（趣味奥数）第十三讲 行程问题（一）-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

第十三讲 行程问题（一） 动物王国的赛车比赛 在美丽的动物王国里，一年一度的赛车比赛即将拉开帷幕，这可是王国里最盛大的体育赛事，吸引了众多动物的参与和围观。 小兔子和小猴子都是赛车爱好者，他们也报名参加了这次比赛。小兔子的赛车速度是每分钟 80 米，小猴子的赛车速度是每分钟 100 米。 比赛那天，赛道旁挤满了欢呼的动物们。发令枪响，小兔子和小猴子像离弦的箭一样冲了出去。可是，小兔子出发时过于兴奋，不小心把赛车的一个零件撞松了，不得不停下来修理。等小兔子修好赛车重新出发时，小猴子已经领先它 200 米了。 小兔子着急万分，它赶紧驾驶赛车追赶小猴子。小猴子回头看到小兔子在后面追赶，心里得意极了，还故意放慢了速度，心想：“反正我已经领先这么多了，小兔子肯定追不上我。” 同学们，你们知道小兔子要多久才能追上小猴子吗？ 这其实就是一个典型的行程问题中的追及问题。小猴子领先小兔子 200 米，这就是路程差。小猴子每分钟比小兔子多跑：100 - 80 = 20（米），这就是速度差。 根据追及时间 = 路程差 ÷ 速度差，我们可以算出小兔子追上小猴子需要的时间为：200÷20 = 10（分钟）。 就在小猴子还在得意的时候，小兔子凭借着自己的坚持和正确的速度，在 10 分钟后成功追上了小猴子。小猴子这才意识到自己的轻敌，赶紧加快速度，一场激烈的较量在它们之间继续展开，最终谁能赢得比赛，动物们都拭目以待。 行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。 行 程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况： （1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和 （2）相背而行：相背距离=速度和×时间。 （3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。 追及时间=追及距离÷速度差 在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。 追及距离=速度差×时间。 解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。 1： 列方程解决问题。 客、货两车同时从相距330千米的A、B两地相向而行。3小时后两车相遇，已知客车的速度是货车速度的1.2倍。客车和货车每小时分别行驶多少千米？ 【思路分析】 设货车每小时行x千米，依据“客车的速度是货车速度的1.2倍”，则客车每小时行1.2x千米。根据速度和×时间＝路程，列方程解答。 【标准答案】 解：设货车每小时行驶x千米，则客车每小时行驶1.2x千米。 （1.2x＋x）×3＝330 2.2x×3＝330 2.2x×3÷3＝330÷3 2.2x＝110 2.2x÷2.2＝110÷2.2 x＝50 50×1.2＝60（千米） 答：货车每小时行驶50千米，客车每小时行驶60千米。 1. 1．已知甲的速度为45千米/时，乙的速度为60千米/时。甲、乙分别从A，B两地出发（不同时）前往B，A两地，到达目的地后立即返回出发地。途经C地时，甲比乙早到5分钟。返回时，乙比甲早15分钟到达C地，比甲早25分钟回到出发地。A、B两地相距多少千米？ 2．兄妹两人同时出家出发去学校，学校离家1280米，当哥哥走了400米时，妹妹走了300米。哥哥刚到学校就发现忘记带课本了，于是立即掉头原路返回家，返回时的速度是来时的1.25倍，兄妹两人在离家多少米处相遇？ 3．甲乙两辆汽车分别从AB两地出发，相向而行。已知甲车和乙车的速度比是7∶9，两车出发3小时后，在距离两地中点20千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 2： 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，他们在距中点160米处相遇。出发时，甲看了下手表，当时是下午六点多，时针与分针的夹角为；相遇时，甲又看了下手表，还没有到下午七点，但时针与分针的夹角仍然为。如果甲出发后在途中某地停留了一段时间，两人还是在距中点160米处相遇，且已知甲的速度为80米/分钟，问甲在途中停留了多少分钟？ 【思路分析】 在时钟的表盘上，有12个大格，时针走一圈是360°，则每小时时针走一个大格，也就是走30°。一小时＝60分钟，则时针每分钟走0.5°，分针转动一圈是60分钟转了360°，分针每分钟转动6°。 