2.3 空间向量基本定理及坐标表示（3知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

2.3 空间向量基本定理及坐标表示 课程标准 学习目标 (1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示。 (4)了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 。 （1）理解空间向量的基本定理； （2）掌握空间向量的坐标表示，并会利用其进行向量的线性运算； （3）掌握空间向量数量积的坐标表示（难点) 知识点01 空间向量的基本定理 1 共面向量 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 . 若，则点四点共面. 2空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 3 基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【即学即练1】 （21-22高二下·江苏扬州·阶段练习）下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 知识点02 空间向量的坐标表示 ① 若， 则 , , ② 若 ，则. 【即学即练2】 （24-25高二上·河北邢台·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 空间向量的数量积坐标表示 ①若， 则 ， ② 夹角公式 ，，为钝角. 【即学即练3】 （24-25高二上·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【题型一：证明共面向量】 例1．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 变式1-1．（22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 变式1-2．（22-23高二·福建·阶段练习）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 若，则共面； 2若，则四点共面； 3 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 .若，则点四点共面. 【题型二：空间向量的基本定理中基底的理解】 例2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【方法技巧与总结】 若为空间的一组基底，则不能共面. 【题型三：空间向量的基本定理的运用】 例3．（24-25高二上·湖北十堰·期末）在棱长为6的正四面体中，，，则（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（20-21高二上·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 基底法，选择好三个不共面的向量作为基底，能利用其表示空间中各向量（利用首尾相接法或向量法则），再求数量积或立体几何中的几何问题. 【题型四：空间向量的坐标线性运算】 例4．（24-25高二上·北京·期中）已知向量，，点为线段中点，则（    ） A．1 B． C． D． 变式4-1．（24-25高二上·海南·期末）在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 变式4-3．（21-22高二·甘肃兰州·期末）已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 ① 若， 则 , , ② 若 ，则. 【题型五：空间向量的数量积表示】 例5．（24-25高二上·山东临沂·期中）空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 变式5-1．（24-25高二上·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 变式5-2．（24-25高二上·广西河池·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【方法技巧与总结】 ①若， 则 ， ② 夹角公式 ，，为钝角. 【题型六：空间向量的坐标表示的应用】 例6．（23-24高二上·浙江·期中）如图，长方体，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，点是棱的中点，点是与的交点，如果，那么三棱锥的体积为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 变式6-1．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．（22-23高二上·新疆·期中）如图，在长方体中，点分别在棱上，且.若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式6-4．（24-25高二上·广东·期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 建系法处理立体几何问题(比如线段长度、角度或位置关系等)，把几何问题转化为代数问题，解题过程较为“程序化”，降低思维难度.特别对于一些较容易建系的几何体. 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 2.（24-25高二上·福建福州·期中），若三向量共面，则实数等于（   ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4.（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 5.（22-23高二上·江苏苏州·期末）如图1所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图2的图像.已知圆柱的轴线在平面内且平行于轴，圆锥与圆柱的高相同.为圆锥底面圆的直径，，且.若到圆所在平面距离为2.若，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 7.（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示，在六面体中，，，，则该六面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8.（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ）． A．若，则向量、的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点P，有，则P，A，B，C四点共面 D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10．（24-25高二上·福建三明·期末）设，向量，，，且，，则（   ）． A． B． C． D． 11. （24-25高二下·安徽·开学考试）已知在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，周长的最小值为 C．当时，有且仅有一个点；使得 D．