第04讲 中心对称与中心对称图形（2个知识清单+7类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第04讲 中心对称与中心对称图形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01成中心对称.......................................................................................................................................................................2 题型02中心对称图形的识别.......................................................................................................................................................6 题型03判断中心对称图形的对称中心.......................................................................................................................................8 题型04在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形.............................................................................................................10 题型05根据中心对称的性质求面积、长度、角度.................................................................................................................13 题型06求关于原点对称的点的坐标.........................................................................................................................................16 题型07已知两点关于原点对称求参数.....................................................................................................................................19 分层练习........................................................................................................................................................................................20 夯实基础........................................................................................................................................................................................20 能力提升........................................................................................................................................................................................38 知识点1．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点2．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 题型01成中心对称 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点是对称点 B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是 ．    3．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点． (1)若绕点逆时针旋转可得到，则旋转角至少为______； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)若（2）中的与成中心对称，则对称中心的坐标为______． 题型02中心对称图形的识别 4．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）平行四边形 （是/不是）中心对称图形． 6．（21-22八年级下·全国·课后作业）下面两幅图案是中心对称图形吗？如果认为是，标出它们的对称中心．对于图②，至少把图形绕整个圆的圆心旋转多少度，就能和原图重合？ 题型03判断中心对称图形的对称中心 7．图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，和关于点P成中心对称，则点P坐标是 ．    9．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点坐标为，请在坐标系中画出； (2)在（1）的条件下，以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得， ①请在坐标系中画出； ②与关于某点成中心对称，请直接写出该对称中心坐标__________． 题型04在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 10．如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 11．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．    12．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，图1、图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，已有两个小正方形涂上了黑色，请你再涂黑两个小正方形，使得整个涂色部分图形满足下列条件： (1)图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形． 题型05根据中心对称的性质求面积、长度、角度 13．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则的长为（ ） A．4 B． C． D． 14．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 15．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于点O的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)求的面积． 题型06求关于原点对称的点的坐标 16．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·江苏南京·期中）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 18．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．    (1)将向上平移4格，画出平移后的； (2)将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； (3)与关于点M成中心对称，则对称中心M的坐标是__________． 题型07已知两点关于原点对称求参数 19．