精品解析：江西省上犹中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则中所有元素之和为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求得集合的元素，求得并集，可得答案. 【详解】因为，所以，则， 该集合中所有元素之和为． 故选：C. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模及除法运算计算得解. 【详解】依题意，. 故选：A 3. 已知向量且向量方向相反，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量相反的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量且向量方向相反， 当时，，不满足题意， 当时，，解得，且， 所以，，且， 经检验只有满足题意， 故选：D 4. 已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案. 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 5. 下列说法不正确的是（     ） A. 一组数据 的第 80 百分位数为17 B. 若随机变量 ，且 ，则 C. 若随机变量 ，则方差 D. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数、正态分布、二项分布、相关系数的概念逐项判断； 【详解】对于A，共有10个数据，，所以第 80 百分位数为正确； 对于B，由正态分布的对称性可得：，正确； 对于C，由二项分布方差公式可得：，正确； 对于D，因为，所以甲组数据的线性相关性更强，错误. 故选：D 6. 已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线C上位于第一象限的一点，且，设O为坐标原点，N为的中点，的角平分线交线段ON于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先假设，得到，利用双曲线的定义得出，再利用勾股定理即可得到结果. 【详解】设，因为为等腰直角三角形且N为的中点， 所以，所以， 因为，所以，即， 在中，由勾股定理，有，解得， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：设，先判断出为等腰直角三角形，得到线段之间的比例关系，进而得，再用勾股定理即可求得结果. 7. 已知是定义域为R的偶函数，且，则（ ）． A. 2025 B. 5050 C. 6024 D. 6075 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合偶函数的定义分析可知的一个周期为4，利用赋值法可得，，进而可得结果. 【详解】因为是定义域为R的偶函数，且， 则，即， 可得，可知的一个周期为4， 对于，令，可得，即， 对于， 分别令，可得， 即， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 8. 已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别设直线为和的切点为，，分别利用函数导数求出切点坐标代入直线中，建立关于的方程组解出即可. 【详解】设直线与相切于点， 与相切于点， 由，所以， 由， 则， 即点，代入直线中有： ， ① 由， 所以， 由， ， 即点，代入直线中有： ， ② 联立①②解得：， 所以， 故选：B. 二、多选题 9. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为-2024 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求出，再结合等差数列性质公式，利用裂项相消法和分组求和计算判定即可. 【详解】数列的前项和，当时，， 而满足上式，因此. 对于A，，A正确； 对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，数列的前项和为，C正确； 对于D，， 则数列的前2025项的和为，D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A. 在上单调递增 B. 关于的方程在上有2个相异实根 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由的图象得，，解得， 所以，又，所以， 解得，又，所以，所以， 由，解得， 即的单调递增区间为， 令得，又， 所以在上单调递增，故A正确； 当，则， 令，即，所以在上单调递增， 且，所以； 令，即，所以在上单调递减，且； 所以当时，在上有两个不相等的实根，故B正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故C错误； 将的图象向左平移个单位长度，得的图象， 显然为奇函数，故D错误． 故选：AB 11. 如图，以，，，，，为顶点的六面体中，四边形为菱形，，，，，，，则（ ） A. B. 平面 C. 当时，二面角的正弦值为 D. 当时，此六面体的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过证明面，可判断A，对于B，通过证明平面平面，可判断B，对于C，过作于点，证明出平面，根据求出答案，对于D，取中点，连接，，该几何体可分割为三棱锥和三棱锥，，通过计算体积和得到结果. 【详解】对于A，取中点，为菱形，， ，， 中，， 中，，， ，， 面，，面， 面，，故A正确. 对于B，取中点，，且， 则，，，， 即为平行四边形，为平行四边形， ，，，，四边形为平行四边形， ，又， 平面，平面，则平面， 同理平面，平面， 平面平面， 平面，平面，故正确. 对于C，过作于点， ， ，且， 又，， 又，平面，， 则平面，记二面角的平面角为，， ，故C错误. 对于D，取中点，连接，，该几何体可分割为三棱柱 和三棱锥，， 则几何体体积， 图中，到底面的距离为， ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解． 三、填空题 12. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列性质得到 【详解】由等差数列性质得 故答案为： 13. 身高互不相同的个人呈横排纵列照相，每个人都比他同列身后的人个子矮，则不同的排法种数是__________种． 【答案】90 【解析】 【分析】根据条件，将个人平均分成三组，再全排，即可求出结果. 【详解】将个人平均分成三组，有种方法， 再进行全排，有种排法， 故答案为：. 14. 曲线关于直线对称的曲线为，若与的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相关点法求出对称函数，再把两图象有一个公共点问题转化为方程问题，然后利用分离参变思想，又转化为一个函数是一条动直线的交点问题，从而可求出参数的范围. 【详解】设点为上任一点，则其关于直线的对称点为，且在函数上，所以， 指对数转化可得，所以， 又因为与函数只有一个公共点， 所以方程有且只有一个解， 当时，显然不成立； 所以当时，则有，记， 则， 由当时，有，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，有，所以在上单调递减， 当时，；当时，；当时，；当时，，且，则作出的图象如图所示， 由数形结合易知：要满足直线与函数图象有一个交点， 则a的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题 15. 若中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求角； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合同角公式求解即得. （2）由已知及（1），利用正弦定理及三角形面积公式计算得解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，，则，整理得， 而，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，由正弦定理，得， 则，而，因此，，， 所以的面积. 16. 一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 （1）能否有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？ （2）从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率． （3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断： 当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的； 当时，有90%的把握判断变量，有关联； 当时，有95%的把握判断变量，有关联； 当时，有99%的把握判断变量，有关联． 