由题意可知，两次相遇都是距离中点160米处相遇，但是第二次是甲在停留的情况下，即甲的速度比乙的速度快。在第一次的相遇的过程中，甲行驶的路程比乙行驶的路程多320米。一小时内两次出现夹角为110°，一定是分针先落后110°，后来又超前110°，分针和时针的路程差是为220°。每一分钟，时针和分针的差是5.5°，220°就是40分钟相差的。多出的40分钟的路 程差是320米，即每分钟的路程差，也就是速度差是8米。因为甲的速度为80米/分钟，即乙的速度＝甲的速度－8。 第二次相遇，两人还是在距中点160米处相遇，这时甲走的路程少，对于第一次相遇，甲走的路程是超过中点160米，第二次相遇甲走的路程是少于中点160米，则甲少走的了320米，每分钟是80米，即少走了4分钟。乙则多走了分钟。 甲在途中的停留的时间＝甲少走的时间＋乙多走的时间。 【标准答案】 详解：160×2＝320（米） 220÷（6－0.5） ＝220÷5.5 ＝40（分钟） 320÷40＝8（米） 80－8＝72（米） 320÷80＝4（分钟） 320÷72＝（分钟） 4＋＝（分钟） 答：甲在途中停留了分钟。 点睛：钟表的夹角的度数，可以将时针和分针想成一个追及的问题。追及问题中，行驶的路程差＝速度差×时间。 2． 1．一口枯井，一只蜗牛上午9时从井底开始爬向井口，在井口停30分钟又从井口爬到井底，停留30分钟后，又从井底爬到井口，……，如此不断地爬上爬下，每爬一个单程都用45分钟。另有一只蚂蚁，上午9时从井底出发沿井壁不间断地上下爬行，如果它每爬行一个单程都用15分钟，那么，到当日下午4时，它们一共相遇了多少次（不包括开始的一次）？ 2．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离？ 3．小乌龟和小兔赛跑，比赛场地从起点到插小红旗处为104米。比赛规定：小兔从起点出发跑到小红旗处立即返回，跑到起点处再立即返回……已知小兔每秒跑10.2米，小乌龟每秒爬0.2米。如果从起点同时出发算它们第1次相遇（同时到达同一地点就叫相遇），那么： （1）出发后多长时间它们第2次相遇？ （2）它们第3次相遇时距起点有多远？ 3： 小明的爸爸上午开小车去了“新希望杯”全国英语综合能力大赛考点看考场，他与小明约好了从考点原路返回家，在12点时接送小明去考点，不慎途中小车出了故障，只好修车 。小明等到了12点20分时不见爸爸，就决定步行前往考点，途中遇到了爸爸，立即上车赶往考点，结果比预计时间迟了50分钟（小明上车时车暂停和掉头时间均忽略不计）。已知小车的速度是小明步行速度的6倍，请问修小车花了多长时间？ 【思路分析】 根据题目分析，爸爸先去看考场，然后回头接并且送小明，在去接小明的途中，汽车出现故障，需要修理。结果比预计时间迟了50分钟，去掉小明等车的20分钟，有30分钟是步行的速度比小车慢造成的。小车的速度是小明步行速度的6倍，则相同的路程里面，小车行驶的时间和步行的时间比是1∶6，即小车行驶的时间是1份，而人走路的时间是这样的6份，即多的30分钟的步行的路程就是多的5份，小车只需要6分钟。如果小明一直等到小车修好，则耽误的时间全部是修车时间。小明步行帮小车节省了小明步行路程对应小车要走一个来回所需要的时间，也就是12分钟。整个修车的时间就是迟到的50分钟的时间＋汽车来回的时间。 【标准答案】 30÷（6－1） ＝30÷5 ＝6（分钟） 6×2＝12（分钟） 50＋12＝62（分钟） 答：修小车花了62分钟。 3． 1．希希和望望乘火车去旅行，离开车时间只有2小时，他们家离车站10.5千米，两人步行每小时只能走4千米，按这个速度赶不上火车。恰好枫枫骑电动车经过，就先将希希带了7千米，让希希继续步行，接着返回原路接望望。枫枫在距他们家3.5千米处遇到望望，然后带着望望赶往火车站。 （1）枫枫骑车每小时走多少千米？ （2）他们在开车前几分钟到达车站？ 2．从地到地有49千米，甲、乙、丙三人从地出发向地前进，甲驾驶摩托车，每次只能带1人，摩托车的速度是每小时44千米，人步行每小时行4千米。甲先带乙走若干千米后乙下车步行，甲立即调转回头接正在步行的丙，遇丙后立即带上丙驶向地，结果三人正好同时到地，求乙在离地多远处下车步行？ 3．某学校原定9点来车接六年级的同学去春游，为了争取时间，学生8点就从学校步行向目的地出发，在途中遇到准时接他们的大巴，于是乘大巴去春游地点．结果比预期早12分钟到达．汽车每小时行48千米，求学生的步行速度是多少？ 4： 下图是一块秒表，其中长针为秒针，每转一圈是30秒，短针为分针，每转一圈为15分钟（小圈里一分钟分为两个小格，若指针过了一个小格，就在大圈秒数上加半分钟；若没有，直接读大圈秒数）。 