第13讲 分式的加减乘除和混合运算（4个知识点+3类题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版 第13讲 分式的运算4个知识点+3类题型 课程标准 学习目标 分式的加减乘除和混合运算 熟练进行分式的加减乘除和混合运算 知识点1：分式的加法与减法 ①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； ②异分母的分式相加减，先通分，再加减。 注意：最后的结果需要化成最简分式或整式。 【即学即练】 1．（2024秋•睢阳区期末）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减，即可计算． 【解答】解：根据同分母的分式相加的法则可得：， 故选：C． 2．（2024秋•白云区期末）计算：． 【分析】先把两个分式通分，然后根据同分母的分式相减，再进行约分即可． 【解答】解： ． 3．（2024秋•汉阳区期末）化简： 　　． 【分析】首先通分，然后根据同分母的分式加减运算法则求解即可求得答案．注意运算结果需化为最简． 【解答】解： ． 故答案为：． 4．（2024秋•澧县期末）对于正数x，规定，则值为 　1011　． 【分析】由题意得f（2），f（4），f（6），…，f（2024）；f（），f（），…，f（）；然后将原式计算即可． 【解答】解：由题意得：f（2），f（4），f（6），…，f（2024）；f（），f（），…，f（）， 原式 ＝（）+…+（）+（） ＝1+…+1+1 ＝1×（1） ＝1011 ＝1011， 故答案为：1011． 知识点2：分式的乘法和除法 ①分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； ②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； ③分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 注意：分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 【即学即练】 5．（2024秋•澧县期末）计算： 　　． 【分析】根据分式的乘法法则计算即可． 【解答】解：•， 故答案为：． 6．（2024秋•松江区期末）计算： 　　． 【分析】利用分式的乘除法则计算即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 7．（2024秋•徐汇区校级期末）计算：． 【分析】根据负整数指数幂、分式的乘除法法则计算． 【解答】解：原式• • •• ． 知识点3：分式的混合运算 与分数的混合运算类似，分式的加、减、乘、除混合运算顺序是：先乘除、后加减，如果有括号先进行括号内的运算。 【即学即练】 8．（2024秋•阳谷县期末）（1）化简：； （2）化简：． 【分析】（1）根据分式的性质和运算法则计算即可； （2）根据分式的性质和运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ． 9．（2024秋•重庆期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行同分母的加法运算，然后约分即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后通分后进行同分母的加法运算，最后把结果写成最简分式． 【解答】解：（1）原式• • ； （2）原式 • ． 10．（2025•海淀区校级开学）已知a﹣3b+5＝0，求的值． 【分析】先根据已知等式可得a﹣3b＝﹣5，再计算括号内的分式减法，然后计算分式的除法，由此即可得． 【解答】解：由a﹣3b+5＝0得：a﹣3b＝﹣5， 原式 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/27 10:31:32；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 知识点4：分式求值的常用方法 【一.直接带入求值法】 11．（2024秋•雨花区校级期末）先化简，再求值：，其中x＝2． 【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • • ， 当x＝2时，原式1． 【二.整体代入求值法】 12．（2024秋•河北区期末）设xy＝x﹣y≠0，则的值等于（　　） A． B．y﹣x C．﹣1 D．1 【分析】此题只需对进行通分，再将等式xy＝x﹣y≠0代入化简即可． 【解答】解：由于xy＝x﹣y≠0，则1． 故选：C． 13．（2024秋•高青县期末）若a+b＝﹣2，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【分析】先运用分式的混合运算法则化简，然后将a+b＝﹣2代入计算即可． 【解答】解： • ＝﹣（a+b） ＝﹣（﹣2） ＝2． 故选：C． 14．（2024秋•天山区校级期末）已知，求（　　） A．﹣9 B．12 C．﹣15 D．18 【分析】由已知条件可得a+b＝3ab，然后将其代入原式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a+b＝3ab， 原式 ＝18， 故选：D． 