当时，的最小值为 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 13. （24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 14. （24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量 ，求； (3)若，求的值. 16. （24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，直四棱锥中，，，，E，F，G分别为棱的中点．      (1)求的值； (2)证明：C，E，F，G四点共面． 17.（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 18. （24-25高二上·福建福州·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 19. （24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． (2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 空间向量基本定理及坐标表示 课程标准 学习目标 (1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示。 (4)了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 。 （1）理解空间向量的基本定理； （2）掌握空间向量的坐标表示，并会利用其进行向量的线性运算； （3）掌握空间向量数量积的坐标表示（难点) 知识点01 空间向量的基本定理 1 共面向量 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 . 若，则点四点共面. 2空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 3 基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【即学即练1】 （21-22高二下·江苏扬州·阶段练习）下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间共面向量定理以及其推论，看等式右边系数和是否为1，可判断A,B,C;根据空间向量共面定理即可判断D,得出正确答案． 【详解】对于可得，，由空间共面向量定理知，M、A、B、C一定共面，故A正确， 对于可知，系数和不为1，故M、A、B、C不共面，故B错； 对于，系数和 ，故M、A、B、C不共面，故C错； 对于，可得，系数和不为1，根据空间向量共面的推论可知M、A、B、C不共面，故D错； 故选：A. 知识点02 空间向量的坐标表示 ① 若， 则 , , ② 若 ，则. 【即学即练2】 （24-25高二上·河北邢台·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量坐标的加法运算可求的坐标，结合模长公式可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴. 故选：C. 知识点03 空间向量的数量积坐标表示 ①若， 则 ， ② 夹角公式 ，，为钝角. 【即学即练3】 （24-25高二上·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式即可求解； 【详解】解：由题意，因为， 则， 解得， 故选：D 【题型一：证明共面向量】 例1．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 变式1-1．（22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 变式1-2．（22-23高二·福建·阶段练习）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 若，则共面； 2若，则四点共面； 3 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 .若，则点四点共面. 【题型二：空间向量的基本定理中基底的理解】 例2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，根据得到三向量不共面；BCD选项，设为未知数，得到方程组，方程无解则不共面，方程有解则共面，得到答案. 【详解】A选项，因为，故不共面，A错误； B选项，设， 故，无解，故不共面，B正确； C选项，设， 则，解得，故共面，C错误； D选项，， 则，解得，故共面，D错误. 故选：B 变式2-1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量共面的性质逐项判断即可； 【详解】对于A，，所以三向量共面，故A错误； 对于B，，所以三向量共面，故B错误； 对于C，，所以三向量共面，故C错误； 对于D，假设共面，则，即， 所以，不符合题意，所以假设不成立，故D正确； 故选：D. 变式2-2．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，假设、、共面， 则存在、使得 ，所以，，无解， 所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于C，因为，所以，、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于D，，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底. 故选：A. 【方法技巧与总结】 若为空间的一组基底，则不能共面. 【题型三：空间向量的基本定理的运用】 例3．（24-25高二上·湖北十堰·期末）在棱长为6的正四面体中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将向量用正四面体的棱长表示，再进行数量积运算即可. 【详解】因为，， 所以 因为，且 所以， 所以. 因为正四面体的棱长为6，所以. 故选：C. 变式3-1．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：C． 变式3-2．（20-21高二上·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 【方法技巧与总结】 基底法，选择好三个不共面的向量作为基底，能利用其表示空间中各向量（利用首尾相接法或向量法则），再求数量积或立体几何中的几何问题. 【题型四：空间向量的坐标线性运算】 例4．（24-25高二上·北京·期中）已知向量，，点为线段中点，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】由已知得， 因为为线段中点，所以， 所以， 所以， 故选：D. 变式4-1．（24-25高二上·海南·期末）在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加减法的坐标运算直接求解即可. 【详解】由题知， . 故选：A 变式4-2．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】向量，，共面，存在实数，使得，即． ，． 故选：D． 变式4-3．（21-22高二·甘肃兰州·期末）已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，得到答案. 【详解】因为， 所以， 当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 ① 若， 则 , , ② 若 ，则. 