8.6.2 直线与平面垂直的判定 限时训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面垂直的判定 班级：_______ 姓名： 得分：________ 一、选择题 1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　) A．α∥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥β C．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥β 2．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则(　　) A．l⊥m B．l∥m C．l，m异面 D．l，m相交而不垂直 3．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 4．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断不正确的是(　　) A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC 5．如图所示的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合为点G，则有(　　) A．SG⊥平面EFG B．EG⊥平面SEF C．GF⊥平面SEF D．SG⊥平面SEF 二、解答题 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC. 7.如图，在四面体A­BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.求证：BD⊥平面ACD. 8.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F. (1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD. 9.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 10.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. 11.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点． (1)求证：PQ∥平面A1BC1；(2)求证：BC⊥PQ. 答案 一、选择题 1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　) A．α∥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥β C．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥β 解析：在选项A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；在选项B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；在选项C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意． 答案：B 2．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则(　　) A．l⊥m B．l∥m C．l，m异面 D．l，m相交而不垂直 解析：根据线面垂直的定义，无论l与m是异面还是相交，都有l⊥m. 答案：A 3．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 解析：对于A选项，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B选项，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C选项，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D选项，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE. 答案：BD 4．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断不正确的是(　　) A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC 解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确． 答案：D 5．如图所示的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合为点G，则有(　　) A．SG⊥平面EFG B．EG⊥平面SEF C．GF⊥平面SEF D．SG⊥平面SEF 解析：由题意，得SG⊥FG，SG⊥EG，FG∩EG＝G，所以SG⊥平面EFG. 答案：A 二、解答题 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC. 证明　因为∠ACB＝90°， 所以BC⊥AC. 又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC. 又AC∩SA＝A，SA⊂平面SAC，AC⊂平面SAC. ∴BC⊥平面SAC， 因为AD⊂平面SAC，所以BC⊥AD. 又SC⊥AD，SC∩BC＝C， 所以AD⊥平面SBC. 7.如图，在四面体A­BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.求证：BD⊥平面ACD. 证明：取CD的中点为G，连接EG，FG(图略)． ∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD. 又E为AD的中点，AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1. ∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG， ∴BD⊥EG. ∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD. 又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD. 8.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F. (1)求证：PC⊥平面AEF； (2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD. [证明]　(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB， 所以AE⊥BC. 又AE⊥PB，PB∩BC＝B， 所以AE⊥平面PBC.因为PC⊂平面PBC， 所以AE⊥PC. 又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A， 所以PC⊥平面AEF. (2)由(1)知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG， 同理， CD⊥平面PAD，因为AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，PC∩CD＝C， 所以AG⊥平面PCD，因为PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD. 9.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明　(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM . (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ. 10.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 11.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点． (1)求证：PQ∥平面A1BC1； (2)求证：BC⊥PQ. 证明：(1)如图，连接B1C与BC1相交于点O，连接OQ， ∵BQ＝CQ，OB＝OC1，∴OQ∥CC1，OQ＝CC1. ∵A1P∥CC1，A1P＝CC1，∴OQ∥A1P，OQ＝A1P， ∴四边形A1PQO为平行四边形，∴A1O∥PQ， ∵A1O⊂平面A1BC1，PQ⊄平面A1BC1，∴PQ∥平面A1BC1. (2)连接AQ， ∵三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC， ∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1， ∵AB＝AC，BQ＝CQ，∴AQ⊥BC， ∵AQ∩AA1＝A，∴BC⊥平面AQP， ∵PQ⊂平面APQ，∴BC⊥PQ. 12.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝. [解]　(1)证明：∵三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1， ∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF. 如图，连接DF，A1B， ∴DF∥A1B， 在△ABC中，AC＝BC＝1， ∠ACB＝90°，则AB＝， 又AA1＝， 则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1. ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1. ∵DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF. 学科网（北京）股份有限公司 $$