15．（2024秋•龙岗区校级期中）已知，若b+d＝9，则a+c＝（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【分析】利用比例的性质计算即可． 【解答】解：由条件可知， ∵b+d＝9， ∴， 故选：A． 16．（2023秋•邻水县期末）若，则　　或　﹣5　． 【分析】先根据，易求﹣c＝a+b（a﹣b≠0），再把a+b＝﹣c整体代入原式计算即可；还有一种情况是a﹣b＝0，，易求c＝2a（b﹣c≠0），再把a＝b，c＝2a代入原式计算即可． 【解答】解：∵， ∴ac+a2＝b2+bc， ∴若a﹣b≠0，那么﹣c＝a+b， ∴原式； ∵当a＝b＝c时，已知条件是成立的， ∴原式5． 故答案是或﹣5． 17．（2024秋•东阳市期末）如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝19，，那么的值为 　　． 【分析】根据a+b+c＝19把原式变形，再把代入计算得到答． 【解答】解：∵a+b+c＝19， ∴ 111， ∵， ∴， ∴1113， 故答案为：． 18．（2024秋•连江县期末）已知，x﹣1＝2abc，且，求的值为　﹣2　． 【分析】由a可得c＝2abc﹣b，则b+c＝2abc，再根据x﹣1＝2abc易得x＝b+c+1，再结合，可得（b+c+1）2+1＝4bc，整理得：b2+c2+2bc+2（b+c）+1+1＝4bc，则（b﹣c）2＝﹣2（b+c+1）＝﹣2x，将其代入原式中计算即可． 【解答】解：∵a， ∴则b+c＝2abc， ∵x﹣1＝2abc， ∴x﹣1＝b+c， 即x＝b+c+1， ∵， ∴（b+c+1）2+1＝4bc， 整理得：b2+c2+2bc+2（b+c）+1+1＝4bc， 则b2+c2﹣2bc＝﹣2（b+c）﹣2， 那么（b﹣c）2＝﹣2（b+c+1）＝﹣2x， 则2， 故答案为：﹣2． 19．（2024春•汝阳县期中）小明与小亮发现，已知复杂分式的值求另一个复杂分式的值，通常需要去分母变形为整式关系，然后整体代入后化简求解． 如已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴x2﹣y2＝﹣5xy， ∴． 小亮的做法是： ∵， ∴， ∴． 学习他们的方法求解： （1）已知，且a≠﹣b，求的值； （2）已知，，求m的值． 【分析】（1）把已知条件去分母得到b+2a＝ab，然后把ab＝b+2a代入所求的代数式中约分即可； （2）把已知条件去分母得到x﹣y＝﹣mxy，再利用整体代入的方法把原方程化为，然后解分式方程即可． 【解答】解：（1）∵， ∴ab＝2a+b， ∴； （2）把去分母变形得y﹣x＝mxy， ∴x﹣y＝﹣mxy， ∴， 整体代入可化为， 即 ， ， 解分式方程得m＝16． 【三.活用完全平方公式转化求值】 20．（2024秋•扎兰屯市期末）已知，则（　　） A．12 B．14 C．8 D．16 【分析】由得到，从而得到，由此即可得到答案． 【解答】解：方程两侧同时平方得： ∴， ∴， ∴， 故选：B． 21．（2024秋•顺庆区期末）如果，则的值等于　　． 【分析】由已知条件可得x3，则（x）2＝9，整理得x27，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵， ∴x3， 则（x）2＝9， 整理得x27， 原式 ， 故答案为：． 22．（2024秋•湛江期末）已知a2+8a＝1，求的值为 　66　． 【分析】根据a2+8a＝1，可以得到a8，然后利用完全平方公式将所求式子变形，再将a8代入变形后的式子计算即可． 【解答】解：∵a2+8a＝1， ∴a+8， ∴a8， ∴ ＝（a）2+2 ＝（﹣8）2+2 ＝64+2 ＝66， 故答案为：66． 23．（2024秋•重庆期末）已知mn＝2，，则m2+4mn+n2的值为　　． 【分析】由已知条件易得，则m+nmn，然后将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵mn＝2， ∴m+nmn， ∴m2+4mn+n2 ＝（m+n）2+2mn ＝（）2+2×2 4 ， 故答案为：． 【四.活用倒数转化求值】 24．（2024秋•招远市期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知x≠0，所以，即 所以 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，求的值； （3）拓展：已知，，，求的值． 【分析】（1）根据可得，根据求出的值，可得； （2）仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； （3）仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【解答】解：（1）∵，可知x≠0， ∴， ∴， ∴； （2）∵，可知x≠0， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，，可知x≠0，y≠0，z≠0， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【五.参数辅助多远归一求值（设K法）】 25．