专题06 特殊四边形的性质在折叠问题中的巧用-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

专题06 特殊四边形的性质在折叠问题中的巧用 四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠,然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明,折叠的本质是图形的轴对称变换,折叠后的图形与原图形全等。 技巧1：巧用平行四边形的性质解决折叠问题 技巧2：巧用矩形的性质解决折叠问题 技巧3：巧用菱形的性质解决折叠问题 技巧4：巧用正方形的性质解决折叠问题 技巧1：巧用平行四边形的性质解决折叠问题 如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明； （2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形四边形是平行四边形； ②，理由见解析： ∵为等边三角形； ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对折可得：， ∵四边形四边形是平行四边形； ∴， ∴， 如图，过作于，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 一．填空题（共4小题） 1.如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】连接，在上截取，连接，由折叠性质可知垂直平分，则，，，，根据等腰三角形的性质和内角和定理得，由四边形是平行四边形，得，，，，证明是等边三角形，再证明，则，，根据线段和差可得，过作，交延长线于点，由勾股定理得：，设，则，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，在上截取，连接， 由折叠性质可知，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 2．如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，作于，过点作于．可得，可得点到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可，可得，最后根据求解即可． 【详解】如图，作于，过点作于． ，， ∴， ，， 到的距离和到的距离都是平行线、间的距离， 点到的距离是， 四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知，，，， ，，， ， 在和中， ， ∴； ， ，， ， ， 设，则， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得， 解得， ， ． ∴ 故答案为：． 3．如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为 ．        【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，分平行和平行两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，则，如图，    在中，，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当时，则，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行， ∴四边形是平行四边形， ∴, 由折叠的性质得， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或 4．如图，在平行四边形中，，E为上一点，连接，将沿翻折得到，交于点G，若，，则A到的距离为 ． 【答案】 【分析】过点F作于点H，过点作，易得，由平行四边形得，由，可设，故，由求出，由折叠的性质可得，，进而求出，得出是等腰直角三角形，由勾股定理求出，故，在中，根据勾股定理求出，由等面积法即可得出的长，即可得解． 【详解】解：如图，过点F作于点H，过点作于M， ∵翻折， ∴， ∵交于点G，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 在中，， ∴，即． ∴，即：A到的距离为； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和、三角形外角的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 二．解答题（共1小题） 5．如图1，中，，，，E为边上的一个动点，连接，过点E作交于点F，把沿着翻折得，连接． (1)证明：； (2)当时，求折痕的长； (3)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)折痕的长为； (3)的长为或． 【分析】（1）由，得，故，而沿着翻折得，有，即得； （2）设交于K，由，可得，而沿着翻折得，可证，即可得，故，，设设，则，知，解得，即，，设，则，有，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，当时，利用勾股定理列式计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵沿着翻折得， ∴， ∴； （2）解：设交于K，如图：    ∵， ∴， ∵沿着翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴折痕的长为； （3）解：当时，过B作于T，如图：    设， 由（1）知， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，如图：    设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，即； ∵E在边上， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 技巧2：巧用矩形的性质解决折叠问题 如图，点E是矩形的中点，点F为上一点，将沿折叠得到，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 由折叠的性质可得、，进而得到当D、G、E三点共线时，的最小值为，即；然后根据矩形的性质、勾股定理以及线段的和差求得的长即可解答． 【详解】解：如图：由折叠的性质可得， 当点P不在上时，如图中位置时，有， ∴当D、G、E三点共线时，的最小值为，即； ∵点E是矩形的中点，， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1． 解答题（共6小题） 1．综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）与的数量关系为：，理由见解析；（3）的值为或 【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的判定即可得； （2）连接，证出，根据全等三角形的性质即可得； （3）分两种情况：①当点为的三等分点，且时，②当点为的三等分点，且时，利用折叠的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）四边形为菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为菱形， 故答案为：菱形； （2）与的数量关系为：，理由如下： 如图2，连接PF， ∵F为的中点， ， ∵四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ，， 在和Rt△PBF中， ， ， ； （3）分两种情况： ①如图3，若点E为的三等分点，且， ， ，， ∵四边形是矩形， ，， 过点E作于M， 则四边形为矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ； ②如图4，若点E为的三等分点，且， 则，， 过点E作于N， 则， 同理可得：，， 在中，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 2．