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 20．已知点与点关于原点对称，则点P坐标为 ． 21．（22-23八年级下·陕西宝鸡·期中）已知点与点关于原点对称，求点M、N两点的坐标． 夯实基础 一、单选题 1．下面图形中，中心对称图形的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．三个顶点的横坐标不变，纵坐标均乘后得到，则与的位置关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．C向下平移1个单位长度后得到 4．如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，则点B的对称点是(   )    A．点E B．点F C．点G D．点H 5．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知a<0，则点P(-a2，-a+1)关于原点的对称点P′在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（    ） A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为 C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为 8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  ) A． B． 二、填空题 9．在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形,该正方形的序号是 . 10．已知点与点关于原点成中心对称， 则 ． 11．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是 ． 12．若点与点关于原点对称，则= ． 13．已知点与关于原点对称，则= ． 14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是 ．   三、解答题 15．当为何值时，（1）点A(2，3m）关于原点的对称点在第三象限； （2）点B（3m-1，0.5m+2）到轴的距离等于它到轴距离的一半？ 16．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 17．下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形． (请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形)    18．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标为______； (2)直接写出的面积为______； (3)将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 19．如图，在平面直角坐标系中有一点． (1)点的坐标为______； (2)将点向下平移_____个单位长度后得到的点在轴上，此时点的坐标为_______；点向左平移2个单位后得到的点的坐标为_______﹔ (3)点关于轴对称的点的坐标是__________，关于轴对称的点的坐标是__________，关于原点对称的点的坐标是______________﹔ (4)点绕点顺时针旋转后得到的点的坐标为__________． 20．如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为． (1)图中点B点的坐标是___________；点B关于原点对称的点C的坐标是_________；点B关于y轴对称的点D的坐标是____________； (2)在图中画出，并画出绕着点O逆时针旋转后的； (3)在x轴上找一点E，使得的面积等于的面积，求出点E的坐标． 能力提升 一、单选题 21．下列几何图形中，①一条线段；②平面上的两条直线；③等边三角形；④平行四边形；⑤等腰三角形，其中一定是中心对称图形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22．如图所示是一个中心对称图形，点为对称中心．若，，，则的长为（    ）    A．4 B． C． D． 二、填空题 23．把直线 绕原点旋转180°，所得直线的解析式为 ． 24．（1）在平面直角坐标系中，OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y=2x+b将OABC的面积平分，则b= . （2）在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋3关于原点对称的直线的表达式为 ． 三、解答题 25．下列各点中哪两个点关于原点对称？ ，，，，，，． 26．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标； (2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2、B2、C2的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 中心对称与中心对称图形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01成中心对称.......................................................................................................................................................................2 题型02中心对称图形的识别.......................................................................................................................................................6 题型03判断中心对称图形的对称中心.......................................................................................................................................8 题型04在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形.............................................................................................................10 题型05根据中心对称的性质求面积、长度、角度.................................................................................................................13 题型06求关于原点对称的点的坐标.........................................................................................................................................16 题型07已知两点关于原点对称求参数.....................................................................................................................................19 分层练习........................................................................................................................................................................................20 夯实基础........................................................................................................................................................................................20 能力提升........................................................................................................................................................................................38 知识点1．