专题10.3 三元一次方程组及其解法【八大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版2024）

专题10.3 三元一次方程组及其解法【八大题型】 【苏科版2024】 【题型1 三元一次方程组的定义】 1 【题型2 消元解三元一次方程组的方法】 2 【题型3 解三元一次方程组】 3 【题型4 由三元一次方程组求字母的值】 4 【题型5 由三元一次方程组求代数式的值】 4 【题型6 构造三元一次方程组求值】 5 【题型7 三元一次方程组中的新定义问题】 6 【题型8 一元一次方程组的应用】 7 知识点：三元一次方程组的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 【题型1 三元一次方程组的定义】 【例1】（23-24七年级·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级·全国·假期作业）下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级·四川绵阳·期末）已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【变式1-3】（23-24七年级·上海静安·课后作业）下列方程组不是三元一次方程组的是(    　  ) A． B． C．D． 知识点2：三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 【题型2 消元解三元一次方程组的方法】 【例2】（23-24七年级·山东日照·期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级·四川遂宁·期中）解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应（    ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项 【变式2-2】（23-24七年级·全国·单元测试）三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是（   ） A．B． C．D． 【变式2-3】（23-24七年级·河北唐山·期中）运用加减消元法解方程组，较简单的方法是（    ） A．先消去x，再解 B．先消去z，再解 C．先消去y，再解 D．三个方程相加得8x-2y+42＝11再解 【题型3 解三元一次方程组】 【例3】（23-24七年级·上海杨浦·期末）求方程的非负整数解的个数． 【变式3-1】（23-24七年级·河南洛阳·期中）方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级·全国·课后作业）三元一次方程的正整数解有（    ） A．2组 B．4组 C．6组 D．8组 【变式3-3】（23-24七年级·河南洛阳·期中）下面所示为七下教材38页中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1解方程组： 解 由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得， 代入④，得． 所以原方程组的解是， (1)我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为 求解，方法有 和 ．其中的步骤二通过 法消去未知数z，将三元一次方程组变成了 ，体现了数学中 思想． (2)仿照以上思路解方程组消去字母Z后得到的二元一次方程组为 ． 【题型4 由三元一次方程组求字母的值】 【例4】（23-24七年级·山东青岛·单元测试）如果方程组的解使代数式的值为10，那么k的值为（   ） A． B．3 C． D． 【变式4-1】（23-24七年级·浙江·期末）若．则k的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式4-2】（23-24七年级·全国·课后作业）若是三元一次方程组的解，则的值是 ． 【变式4-3】（23-24七年级·陕西西安·期末）已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（    ） A．k B．k C．k D．k 【题型5 由三元一次方程组求代数式的值】 【例5】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【变式5-1】（23-24七年级·浙江·阶段练习）已知整数，满足，且，那么的值等于（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．14或17 【变式5-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）若实数，，满足，且，则的值是（    ） A．31 B．27 C．29 D．无法确定 【变式5-3】（23-24七年级·四川内江·阶段练习）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的和为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【题型6 构造三元一次方程组求值】 【例6】（2024七年级·全国·专题练习）已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为（    ） A．4 B．8 C．62 D．52 【变式6-1】（23-24七年级·河北唐山·期中）若，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-2】（23-24七年级·山西晋城·期末）如图，，，分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放，那么应放 个    【变式6-3】（23-24七年级·广东阳江·期末）如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ． 【题型7 三元一次方程组中的新定义问题】 【例7】（23-24七年级·重庆开州·阶段练习）对于一个三位数，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的2倍，我们就称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差与十位数字的和记为，则 ．若是一个“互差数”，且，则的最小值 ． 【变式7-1】（23-24七年级·重庆·期中）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ． 【变式7-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24七年级·浙江·期末）对于实数x，y定义新运算其中a，b，c为常数，若，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有，则d的值是 ． 知识点3：三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【题型8 一元一次方程组的应用】 【例8】（23-24七年级·浙江·期末）现有三包杂拌糖，由甲、乙、丙三种水果糖按不同比例混合而成．