第二十章 数据的分析（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第20章 数据的分析（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．一组数据，……的方差为，其中能确定这组数据的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 2．已知一组数据：，它们的平均数是6，则这组数据的众数是（    ） A．6 B．2 C．8 D．7 3．下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩线计表． 成绩（分） 30 25 20 15 人数（人） 2 1 若成绩的平均数为23，中位数是，众数是，则的值是（　　） A．﹣5 B．﹣2.5 C．2.5 D．5 4．小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是小时、小时、小时、小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（    ） A．小时 B．小时 C．或小时 D．或或小时 5．如图是九年级（1）班同学的一次体检中每分钟心跳次数的频率分布直方图（次数均为整数）已知该班只有5位同学的心跳每分钟75次，请通过观察右图，指出下列说法中错误的是（    ） A．数据75落在第2小组 B．第4小组的频率为 C．数据75一定是中位数 D．心跳每分钟75次的人数占该班体检人数的 6．在一次捐款活动中，某学习小组共有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（    ） A．小王的捐款数不可能最少 B．小王的捐款数可能最多 C．将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数可能排在第12位 D．将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数一定比第7名多 7．在“爱我中华”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：甲：8，7，9，8，8；乙：7，9，6，9，9，则下列说法中错误的是（    ） A．甲得分的方差比乙得分的方差小 B．甲得分的众数是8分，乙得分的众数是9分 C．甲、乙得分的平均数都是8分 D．甲得分的中位数是9分，乙得分的中位数是6分 8．检测游泳池的水质，要求三次检验的 的平均值不小于，且不大于． 已知第一 次 检测值为，第二次 PH 检测值在至 之间 （包含 和），若该游泳池检测合格，则第三次检测值的范围是 （    ） A． B． C． D． 9．有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克a元和b元．根据调查，将两种糖果按甲种糖果x千克与乙种糖果y千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价下降15%，乙种糖果单价上涨20%，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，则等于（　　） A． B． C． D． 10．一组大于1的正整数5，7，3，m，7，6的中位数是5.5；唯一的众数是7，则这组数据的平均数是（    ） A． B． C．5或 D．5或 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．某鞋厂随机调查了1000人的鞋号大小，并得到这组数据的平均数，中位数和众数中，则鞋厂最感兴趣的是 ． 12．有5个数，它们的平均数是6，若另外有两个数3 和 2，则这7个数的平均数是 ． 13．建国中学在暑期开展了“我的书屋•我的梦”读书活动．开学初，经调查全校参加读书活动的学生中，读1本书，读2本书，读3本书，读4本书，读5本书的人数分别占参加活动的学生总人数的，参加活动的学生中平均每人读书 本． 14．已知七年级一班共有42位学生，他们有的步行，有的骑车，还有的乘车来上学，根据以下已知信息回答：乘车来上学的学生占的百分比是 ． 上学方式 步行 骑车 乘车 记录 正正正 人数 9 占百分比 15．，，，，五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，，，，五位同学报出来的数恰好分别是，，，，，则同学心里想的那个数是 ． 16．我们把三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的取值为 三、解答题：共8题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~21题每小题10分，第22题12分，第23~24题14分。 17．（8分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1的包裹收费10元；重量超过1的包裹，除1收费10元之外，超过1的部分，每超出1（不足1，按1计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下： 包裹重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹件数 43 30 15 8 4 公司对近60天，每天揽件数量统计如下表： 包裹件数 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 (1)求该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； (2)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，请计算裁员前后公司平均每日利润，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？ 18．（8分）2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲校10名志愿者的成绩（分）为：． 乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：． 甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表 甲校 乙校 平均数 87 87 中位数 87.5 b 方差 79.4 众数 c 95 (1)由上表填空：_______，_______，______________； (2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由； (3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人． 