折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为 ．（直接写出答案） 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) (3)见解析 (4)见解析 (5)或或 【分析】（1）通过折叠和平行，即可证明为等腰三角形； （2）当最小时，即最小时，的面积取得最小值，当时，的面积最小； （3）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，为等边三角形； （4）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，过点作的垂线，交于点，交于点，为等边三角形； （5）分三种情况画出图形，进行计算即可． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 纸片沿线段折叠， ， 四边形为长方形， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：由（1）得， 的面积， 当最小时，即最小时，的面积取得最小值， 当时，的面积最小； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图，即为所求； （5）解：第一种情况如图所示： ； 第二种情况如图所示： ； 第三种情况如图所示： ； 综上所述，三角形纸片中最大内角的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，分类讨论，尺规作图，折叠的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 3．如图，在矩形中，，对角线相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交于点，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点．            图1                        图2                       图3 (1)如图1，探究出与的数量关系为____________； (2)如图2，连接交于点． ①证明：； ②当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 (3)4或1 【分析】（1）由矩形的性质可得出，由折叠的性质可得出，进而可得出． （2）①由矩形的性质可得出， 由折叠可知，等量代换可得出，由对顶角相等可知，由三角形内角和定理可得出，由（1）知：，等量代换可知． ②在上截取，连接，由矩形的性质以及折叠的性质得出，由①得，证明和 是等边三角形，由等边三角形的性质可得出，再证明，进一步结合全等三角形的性质可得出． （3）分两种情况求解，①当点在右上方时和当点在左上方时，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形沿直线折叠得到四边形， ∴， ∴． （2）证明：①四边形是矩形， ． 又， ， ． 由折叠可知． ． 又， ， 由（1）知：． ． 证明：②在上截取，连接， 四边形折叠得到四边形， ， ， ∴， ， ， ， 由①得． 等边三角形． ． 是等边三角形， ． ， ， ， ． ， ． ． （3）解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ， 在中，． 设，则， ． ． 解得． ． ②当点在左上方时， 同理可得， 设，则， ． ． 解得． ． 综上，的长为4或1． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠的综合问题，全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键． 4．小学的时候我们已经知道：长方形的对边平行且相等，每一个内角都是．如图1，在长方形中，，，点、分别在边、上，其中，将沿着翻折至，与交于点，与交于点． (1)当点、、重合时， ， ； (2)如图2，当时，点恰好与点重合，①求证：；②求出的值． 【答案】(1)， (2)①见解析；② 【分析】（1）由，，可得，进而得到，由折叠知，，，推出，得到，推出，再根据平角的定义求出，然后根据三角形的内角和求出，进而得到，最后根据勾股定即可求出； （2）①证明，根据全等三角形的性质即可解答；②由折叠得：，，由①知，，得到，，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，，推出，最后根据勾股定理和线段的和差列方程即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， 由折叠知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）①证明：由折叠知，， ，， 在和中， ， ， ； ②由折叠得：，， 由①知，， ，， 设， 则， 在中，，即， 解得：， ，， ， 在中，， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 5．折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：    (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； (2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 【答案】(1)5 (2) (3)或10 【分析】（1）先求出，再利用勾股定理即可求解； （2）先求出，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）先讨论点的位置，再在每种情况中先求出，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵将沿折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴中，； 则的长为5． 故答案为：5． （2）解：∵将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， ∴， ∵中，，， ∴，即， ∴． （3）解：的长为或10； 理由：四边形是平行四边形， ， ∵， ∴该四边形是矩形，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ①如图，当点在线段上时，   点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：，即 ∴； ②如图4，当点在线段的延长线上时，    由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 综上可得：的长为或10． 【点睛】本题考查了图形的折叠问题，涉及到了勾股定理、矩形的判定与性质、解一元一次方程等知识，解题关键是利用勾股定理建立方程，正确画出图形，运用分类讨论的思想方法． 6．如图①，在长方形中，将长方形折叠，使点B 落在边（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B，E，F为顶点的三角形称为长方形的“折痕三角形”． (1)长方形的任意一个“折痕三角形”的形状是 三角形； (2)当“折痕三角形”的顶点E的位置如图②所示时，作出这个“折痕三角形”，（尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法） (3)如图③，在长方形中，，当“折痕三角形”的顶点F和点C重合 时，设折痕与交于点N，求的长． 【答案】(1)等腰 (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了折叠变换，熟练掌握长方形性质，折叠性质，尺规作图——作线段的垂直平分线，勾股定理的应用，是解决问题的关键． （1）根据折叠可得，进而可得是等腰三角形； （2）根据折痕是的垂直平分线，可得，因此即为所求作； （3）由折叠可得，由勾股定理计算出，进而可得，设，则，再利用勾股定理计算出x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①， 根据折叠可得， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． （2）如图②， 连接，分别以B、E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G、H． 