问：（1）秒针转动的速度是分针转动速度的多少倍？ （2）图中表示的时间为99.8秒，如果秒表继续累计计时，那么至少需要经过多长时间后两针所指方向相同？（结果保留一位小数） 【思路分析】 （1）根据速度＝路程÷时间，秒针每转一圈是30秒，则秒针每秒转过360°÷30＝12°，分针每转一圈是15分钟，则分针每秒转过360°÷15÷60＝0.4°，然后用秒针转动的速度除以分针转动速度，即可求出秒针转动的速度是分针转动速度的多少倍。 （2）如果秒针累计计时，经过120－99.8＝20.2（秒）后，秒针指向刻度30，分针指向刻度2。现在两针相差两个大格，用360°÷15×2即可求出两个大格的度数；继续累计计时，若使两针所指方向相同，根据追及时间＝路程差÷速度差，用两针的距离除以速度差，即可求出追及时间，再加上前面20.2秒，即可求出秒表继续累计计时，那么至少需要经过多长时间后两针所指方向相同。 【标准答案】 （1）360°÷30＝12° 360°÷15÷60＝0.4° 12°÷0.4°＝30 答：秒针转动的速度是分针转动速度的30倍。 （2）120－99.8＝20.2（秒） 360°÷15×2＝48° 48°÷（12°－0.4°） ＝48°÷11.6° ≈4.1（秒） 20.2＋4.1＝24.3（秒） 答：秒针转动的速度是分针转动速度的30倍；如果秒表在99.8秒继续累计计则时，至少需要经过24.3秒后两针所指方向相同。 4. 1．李华和王明都骑车从甲地出发前往乙地，李华与王明的速度之比是5∶4。已知王明比李华早出发15分钟，但在甲、乙中点处因故停留了8分钟；李华则不停地赶往乙地，最后李华比王明早3分钟到达乙地。那么王明出发多长时间后，李华就超过了王明？ 2．如下图所示，外圆周长为90厘米，阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A、B两点同时爬行。甲蚂蚁从A点出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬行7厘米；乙蚂蚁从B点出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行10厘米。 问：（1）阴影部分的周长是多少？ （2）两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少厘米？ 3．如图，等边三角形ABC的边长为30厘米，三只蚂蚁从A、B、C同时出发顺时针爬行。A的速度每秒10厘米，B的速度每秒5厘米，C的速度每秒3厘米。三只蚂蚁出发后多少分钟第一次相遇？第二次相遇呢？ 康德是是怎样调钟表的 伊呈努尔•康德(德文: Immanuel Kant,1724年4月22日1804年2月1日),出生和逝世于德国柯尼斯堡，德国哲学家、作家,德国古典哲学创始人,其学说深深影响近代西方哲学,并开启了德国古典哲学和康德主义等诸多流派康德是启蒙运动时期最后一位主要哲学家,是德国思想界的代表人物。他调和了勒内•笛卡儿的理性主义与弗朗西斯•培根的经验主义,被认为是继苏格拉底、柏拉图和亚里十多德后,西方最具影响力的思想家之一。 “床是病窝”，德国大哲学家康德这样认为。他从来不肯多睡，而且按照一种非常刻板的规律来生活，甚至连走路也是不快不慢，数十年如一日，几乎是匀速运动。 有一天，他家的钟停了，那天又是阴天，附近又没有合适的钟可供他校对时间。这可怎么办呢?康德惜时如金，可不能离开时间啊!为了把钟调到正确的时间，康德决定去拜访一位朋友。他走之前，先把家里的钟调到12点钟，然后上足发条(当时的钟表都是机械的，要用发条带动)，就出发了。他不紧不慢地走到相隔几个村庄的朋友家。朋友家的大厅里挂着一只钟，康德记好了进门的时间：9：30，然后就在朋友家愉快地逗留了一段时间。好久不见了，有很多话想说，大家聊了很久，还一起探讨了当时的几个哲学难题，然后康德就告辞了。走之前，康德没有忘记再看看时间：1O：50，这才不紧不慢地走回家。回到家，看看自己钟上的时间，刚好3：OO。康德想了一下，就把钟的时间调到了正确的时刻。 原来，康德用自己家里的钟，算出自己从出门到回家，用去的时间总共是3小时。然后减去他在朋友家停留的时间1小时20分钟，就可以得出自己在路上花费的时间是1小时40分钟，因为走了一个来回，所以要除以2，说明他从自己家走到朋友家用了50分钟。康德到朋友家的时间是9：30，那么他从家里走的正确时间是8：40，而他当时把时间调在12：00上。这样，他只需要把钟向回拔3小时20分钟就可以了。 日常生活中确有许多数学问题，也是锻炼机智的好机会。 1： 列方程解决问题。 客、货两车同时从相距330千米的A、B两地相向而行。