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点2．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 题型01成中心对称 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【知识点】成中心对称 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．利用中心对称的性质一一判断即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，， ，，正确， 故选：D． 2．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是 ．    【答案】 【知识点】点坐标规律探索、成中心对称 【分析】根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 6个点一循环， ， 点的坐标是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性质以及找出点的循环数是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点． (1)若绕点逆时针旋转可得到，则旋转角至少为______； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)若（2）中的与成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】成中心对称、根据旋转的性质求解、画旋转图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查旋转变换和中心对称；（1）根据旋转中心的定义求角度即可；（2）根据旋转画图即可；（3）根据中点公式即可． 【详解】（1）是绕点旋转所得． 点对应点 旋转角度至少为 （2）将绕一个定点顺时针旋转得到的图形如图所示． （3）和中心对称 点对应点 对称中心的坐标为：． 题型02中心对称图形的识别 4．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 5．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）平行四边形 （是/不是）中心对称图形． 【答案】是 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的定义即将图形绕某点旋转后与原图形完全重合，判断即可． 【详解】平行四边形是中心对称图形， 故答案为：是． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 6．（21-22八年级下·全国·课后作业）下面两幅图案是中心对称图形吗？如果认为是，标出它们的对称中心．对于图②，至少把图形绕整个圆的圆心旋转多少度，就能和原图重合？ 【答案】图是中心对称图形，对称中心为，如下图；图②不是中心对称图形，图形绕圆心至少旋转，就能和原图重合． 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕着某一点旋转后能够与自身重合的图形就是中心对称图形，可知：图 是中心对称图形，中间圆的圆心就是图形的对称中心； 图②不是中心对称图形，至少把图形绕整个圆的圆心旋转，就能和原图重合；由此得出答案即可． 【详解】解：图 是中心对称图形，对称中心为如下图： 图②不是中心对称图形，图形绕圆心至少旋转，就能和原图重合． 【点睛】此题考查利用旋转设计图案，掌握旋转的意义与性质是解决问题的关键． 题型03判断中心对称图形的对称中心 7．图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】成中心对称、判断中心对称图形的对称中心 【分析】根据中心对称图形的概念即可分析判断. 【详解】观察图形可知，图形中所有的点都关于P点中心对称， ∴P点为对称中心， 故选：A. 【点睛】本题考查中心对称，掌握中心对称图形的概念，旋转180°后与原图重合，掌握图形所有点都关于对称中心对称，是解题的关键. 8．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，和关于点P成中心对称，则点P坐标是 ．    【答案】 【知识点】判断中心对称图形的对称中心、坐标与图形 【分析】根据图形找出和中一对对应点的坐标，则对应点连线的中点必为对称中心． 【详解】解：由图可知，点，， ∴的中点坐标是，即， 则点P坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了中心对称图形，熟练掌握对称中心的求法是解题的关键． 9．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点坐标为，请在坐标系中画出； (2)在（1）的条件下，以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得， ①请在坐标系中画出； ②与关于某点成中心对称，请直接写出该对称中心坐标__________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】判断中心对称图形的对称中心、画旋转图形、平移(作图) 【分析】（1）利用点A和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到的位置，然后顺次连接即可； （2）①根据关于原点对称点的性质分别得到的位置，然后顺次连接即可； ②如图，连接，则都经过点P，故可知点P为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：①如图，即为所求； ②解：如图，可知与关于点成中心对称， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键． 题型04在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 10．如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【解析】根据中心对称图形的意义解答． 【详解】解：如图， 如果以O为对称中心，则A与B、C与D、E与F分别对应， 从图中可以看出，G应该与③对应， 故选C． 【点睛】本题考查中心对称的应用，熟练掌握中心对称图形及对称中心的意义是解题关键． 11．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．    【答案】1 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，正确理解定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，可得如下涂法，且只有一种，    故答案为：1． 12．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，图1、图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，已有两个小正方形涂上了黑色，请你再涂黑两个小正方形，使得整个涂色部分图形满足下列条件： (1)图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、设计轴对称图案 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． （1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义作图即可； （2）根据轴对称图形和中心对称图形的定义作图即可 【详解】（1）解：如图， ． （2）如图， ． 