作直线交边于点F． 连接． 即可得到折痕． （3）如图③， 设， ∵长方形中，， 由折叠可得：， ∴． ∴． ∵，， ∴． 解得：． 故． 技巧3：巧用菱形的性质解决折叠问题 如图，在菱形中，点E是边的中点，动点P在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则 ，的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了菱形的性质、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当D、E、F在同一直线上时，最短， 如图，过点E作于点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：2，． 一．选择题（共2小题） 1．如图，在矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处，折痕为，点E，F分别落在边和边上．连接，交于点K，交于点H．有如下结论：①；②；③和的面积相等；④当点F和点C重合时，．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接，设与交于点O，由折叠的性质可得垂直平分，可判断①；由“”可证，可得，可判断②；通过证明四边形是菱形，可得，由直角三角形的性质和等边三角形的性质，可求，可得，进而即可可判断④，由题意无法证明和的面积相等，进而即可判断③． 【详解】如图，连接，设与交于点O， ∵将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处， ∴垂直平分， ∴，，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 当点F与点C重合时，则，如图，作的中点为M，连接， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 如图，过点K作交于点M， ∵四边形是菱形， ∵平分， ∴， ∵在中， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ∴正确的结论有：①②④， 故选：C． 【点晴】本题主要考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键． 2．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】如图：连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，由等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； 如图：连接，由折叠得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图：过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得∶， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质、三线合一的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 技巧4：巧用正方形的性质解决折叠问题 综合与实践 在数学活动课上，数学老师带领同学们以“正方形的折叠”为主题展开综合与实践活动．    【动手操作】 如图1，在正方形中，点E在边上，连接，将正方形沿折叠得到四边形，点A、D的对应点分别为点G，H．延长，相交于点M，与相交于点N． 【问题发现】 （1）求证：． 【实践探究】 （2）如图2，若点N为的中点，连接，，求的度数． 【拓展思考】 （3）如图3，在（2）的条件下、延长交于点F，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠的性质可得，再根据正方形的性质得到，推出，得到，即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合折叠的性质可得，推出，进而推出，得到，再根据点N为的中点，得到，推出，得到，最后根据三角形内角和定理即可求出； （3）连接，设交于点P，证明，推出，再证明，得到，由（2）求出，推出，结合，证明四边形是平行四边形，得到，由（2）求出，由折叠的性质得到，设，结合折叠的性质求出，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，设交于点P，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴是平行四边形， ∴， 由（2）知， ∴， 由折叠的性质得到， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，，即， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及折叠的性质是解题的关键． 1． 填空题（共4小题） 1．如图，正方形的边长为，在边上存在一点（不与点，重合），将沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在正方形的对称轴上时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】分三种情况考虑：①当点落在对称轴上时；②当点落在对称轴上时；③当点落在对称轴上时，分别作图，利用折叠性质、全等三角形性质、正方形性质、勾股定理、矩形的判定与性质逐一求解即可． 【详解】解：依题得：符合边上存在点（不与，重合）且满足题意的共三种情况： ①当点落在对称轴上时，如下图， 此时有， ，， 正方形中，，， ，， ， 设，则， 中，， 即， 解得， 即； ②当点落在对称轴上时，如下图， 此时有， ，， 正方形中，， 垂直平分、， ， 中，， ， 设，则， 中，， ， 解得， 即； ③当点落在对称轴上时，作分别交、于点、， 此时有， ，， 正方形中，， 垂直平分、，， 又， 四边形是矩形， ，，， 垂直平分，即， 中，， ， 设，则， 中，， ， 解得， 即． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、全等三角形性质、正方形性质、勾股定理、矩形的判定与性质，解题关键是充分考虑符合条件的三种情况并利用勾股定理求解． 2．如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，点在上，沿折叠．如图1，当点对应点落在上时， ；如图2，连接，当点对应点落在上时， ． 【答案】 【分析】过点H作的平行线交，于点Q，R，由矩形的判定及性质，由折叠的性质得，，，由勾股定得可求出， 再由勾股定理得，即可求解； 延长，交于点M，折叠的性质及等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得 ，由正切函数得 ，可得，即可求解． 【详解】解：如图1，过点H作的平行线交，于点Q，R， 四边形，四边形，四边形均是矩形， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， 解得：； 延长，交于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ， ， ∴， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（）； 故答案：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；掌握折叠的性质，能相关是线段转化到直角三角形中，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 3．如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，点F在边上．将正方形纸片沿EF对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识的灵活运用是解题的关键． 