3小时后两车相遇，已知客车的速度是货车速度的1.2倍。客车和货车每小时分别行驶多少千米？ 【思路分析】 设货车每小时行x千米，依据“客车的速度是货车速度的1.2倍”，则客车每小时行1.2x千米。根据速度和×时间＝路程，列方程解答。 【标准答案】 解：设货车每小时行驶x千米，则客车每小时行驶1.2x千米。 （1.2x＋x）×3＝330 2.2x×3＝330 2.2x×3÷3＝330÷3 2.2x＝110 2.2x÷2.2＝110÷2.2 x＝50 50×1.2＝60（千米） 答：货车每小时行驶50千米，客车每小时行驶60千米。 1. 1．已知甲的速度为45千米/时，乙的速度为60千米/时。甲、乙分别从A，B两地出发（不同时）前往B，A两地，到达目的地后立即返回出发地。途经C地时，甲比乙早到5分钟。返回时，乙比甲早15分钟到达C地，比甲早25分钟回到出发地。A、B两地相距多少千米？ 答案：60千米 分析：根据题意可知，途经C地时，甲比乙早到5分钟，返回时，乙比甲早15分钟到达C地，说明甲走2BC用的时间比乙走2AC的时间多用了（5＋15）分钟，也就是20分钟，则甲走BC用的时间比乙走AC的时间多用了（20÷2）分钟，同理，返回时，乙比甲早15分钟到达C地，比甲早25分钟回到出发地，说明甲走AC的时间比乙走BC的时间多了（25－15）分钟，也就是10分钟，据此可知，甲走AB的时间比乙走AB的时间多了（10＋10）分钟，也就是20分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以甲和乙的时间比为60∶45，也就是4∶3，据此可知（4－3）份为20分钟，3份就是60分钟，也就是1个小时，根据速度×时间＝路程，用1×60即可求出AB两地的全程。 详解：甲走2BC用的时间比乙走2AC的时间多用：5＋15＝20（分钟） 甲走BC用的时间比乙走AC的时间多用：20÷2＝10（分钟） 甲走AC的时间比乙走BC的时间多：25－15＝10（分钟） 路程相同，速度比等于时间的反比， 甲和乙的时间比为： 60∶45 ＝（60÷15）∶（45÷15） ＝4∶3 （4－3）×20×3 ＝1×20×3 ＝60（分钟） 乙走完全程需要60分钟，也就是1个小时， A、B两地：60×1＝60（千米） 答：A、B两地相距60千米。 点睛：本题考查了较复杂的行程问题，解答本题的关键是求出甲乙走完全程的时间差，再根据比的应用来解答，也可转化为分数应用题来解答。 2．兄妹两人同时出家出发去学校，学校离家1280米，当哥哥走了400米时，妹妹走了300米。哥哥刚到学校就发现忘记带课本了，于是立即掉头原路返回家，返回时的速度是来时的1.25倍，兄妹两人在离家多少米处相遇？ 答案：1080米 分析：时间相同，速度比＝路程比，据此可知去学校时，兄妹两人的速度比为400∶300，也就是4∶3，所以时间相同时，兄妹两人原来的路程比是4∶3，当哥哥到学校时，哥哥走了1280米，此时用1280÷4即可求出每份的长度，再乘3即可求出妹妹走的路程，也就是距离家的路程，即960米，此时妹妹距离学校（1280－960）米，也就是320米，哥哥返回家的速度是原来的1.25倍，返回时兄妹的速度比变为（4×1.25）∶3，也就是5∶3，根据时间相同，速度比＝路程比，两人的路程比变为5∶3，两人此时的距离是320米，用320÷（5＋3）即可求出每份是多少，再乘5即可求出相遇时哥哥距离学校的路程，然后用1280米减去哥哥距离学校的路程，即可求出相遇时两人离家的距离。 详解：去学校时，兄妹两人的速度比为 400∶300 ＝（400÷100）∶（300÷100） ＝4∶3 时间相同时，兄妹两人原来的路程比是4∶3， 当哥哥到学校时，妹妹距离家：1280÷4×3＝960（米） 妹妹距离学校：1280－960＝320（米） 哥哥返回时，兄妹两人的速度比为 （4×1.25）∶3＝5∶3 时间相同时，两人的路程比变为5∶3。 相遇时哥哥距离学校的路程：320÷（5＋3）×5 ＝320÷8×5 ＝200（米） 1280－200＝1080（米） 答：兄妹两人在离家1080米处相遇。 点睛：本题主要考查了较复杂的行程问题，关键是根据时间相同，速度比等于路程比进行解答。 3．甲乙两辆汽车分别从AB两地出发，相向而行。已知甲车和乙车的速度比是7∶9，两车出发3小时后，在距离两地中点20千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 答案：320千米 分析：根据“速度＝路程÷时间”，因为甲乙是同时出发，相遇时间一定，所以甲车和乙车的速度比等于路程比为7∶9；由“距离两地中点20千米处相遇”可知，相遇时乙车比甲车多行驶（20×2）千米；用多行的距离除以乙车比甲车多的（9－7）份，计算出一份的数，再乘总份数（7＋9）份，所得结果即为两地的距离，据此解答。 