第一包中含甲种水果糖和乙种水果糖，第二包中含乙种水果糖和丙种水果糖，第三包中含甲种水果糖、乙种水果糖和丙种水果糖．先从三包中各取适量杂拌糖，重新混合，得到1千克含丙种水果糖的杂拌糖． （1）试用新得到的杂拌糖中所含第一包杂拌糖的质量表示其中所含第二包杂拌糖的质量； （2）求新杂拌糖中所含第二包杂拌糖的质量范围． 【变式8-1】（23-24七年级·重庆万州·期末）北山水果市场是我区最大的水果批发市场，张老师想购买甲、乙、丙三种水果，如果购买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共需付钱36元：如果购买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共需付钱32元．今要购买甲4千克，乙2千克，丙5千克，则共应付 元． 【变式8-2】（23-24七年级·重庆大渡口·期中）甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物．多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5元、15元、25元，乙购买的多肉数量是甲的10倍，茉莉花数量是甲的6倍，绣球数量是甲的8倍，丙购买的多肉数量是甲的3倍，茉莉花数量是甲的7倍，绣球数量和甲相同，三家花店采购共花费金额2510元，丙比甲多用420元，则三家花店购买绣球共花费 元． 【变式8-3】（23-24七年级·浙江·期末）第二波疫情爆发后，某公司购买了150吨物资打算运往河北支援，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆汽车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 1000 1200 1500 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费26000元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆? （2）若该公司决定用甲、乙、丙三种汽车共20辆同时参与运送，请你写出可能的运送方案，并帮助该集团找出运费最省的方案（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.3 三元一次方程组及其解法【八大题型】 【苏科版2024】 【题型1 三元一次方程组的定义】 1 【题型2 消元解三元一次方程组的方法】 4 【题型3 解三元一次方程组】 6 【题型4 由三元一次方程组求字母的值】 8 【题型5 由三元一次方程组求代数式的值】 11 【题型6 构造三元一次方程组求值】 13 【题型7 三元一次方程组中的新定义问题】 15 【题型8 一元一次方程组的应用】 18 知识点：三元一次方程组的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 【题型1 三元一次方程组的定义】 【例1】（23-24七年级·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三元一次方程组的定义（方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是三元一次方程组，则此项符合题意； B、方程组中含有4个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； C、方程组中含有2个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； D、方程组的每个方程中含未知数的项的次数不都是1，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，熟记三元一次方程组的概念是解题关键． 【变式1-1】（23-24七年级·全国·假期作业）下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 【变式1-2】（23-24七年级·四川绵阳·期末）已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级·上海静安·课后作业）下列方程组不是三元一次方程组的是(    　  ) A． B． C．D． 【答案】D 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：根据三元一次方程组的定义，可知A、B、C都是三元一次方程组，而选项D含有未知数的乘积项，是三元三次方程． 故选：D 【点睛】本题考查三元一次方程组的知识，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 知识点2：三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 【题型2 消元解三元一次方程组的方法】 【例2】（23-24七年级·山东日照·期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，得，， ，即，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，得，， ， ∴消去z，组成关于x、y的方程组为， 故选：C． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2-1】（23-24七年级·四川遂宁·期中）解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应（    ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项 【答案】B 【分析】观察发现，未知数y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去y． 【详解】解：观察未知数的系数特点发现： 未知数y的系数要么相等，要么互为相反数， 所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y， 故选B 【点睛】本题考查的是解方程组时，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键． 【变式2-2】（23-24七年级·全国·单元测试）三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题． 【详解】解： 得，， 得：， ∴三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是， 故选A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确题意，会用消元法解方程组． 【变式2-3】（23-24七年级·河北唐山·期中）运用加减消元法解方程组，较简单的方法是（    ） A．先消去x，再解 B．先消去z，再解 C．先消去y，再解 D．三个方程相加得8x-2y+42＝11再解 【答案】C 【分析】观察方程组，发现第一个方程不含有未知数y，因此，可将第二、第三个方程联立，首先消去y． 