7.3.1 离散型随机变量的均值（共2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.1 离散型随机变量的均值 第七章 随机变量及其分布 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 离散型随机变量 随机变量： 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的 实数与之对应，我们称为随机变量；通常用大写字母表示。 离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 称之为离散型随机变量；用小写字母表示随机变量的取值。 X ……… Ω ……… 作用：随机变量将随机事件的结果数量化. 特点：(1)取值依赖于样本点； (2)所有可能取值是明确的． 前情回顾 0 离散型随机变量的分布列： 一般地，设离散型随机变量的可能取的不同值为，，…，， 称取每一个 的概率， =1，2，…，，为的概率 分布列，简称分布列。 … … 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示成功，表示失败， 定义 X＝ . 如果 P(A)＝p，则 P()＝1－p， 那么 X 的分布列如下表所示. 1－ 以上称服从两点分布或分布； 两点分布或0－1分布： 学习目标 1 2 3 通过实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质． 会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 0 新课引入 0 思考：你还记得什么是一组数据x1，x2，…，xn的均值及其意义吗？ 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律；但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便。例如，要比较不同要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射击水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征. 平均分用于体现数据的总体水平 读教材 0 阅读课本P62-P65，5分钟后完成下列问题： 1.什么是数学期望？数学期望反映了随机变量的什么特征？ 我们一起来探究“离散型随机变量的均值”吧！ 2.两点分布的数学期望和数学期望的性质是什么？ 01 03 02 目录 1 离散型随机变量的均值 学习过程 2 数学期望的性质 3 题型训练 1 新知探究 探究1 某商场要将单价分别为18元/千克，24元/千克，36元/千克的3种 糖果按 的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理? F1：按照糖果的最高 价格定价 F2：按照这三种糖果的平均价格定价 F3：按照这三种糖果的加权平均价格定价 权数是起权衡轻重作用的数值；加权平均是指在计算若干个数量的平均数时， 考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数． 定价为：36元/千克 思考：什么是权数？什么是加权平均数？ 1 新知探究 问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示? 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 对于两组数据的比较：首先比较击中的平均环数， 如果平均环数相等，再看稳定性（即方差）. 思考1：如何比较他们射箭水平的高低呢？ 思考2：不知道具体环数，如何由分布列计算射中的平均环数呢？ 可假设射箭次，已知频率，计算出射中7环、8环、9环和10环的各频数. 1 新知探究 问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示? 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 思考2：不知道具体环数，如何由分布列计算射中的平均环数呢？ 可假设射箭次，已知频率，计算出射中7环、8环、9环和10环的各频数 甲次射箭射中的平均环数 7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9 当n足够大时， 频率稳定于概率 同理，乙射中环数的平均值为 从加权平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 1 新知1－－离散型随机变量的均值 离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 则称为随机变量 的均值或数学期望，数学期望简称期望； 均值是随机变量的可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量 的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 1 新知1－－离散型随机变量的均值 两点分布的数学期望： 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 0 1 权数 加权平均数 思考：离散型随机变量的均值与样本平均值有何区别与联系？ (1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取， 而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化. (2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值 越来越接近于总体的均值. 学以致用 例1 判断正误： 解：(1)随机变量的数学期望是个具体数值； (2)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取； (3)E(2X)=2E(X)=4； (4)两点分布中，E(X)=P=P(X＝1). (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化.(　　) (2)随机变量的均值反映了样本的平均水平.(　　) (3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　) (4)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1).(　　) × √ √ × 学以致用 例2 已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的均值E(X)等于（ ） 故选C. C 学以致用 例3 袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个 (n＝1,2,3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，求E(X)？ 解：由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.　 X 0 1 2 3 P 0.4 0.1 0.2 0.3 求均值E(X) 4 1 确定X取值 2 求P(X＝k)概率 3 写分布列 学以致用 例4 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X. (1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)? 解: (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2， 故X的分布列为: X 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元). 求均值E(X) 4 1 确定X取值 2 求P(X＝k)概率 3 写分布列 思路点拨 求离散型随机变量的均值的步骤： 求均值：由均值(数学期望)的定义求出. 4 1 确定取值：根据随机变量的意义，写出可能取得的全部值； 2 求概率：求随机变量的每个取值对应的概率P(X＝k)； 3 写分布列：写出的分布列； 01 03 02 目录 学习过程 1 离散型随机变量的均值 2 数学期望的性质 3 题型训练 1 新知探究 探究2 已知随机变量X的分布列如下表，求Y=3X+2的分布列及数学期望？ X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 解：因为Y=3X+2，所以Y的取值为：5，8，11，14，17，分布列如下： X 5 8 11 14 17 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 E(X)=2.8 思考：Y=3X+2，那E(X)与E(3X＋2)有何关系呢？ E(3X＋2)=3E(X)+2 1 新知探究 问题1 离散型随机变量，(其中，为常数)与有何联系？ 设的分布列为，，，，. 根据随机变量均值的定义， . Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 2 新知2－－数学期望的性质 数学期望的性质: 若 是两个随机变量, 且, 则：， 即随机变量 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数. 特殊地： (1)当a=0时, E(b)=b (2)当b=0时,E(aX )=aE(X ) 学以致用 例1 设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( ) D 学以致用 例2 (多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则( )   A.a＝7 B.b＝0.4 C.E(aX)＝44.1 D.E(bX＋a)＝2.62 X 4 a 9 P 0.5 0.1 b 解：由题意得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3， 解得b＝0.4，a＝7. ∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1， E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52， 故ABC正确. ABC 思路点拨 离散型随机变量分布列的性质： (1)离散型随机变量X的概率和等于1； (2)； (3). 01 03 02 目录 学习过程 1 离散型随机变量的均值 2 数学期望的性质 3 题型训练 3 例1 某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，求出海的期望效益？ 题型1－－离散型随机变量的均值 出海的期望效益： E(X)＝5000×0.6＋0.4×(－2000)＝3 000－800＝2200(元). 5000 －2000 0.6 0.4 解：设X表示出海的效益，可知X的取值为5000，－2000.　 求均值E(X) 4 1 确定X取值 2 求P(X＝k)概率 3 写分布列 3 例2 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的 概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 罚球1次的得分为X的均值为： E(X)＝0×0.2＋1×(0.8)＝0.8. 0 1 0.2 0.8 解：由题意：可知X的取值为0，1.　 求均值E(X) 4 1 确定X取值 2 求P(X＝k)概率 3 写分布列 题型1－－离散型随机变量的均值 3 例3 甲、乙两台机床生产同一种零件，且生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数 分别为X1，X2，其分布列分别在下表：哪台机床更好? 请解释你所得出结论的含义？ 题型1－－离散型随机变量的均值 解：E(X1)=0✖️0.4+1✖️0.3+2✖️0.2+3✖️0.1=1； E(X2)=0✖️0.3+1✖️0.5+2✖️0.2=0.9； 因此，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品， 所以乙机床相对更好。 甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列 X1 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 X2 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 3 例4 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01， 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元, 遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案:方案1：运走设备，搬运费为3800元； 方案2：建围墙, 建设费为2000元, 但围墙只能挡住小洪水. 方案3：不采取措施，希望不发生洪水. 工地的领导该如何决策呢? 天气情况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失（元） 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 题型1－－离散型随机变量的均值 3 例4 有以下3种方案，方案1：运走设备，搬运费为3800元； 方案2：建围墙, 建设费为2000元, 但围墙只能挡住小洪水. 方案3：不采取措施，希望不发生洪水. 工地的领导该如何决策呢? 题型1－－离散型随机变量的均值 解：由题意设方案1、方案2、方案3的总损失分布分别为：X1 X2 X3 E(X1)＝3800；E(X2)＝2600；E(X3)＝3100； 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2。 天气情况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失（元） 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 3 例5 若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的最大值为（ ） 题型2－－随机变量及其分布列的应用 B 3 例6 某射手射击所得环数X的分布列如下：已知E(X)＝8.9，则y的值为 ____ . 题型2－－随机变量及其分布列的应用 0.4 X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 3 例7 离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)， E(X)＝3，则a＝____，b＝___. 题型2－－随机变量及其分布列的应用 0.1 X 1 2 3 4 P a＋b 2a＋b 3a＋b 4a＋b 0 解：E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3， 即30a＋10b＝3. 又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1； 解得：a=0.1，b=0. 课堂小结 离散型随机变量的均值: 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 则称为随机变量 的均值或数学期望，数学期望简称期望； 两点分布的数学期望： 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 0 1 权数 加权平均数 课堂小结 数学期望的性质: 若 是两个随机变量, 且, 则：， 即随机变量 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数. 特殊地： (1)当a=0时, E(b)=b (2)当b=0时,E(aX )=aE(X ) . A. B.2 C. D.3 解：E(X)＝1×＋2×＋3×＝. X 1 2 3 P ∴E(X)＝0×0.4＋1×0.1＋2×0.2＋3×0.3＝. P(X＝0)＝0.4，P(X＝1)＝0.1，P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝0.3 P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02. P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25， A. B. C. D. 解: E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝. ξ 1 2 3 4 P P(X＝5000)＝0.6，P(X＝－2000)＝0.4， P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝0.8， ξ 0 1 2 P －p p A.1 B. C. D.2 解：由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E(ξ)＝p＋1≤，故选B. 解：由解得 $$