详解：甲车和乙车的速度比是7∶9，则甲车和乙车行驶路程的比为7∶9。 相遇时乙车比甲车多行驶：20×2＝40（千米） 40÷（9－7）×（7＋9） ＝40÷2×16 ＝20×16 ＝320（千米） 答：A、B两地相距320千米。 2： 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，他们在距中点160米处相遇。出发时，甲看了下手表，当时是下午六点多，时针与分针的夹角为；相遇时，甲又看了下手表，还没有到下午七点，但时针与分针的夹角仍然为。如果甲出发后在途中某地停留了一段时间，两人还是在距中点160米处相遇，且已知甲的速度为80米/分钟，问甲在途中停留了多少分钟？ 【思路分析】 在时钟的表盘上，有12个大格，时针走一圈是360°，则每小时时针走一个大格，也就是走30°。一小时＝60分钟，则时针每分钟走0.5°，分针转动一圈是60分钟转了360°，分针每分钟转动6°。 由题意可知，两次相遇都是距离中点160米处相遇，但是第二次是甲在停留的情况下，即甲的速度比乙的速度快。在第一次的相遇的过程中，甲行驶的路程比乙行驶的路程多320米。一小时内两次出现夹角为110°，一定是分针先落后110°，后来又超前110°，分针和时针的路程差是为220°。每一分钟，时针和分针的差是5.5°，220°就是40分钟相差的。多出的40分钟的路 程差是320米，即每分钟的路程差，也就是速度差是8米。因为甲的速度为80米/分钟，即乙的速度＝甲的速度－8。 第二次相遇，两人还是在距中点160米处相遇，这时甲走的路程少，对于第一次相遇，甲走的路程是超过中点160米，第二次相遇甲走的路程是少于中点160米，则甲少走的了320米，每分钟是80米，即少走了4分钟。乙则多走了分钟。 甲在途中的停留的时间＝甲少走的时间＋乙多走的时间。 【标准答案】 详解：160×2＝320（米） 220÷（6－0.5） ＝220÷5.5 ＝40（分钟） 320÷40＝8（米） 80－8＝72（米） 320÷80＝4（分钟） 320÷72＝（分钟） 4＋＝（分钟） 答：甲在途中停留了分钟。 点睛：钟表的夹角的度数，可以将时针和分针想成一个追及的问题。追及问题中，行驶的路程差＝速度差×时间。 2． 1．一口枯井，一只蜗牛上午9时从井底开始爬向井口，在井口停30分钟又从井口爬到井底，停留30分钟后，又从井底爬到井口，……，如此不断地爬上爬下，每爬一个单程都用45分钟。另有一只蚂蚁，上午9时从井底出发沿井壁不间断地上下爬行，如果它每爬行一个单程都用15分钟，那么，到当日下午4时，它们一共相遇了多少次（不包括开始的一次）？ 答案：17次 分析：通过画柳卡图可知，以75分钟为一个周期，在这个周期里，两者相遇的次数为3次（如下图）： 上午9时到下午4时经过了7小时，也就是420分钟，然后用除法求出420里面有几个75分钟，商是5，余数是45，说明有5个周期，剩下45分钟，45分钟能够相遇2次，据此用5个周期相遇的总次数加上2即可求出相遇的总次数。 详解：根据分析可知，75分钟一个周期，在这个周期里，两者相遇的次数为3次。 下午4时＝16时 16时－9时＝7小时 7×60＝420（分） 420÷75＝5（周期）……45（分） 45分钟两者相遇2次， 5×3＋2 ＝15＋2 ＝17（次） 答：到当日下午4时，它们一共相遇了17次。 点睛：本题考查多次相遇的行程问题，可通过画图理解问题，找到相应的周期。 2．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离？ 答案：4千米 分析：甲乙第一次相遇地点离A地7千米，即甲行了7千米。第二次相遇时，两人一共行了3个全程。则每行一个全程，甲就行了7千米，此时甲一共行了7×3＝21（千米）；距B地5千米处第二次相遇，用甲一共行的全程减去5千米就是A、B两地的距离，用两地的距离减去7千米再减去5千米，就是两次相遇地点之间的距离，可据此解答。 详解：3×7－5 ＝21－5 ＝16（千米） 16－7－5 ＝9－5 ＝4（千米） 答：两次相遇地点之间的距离是4千米。 点睛：本题关键是明确两人一共行了3个全程，而每行一个全程，甲就行了7千米。 3．小乌龟和小兔赛跑，比赛场地从起点到插小红旗处为104米。比赛规定：小兔从起点出发跑到小红旗处立即返回，跑到起点处再立即返回……已知小兔每秒跑10.2米，小乌龟每秒爬0.2米。如果从起点同时出发算它们第1次相遇（同时到达同一地点就叫相遇），那么： （1）出发后多长时间它们第2次相遇？ （2）它们第3次相遇时距起点有多远？ 答案：（1）20秒； （2）4.16米 分析：（1）比赛场地从起点到插小红旗处为104米，则整个路程是104米。第一次相遇时起点，即第2次相遇时，小兔的速度快，小乌龟的速度慢，小兔跑到起点返回后和小乌龟相遇，则小兔跑的全程＋小乌龟跑的全程＝2个路程。根据时间＝路程÷速度和，则第2次相遇的时间是20秒。 （2）第2次相遇时，以这个起点是时间为开始，小兔从这个相遇点跑的方向是往起点跑，这时的相遇点距离起跑点的位置是小乌龟20秒的路程。则当他们第三次相遇时，小兔和乌龟的路程差就是2个小乌龟20秒的路程，则以20秒为起点，则时间＝路程差÷速度差，也就是0.8秒第三次相遇，加上第二次相遇的20秒，一共就是20.8秒就是第三次相遇。小乌龟一直是一个方向，则距离起点＝小乌龟20.8的路程＝相遇的时间×小乌龟的速度。 三次相遇的路线图如下： 详解：（1）104×2÷（10.2＋0.2） ＝208÷10.4 ＝20（秒） 答：出发后20秒它们第2次相遇。 （2）20×0.2×2÷（10.2－0.2） ＝8÷10 ＝0.8（秒） （20＋0.8）×0.2 ＝20.8×0.2 ＝4.16（米） 答：它们第3次相遇时距起点有4.16米。 点睛：x多次相遇问题用线段图解决更容易理解。 3： 小明的爸爸上午开小车去了“新希望杯”全国英语综合能力大赛考点看考场，他与小明约好了从考点原路返回家，在12点时接送小明去考点，不慎途中小车出了故障，只好修车 。小明等到了12点20分时不见爸爸，就决定步行前往考点，途中遇到了爸爸，立即上车赶往考点，结果比预计时间迟了50分钟（小明上车时车暂停和掉头时间均忽略不计）。已知小车的速度是小明步行速度的6倍，请问修小车花了多长时间？ 【思路分析】 根据题目分析，爸爸先去看考场，然后回头接并且送小明，在去接小明的途中，汽车出现故障，需要修理。结果比预计时间迟了50分钟，去掉小明等车的20分钟，有30分钟是步行的速度比小车慢造成的。小车的速度是小明步行速度的6倍，则相同的路程里面，小车行驶的时间和步行的时间比是1∶6，即小车行驶的时间是1份，而人走路的时间是这样的6份，即多的30分钟的步行的路程就是多的5份，小车只需要6分钟。如果小明一直等到小车修好，则耽误的时间全部是修车时间。小明步行帮小车节省了小明步行路程对应小车要走一个来回所需要的时间，也就是12分钟。整个修车的时间就是迟到的50分钟的时间＋汽车来回的时间。 【标准答案】 30÷（6－1） ＝30÷5 ＝6（分钟） 6×2＝12（分钟） 50＋12＝62（分钟） 答：修小车花了62分钟。 3． 1．希希和望望乘火车去旅行，离开车时间只有2小时，他们家离车站10.5千米，两人步行每小时只能走4千米，按这个速度赶不上火车。恰好枫枫骑电动车经过，就先将希希带了7千米，让希希继续步行，接着返回原路接望望。枫枫在距他们家3.5千米处遇到望望，然后带着望望赶往火车站。 （1）枫枫骑车每小时走多少千米？ （2）他们在开车前几分钟到达车站？ 答案：（1）12千米；（2）32.5分钟 分析：（1）这个期间三个人的速度是不改变的，运动的时间是一样的，则路程比就是速度比。在枫枫与望望相遇的过程中可知枫枫一开始走了7千米，后来在距望望的家的3.5千米处相遇也就是枫枫走了10.5千米，望望走了3.5千米，此时两个人的路程比是10.5∶3.5＝3∶1，也就是1份是4千米，那么枫枫的速度就是这样的3份，是12千米，也就是枫枫的速度是每小时12千米。 （2）枫枫带着希希走了7千米，根据时间＝路程÷时间得出7千米用了小时，一开始的3.5千米是望望走了，剩下的3千米也是望望走了，则利用时间长的计算时间总和，要在小时基础上加上3.5千米的步行，也就是（小时），合在一起就是小时，注意换算单位。1小时＝60分钟，高级单位转化为低级单位用乘法。最后问的是开车前几分钟到达车站，就是用2小时的时间－到车站所需要的时间。 详解：（1）7＋7－3.5＝10.5（千米） 4×3＝12（千米） 答：枫枫骑车每小时走12千米。 （2） （分钟） 2×60－87.5 ＝120－87.5 ＝32.5（分钟） 答：他们在开车前32.5分钟到达车站。 2．从地到地有49千米，甲、乙、丙三人从地出发向地前进，甲驾驶摩托车，每次只能带1人，摩托车的速度是每小时44千米，人步行每小时行4千米。甲先带乙走若干千米后乙下车步行，甲立即调转回头接正在步行的丙，遇丙后立即带上丙驶向地，结果三人正好同时到地，求乙在离地多远处下车步行？ 答案：7千米 分析：乙下车步行时离地的距离与丙上车时离地的距离相等，时间一定，路程与速度成正比例。甲从出发到接到丙时，甲和丙行的距离之和正好是甲带乙行的路程的2倍，据此列方程即可。 