（2024秋•普兰店区期末）阅读理解 [提出问题]已知，求分式的值； [分析问题]本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数t，得出a，b，c与t的关系，然后再代入待求的分式化简即可； （1）[解决问题]设，则a＝3t，b＝5t，c＝2t，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为 　﹣2　； （2）[拓展应用]已知，求分式的值． 【分析】（1）把a，b，c的值代入进行计算，即可解答； （2）仿照（1）的解题思路进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：2， 故答案为：﹣2； （2）设t， ∴x＝2t，y＝﹣3t，z＝6t， ∴． 26．（2023秋•市南区校级月考）设互不相等的非零实数a，b，c满足abc，求（a）2+（b）2+（c）2的值． 【分析】令abck，则ab+2＝bk，bc+2＝ck，ac+2＝ak，继而知abc+2c＝kbc＝k（ck﹣2），即abc+2k＝（k2﹣2）c，同理得出abc+2k＝（k2﹣2）a、abc+2k＝（k2﹣2）b，根据（k2﹣2）a＝（k2﹣2）b＝（k2﹣2）c且a，b，c为互不相等的非零实数得k2＝2，从而得出答案． 【解答】解：令abck， 则ab+2＝bk，bc+2＝ck，ac+2＝ak， 由ab+2＝bk可得abc+2c＝kbc＝k（ck﹣2）， 移项，得：abc+2k＝（k2﹣2）c， 同理可得：abc+2k＝（k2﹣2）a，abc+2k＝（k2﹣2）b， ∴（k2﹣2）a＝（k2﹣2）b＝（k2﹣2）c， ∵a，b，c为互不相等的非零实数， ∴k2﹣2＝0，即k2＝2， 则（a）2+（b）2+（c）2＝3k2＝6． 【类型一：分式的加减法】 1．（2024秋•邵东市期末）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（　　） A． B．a C． D．1 【分析】由题意得，被盖住的部分是，进而可得答案． 【解答】解：由题意得，被盖住的部分是1． 故选：D． 2．（2024秋•金平区期末）已知，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 【分析】把已知条件整理为2，把所求分式的分子、分母同时除以ab，再把的式子代入，化简即可得到结果． 【解答】解：∵， ∴2， ∴ ＝3． 故选：D． 3．（2024秋•闽清县期末）已知，则代数式的值为 　8　． 【分析】把2去分母后求出x﹣y＝﹣2xy，再代入，即可求出答案． 【解答】解：∵， ∴y﹣x＝2xy， ∴x﹣y＝﹣2xy， ∴ ＝8． 故答案为：8． 4．（2024秋•松江区期末）计算：． 【分析】利用异分母分式加减法则，进行计算即可解答． 【解答】解： ＝2． 5．（2024秋•东坡区期末）对于正数x，规定，例如，．则（　　） A．2022 B．2021 C．2021.5 D．2022.5 【分析】先根据已知条件中的规定，通过计算找出规律，然后进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴，， ∴， 同理可得：，...， ∴， ∴原式 ＝1+1+...+1 ＝2021.5 故选：C． 6．（2023秋•大渡口区期末）定义新运算f（x），例如f（2）3，下列说法正确的有（　　） ①f（1）•f（2）•f（3）•⋯•f（10）＝10； ②f（1）+f（）+f（）+⋯f（）＝65； ③当f（a）＝﹣1，f（b）＝3时，（a+b）2023＝﹣1． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据新定义逐项计算即可求解． 【解答】解：①∵， ∴， ， …， ， ∴f（1）•f（2）•f（3）•⋯•f（10） ，故①不正确； ②∵， ∴， ， …， ， ∴ ＝2+3+4+...+11＝65，故②正确； ③∵f（a）＝﹣1， ∴， ∴． ∵f（b）＝3， ∴， ∴． ∴，故③不正确． 故选：B． 7．（2024秋•浦东新区校级期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”k＝1． （1）已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； （2）已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”k＝1．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程E+F＝a无解，求实数m的值． 【分析】（1）先计算A﹣B，根据计算结果即可解答； （2）①由题意得，C﹣D＝1，代入式子再化简即可得出M所代表的代数式；②由，结合分式D的值为正整数，且x为整数，得出x+3＝1，即可解答； （3）由题意得，a＝D＝1，可得，整理得（4﹣m）y＝3，由方程无解，可得4﹣m＝0或者方程有增根，再分别求解即可． 