设点A，点C的对应点为H，P，连接，由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，当点E，D，G三点共线时，长的有最小值，即为求解即可． 【详解】解：设点A，点C的对应点为H，P，连接， ∵正方形纸片的边长为4，， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， 当点E，D，G三点共线时，长的有最小值， ∴． 故答案为：． 4．如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．据折叠可得，，，根据勾股定理求出、的长．继而求出，，最后在中由面积法，根据求出． 【详解】解：设，则， ，， ， 在中，， 即， 解得：，即． ∴ 连接、， 在中，， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 二．解答题（共3小题） 5．如图所示，在正方形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点的对称点为点，记与的交点为．    (1)如图1所示，连接并延长交边于点，求证：点是的中点； (2)如图2所示，延长交边于点，求证：点是的中点； (3)如图3所示，若，过点作，分别交，于点，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及折叠的性质证明，得到，即可得证； （2）连接，根据平行线的性质及直角三角形的性质得到，即可得证； （3）根据勾股定理得到，，设，则，在与中，，求解即可解答． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形，设， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， 又∵将沿着翻折，点的对称点为点， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴点是的中点；    （2）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点；    （3）解：∵在正方形中，点为边的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∵， 在与中， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些性质与判定是解题的关键． 6．在综合实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在 上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点 G处，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图①中的度数为 ； 【拓展应用】 （2）小华在以上操作的基础上，继续探究，如图②，延长交于点M，连接交于点N，试判断的形状，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图③，已知正方形的边长为3，当点 H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，求线段的长． 【答案】（1） （2）是等边三角形，理由见解析 （3）或 【分析】（1）由折叠的性质可得，从而可得； （2）由折叠可得，，证明，可得，然后求出，进而可得，因此为等边三角形； （3）由点H是边的三等分点得到或，分两种情况讨论：①当时，，，易证，从而设，则，，在中，根据勾股定理有，求解即可；②当时，同①思路即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠的性质可得，，，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：为等边三角形．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； 故答案为：等边三角形； （3）连接； ∵点H是边的三等分点， ∴或， ①当时，，， ∵，，， ∴， ∴， 设， 则，， ∵在正方形中，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，，， ∵，，， ∴， ∴， 设， 则，， ∵在正方形中，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握各个知识，运用分类讨论思想，方程思想是解题的关键． 7．已知直线过正方形的顶点，与直线交于一点，与关于直线对称，连接，过点作于点，过点作于点． (1)如图1，当交点在线段上时，_______，，与之间大小关系为：_______． (2)如图，当交点在线段右侧上时，（）中的结论还成立吗？并说明理由． (3)当交点在线段左侧上时，请直接写出结论． 【答案】(1)， (2)不成立，，．理由见解析 (3)， 【分析】（1）过点作，连接，由正方形的性质得，，进而根据同角的余角相等证明，根据对称性得垂直平分，，从而证明点，，三点共线，又证四边形是矩形，得，，再证（），得，即，从而可得，再利用三角形的内角和可得； （2）过点作，连接，由（）得点，，三点共线，四边形是矩形，（），从而，，，，即，于是可得 ，再由，得，从而得； （3）过点作，连接，由（）得点，，三点共线，，四边形是矩形，，，，，再证（），得，即，从而得，． 【详解】（1）解：如图，过点作，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴垂直平分，， ∵， ∴点，，三点共线， ∴， ∵ ，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：（）中的结论不成立，，，理由如下： 如图，过点作，连接， 由（）得点，，三点共线，四边形是矩形，（）， ∴，，，，即， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（）中的结论不成立，，； （3）解：，，理由如下： 如图，过点作，连接， 由（）得点，，三点共线，，四边形是矩形，，，，， ∴，，， ∴， ∴在和中， ∴（）， ∴，即， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 特殊四边形的性质在折叠问题中的巧用 四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠,然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明,折叠的本质是图形的轴对称变换,折叠后的图形与原图形全等。 技巧1：巧用平行四边形的性质解决折叠问题 技巧2：巧用矩形的性质解决折叠问题 技巧3：巧用菱形的性质解决折叠问题 技巧4：巧用正方形的性质解决折叠问题 技巧1：巧用平行四边形的性质解决折叠问题 如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明； （2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形四边形是平行四边形； ②，理由见解析： ∵为等边三角形； ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对折可得：， ∵四边形四边形是平行四边形； ∴， ∴， 如图，过作于，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 一．填空题（共4小题） 1.如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ． 2．如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 3．如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为 ．        4．如图，在平行四边形中，，E为上一点，连接，将沿翻折得到，交于点G，若，，则A到的距离为 ． 二．解答题（共1小题） 5．如图1，中，，，，E为边上的一个动点，连接，过点E作交于点F，把沿着翻折得，连接． (1)证明：； (2)当时，求折痕的长； (3)当为等腰三角形时，求的长． 