【详解】解：， ②×3＋③，得11x＋7z＝29④， ④与①组成二元一次方程组 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，关键是掌握加减消元法． 【题型3 解三元一次方程组】 【例3】（23-24七年级·上海杨浦·期末）求方程的非负整数解的个数． 【答案】非负整数解个数有个． 【分析】本题考查了三元一次不定方程的解，先确定、、的值，再分类讨论即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，，分别取．则取，共组， 当时， ， 分别取则取共组， 依次类推：共有： ， 答：非负整数解个数有． 【变式3-1】（23-24七年级·河南洛阳·期中）方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代入消元法解三元一次方程组即可求解． 【详解】解：， 由①得④，由②得⑤， 将④⑤代入③得，， 解得， 将代入④得， 将代入⑤得， 原方程组的解为． 故选C． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握代入消元是解题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级·全国·课后作业）三元一次方程的正整数解有（    ） A．2组 B．4组 C．6组 D．8组 【答案】C 【分析】最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可． 【详解】解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解； 当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解； 当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解； 所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）． 故选：C． 【点睛】本题考查三元一次不定方程的解，解题关键是确定x、y、z的值，分类讨论 【变式3-3】（23-24七年级·河南洛阳·期中）下面所示为七下教材38页中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1解方程组： 解 由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得， 代入④，得． 所以原方程组的解是， (1)我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为 求解，方法有 和 ．其中的步骤二通过 法消去未知数z，将三元一次方程组变成了 ，体现了数学中 思想． (2)仿照以上思路解方程组消去字母Z后得到的二元一次方程组为 ． 【答案】(1)一元一次方程；代入消元法；加减消元法；代入消元法；二元一次方程组；消元 (2) 【分析】（1）根据代入消元法的步骤解答即可； （2）由方程②，得……④，将④分别代入方程①和③，整理可得答案． 【详解】（1）我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解，方法有代入消元法和加减消元法．其中的步骤二通过代入消元法消去未知数z，将三元一次方程组变成了二元一次方程组，体现了数学中消元思想． 故答案为：一元一次方程；代入消元法；加减消元法；代入消元法；二元一次方程组；消元； （2） 解：由方程②，得……④ 将④分别代入方程①和③，得 整理得： 故答案为： 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的步骤，以及解三元一次方程组，掌握代入消元法是解答本题的关键． 【题型4 由三元一次方程组求字母的值】 【例4】（23-24七年级·山东青岛·单元测试）如果方程组的解使代数式的值为10，那么k的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 【变式4-1】（23-24七年级·浙江·期末）若．则k的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先解出x、y的值，代入③，转化为关于k的方程来解． 【详解】解：由题意可得， ①×3+②得11x-22=0， 解得x=2， 代入①得y=-1， 将x=2，y=-1代入③得， -1-2k+9=0， 解得k=4． 故选：C． 【点睛】本题实质是解三元一次方程组，先用了加减消元法求得x，y后，再求得k的值． 【变式4-2】（23-24七年级·全国·课后作业）若是三元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，把代入中即可求解，解题的关键是理解三元一次方程组的解． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴将代入中得： ， 解得：， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24七年级·陕西西安·期末）已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（    ） A．k B．k C．k D．k 【答案】A 【分析】根据得出，，然后代入中即可求解． 【详解】解：， ①+②得， ∴③， ①﹣③得：， ②﹣③得：， ∵， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出的代数式是解题的关键． 【题型5 由三元一次方程组求代数式的值】 【例5】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入②得：， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程组是解本题的关键． 【变式5-1】（23-24七年级·浙江·阶段练习）已知整数，满足，且，那么的值等于（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．14或17 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义和已知条件，得出|x+y|，|x-y|式子的范围，把已知化简，从而确定x，y，z的值即可求解． 【详解】解：∵x≤y＜z， ∴|x-y|=y-x，|y-z|=z-y，|z-x|=z-x， 因而第二个方程可以化简为： 2z-2x=2，即z=x+1， ∵x，y，z是整数， 根据非负性可知，必有一加数为0， ∵x≤y＜z， ∴只可能是，即， 将，z=x+1，代入，化简可得： ，显然x只可能是， 根据x，y，z是整数讨论可得：x=y=-1，z=0， ∴x2+y2+z2=（-1）2+（-1）2+0=2． 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的定义和三元一次方程组的解法，确定x，y，z的值是解题的关键． 【变式5-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）若实数，，满足，且，则的值是（    ） A．