【解答】解：（1）， ∴A是B的“差整分式”，“差整值”为3． （2）①∵C是D的“差整分式”，且“差整值”k＝1 ∴， ∴2x﹣6﹣M＝x2﹣9， 解得：M＝﹣x2+2x+3； ②， ∵分式D的值为正整数，且x为整数 ∴x+3＝1， ∴x＝﹣2． （3）由（2）得，， ∴， ∴y（y﹣m）+3（y﹣1）＝y（y﹣1）， 整理得：（4﹣m）y＝3， 当m＝4时，整式方程无解，符合题意； 当m≠4时，， ∵方程E+F＝a无解， ∴（无解，舍去）或， 解得：m＝1， ∴综上所述，实数m的值为1或4． 【类型二：分式的乘除和乘方运算】 8．（2024秋•环翠区校级期中）下列各式中，计算结果正确的有（　　） ①；②a÷ba；③；④；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①直接约分即可； ②③④⑤按照除以一个数等于乘以这个数的倒数计算． 【解答】解：①•，选项计算正确，符合题意； ②a÷b，选项计算错误，不符合题意； ③，选项计算正确，符合题意； ④8a2b2÷（）＝8a2b2•（），选项计算错误，不符合题意； ⑤（）•（）＝ab，选项计算正确，符合题意． 即正确的有3个． 故选：C． 9．（2024秋•青浦区期末）计算：． 【分析】根据运算顺序先算乘方，把第一项利用分式的乘方法则，给分子分母分别平方，并把结果相除，然后从左到右依次计算． 【解答】解：原式（3分） ．（3分） 【类型三：分式的混合运算】 10．（2024秋•西岗区期末）（1）； （2）． 【分析】（1）先将两个分式整理成同分母分式，再按照同分母分式相加减即可； （2）先整理括号内的分式，再将除号变乘号，根据分式的乘法运算法则运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝（）• • ． 1．（2024秋•贵港期末）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2，a3，a4，…，an+1，若a1＝2，则a2025的值是（　　） A． B． C．﹣3 D．2 【分析】先计算前几个数字，然后即可发现数字的变化规律，从而可以求得a2025的值． 【解答】解：由题意可得， 当a1＝2时，a2＝﹣3，a3，a4，a5＝2，…， 由上可得，每四个为一个循环，依次以2，﹣3，，出现， ∵2025÷4＝506……1， ∴a2025＝a1＝2， 故选：D． 2．（2024秋•海门区期末）若x+y+z＝0，且xyz≠0，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【分析】先去括号，再进行同分母的加法运算，接着把x+z＝﹣y，x+y＝﹣z，y+z＝﹣x分别代入，然后约分即可． 【解答】解：原式 ， ∵x+y+z＝0， ∴x+z＝﹣y，x+y＝﹣z，y+z＝﹣x， ∴原式 ＝﹣1﹣1﹣1 ＝﹣3． 故选：D． 3．（2024春•芗城区校级期中）阅读下列解答过程： 已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：的值． 解：∵x2﹣3x＝1， ∴x2﹣3x﹣1＝0 ∴，即． ∴． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知a≠0，且满足a2﹣2a＝1，求： （1）的值； （2）的值． 【分析】（1）仿照阅读内容求出的值，最后再根据完全平方公式求出的值即可； （2）先求出的倒数得，再将（1）中所求得的的值整体代入即可． 【解答】解：（1）∵a2﹣2a＝1， ∴， ∴； （2）的倒数为， ∵， ∴． 4．（2024秋•凉州区期末）已知，那么m2﹣n2的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．0 【分析】先根据平方差公式把所求整式分解因式，再把代入分解后的式子，进行加减运算，最后约分即可． 【解答】解：∵， m2﹣n2 ＝（m+n）（m﹣n） ＝4， 故选：A． 5．（2024春•沙坪坝区校级期中）已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入F1中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入F2中化简后得到新的式子F3…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（　　） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】依据题意，根据所给信息逐个求出F3，F4，F5，F6，然后按照分式的加减法法则进行计算，即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵， ∴F3，故①错误． ∴F4，F5，F6． ∴84． ∵x＜1， ∴12． ∴87＜8490，即8790，故②正确． ∵8， 又若整数x使得为整数， ∴4x+1＝﹣7． ∴此时，为15． ∴不存在整数x使得的值为负整数，故③正确． 综上，正确的有②③共2个． 故选：C． 6．（2024秋•忠县期末）对于若干组分式，第1组为，，记；第2组为，记；第3组为，记；以后每组分式由前一组的每相邻两个分式之间添进它们和的一半而得到，并用an表示第n组所有分式的和（n为正整数）．按此操作，那么：①第6组共有33个分式；②第10组比第9组多11个分式；③；④当n＞2时，an+1﹣an；⑤，以上结论中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】理解an的排列规律是解答本题的关键，找出每组分式个数的规律可判断①②；求出a4可判断③；找出an 可解答④⑤． 