【题型五：空间向量的数量积表示】 例5．（24-25高二上·山东临沂·期中）空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的数量积求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得平行四边形的面积. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， ，， 所以， 因为，所以， 所以，以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：D 变式5-1．（24-25高二上·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由题可得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 变式5-2．（24-25高二上·广西河池·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量求解公式进行计算，得到答案. 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B 变式5-3．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】D 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；由题意得出，结合空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；分析可得且，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】因为向量，， 对于A选项，若，则，解得，A错； 对于B选项，若，则，解得，B错； 对于C选项，若为钝角，则且， 解得且，C错； 对于D选项，若在上的投影向量为， 即，则，解得，D对. 故选：D. 【方法技巧与总结】 ①若， 则 ， ② 夹角公式 ，，为钝角. 【题型六：空间向量的坐标表示的应用】 例6．（23-24高二上·浙江·期中）如图，长方体，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，点是棱的中点，点是与的交点，如果，那么三棱锥的体积为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由题意可得，长方体的棱长分别为，，，利用等体积法即可求. 【详解】在长方体中，设 ，，， 所以，,故，又因为， 所以，，，即，，， 取中点，连接，，如图：    因为点是与的交点，所以是的中点， 又因为是中点，所以， 又因为，所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 所以， 在矩形中，如图：，，    所以，，， 所以， 所以，              所以， 所以，即. 故选：B 变式6-1．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值. 【详解】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 变式6-2．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 变式6-3．（22-23高二上·新疆·期中）如图，在长方体中，点分别在棱上，且.若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设， 由得，结合向量法的坐标表示可得，讨论、求n的最小值即可 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. 设，则. 因为，所以，即，化简得. 当时，显然不符合题意. 故，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为2. 故选：C 变式6-4．（24-25高二上·广东·期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围． 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、， 设，、、，设中点为，中点为，由得，则， 即， 又，同理可得， 即，即， 即，故有， 且，，， ， 故， 由可得， 故，故. 故选：B. 【方法技巧与总结】 建系法处理立体几何问题(比如线段长度、角度或位置关系等)，把几何问题转化为代数问题，解题过程较为“程序化”，降低思维难度.特别对于一些较容易建系的几何体. 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 2.（24-25高二上·福建福州·期中），若三向量共面，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用共面向量基本定理结合空间向量的坐标运算列方程组求出结果即可． 【详解】由于，，，若三向量共面， 故，整理得， 故，解得． 故选：B． 3.（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标求模判断A，根据向量的数量积坐标运算判断BC，根据向量加法的坐标运算及向量共线的判定判断D. 【详解】因为， 所以，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，故C错误； 因为，所以不正确，故D错误. 故选：B 4.（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的数量积、模长、夹角公式可判断ACD；设，代入解方程即可判断B. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，则，则无解，故B错误； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 5.（22-23高二上·江苏苏州·期末）如图1所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图2的图像.已知圆柱的轴线在平面内且平行于轴，圆锥与圆柱的高相同.为圆锥底面圆的直径，，且.若到圆所在平面距离为2.若，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所建空间直角坐标系，由求出的坐标，得到，，的长度，利用余弦定理求与夹角的余弦值. 【详解】如图2所示的空间直角坐标系中， 设，.，，所以，， 由，所以 所以，，由对称性这里取，则，，又， 所以，，， 因此由余弦定理，. 故选：C 6.（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 7.（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示，在六面体中，，，，则该六面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得两两垂直，再建立空间直角坐标系，求出点的坐标，进而求出球半径即得. 【详解】由，，，得，则，同理， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 由，，得，解得或， 即点或，由六面体，得点在平面两侧，点不符合题意， 因此点，令线段的中点为，则， 于是，因此六面体的外接球球心为，半径为， 所以六面体的外接球的表面积. 