8.6.2 直线与平面所成角 限时训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面所成角 班级：_______ 姓名： 得分：________ 一、选择题 1．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于(　　) 2．已知正四棱锥P­ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为(　　) A．60° B．30° C．45° D．90° 3.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 5.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(　　) A.45° B.60° C.30° D.75° 二、填空题 6.在正方体ABCD­A1B1C1D1中． (1)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________； (2)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________． 7.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为________. 8.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________． 三、解答题 9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小；(2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小 10.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值． 11.如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为________． 12.如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB. (1)求证：CD⊥平面PAB；(2)求直线PC与平面PAB所成的角． 答案 一、选择题 1．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于(　　) A．40°　　　　　　　 B．50° C．90° D．150° 解析：根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°. 答案：B 2．已知正四棱锥P­ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为(　　) A．60° B．30° C．45° D．90° 解析：在正四棱锥P­ABCD中，根据底面积为6，可得BC＝.如图，连接BD，AC交于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P­ABCD的高．根据棱锥的体积公式，可得PO＝1.因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．在Rt△POC中，因为PO＝1，OC＝，所以PC＝2，OE＝PC＝1.在Rt△BOE中，因为BO＝，所以tan∠BEO＝＝，所以∠BEO＝60°，即直线BE与平面PAC所成角为60°. 答案：A 3.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案　C 解析　如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，且BC＝AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角. 在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝60°. 故AB与平面α所成的角为60°. 4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 答案　C 解析　连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC. 因为AC∩ MC＝C，所以BD⊥平面AMC. 又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD. 显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交. 5.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(　　) A.45° B.60° C.30° D.75° 答案　A 解析　取BC的中点D，连接AD，B1D， ∵AD⊥BC且AD⊥BB1， ∴AD⊥平面BCC1B1， ∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角. 设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝， ∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°. 二、填空题 6.在正方体ABCD­A1B1C1D1中． (1)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________； (2)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________． 7.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为________. 答案　30° 解析　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角. 在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝， ∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°. 8.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________． 　解析[∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角． 因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2， 又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin ∠AC1A1＝＝.] 三、解答题 9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； (2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小. 解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO . ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝， 又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 10.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值． 解析：如图，过点C作CH⊥C1D于点H. ∵三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC. ∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD. ∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC. 又CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1A1， ∵CH⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CH. 又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，∴CH⊥平面BC1D， ∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角． 设AB＝2a，则CD＝a，C1D＝a， ∴sin∠CC1D＝＝＝. ∴CC1与平面BC1D所成角的正弦值为. 11.如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为________． 解析：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD. ∵底面△A′B′C′ 是正三角形， ∴C′D⊥A′B′. ∵AA′⊥底面A′B′C′， ∴A′A⊥C′D. 又AA′∩A′B′＝A′，∴C′D⊥侧面ABB′A′， 故∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角． 等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝， 在Rt△BB′C′中，BC′＝＝，故直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为＝. 答案： 12.如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB. (1)求证：CD⊥平面PAB； (2)求直线PC与平面PAB所成的角． 解析：(1)证明：连接CO，由AD＝DB知，点D为AO的中点． 又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB. 由AC＝BC知， ∠CAB＝60°， 所以△ACO为等边三角形， 故CD⊥AO. 因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D， 所以PD⊥平面ABC， 又CD⊂平面ABC， 所以PD⊥CD， 由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB， 且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB. (2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角．又△AOC是边长为2的正三角形， 所以CD＝. 在Rt△PCD中， PD＝DB＝3，CD＝， 所以tan∠CPD＝＝，∠CPD＝30°， 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 学科网（北京）股份有限公司 $$