31 B．27 C．29 D．无法确定 【答案】B 【分析】将已知适当变形后相减，得到的值，即可得到答案． 【详解】解：由两边同时乘以5得：①， 由两边同时乘以3得：②， ①-②得： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查求代数式的值，解题的关键是将已知变形，构造并求出x-18y+11z的值． 【变式5-3】（23-24七年级·四川内江·阶段练习）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的和为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，先推断出取最大值与最小值时的、、的值，再求的最大值与最小值的和． 【详解】解：联立得方程组， ①②：得，， ①②得，，， 把，代入，整理得，，当取最小值时，有最小值， 、、是三个非负实数， 的最小值是0， ， ①②得到：， ， 是非负数， 时，有最大值3， 的最大值与最小值的和． 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式求解，在给定的范围内，求一个代数式的最值问题，解题的关键是转化为只含一个未知数的式子进行求解，难度较大． 【题型6 构造三元一次方程组求值】 【例6】（2024七年级·全国·专题练习）已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为（    ） A．4 B．8 C．62 D．52 【答案】D 【分析】根据已知条件可知，由此解方程组求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得 用①+②得：④， 用①×2+③得：⑤， 用⑤－④得：， 把代入④得：，解得， 把，代入①得：，解得， ∴当时，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键． 【变式6-1】（23-24七年级·河北唐山·期中）若，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据平方和绝对值的非负性得到三元一次方程组，解方程组即可. 【详解】解：由，可得 解得则. 故选A. 【点睛】本题考查平方和绝对值的非负性以及解三元一次方程组，利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题关键． 【变式6-2】（23-24七年级·山西晋城·期末）如图，，，分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放，那么应放 个    【答案】5 【分析】可设，，分别为x，y，z，由（1）（2）的等量关系可列出方程，用y分别表示出x和z即可得出结论． 【详解】设，，分别为x，y，z，由（1）（2）可知： ， 解得：， ∴， 即的个数为5个． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查方程组的应用，根据题意列出符合条件的方程组是解题的关键． 【变式6-3】（23-24七年级·广东阳江·期末）如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ． 【答案】5，6，4 【分析】根据题意可列方程组，应用解三元一次方程组的解法进行求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， ①﹣②得， a﹣c＝1④， ④+③得， a＝5， 解得， a，b，c这三个数按顺序分别为5，6，4． 故答案为：5，6，4． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解，根据题意列出方程组及熟练应用三元一次方程组的解法进行求解是解决本题的关键． 【题型7 三元一次方程组中的新定义问题】 【例7】（23-24七年级·重庆开州·阶段练习）对于一个三位数，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的2倍，我们就称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差与十位数字的和记为，则 ．若是一个“互差数”，且，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，有理数的混合运算，三元一次方程组的应用，理解“互差数”的意义是解题的关键．根据“互差数”的定义可求解； 设的个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，根据“互差数”的定义列方程及，列方程组，解方程组结可求解b值，即可得，再分类求得m值． 【详解】解：； ∵是一个“互差数”， 设的个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，而， ∴， 解得， ∴， 当时，，此时m的值为925； 当时，，此时m的值为824； 当时，，此时m的值为723； 当时，，此时m的值为521； 当时，，因，“互差数”各个数位的数字互不相等，所以622不是“互差数”； 当时，，因为“互差数”各个数位的数字均不为0，所以420不是“互差数”， 综上可知：满足条件的所有m的最小值为521． 故答案为：， 【变式7-1】（23-24七年级·重庆·期中）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ． 【答案】17 【分析】此题考查了解三元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新运算法则列出方程组，用含b的式子表示出a和c的值，再根据新运算法则计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， ②﹣①得：，即， ②+①得：，即， 则原式． 故答案为：17． 【变式7-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，加减消元法等知识，先根据矩阵的定义得出，然后利用加减消元法得出，结合“为定值”即可求解． 【详解】解∶根据题意，得 ，得， ∵为定值， ∴， 故选∶D． 【变式7-3】（23-24七年级·浙江·期末）对于实数x，y定义新运算其中a，b，c为常数，若，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有，则d的值是 ． 【答案】4 【分析】由新定义的运算，及，，构造方程组，不难得到参数，，之间的关系．又由有一个非零实数，使得对于任意实数，都有，可以得到一个关于的方程，解方程即可求出满足条件的的值． 【详解】解：， 由，，即， ，． 又由对于任意实数恒成立， ， 为非零实数， ， ． ． ． ． 故答案为：4． 【点睛】本题属于新定义的题目，根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算是关键，同时考查了学生合情推理的能力，属于中档题． 知识点3：三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【题型8 一元一次方程组的应用】 【例8】（23-24七年级·浙江·期末）现有三包杂拌糖，由甲、乙、丙三种水果糖按不同比例混合而成．