题型05根据中心对称的性质求面积、长度、角度 13．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则的长为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、含30度角的直角三角形 【分析】在直角中根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求得，而，据此即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质：的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质． 14．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于点O的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】（1）先根据中心对称图形的定义画出点，再顺次连接即可得，然后根据点坐标的中心对称变换规律即可得点的坐标； （2）先分别求出点的坐标，再利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点与点关于点中心对称，且， ． （2）解：点分别与点关于点中心对称，且， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了画中心对称图形、点坐标的中心对称变换，熟练掌握中心对称图形的画法是解题关键． 题型06求关于原点对称的点的坐标 16．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点的对称点的坐标．根据关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故选：D． 17．（23-24八年级下·江苏南京·期中）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，掌握关于原点对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数成为解题的关键． 根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．    (1)将向上平移4格，画出平移后的； (2)将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； (3)与关于点M成中心对称，则对称中心M的坐标是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、画两个图形的对称中心、画旋转图形 【分析】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）连接，，，相交于点M，则绕点M旋转能得到，即可得出答案． 【详解】（1）如图，即为所求．    （2）如图，即为所求． （3）连接，，，相交于点M， 则绕点M旋转能得到 由图可得，，， ∴旋转中心点M的坐标为． 故答案为：． 题型07已知两点关于原点对称求参数 19．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】关于原点对称的点，其横纵坐标互为相反数，由此可得出、的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】题考查关于原点对称的点坐标的特征，熟记基本结论是解题关键． 20．已知点与点关于原点对称，则点P坐标为 ． 【答案】（5，2） 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的等式进而得出答案． 【详解】解：由点P（x，y）与点Q（-5，x-7）关于原点对称，得 x=5，y=7-x． 解得x=5，y=2， 所以点P的坐标为（5，2）， 故答案为：（5，2）． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出关于x，y的等式是解题关键． 21．（22-23八年级下·陕西宝鸡·期中）已知点与点关于原点对称，求点M、N两点的坐标． 【答案】点，点 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解即可． 【详解】解：∵与点关于原点对称， ∴，  解得， ∴点，点． 【点睛】本题考查已知关于原点对称的两点，求参数．熟练掌握关于原点对称的点的特征，是解题的关键． 夯实基础 一、单选题 1．下面图形中，中心对称图形的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解． 【详解】解：第一个是中心对称图形，符合题意； 第二个是是中心对称图形，符合题意； 第三个是是中心对称图形，符合题意； 第四个不是中心对称图形，不符合题意； 所以符合题意的有3个． 故选：C． 2．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中心对称图形的定义直接判断． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合， 故选B． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 3．三个顶点的横坐标不变，纵坐标均乘后得到，则与的位置关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．C向下平移1个单位长度后得到 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律； 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可判断． 【详解】的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以， 的三个顶点的横坐标不变，纵坐标变为相反数， 与关于x轴对称， 故选∶A． 4．如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，则点B的对称点是(   )    A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】D 【详解】分析：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．由于菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H． 解答：解：由于四边形ABCD与四边形EFGH都是菱形，且关于直线BD上某个点成中心对称， 根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H． 故选D． 5．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可 第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如下图所示： 由的坐标为可知：，， 在中，， 由旋转性质可知：， ，， ， 在与中： ， ，， 此时点对应坐标为， 当第二次旋转时，如下图所示： 此时A点对应点的坐标为． 当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为． 当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为． 当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为． 第6次旋转时，与A点重合． 故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、． 由于，故第2023次旋转时，A点的对应点为． 故选：A． 【点睛】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键． 6．