技巧2：巧用矩形的性质解决折叠问题 如图，点E是矩形的中点，点F为上一点，将沿折叠得到，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 由折叠的性质可得、，进而得到当D、G、E三点共线时，的最小值为，即；然后根据矩形的性质、勾股定理以及线段的和差求得的长即可解答． 【详解】解：如图：由折叠的性质可得， 当点P不在上时，如图中位置时，有， ∴当D、G、E三点共线时，的最小值为，即； ∵点E是矩形的中点，， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1． 解答题（共6小题） 1．综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 的值． 2．折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为 ．（直接写出答案） 3．如图，在矩形中，，对角线相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交于点，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点．            图1                        图2                       图3 (1)如图1，探究出与的数量关系为____________； (2)如图2，连接交于点． ①证明：； ②当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 4．小学的时候我们已经知道：长方形的对边平行且相等，每一个内角都是．如图1，在长方形中，，，点、分别在边、上，其中，将沿着翻折至，与交于点，与交于点． (1)当点、、重合时， ， ； (2)如图2，当时，点恰好与点重合，①求证：；②求出的值． 5．折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：    (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； (2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 6．如图①，在长方形中，将长方形折叠，使点B 落在边（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B，E，F为顶点的三角形称为长方形的“折痕三角形”． (1)长方形的任意一个“折痕三角形”的形状是 三角形； (2)当“折痕三角形”的顶点E的位置如图②所示时，作出这个“折痕三角形”，（尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法） (3)如图③，在长方形中，，当“折痕三角形”的顶点F和点C重合 时，设折痕与交于点N，求的长． 技巧3：巧用菱形的性质解决折叠问题 如图，在菱形中，点E是边的中点，动点P在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则 ，的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了菱形的性质、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当D、E、F在同一直线上时，最短， 如图，过点E作于点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：2，． 一．选择题（共2小题） 1．如图，在矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处，折痕为，点E，F分别落在边和边上．连接，交于点K，交于点H．有如下结论：①；②；③和的面积相等；④当点F和点C重合时，．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 技巧4：巧用正方形的性质解决折叠问题 综合与实践 在数学活动课上，数学老师带领同学们以“正方形的折叠”为主题展开综合与实践活动．    【动手操作】 如图1，在正方形中，点E在边上，连接，将正方形沿折叠得到四边形，点A、D的对应点分别为点G，H．延长，相交于点M，与相交于点N． 【问题发现】 （1）求证：． 【实践探究】 （2）如图2，若点N为的中点，连接，，求的度数． 【拓展思考】 （3）如图3，在（2）的条件下、延长交于点F，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠的性质可得，再根据正方形的性质得到，推出，得到，即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合折叠的性质可得，推出，进而推出，得到，再根据点N为的中点，得到，推出，得到，最后根据三角形内角和定理即可求出； （3）连接，设交于点P，证明，推出，再证明，得到，由（2）求出，推出，结合，证明四边形是平行四边形，得到，由（2）求出，由折叠的性质得到，设，结合折叠的性质求出，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，设交于点P，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴是平行四边形， ∴， 由（2）知， ∴， 由折叠的性质得到， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，，即， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及折叠的性质是解题的关键． 1． 填空题（共4小题） 1．如图，正方形的边长为，在边上存在一点（不与点，重合），将沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在正方形的对称轴上时，的长为 ． 2．如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，点在上，沿折叠．如图1，当点对应点落在上时， ；如图2，连接，当点对应点落在上时， ． 3．如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，点F在边上．将正方形纸片沿EF对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是 ． 4．如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 二．解答题（共3小题） 5．如图所示，在正方形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点的对称点为点，记与的交点为．    (1)如图1所示，连接并延长交边于点，求证：点是的中点； (2)如图2所示，延长交边于点，求证：点是的中点； (3)如图3所示，若，过点作，分别交，于点，，求的值． 6．在综合实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在 上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点 G处，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图①中的度数为 ； 【拓展应用】 （2）小华在以上操作的基础上，继续探究，如图②，延长交于点M，连接交于点N，试判断的形状，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图③，已知正方形的边长为3，当点 H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，求线段的长． 7．已知直线过正方形的顶点，与直线交于一点，与关于直线对称，连接，过点作于点，过点作于点． (1)如图1，当交点在线段上时，_______，，与之间大小关系为：_______． (2)如图，当交点在线段右侧上时，（）中的结论还成立吗？并说明理由． (3)当交点在线段左侧上时，请直接写出结论． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$