【解答】解：∵第1组为，，记， 第2组为，，，记， 第3组为，，，，，记a3， ∴a4，故③正确； ∴an， an+1， ∴an+1﹣an，故④正确； ∵记，a2，a3，a4，a5，a6，a7， ∴a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7，故⑤错误； ∵第1组有2个，第2组有2+1＝3（个），第3组有3+2＝5（个），第4组有5+4＝9（个），第5组有9+8＝17（个），第6组有17+16＝33（个），...， ∴第2组比第1组多3﹣2＝1＝20，第3组比第2组多5﹣3＝2＝21，第4组比第3组多9﹣5＝4＝22，…．， ∴第10组比第9组多28＝256（个）分式，故①正确，②错误； 故选D． 7．（2024秋•赛罕区期末）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，可知x≠0． ∴，即 ∴． 故的值为． （1）第②步运用了公式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；（要求：用含a、b的式子表示） （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值； （3）已知，求的值． 【分析】（1）由完全平方公式变化得到结果； （2）仿照示例，应用倒数法，可求得结果； （3）先分别求出的值，应用倒数法，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴第②步， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）∵， ∴x≠0， ∴， ∴x﹣34， 即x1， ∴ ＝x2+7 ＝（x）2﹣2+7 ＝（﹣1）2﹣2+7 ＝6， ∴； （3）∵， ∴， 即， 同理可得，， ∴，，， ∴， ∴． 8．（2024秋•香洲区期末）解决数学问题时经常要比较两个数或式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一．比如，要比较代数式a与b的大小，只需求出它们的差a﹣b，若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b． （1）已知m＞n＞0，a＞0，比较分式与的大小； （2）已知，求a的取值范围； （3）在一条河里，甲、乙两船从同一港口同时同向出发，分别航行1小时后立即返航，若甲船在静水中的速度为v1，乙船在静水中的速度为v2，水流速度为v0（v1＞v2＞v0＞0），甲、乙两船返航所用时间分别为t1，t2，试判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【分析】（1）通过作差法，把两式相减，得到差大于0，从而得到结果； （2）把不等号右侧的式子移项到左边，构成两式差的形式，得到，林而得到不等式的解集； （3）分别表示出甲乙两船返回的时间，通过作差法，比较时间的大小，得到结果． 【解答】解：（1） ， ∵m＞n＞0，a＞0， ∴m﹣n＞0， ∴a（m﹣n）＞0，n（n+a）＞0， ∴0， ∴； （2）∵， ∴0， ∴0， ∴， ∴， ∴， ∴0＜a＜3； （3）甲船先返回港口，理由如下： ①依题意，∵甲船顺流航行1小时的路程为（v1+v0）×1， 甲返航时实际速度为v1﹣v0， ∴甲返航时间为t1， ∵乙船顺流航行1小时的路程为（v2+v0）×1， 乙返航时实际速度为v2﹣v0， ∴乙返航时间为t2， ∴t1﹣t2 ， ∵v1＞v2＞v0＞0， ∴t1﹣t2＜0， ∴t1＜t2， ∴甲船先返回港口； ②依题意，∵甲船逆流航行1小时的路程为（v1﹣v0）×1， 甲返航时实际速度为v1+v0， ∴甲返航时间为t1， ∵乙船逆流航行1小时的路程为（v2﹣v0）×1， 乙返航时实际速度为v2+v0， ∴乙返航时间为t2， ∴t1﹣t2 ， ∵v1＞v2＞v0＞0， ∴t1﹣t2＞0， ∴t1＞t2， ∴乙船先返回港口， 综上所述，若出发时顺流，甲船先返回港口；若出发时逆流，乙船先返回港口． 9．（2024秋•嘉定区期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【分析】（1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【解答】解：（1）A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵分式， ∴A+B ＝2， ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”k＝2； （2）①∵分式，， ∴C+D ， ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3， ∴3x2+2x﹣8+G＝3（x﹣2）（x+2）＝3x2﹣12， ∴G＝3x2﹣12﹣3x2﹣2x+8＝﹣2x﹣4， ②∵D， 又∵x为正整数，分式D的值为正整数t， ∴x﹣2＝﹣1或x﹣2＝﹣2， 解得x＝1或x＝0（舍去）， ∴x＝1； （3）∵P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2， ∴P+Q， ∴， ∴（3﹣m）x﹣2＝2x﹣6， ∴（1﹣m）x＝﹣4， ∵当1﹣m＝0，即m＝1时，关于x的方程无解， 当1﹣m≠0时，方程有增根x＝3， ∴3（1﹣m）＝﹣4， 解得m， ∴综上所述，m为1或． 10．（2024秋•岳麓区校级期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式M，N，M+N15，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”k＝15． （1）已知分式A，B，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k； （2）已知分式C，D，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”k＝5， ①求M＝　﹣6x﹣12　（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值： （3）若分式E，F（b、c为整数且a＝b+c），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”k＝5，求a的值． 【分析】（1）先计算 A+B，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得5x2+6x﹣8+M＝5（x﹣2）（x+2）＝5x2﹣20，从而可得答案； ②由的值为正整数，x为正整数，可得x﹣2＝﹣1或﹣2或﹣3或﹣6，从而可得答案； （3）计算，整理得：c（b﹣5）＝5b﹣20，确定，根据题意求解即可． 【解答】解：（1）A与B是互为“幸福分式”，理由如下： 分式，， ∴， ∴A与B是互为“幸福分式”，“幸福值”k为2； （2）①∵，且“幸福值”k＝5， ∴5x2+6x﹣8+M＝5（x﹣2）（x+2）＝5x2﹣20， ∴M＝﹣6x﹣12； 故答案为：﹣6x﹣12； ②， ∵分式D的值为正整数， ∴x﹣2是﹣6的约数，即x﹣2＝﹣1或﹣2或﹣3或﹣6， 解得：x＝1或0或﹣1或﹣4； ∵x为正整数， ∴x＝1； （3）E是F的“幸福分式”， ∴， ﹣x2+5x+ax﹣5a+x2﹣cx﹣bx+bc＝5x﹣20， （5+a﹣c﹣b）x+bc﹣5a＝5x﹣20， ∵a＝c+b， ∴5x+bc﹣5（c+b）＝5x﹣20， ∴bc﹣5（c+b）＝﹣20， ∴bc﹣5c＝5b﹣20， ∴c（b﹣5）＝5b﹣20， ∴， ∴c，b为整数， ∴b﹣5一定是5的约数， b﹣5＝﹣1或﹣5或l或5， 解得：b＝4 或0或6或10， ∴c＝0或4或10或6， ∴a＝c+b＝4或4或16或16， 即a的值为4或16． 11．（2024秋•海淀区期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：．（1）将分式分解的结果为 　，　； （2）若可以分式分解为（其中m、p、q是常数）．则p＝ 　1　，q＝ 　3　； （3）当x＞1时．判断与的大小关系，并证明． 【分析】（1）按照已知条件中的方法把分式变形即可； （2）先求（x﹣1）（2x﹣1）再根据已知条件，求出m，然后把m的值代入分式，按照已知条件中的方法把分式变形，求出p，q即可； （3）先列出算式，求出两个分式的差，然后根据x的取值范围，利用两个分式的差进行判断即可 【解答】解：（1） 故答案为：； （2）∵（x﹣1）（2x﹣1） ＝2x2﹣x﹣2x+1 ＝2x2﹣3x+1， ∵可以分式分解为（其中m、p、q是常数）， ∴（x﹣1）（2x﹣1）＝mx2﹣3x+1， ∴m＝2， ∴ ， ∴p＝1，q＝3， 故答案为：1，3； （3），证明如下： ， ∵x＞1， ∴﹣（x+1）＜0，x2＞0，x﹣1＞0， ∴x2（x﹣1）＞0， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版 第13讲 分式的运算4个知识点+3类题型 课程标准 学习目标 分式的加减乘除和混合运算 熟练进行分式的加减乘除和混合运算 知识点1：分式的加法与减法 ①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； ②异分母的分式相加减，先通分，再加减。 注意：最后的结果需要化成最简分式或整式。 【即学即练】 1．（2024秋•睢阳区期末）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•白云区期末）计算：． 3．（2024秋•汉阳区期末）化简： 　 　． 4．（2024秋•澧县期末）对于正数x，规定，则值为 　 　． 知识点2：分式的乘法和除法 ①分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； ②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； ③分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 注意：分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 【即学即练】 5．