【答案】（1）有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异 （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算进行独立性检验的判断即可； （2）应用超几何分布概率公式计算求解； （3）写出超几何分布的分布列进而求出数学期望. 【小问1详解】 因为， 所以有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异． 【小问2详解】 由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为7:3， 所以抽取男性7人，女性3人， 再从中抽取4人进行座谈，有女性居民记为事件，则， 恰有2名男性居民记为事件，则， 所以在有女性居民参加座谈的条件下， 恰有2名男性居民也参加座谈的概率为． 【小问3详解】 在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出 12人，可得抽取结果如下表： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 男性居民 7 5 再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为， 可取0，1，2，3，9分 可求出，， ，， 的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望． 17. 如图，在三棱柱中，，，． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 方法1：取的中点，连接，， 因为，所以，且， 因为，，为的中点，所以， 所以，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 方法2：设为在底面的射影，则平面， 因为，所以 射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点， 因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）法1：取中点，先证平面，再根据面面垂直的判定定理判定平面平面； 法2：设为在底面的射影，证明点恰为斜边的中点，得平面，再证面面垂直. （2）法1：根据（1）的结果建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦； 法2：根据二面角的平面角的概念构造平面与平面夹角的平面角，利用直角三角形的边角关系求角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面，所以与平面所成角即为，所以， 因为，所以，所以，， 因为，为的中点，所以， 方法1：如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，即令，则，， 所以， 易知平面ABC的一个法向量为， 设平面与平面ABC的夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法2：如图，过作的平行线，因为，所以， 过作，垂足为， 因为平面平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以平面与平面的夹角即为， 易知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为是椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积 （3）若过点的直线与椭圆交两点，直线为，设直线和直线分别与直线交于两点，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件列出等式求出即可； （2）联立直线与椭圆方程，由弦长公式及点到线的距离公式即可求解； （3）设直线方程为，，联立椭圆方程，结合韦达定理得到，进而得到方程，可求，同理求得，即可求解； 【小问1详解】 由题意得，，解得，∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 ，∴直线：，联立方程组得， 设，则， 点到直线的距离 ∴. 【小问3详解】 由题意得，直线斜率存在，设直线方程为，， 由得，，∴. ∵，，∴，故直线方程为， 令得，，故， 同理得，， ∴， ∵， ∴. 19. 有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． （1）已知函数，求曲线在点处的曲率； （2）求反比例函数曲率的平方的最大值. （3）已知函数，求曲线的曲率的范围． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，二次求导，得到，，从而代入，求出； （2）求导，二次求导，并得到，由基本不等式求出最大值； （3）求导，二次求导，得到，换元化为，此时研究的范围即可，求导，得到在上单调递增，求出，故. 【小问1详解】 因为，所以，， 故，，由曲率公式得 【小问2详解】 由，，则，， 当且仅当即时，等号成立. 故反比例函数曲率的平方的最大值为 【小问3详解】 因为，所以，， 由曲率公式得， 故， 则， 令，令， 函数化为，令， 则，函数化为，对进行变形， 得到， 令，函数化为，此时，我们研究的范围即可， 而， 当时，恒成立，故在上单调递增， 而， ，故，即，故. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则中所有元素之和为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量且向量方向相反，则可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（     ） A. 一组数据 的第 80 百分位数为17 B. 若随机变量 ，且 ，则 C. 若随机变量 ，则方差 D. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强 6. 已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线C上位于第一象限的一点，且，设O为坐标原点，N为的中点，的角平分线交线段ON于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知是定义域为R的偶函数，且，则（ ）． A. 2025 B. 5050 C. 6024 D. 6075 8. 已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为-2024 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A. 在上单调递增 B. 关于的方程在上有2个相异实根 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数 11. 如图，以，，，，，为顶点的六面体中，四边形为菱形，，，，，，，则（ ） A. B. 平面 C. 当时，二面角的正弦值为 D. 当时，此六面体的体积为 三、填空题 12. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则__________. 13. 身高互不相同的个人呈横排纵列照相，每个人都比他同列身后的人个子矮，则不同的排法种数是__________种． 14. 曲线关于直线对称的曲线为，若与的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围为__________． 四、解答题 15. 若中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求角； （2）若，，求的面积. 16. 一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 （1）能否有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？ （2）从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率． （3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断： 当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的； 当时，有90%的把握判断变量，有关联； 当时，有95%的把握判断变量，有关联； 当时，有99%的把握判断变量，有关联． 17. 如图，在三棱柱中，，，． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为是椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积 （3）若过点的直线与椭圆交两点，直线为，设直线和直线分别与直线交于两点，求的值. 19. 有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． （1）已知函数，求曲线在点处的曲率； （2）求反比例函数曲率的平方的最大值. （3）已知函数，求曲线的曲率的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $