24.3 正多边形和圆 同步训练 2024-2025学年人教版 九年级数学上册

24.3 正多边形和圆 一、选择题： 1.下列说法正确的是(    ) A. 三点确定一个圆 B. 相等的圆周角所对的弧相等 C. 各边都相等的多边形是正多边形 D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等 2.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 3.如图，正六边形内接于，的半径为，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中个正五边形的位置要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，是的外接圆，若，弦是内接正多边形的一边，则该正多边形是(    ) A. 正二十四边形 B. 正十二边形 C. 正八边形 D. 正六边形 6.如图，正方形的外接圆半径为，则其边长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是          ． 8.正五边形是旋转对称图形，绕旋转中心至少旋转______度，可以和原图形重合． 9.半径为的正六边形最长对角线长为______． 10.如果正多边形的边数是，它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为______． 11.如图，点在正五边形的边上运动不与点，重合，若，则的取值范围是______． 三、解答题： 12. 如图，正方形的边长为，剪去个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积． 13.如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形保留作图痕迹，不写作法 14.图是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形正八边形．如图，是的直径，用直尺和圆规作的内接正八边形不写作法，保留作图痕迹． 15. 如图，正六边形内接于，半径为． 求点到的距离； 求正六边形的面积． 16. 如图，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 17. 如图，是正六边形六条边相等，六个内角相等的一条对角线，延长，交于点． 判断的形状； 若，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故不符合题意； C、各边都相等且各角也都相等的多边形是正多边形，故不符合题意； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故符合题意； 故选：． 分别利用确定圆的条件、三角形的内心的性质、圆周角定理、正多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了正多边形与圆，确定圆的条件、三角形的内切圆与内心，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：设正多边形的边数为． 由题意可得：， ， 故选：． 根据正多边形的中心角计算即可． 本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题关键是根据正六边形可以分成六个边长的正三角形解答．由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，据此解答即可． 【解答】 解：正六边形内接于，的半径为， ，且， 是等边三角形， ． 4.【答案】  【解析】解：多边形是正五边形， 正五边形的每一个内角为：， ， 正五边形的个数是． 故选：． 先求出多边形的每一个内角为，可得到，即可求解． 本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键． 5.【答案】  【解析】解：连接、，如图： 由圆周角定理可得：， ， 则该正多边形是正十二边形， 故选：． 连接、，由圆周角定理可得，即可求解． 此题考查了圆与正多边形，涉及了圆周角定理，解题的关键是求得的度数． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理以及正多边形与圆的关系． 根据圆是正方形的外接圆，可得，再由勾股定理求解即可． 【解答】 解：连接、， 圆是正方形的外接圆， ， ． 故选D． 7.【答案】  【解析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正边形的中心角为，即可解题． 【详解】解：设这个正多边形的边数是，且一个正多边形的中心角等于， 有，解得， 故答案为：． 8.【答案】  【解析】解：， 正五边形绕中心至少旋转度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：． 根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 9.【答案】  【解析】解：如图，六边形为正六边形，点是正六边形外接圆的圆心，半径为 正六边形为中心对称图形， 它的一条最长对角线过点， ， 半径为的正六边形最长对角线长为． 故答案为：． 根据正多边形和圆的相关概念和性质解答即可． 本题考查正多边形和圆，解题的关键是掌握正多边形和圆的相关概念和性质． 10.【答案】  【解析】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 根据一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是度，用度除以中心角的度数，就得到边数． 本题考查了正多边形和圆，函数自变量的取值范围，掌握正多边形的定义和性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：当点与点重合时，此时， 当点与重合时，此时 ， 点在正五边形的边上运动不与点，重合，，则的取值范围为， 故答案为：． 根据正多边形与圆的性质进行计算即可． 本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的有关计算是正确解答的前提． 12.【答案】解：设剪去三角形的直角边长，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为，即正八边形的边长为， ， ， 正八边形的边长等于， 正八边形的面积．  【解析】设剪去三角形的直角边长，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为，即正八边形的边长为，依题意得，解方程即可求出正八边形的边．用正方形的面积减去个等腰直角三角形的面积即可求得正八边形的面积． 本题考查了正方形和正八边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是设出未知数用列方程的方法解决几何问题． 13.【答案】解：如图，正方形为所作．   【解析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作直径，再过点作的垂线交于、，则四边形为正方形． 14.【答案】解：正八边形即为所求．   15.【答案】解：连接、，作于， 六边形是正六边形， ， ， ， ， 点到的距离为； 在中，， ， 正六边形的面积．  【解析】连接、，作于，先求出，再由三线合一定理得到，最后根据余弦的定义计算即可； 先解直角三角形得到，则，再根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用，掌握正六边形的性质是本题解题的关键． 16.【答案】解：六边形是正六边形， ， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长， 答：这个正六边形地基的周长为．  【解析】根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查的是圆的内接正六边形的性质及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 17.【答案】解：是直角三角形， 理由：六边形是正六边形， ，， ， ， ， 即是直角三角形； ，， ， ， ．  【解析】由六边形是正六边形，得到，，求得，推出，根据直角三角形的判定定理得到是直角三角形； 根据三角形的内角和定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 本题考查了正多边形与圆，直角三角形的判定和性质，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$