（2024秋•澧县期末）计算： 　 ． 6．（2024秋•松江区期末）计算： 　　． 7．（2024秋•徐汇区校级期末）计算：． 知识点3：分式的混合运算 与分数的混合运算类似，分式的加、减、乘、除混合运算顺序是：先乘除、后加减，如果有括号先进行括号内的运算。 【即学即练】 8．（2024秋•阳谷县期末）（1）化简：； （2）化简：． 9．（2024秋•重庆期末）计算： （1）； （2）． 10．（2025•海淀区校级开学）已知a﹣3b+5＝0，求的值． 知识点4：分式求值的常用方法 【一.直接带入求值法】 11．（2024秋•雨花区校级期末）先化简，再求值：，其中x＝2． 【二.整体代入求值法】 12．（2024秋•河北区期末）设xy＝x﹣y≠0，则的值等于（　　） A． B．y﹣x C．﹣1 D．1 13．（2024秋•高青县期末）若a+b＝﹣2，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 14．（2024秋•天山区校级期末）已知，求（　　） A．﹣9 B．12 C．﹣15 D．18 15．（2024秋•龙岗区校级期中）已知，若b+d＝9，则a+c＝（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 16．（2023秋•邻水县期末）若，则　 　或　 　． 17．（2024秋•东阳市期末）如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝19，，那么的值为 　 　． 18．（2024秋•连江县期末）已知，x﹣1＝2abc，且，求的值为　 ． 19．（2024春•汝阳县期中）小明与小亮发现，已知复杂分式的值求另一个复杂分式的值，通常需要去分母变形为整式关系，然后整体代入后化简求解． 如已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴x2﹣y2＝﹣5xy， ∴． 小亮的做法是： ∵， ∴， ∴． 学习他们的方法求解： （1）已知，且a≠﹣b，求的值； （2）已知，，求m的值． 【三.活用完全平方公式转化求值】 20．（2024秋•扎兰屯市期末）已知，则（　　） A．12 B．14 C．8 D．16 21．（2024秋•顺庆区期末）如果，则的值等于　 　． 22．（2024秋•湛江期末）已知a2+8a＝1，求的值为 　 　． 23．（2024秋•重庆期末）已知mn＝2，，则m2+4mn+n2的值为　 　． 【四.活用倒数转化求值】 24．（2024秋•招远市期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知x≠0，所以，即 所以 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，求的值； （3）拓展：已知，，，求的值． 【五.参数辅助多远归一求值（设K法）】 25．（2024秋•普兰店区期末）阅读理解 [提出问题]已知，求分式的值； [分析问题]本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数t，得出a，b，c与t的关系，然后再代入待求的分式化简即可； （1）[解决问题]设，则a＝3t，b＝5t，c＝2t，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为 　﹣2　； （2）[拓展应用]已知，求分式的值． 26．（2023秋•市南区校级月考）设互不相等的非零实数a，b，c满足abc，求（a）2+（b）2+（c）2的值． 【类型一：分式的加减法】 1．（2024秋•邵东市期末）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（　　） A． B．a C． D．1 2．（2024秋•金平区期末）已知，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 3．（2024秋•闽清县期末）已知，则代数式的值为 　　． 4．（2024秋•松江区期末）计算：． 5．（2024秋•东坡区期末）对于正数x，规定，例如，．则（　　） A．2022 B．2021 C．2021.5 D．2022.5 6．（2023秋•大渡口区期末）定义新运算f（x），例如f（2）3，下列说法正确的有（　　） ①f（1）•f（2）•f（3）•⋯•f（10）＝10； ②f（1）+f（）+f（）+⋯f（）＝65； ③当f（a）＝﹣1，f（b）＝3时，（a+b）2023＝﹣1． A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2024秋•浦东新区校级期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”k＝1． （1）已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； （2）已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”k＝1．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程E+F＝a无解，求实数m的值． 【类型二：分式的乘除和乘方运算】 8．