详解：甲从出发到接到丙：44÷4＝11，此时甲行的路程为丙的11倍。 解：设乙在离地x千米处下车步行。 x＋（11＋1）x÷2＝49 7x＝49 x＝7 答：乙在离地7千米远处下车步行。 点睛：此题考查的用方程解决问题，找出等量关系式才是解题的解题的关键。 3．某学校原定9点来车接六年级的同学去春游，为了争取时间，学生8点就从学校步行向目的地出发，在途中遇到准时接他们的大巴，于是乘大巴去春游地点．结果比预期早12分钟到达．汽车每小时行48千米，求学生的步行速度是多少？ 答案：千米 详解：从相遇地点到学校，汽车需要行驶的时间：12÷2=6（分钟）； 所以，学生与大巴车相遇时刻为8时54分； 即学生走54分的路程相当于汽车行6分钟，即汽车的速度是步行的54÷6=9倍； 学生的速度：（千米/小时） 答：同学们步行的速度是每小时千米． 点睛：考查的是较复杂的行程问题，根据路程、速度和时间的关系来解决问题． 4： 下图是一块秒表，其中长针为秒针，每转一圈是30秒，短针为分针，每转一圈为15分钟（小圈里一分钟分为两个小格，若指针过了一个小格，就在大圈秒数上加半分钟；若没有，直接读大圈秒数）。 问：（1）秒针转动的速度是分针转动速度的多少倍？ （2）图中表示的时间为99.8秒，如果秒表继续累计计时，那么至少需要经过多长时间后两针所指方向相同？（结果保留一位小数） 【思路分析】 （1）根据速度＝路程÷时间，秒针每转一圈是30秒，则秒针每秒转过360°÷30＝12°，分针每转一圈是15分钟，则分针每秒转过360°÷15÷60＝0.4°，然后用秒针转动的速度除以分针转动速度，即可求出秒针转动的速度是分针转动速度的多少倍。 （2）如果秒针累计计时，经过120－99.8＝20.2（秒）后，秒针指向刻度30，分针指向刻度2。现在两针相差两个大格，用360°÷15×2即可求出两个大格的度数；继续累计计时，若使两针所指方向相同，根据追及时间＝路程差÷速度差，用两针的距离除以速度差，即可求出追及时间，再加上前面20.2秒，即可求出秒表继续累计计时，那么至少需要经过多长时间后两针所指方向相同。 【标准答案】 （1）360°÷30＝12° 360°÷15÷60＝0.4° 12°÷0.4°＝30 答：秒针转动的速度是分针转动速度的30倍。 （2）120－99.8＝20.2（秒） 360°÷15×2＝48° 48°÷（12°－0.4°） ＝48°÷11.6° ≈4.1（秒） 20.2＋4.1＝24.3（秒） 答：秒针转动的速度是分针转动速度的30倍；如果秒表在99.8秒继续累计计则时，至少需要经过24.3秒后两针所指方向相同。 4. 1．李华和王明都骑车从甲地出发前往乙地，李华与王明的速度之比是5∶4。已知王明比李华早出发15分钟，但在甲、乙中点处因故停留了8分钟；李华则不停地赶往乙地，最后李华比王明早3分钟到达乙地。那么王明出发多长时间后，李华就超过了王明？ 答案：43分钟 分析：根据题意可知，从甲地到乙地，王明比李华多花了（15－8＋3）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，可知李华与王明的速度之比是5∶4，时间之比是4∶5；把李华花的总时间看作4份，王明花的总时间看作5份，用（15－8＋3）÷（5－4）即可求出每份是多少，人求出李华花的总时间和王明花的总时间，求出李华行完全程需要40分钟，王明行完全程需要50分钟，当李华行了20分钟恰好到达两地的中点时，王明已经出发（15＋20）分钟，王明行走行程的一半需要（50÷2）分钟，也就是25分钟，据此用35－25－8即可求出王明此时已经离开中点几分钟，也就是2分钟，假设此时还需要x分钟，李华才能追上王明，根据路程相同，速度比＝时间的反比，列比例为：4∶5＝（20＋x）∶（35－8＋x），据此解出方程，然后用（15＋20）加上x的值，即可求出王明出发多长时间后，李华就超过了王明。 详解：路程相同，李华与王明的速度之比是5∶4，时间之比是4∶5， （15－8＋3）÷（5－4） ＝10÷1 ＝10（分钟） 李华行完全程需要：10×4＝40（分钟） 王明行完全程需要：10×5＝50（分钟） 李华行到中点需要：40÷2＝20（分钟） 15＋20＝35（分钟） 50÷2＝25（分钟） 王明已经离开中点：35－25－8＝2（分钟） 解：设此时还需要x分钟，李华才能追上王明。 4∶5＝（20＋x）∶（35－8＋x） 5×（20＋x）＝4×（35－8＋x） 5×（20＋x）＝4×（27＋x） 100＋5x＝108＋4x 5x－4x＝108－100 x＝8 15＋20＋8 ＝35＋8 ＝43（分钟） 答：王明出发43分钟时，李华就超过了王明。 