第一包中含甲种水果糖和乙种水果糖，第二包中含乙种水果糖和丙种水果糖，第三包中含甲种水果糖、乙种水果糖和丙种水果糖．先从三包中各取适量杂拌糖，重新混合，得到1千克含丙种水果糖的杂拌糖． （1）试用新得到的杂拌糖中所含第一包杂拌糖的质量表示其中所含第二包杂拌糖的质量； （2）求新杂拌糖中所含第二包杂拌糖的质量范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别设所取的三包糖的质量为未知数，等量关系为：包含的第一包糖的质量+包含的第二包糖的质量+包含的第三包糖的质量=1；包含的第一包糖的质量×丙种水果糖的百分比+包含的第二包糖的质量×丙种水果糖的百分比+包含的第三包糖的质量×丙种水果糖的百分比=1×45%，设法消去包含的第三包糖的质量的未知数即可； （2）必用第二包，让所取的第一包的质量或第二包的质量为0得到第二包的最大值和最小值，范围在这两个值之间即可． 【详解】解：（1）设第一、二、三包分别取千克、千克、千克，则 ， 由②得，③， ①③，得， ； （2）由题意知，必用第二包， 如果不用第一包，即当时，有最小值为； 如果不用第三包，即当时，有最大值，此时，， 解得． ∴． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用及未知量的取值范围；根据糖的总千克数及丙种糖的总千克数的等量关系是解决本题的关键． 【变式8-1】（23-24七年级·重庆万州·期末）北山水果市场是我区最大的水果批发市场，张老师想购买甲、乙、丙三种水果，如果购买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共需付钱36元：如果购买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共需付钱32元．今要购买甲4千克，乙2千克，丙5千克，则共应付 元． 【答案】52 【分析】设甲水果的单价为x元，乙水果的单价为y元，丙水果的单价为z元，根据题意，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，设2x+y=m，将原方程组变形为二元一次方程组，解之即可得出m，z的值，再将其代入4x+2y+5z=2m+2z+3z即可求出结论． 【详解】解：设甲水果的单价为x元，乙水果的单价为y元，丙水果的单价为z元， 依题意，得：， 设2x+y＝m，则原方程组变形为， 解得：， ∴4x+2y+5z＝2m+2z+3z＝32+3×＝52． 故答案为：52． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【变式8-2】（23-24七年级·重庆大渡口·期中）甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物．多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5元、15元、25元，乙购买的多肉数量是甲的10倍，茉莉花数量是甲的6倍，绣球数量是甲的8倍，丙购买的多肉数量是甲的3倍，茉莉花数量是甲的7倍，绣球数量和甲相同，三家花店采购共花费金额2510元，丙比甲多用420元，则三家花店购买绣球共花费 元． 【答案】 【分析】设甲花店采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别为株、株、株，则乙花店采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别为株、株、株，丙花店采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别为株、株、株，再将三家花店采购的多肉、茉莉花、绣球分别算出数量，再根据数量单价总价，得出方程组并解出，再根据数量单价总价，即可得出三家花店购买绣球的钱数． 【详解】解：设甲花店采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别为株、株、株，则乙花店采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别为株、株、株，丙花店采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别为株、株、株， ∴三家花店采购的多肉为：（株）， 三家花店采购的茉莉花为：（株）， 三家花店采购的绣球为：（株）， ∴根据题意，可得：， 即， 由，可得：， ∵、都是正整数， ∴可能为， 把代入，可得：， 整理，可得：， ∵为正整数，可能为， ∵当时，（符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， ∴， ∴三家花店采购的绣球为：（株）， ∴（元）， ∴三家花店购买绣球共花费元． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程并解出． 【变式8-3】（23-24七年级·浙江·期末）第二波疫情爆发后，某公司购买了150吨物资打算运往河北支援，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆汽车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 1000 1200 1500 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费26000元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆? （2）若该公司决定用甲、乙、丙三种汽车共20辆同时参与运送，请你写出可能的运送方案，并帮助该集团找出运费最省的方案（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）． 【答案】（1）需甲种车型14辆，需乙种车型10辆；（2）见解析 【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费26000元，总吨数是150吨，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案． 【详解】解：（1）设需甲种车型辆，乙种车型辆， 由题意得：， 解得：， 答：需甲种车型14辆，需乙种车型10辆； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆， 由题意得：， 消去得：，， 甲、乙、丙三种车型都参与运送， 、、是正整数，且不大于18，得，10， 解得：，， 有两种运送方案： ①甲车型4辆，乙车型5辆，丙车型9辆； ②甲车型2辆，乙车型10辆，丙车型6辆； 应该是甲车型4辆，乙车型5辆，丙车型6辆； 或甲车型2辆，乙车型10辆，丙车型3辆； 两种方案的运费分别是： ①（元， ②（元， ， 甲车型2辆，乙车型10辆，丙车型6辆，运费最省． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用；找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$