（2024秋•环翠区校级期中）下列各式中，计算结果正确的有（　　） ①；②a÷ba；③；④；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024秋•青浦区期末）计算：． 【类型三：分式的混合运算】 10．（2024秋•西岗区期末）（1）； （2）． 1．（2024秋•贵港期末）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2，a3，a4，…，an+1，若a1＝2，则a2025的值是（　　） A． B． C．﹣3 D．2 2．（2024秋•海门区期末）若x+y+z＝0，且xyz≠0，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 3．（2024春•芗城区校级期中）阅读下列解答过程： 已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：的值． 解：∵x2﹣3x＝1， ∴x2﹣3x﹣1＝0 ∴，即． ∴． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知a≠0，且满足a2﹣2a＝1，求： （1）的值； （2）的值． 4．（2024秋•凉州区期末）已知，那么m2﹣n2的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．0 5．（2024春•沙坪坝区校级期中）已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入F1中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入F2中化简后得到新的式子F3…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（　　） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2024秋•忠县期末）对于若干组分式，第1组为，，记；第2组为，记；第3组为，记；以后每组分式由前一组的每相邻两个分式之间添进它们和的一半而得到，并用an表示第n组所有分式的和（n为正整数）．按此操作，那么：①第6组共有33个分式；②第10组比第9组多11个分式；③；④当n＞2时，an+1﹣an；⑤，以上结论中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2024秋•赛罕区期末）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，可知x≠0． ∴，即 ∴． 故的值为． （1）第②步运用了公式：　 　；（要求：用含a、b的式子表示） （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值； （3）已知，求的值． 8．（2024秋•香洲区期末）解决数学问题时经常要比较两个数或式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一．比如，要比较代数式a与b的大小，只需求出它们的差a﹣b，若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b． （1）已知m＞n＞0，a＞0，比较分式与的大小； （2）已知，求a的取值范围； （3）在一条河里，甲、乙两船从同一港口同时同向出发，分别航行1小时后立即返航，若甲船在静水中的速度为v1，乙船在静水中的速度为v2，水流速度为v0（v1＞v2＞v0＞0），甲、乙两船返航所用时间分别为t1，t2，试判断哪条船先返回A港？并说明理由． 9．（2024秋•嘉定区期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 10．（2024秋•岳麓区校级期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式M，N，M+N15，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”k＝15． （1）已知分式A，B，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k； （2）已知分式C，D，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”k＝5， ①求M＝　 　（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值： （3）若分式E，F（b、c为整数且a＝b+c），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”k＝5，求a的值． 11．（2024秋•海淀区期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：．（1）将分式分解的结果为 　，　； （2）若可以分式分解为（其中m、p、q是常数）．则p＝ 　1　，q＝ 　3　； （3）当x＞1时．判断与的大小关系，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$