的关系；若α∩β＝l，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行或相交或直线在平面内，则其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线有平行或相交或异面的关系． 题型01平面的概念及其表示 【例1】（20-21高一下·浙江·期末）“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一上·陕西宝鸡·期末）用符号语言表示下列语句，正确的个数是（    ） （1）点A在平面内，但不在平面内：，． （2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，． （3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，． A．1 B．2 C．3 D．0 【变式2】（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（21-22高一下·上海浦东新·期末）若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作 . 题型02 平面的基本性质及辨析 【例2】（23-24高一下·北京·期末）如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（    ） A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点 C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点 【变式1】（23-24高一下·天津滨海新·期末）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面 【变式2】（22-23高一下·吉林长春·期末）下列命题①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直；②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行；③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直；④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；⑤过直线外一点，有且只有一个直线与这条直线平行，其中真命题的序号为 （将所有正确的序号都写上）． 【变式3】（22-23高一下·全国·课后作业）直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 题型03 点（线）确定的平面数量问题 【例3】（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【变式1】（20-21高一下·天津滨海新·期末）经过同一条直线上的3个点的平面（    ） A．有且仅有1个 B．有无数个 C．不存在 D．有且仅有3个 【变式2】（22-23高一下·山东烟台·期末）下列几何元素可以确定唯一平面的是（    ） A．三个点 B．圆心和圆上两点 C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线 【变式3】（20-21高一下·上海浦东新·期末）空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是 题型04 空间中的点（线）共面问题 【例4】（23-24高一下·北京房山·期末）“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【变式2】（20-21高一上·陕西西安·期末）给出下列说法： ①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面． 其中正确说法的序号是 ． 【变式3】（23-24高一下·云南大理·期中）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 题型05 空间中的线共点问题 【例5】（21-22高二上·重庆沙坪坝·期中）已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（    ） A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点 C． D． 【变式1】（22-23高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．    【变式3】（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 题型06 由平面的基本性质作截面图形 【例6】（21-22高一下·福建福州·期中）已知正方体棱长为2，M，N，P分别是棱、、的中点，则平面截正方体所得的多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·江苏淮安·期中）正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面截正方体所截面的周长为 【变式3】（21-22高一下·新疆塔城·期末）如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点． (1)画出过点，，的平面与平面的交线； (2)设平面，求的长． 题型07 线面关系有关命题的判断 【例7】（23-24高一下·河南洛阳·期中）若直线在平面外，则（    ） A． B．与至多有一个公共点 C．与没有公共点 D．与至少有一个公共点 【变式1】（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 【变式2】（21-22高一下·山东青岛·期中）已知直线，和平面，且，，则与的位置关系为 ； 【变式3】（22-23高一下·浙江·期中）若直线不平行平面，则以下命题成立的是 . ①内的所有直线都与异面； ②内不存在与平行的直线； ③内直线都与相交； ④直线与平面有公共点. 题型08 面面关系有关命题的判断 【例8】（22-23高一下·安徽芜湖·期中）下列命题中，真命题为（    ） A．若两个平面，，，则∥； B．若两个平面，，，则与b平行或异面； C．若两个平面，，，则与b是异面直线； D．若两个平面，，则与一定相交． 【变式1】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知平面平面β，，，则直线a和b的位置关系为（    ） A．平行 B．平行或异面 C．异面或相交 D．平行或异面或相交 【变式2】（21-22高一下·上海奉贤·期末）给出下列命题： ①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； ②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行； ③若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直； ④若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行； 其中所有错误命题的序号为 . 【变式3】（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知是两条不同直线，､是两个不同平面，对下列命题： ①若，则. ②若，则且. ③若，，则. ④若，则. ⑤若，则. 其中正确的命题是 （填序号）. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则与相交 C．若，没有公共点，则，是异面直线 D．若，，，则，不可能相交 2．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 3．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京·期中）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 二、多选题 5．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）以下命题属于基本事实的是（    ） A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行 6．（23-24高一下·福建福州·期中）若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（    ） A．内的所有直线与是异面直线 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一一条直线与平行 D．内的所有直线与都相交 三、填空题 7．（22-23高一下·天津·期中）直线上所有点都在平面α内，可以用符号表示为 ． 8．（23-24高一下·湖南·期末）在直三棱柱中，分别为的中点，则过作直三棱柱的截面，则截面的面积等于 . 四、解答题 9．（20-21高一下·山西晋城·期中）如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且． （1）证明：E，F，G，H四点共面． （2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点． 10．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 11．（22-23高一下·辽宁·期末）如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东烟台·期末）若是异面直线，则下列结论一定正确的是（    ） A．存在与都平行的直线 B．存在与都垂直的平面 C．存在过且与垂直的平面 D．存在过且与平行的平面 2．（23-24高一下·河北唐山·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 二、多选题 5．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）在空间中，下列命题为假命题的是（    ） A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知平面平面，则下列说法错误的是（    ） A．平面内所有的直线与直线异面 B．平面内存在一条直线与直线平行 C．平面内存在无数条直线与直线相交 D．有且只有一个过直线的平面与平面平行 三、填空题 7．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 8．（22-23高一下·天津南开·期中）如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 . 四、解答题 9．（22-23高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面； （2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.    10．（21-22高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点. (1)求证：E，F，C1，四点共面； (2)求证：A1E，F，B交于一点. 11．（22-23高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$