已知a<0，则点P(-a2，-a+1)关于原点的对称点P′在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为点P（-a2,-a+1）关于原点的对称点为P′,所以P′（a2,a-1）, 又因为a＜0,所以a-1＜0,a2＞0,所以P′在第四象限.故选D. 7．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（    ） A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为 C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为 【答案】D 【分析】根据点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换逐项判断即可得． 【详解】解：A、点与点关于轴对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意； B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点的坐标为，则此项错误，不符合题意； C、点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意； D、点先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换，熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键． 8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、B是轴对称图形；C既是轴对称图形又是中心对称图形；D仅仅是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 二、填空题 9．在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形,该正方形的序号是 . 【答案】② 【分析】由图可知，把②涂黑后得到图形，绕中心点旋转180°可与原图重合，为中心对称图形. 【详解】如图，把②涂黑后得到图形，绕中心点旋转180°可与原图重合，为中心对称图形. 【点睛】此题主要考查旋转得到中心对称图形. 10．已知点与点关于原点成中心对称， 则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点坐标特征，以及已知字母的值，求代数式的值，根据关于原点对称的点的坐标横纵坐标都相反求出a，b ，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， 故答案为：1． 11．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是 ． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质AB=DE，DC=AC及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长． 【详解】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE＝1，AC＝DC＝，∠D＝∠BAC＝90°， ∴AD＝1， ∵∠D＝90°， ∴AE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，熟记中心对称图形的性质是解题关键． 12．若点与点关于原点对称，则= ． 【答案】-1 【分析】先根据原点对称的性质得到m，n的值，之后代入求值即可． 【详解】解：两点关于原点对称，则两点的横纵坐标都互为相反数，则m=－3，n=2， 则=－1． 故答案为：． 【点睛】本题考查了原点对称的性质，有理数的乘方，解题的关键是正确的计算． 13．已知点与关于原点对称，则= ． 【答案】-8 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答． 【详解】∵点与关于原点对称， ∴m=-6，1-n=3， ∴n=-2， ∴m+n=-6-2=-8， 故答案为：-8． 【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，求代数式的值，熟记坐标特征是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是 ．   【答案】（1，1） 【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解． 【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)． 故答案为(1，1)． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可； 三、解答题 15．当为何值时，（1）点A(2，3m）关于原点的对称点在第三象限； （2）点B（3m-1，0.5m+2）到轴的距离等于它到轴距离的一半？ 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）判断出点A在第一象限，然后根据第一象限内点的纵坐标是正数列不等式求解即可； （2）根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值列出绝对值方程，然后求解即可． 【详解】解：（1）∵点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限， ∴点A在第一象限， ∴3m＞0， 解得m＞0； （2）∵点B（3m-1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半， ∴|0.5m+2|=|3m-1|， ∴0.5m+2=×（3m-1）或0.5m+2=-×（3m-1）， 解得：或． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，还考查了点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 16．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等角对等边，中心对称图形的性质，根据等角对等边得到，再根据中心对称图形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与关于原点成中心对称， ∴． 17．下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形． (请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形)    【答案】作图见解析． 【分析】(1)根据轴对称图形的定义作图即可； (2)根据中心对称图形的定义作图即可；(3)根据轴对称图形的定义作图即可； 【详解】（1）画出下列一种即可：    （2）画出下列一种即可：    （3）画出下列一种即可：    【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握定义是解题关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标为______； (2)直接写出的面积为______； (3)将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）关于原点对称，则各点的横纵坐标变为原来的横纵坐标的相反数，确定点坐标后，连接各点坐标，即可得到所求图形； （2）如图所示（见详解），利用“割补法”，则，由此即可求解； （3），，绕某点旋转后的对应点为，，， 连接对应点，并作连线的垂直平分线即可求解． 【详解】（1）解：的点的坐标是，，，则关于原点对称的的各点的坐标是，，，如图所示，即为所求， ∴的坐标为． （2）解：如图所示，利用“割补法”， ∴， ∴， ∴的面积为． （3）解：∵，，绕某点旋转后的对应点为，，， ∴如图所示，连接，，， 设旋转点的坐标为，则从点到点，点的距离相等，且， ∴， ∴在中，， ∴，即点到的距离为，点到的距离为， ∴旋转点在连线的垂直平分线上，即旋转点在与对应点连线的垂直平分线上，如图所示， ∴旋转点的坐标为． 