点睛：本题考查了较复杂的行程问题，解答本题的关键是明确相同路程王明比李华实际多花的时间，然后利用比例的知识进行解答。 2．如下图所示，外圆周长为90厘米，阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A、B两点同时爬行。甲蚂蚁从A点出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬行7厘米；乙蚂蚁从B点出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行10厘米。 问：（1）阴影部分的周长是多少？ （2）两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少厘米？ 答案：（1）90厘米； （2）150厘米 分析：（1）通过观察，阴影部分的周长是三个半圆弧的周长。如下图，阴影部分的周长＝半圆弧AB周长＋半圆弧AF周长＋半圆弧BF周长。半圆弧AF的半径是R，周长＝，半圆弧BF的半径是r，周长＝。则半圆弧AF＋半圆弧BF＝，外圆的直径＝，半圆弧AB的周长＝，则半圆弧AF周长＋半圆弧BF周长＝半圆弧AB周长，即阴影部分的周长就是两个半圆弧AB周长＝外圆的周长。 （2）两只蚂蚁爬行一圈的路线总长相等，都是90厘米，乙的速度比甲的速度快，也就是乙追甲，是一个追及问题，乙比甲多半圈就是多了45厘米。即相遇时乙比甲多爬45米。每秒多爬3厘米，则15秒多爬45厘米，即15秒两只蚂蚁第一次相遇。路程＝速度×时间，甲的路程是105米，正好在圆的外周上，则两只蚂蚁可以相遇。即可以求出15秒乙蚂蚁爬行的路程。 详解：（1）设半圆弧AF的半径是R，半圆弧BF的半径是r。 半圆弧AF周长＝ 半圆弧BF周长＝ 半圆弧AB的周长＝ 阴影部分的周长＝两个半圆弧AB周长＝外圆的周长＝90（厘米） 答：阴影部分的周长是90厘米。 （2）90÷2＝45（厘米） 45÷（10－7） ＝45÷3 ＝15（秒） 15×10＝150（厘米） 答：乙蚂蚁共爬行了150厘米。 点睛：两个在同一方向上运动的物体，其中一个走得快，另一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上走得慢的，这就叫作追及问题。追及问题的核心问题是速度差。也就是走得慢的在前，快的在后，由于快的速度比慢的大（速度差），所以经历一定时间，在后面快的物体就能追上在前的慢的物体。追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。 追及问题中我们要考虑的是两个人的“路程差”以及“速度差”。 追及问题的三个基本公式： 路程差＝速度差×追及时间 追及时间＝路程差÷速度差 速度差＝路程差÷追及时间 3．如图，等边三角形ABC的边长为30厘米，三只蚂蚁从A、B、C同时出发顺时针爬行。A的速度每秒10厘米，B的速度每秒5厘米，C的速度每秒3厘米。三只蚂蚁出发后多少分钟第一次相遇？第二次相遇呢？ 答案：1分钟；2.5分钟 分析：这里的相遇就是环形追及，根据追及时间＝路程差÷速度差，用30÷（10－5）即可求出A、B第一次追及的时间，也就是6秒；第二次开始每次两人的路程差增加了一个三角形的周长，用30×3÷（10－5）即可求出每次追及增加的时间是18秒；同理，用30÷（5－3）即可求出B、C第一次追及的时间，也就是15秒，第二次开始开始每次两人的路程差增加了一个三角形的周长，用30×3÷（5－2）即可求出每次追及增加的时间是45秒；据此可知AB追及时间、BC追及时间如下： AB追及时间（单位：秒）：6，24，42，60，78，96，114，132，150… BC追及时间（单位：秒）：15，60，105，150… 据此可知，ABC第一次追及时间是60秒后，第二次追及时间是150秒后，据此解答。 详解：30÷（10－5） ＝30÷5 ＝6（秒） 30×3÷（10－5） ＝30×3÷5 ＝18（秒） 30÷（5－3） ＝30÷2 ＝15（秒） 30×3÷（5－3） ＝30×3÷2 ＝45（秒） AB追及时间（单位：秒）：6，24，42，60，78，96，114，132，150… BC追及时间（单位：秒）：15，60，105，150… 据此可知，ABC第一次追及时间是60秒后，第二次追及时间是150秒后， 60秒＝1分钟 150秒＝2.5分钟 答：三只蚂蚁出发后1分钟第一次相遇；出发后2.5分钟第二次相遇。 点睛：本题考查了环形多次追及问题，明确每次追及的路程差增加的部分是三角形的周长是解答本题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$