故选：B 8.（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，推出点在上时，取得最小值，作出点的对称点，由几何关系得到最小值，求出答案. 【详解】因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 又四边形是正方形，所以⊥， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 过点分别为⊥，⊥于点， 则⊥平面，⊥平面， 过点作⊥于点，连接， 则，， ，其中， 故要想取得最小值，则，即只需点在上， 其中关于直线的对称点为， 连接，此时取得最小值，最小值为， 其中. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ）． A．若，则向量、的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点P，有，则P，A，B，C四点共面 D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【分析】考虑，的夹角为0可判断A；根据空间向量共面定理可判断BCD. 【详解】对于A，当，的夹角为0时，，故A错误， 对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于C，因为，则向量共面， 又有公共点，所以P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误． 故选：BC． 10．（24-25高二上·福建三明·期末）设，向量，，，且，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用向量垂直即可求得参数x的值；利用向量平行即可求得y的值；再利用向量的夹角公式即可判断选项C；利用模长公式即可判断选项D. 【详解】对于选项A：因为，所以，解得：，故选项A错误； 对于选项B：因为，所以即,解得,故选项B正确； 对于选项C：，故选项C错误； 对于选项D：由，故，故选项D正确. 故选：BD 11. （24-25高二下·安徽·开学考试）已知在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，周长的最小值为 C．当时，有且仅有一个点；使得 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系如图所示，则，对于A，当时，推出点在线段上，为定值，由结合三棱锥的体积公式，即可判断A；对于B，当时，点在线段上，将平面与平面沿展开可求得，从而得周长的最小值，即可判断B；对于C，当时，求得，的坐标，由列方程，根据方程解的个数，即可判断C；对于D，，，由的几何意义的最小值，即可判断D. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示，则. 对于A，当时，点在线段上，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，点在线段上，将平面与平面沿展开，得 ，又，故周长的最小值为，故B正确； 对于C，当时，，，若， 则，解得，所以符合条件的点有两个，故C错误； 对于D，，则当，， 则，表示单位圆上的点到点的距离的平方， 则其最小值为，所以的最小值为，故正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 【答案】14 【分析】由向量的数量积为0即可列方程求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故答案为：14. 13. （24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】根据向量投影的定义及数量积、模长的坐标表示求在方向上的数量投影. 【详解】由题设，， 所以. 故答案为： 14. （24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，，再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量 ，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)3； (3). 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得 （2）由（1）得，而量 ，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以 16. （24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，直四棱锥中，，，，E，F，G分别为棱的中点．      (1)求的值； (2)证明：C，E，F，G四点共面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出向量坐标，利用数量积公式即得； （2）求出，得到四点共面. 【详解】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，又因为， 所以建立如图所示的空间直角坐标系，    ∵， ∴，，，， ∴，， ∴. （2）证明：由（1）得：，因为，， 因为不共线，所以令， 即，解得， ∴. 故C，E，F，G四点共面. 17.（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【详解】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 18. （24-25高二上·福建福州·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 【答案】(1)； (2)①，②2. 【分析】（1）利用斜坐标的定义及向量的线性运算可得结果. （2）①设，，分别为与，，同方向的单位向量，根据题意得点为的中点，利用空间向量的线性运算表示，即可得到坐标. ②用，，表示，根据求出的值，即可得到. 【详解】（1）∵，， ∴， ∴的斜坐标为. （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，，. ①由题意得，点为的中点. . ②由题意得，， 由得，， 由得，， ∴， ∴， 解得， 则 19. （24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． (2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积． 【答案】(1)（i）2；（ii）证明见解析； (2). 【分析】（1）（i）利用曼哈顿距离的定义计算得解；（ii）在直线上取点，按与之一为0分类，利用曼哈顿距离的定义，借助不等式性质求出最小值即可. （2）设，利用用曼哈顿距离的定义列式，考查时点所围图形，再利用对称性即得几何体，进而求出体积. 【详解】（1）（i），则. （ii）当时，设直线上任意一点， 因此； 当时，设，， 因此； 当时，同理， 所以. （2）设，依题意，， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以动点P围成的几何体的体积. 【点睛】关键点点睛：充分理解曼哈顿距离的定义，并转化为与之相关联的数学问题求解是关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$