【点睛】本题主要考查图形的变换，点在平面直角坐标系中的变换，掌握旋转的性质，“割补法”求面积是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中有一点． (1)点的坐标为______； (2)将点向下平移_____个单位长度后得到的点在轴上，此时点的坐标为_______；点向左平移2个单位后得到的点的坐标为_______﹔ (3)点关于轴对称的点的坐标是__________，关于轴对称的点的坐标是__________，关于原点对称的点的坐标是______________﹔ (4)点绕点顺时针旋转后得到的点的坐标为__________． 【答案】(1) (2)2，， (3)，， (4) 【分析】本题主要考查了坐标与图形、点的平移、关于坐标轴对称的点的特征、点关于原点旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由点的位置确定其坐标即可； （2）根据点的平移的性质确定点向下平移的距离以及点的坐标；进而确定点的坐标； （3）根据关于轴和关于轴对称的点的坐标特征确定答案；根据中心对称图形的特征即可获得答案； （4）根据旋转的性质确定答案即可． 【详解】（1）解：由图形可知，点的坐标为． 故答案为：； （2）由图形可知，将点向下平移2个单位长度后得到的点在轴上， 此时点的坐标为； 点向左平移2个单位后得到的点的坐标为． 故答案为：2，，； （3）点关于轴对称的点的坐标是，关于轴对称的点的坐标是，关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：，，； （4）点绕点顺时针旋转后得到的点的坐标为． 故答案为：． 20．如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为． (1)图中点B点的坐标是___________；点B关于原点对称的点C的坐标是_________；点B关于y轴对称的点D的坐标是____________； (2)在图中画出，并画出绕着点O逆时针旋转后的； (3)在x轴上找一点E，使得的面积等于的面积，求出点E的坐标． 【答案】(1)；；． (2)画图见解析 (3)或． 【分析】（1）先根据的位置可得点的坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特点，关于轴对称的点的坐标特点可得的坐标； （2）先顺次连接，可得，再确定旋转后的对应点，可得，从而可得答案； （3）先求解的面积，再设，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由的位置可得：，点B关于原点对称的点C的坐标是，点B关于y轴对称的点D的坐标是． 故答案为：，，； （2）如图，即为所画的三角形， （3）∵， 设， ∴， 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查的是在坐标系内描点，画旋转图形，求解网格三角形的面积，掌握“利用旋转的性质画图”是解本题的关键． 能力提升 一、单选题 21．下列几何图形中，①一条线段；②平面上的两条直线；③等边三角形；④平行四边形；⑤等腰三角形，其中一定是中心对称图形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】按照中心对称图形的定义分析即可. 【详解】解：一条线段、平面上的两条直线以及平行四边形一定是中心对称图形，等边三角形、等腰三角形不是中心对称图形，符合题意的有3个， 故选择B. 【点睛】理解中心对称图形的定义是关键，注意②容易判断错误. 22．如图所示是一个中心对称图形，点为对称中心．若，，，则的长为（    ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的特点可知：，再根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，问题随之得解． 【详解】根据中心对称图形的特点可知：， ∵，， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的特点，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据中心对称图形的特点得到，是解答本题的关键． 二、填空题 23．把直线 绕原点旋转180°，所得直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】求出与坐标轴的交点，确定它们关于原点的对称点的坐标，设旋转后的直解析式为，将对称点的坐标代入即可． 【详解】解：当x=0, y=-1, 当y=0, x=2, ∴y=x-1与两坐标轴的交点的坐标是：（0,-1），（2,0）， ∴它们关于原点对称点坐标为（0，1），（-2,0）， 设y=kx+b, ∴, ∴, ∴y=x+1． 故答案为：y=x+1． 【点睛】本题考查了直线旋转后的解析式的求法，将其转化为点的旋转，后用待定系数法求出解析式是解题的关键． 24．（1）在平面直角坐标系中，OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y=2x+b将OABC的面积平分，则b= . （2）在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋3关于原点对称的直线的表达式为 ． 【答案】 -5； y＝2x－3. 【分析】（1）先确定OABC对角线交点坐标，再代入y=2x+b中，即可求出b的值； （2）根据两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即k的值不变． 与y轴的交点关于原点对称，即b的值互为相反数，即可得出答案. 【详解】解：（1）在OABC中， ∵边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2）， ∴对角线交点的坐标，即线段OB的中心坐标为（3，1）， ∵直线y=2x+b将OABC的面积平分， ∴直线y=2x+b过点（3，1）， 把（3，1）代入y=2x+b得， ， 解得，b=-5， 故答案为-5； （2）设与直线y＝2x＋3关于原点对称的直线的解析式为y=kx+b， ∵这两条直线关于原点对称， ∴这两条直线平行，即k=2， ∵这两条直线与y轴的交点关于原点对称， ∴b=-3， ∴y＝2x－3. 故答案为y＝2x－3. 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、在坐标系中关于原点对称的点的坐标特点.熟练掌握中心对称图形的性质和在坐标系中关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键. 三、解答题 25．下列各点中哪两个点关于原点对称？ ，，，，，，． 【答案】点C与点F关于原点O对称． 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数判断即可； 【详解】根据已知点可得，点C与点F关于原点O对称． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，准确分析判断是解题的关键． 26．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标； (2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2、B2、C2的坐标． 【答案】（1）作图见解析，A1（2，-4），B1（1，-1），C1（3，-2）．（2）作图见解析，A2（-2，-4），B2（-1，-1），C2（-3，-2）． 【分析】（1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接，再写出点A1、B1、C1的坐标即可； （2）△A2B2C2的坐标与△ABC的关系是，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；找到点画出即可． 【详解】（1）如图，△A1B1C1，即为所求，由图可知，A1（2，-4），B1（1，-1），C1（3，-2）． （2）如图所示，A2（-2，-4），B2（-1，-1），C2（-3，-2）． 【点睛】本题考查的是作图-轴对称和中心对称变换，熟知关于x轴、原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$