19．（10分）荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，下表是荆州古城某历史景点一周的抽样统计参观人数，如图是门票价格统计． 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 (1)把上表中一周的参观人数作为一个样本，直接指出这个样本的中位数，众数和平均数，分析表中数据还可得到一些信息，如双休日参观人数远远高于平时等，尝试再写出两条相关信息． (2)若“五一”黄金周有甲、乙两旅行团到该景点参观，两团人数之和恰为上述样本数 据的中位数，乙团不超过人，设两团分别购票共付元，甲团人数人． ①求与的函数关系式； ②若甲团人数不超过人，说明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少元？ 20．（10分）《皇帝内径》中提出“五谷为养，五果为助，五兽为益，五菜为充”的饮食原则说明追求饮食营养在我国具有悠久的历史，随着经济的发展，我国居民健康状况和营养水平不断改善，据科学研究显示，与膳食营养相关的问题对我国青少年健康的影响日益凸显．为调查学校食堂提供的早餐是否有利于学生的健康，小明和同学进行以下的研究： （一）调查得：学校食堂为初二学生（年龄岁）提供的早餐食品包含：一盒的牛奶、一份的谷物食品和一个鸡蛋，其中鸡蛋、牛奶和谷物食品的部分营养成分见如表： 鸡蛋（每） 牛奶（每） 谷物食品（每） 能量（） 603 261 1310 蛋白质（g） 25 3 8.1 脂肪（g） 8.6 3.6 4.5 碳水化合物（g） 24 4.5 58.1 （二）小明从食堂提供的鸡蛋中抽取了100个，根据其单个鸡蛋的质量画出频数分布直方图，如图所示． （三）查阅资料得：国家卫生疾控局关于我国岁青少年膳食营养参考摄入量如表所示． 能量需要量（千卡/天） 蛋白质摄入量（克/天） 可接受的脂肪含量（克/天） 男 2500 75 女 2000 60 国家卫生疾控局根据中国居民的饮食习惯，建议全天膳食营养摄取比例为：早餐占，午餐占，晚餐占．已知1千卡约等于． (1)请计算出学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量； (2)根据以上数据进行计算，判断这份早餐是否符合初二学生（年龄岁）的膳食营养需求？若不满足，说明理由，并请你给食堂的早餐提出改善建议． 21．（10分）某一个小微型零件加工厂为了调动员工的生产积极性，计划采用等级基本工资加计件工资的薪酬制度，基本方案是：按工人最近三个月的平均日产量将他们分成普工、熟练工、技术能手三个等级，分别给予每月2200元，2800元和3500元的基本工资，另外再按每个零件3元给付计件工资．为确定工人等级，工厂统计了全厂30名工人最近三个月每人每天平均加工零件的个数（每个月工作时间为22天），数据如下： 零件个数 15 16 17 18 19 20 21 22 25 27 29 30 31 33 人数 1 3 2 2 1 3 3 3 2 2 1 3 3 1 （1）求这30名工人最近三个月每人每天平均加工零件个数的中位数和平均数； （2）工厂计划将普工与技术能手的人数分别控制在25% ~ 30%之间（含25%和30%），且每月工人的工资总额不超过13万元． ①若以最近三个月平均每天加工零件的个数为依据，将平均每天生产18个以下（含18个）的工人确定为普工，平均每天生产28个以上（含28个）的工人确定为技术能手，其余的工人确定为熟练工．请通过计算判断该等级划分是否符合工厂上述要求； ②请直接写出一种符合工厂要求的等级划分方案． 22．（12分）某校为积极响应“双减”政策，丰富学生课余生活，特举办校园歌手大赛．本次活动由1至3号的专业评委和4至6号的大众评委进行评分．考虑比赛评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了以下评分方案：先分别计算1至3号评委所给成绩的平均数，4至6号评委所给成绩的平均数，再对专业评委和大众评委的平均成绩分别赋权6和4，计算选手的最终成绩． (1)八年级小厦演唱后各个评委所给分数如下表所示， 评委编号 1 2 3 4 5 6 评分/分 84 85 86 90 90 87 请计算小厦的最终成绩； (2)学校对全校参赛同学成绩前十的学生授予了“校园好声音”称号，七、八年级参加比赛的同学成绩单如下表所示， 七年级 八年级 学生 A B C D E F G H 小厦 J K L 成绩 80 92 78 76 87 88 94 其中有四名同学的成绩被墨汁污染了，但老师提供了以下两条信息： ①七年级和八年级各有3名同学获得“校园好声音”称号； ②七年级六名参赛同学的成绩中位数为a，其中．于是小厦说自己一定能获得“校园好声音”称号，请问小厦的说法是否正确？请说明理由． 23．（14分）已知直线分别与轴、轴交于点，点，点为这条直线上的点，轴于点，轴于点． （1）①将下表中的空格填写完整： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0 4 4 4 4 ②根据表格中的数据，下列判断正确的是 ． A． ，B．    ，C．． （2）当点在第一象限时，解答下列问题： ①求证：矩形的周长是一个定值，并求这个定值； ②设矩形的面积为，求证：． （3）当点在第四象限时，直接写出，满足的等式关系． 24．（14分）小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20章 数据的分析（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．一组数据，……的方差为，其中能确定这组数据的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】C 【分析】根据方差公式可进行求解． 【详解】解：由方差可知这组数据的平均数是4； 故选C． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差公式是解题的关键． 2．已知一组数据：，它们的平均数是6，则这组数据的众数是（    ） A．6 B．2 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据，求得，根据众数的定义判断即可． 【详解】∵，它们的平均数是6， ∴， 解得， 故众数是7， 故选D． 【点睛】本题考查了算术平均数，众数即出现次数最多的数据，熟练掌握众数，平均数是解题的关键． 3．下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩线计表． 成绩（分） 30 25 20 15 人数（人） 2 1 若成绩的平均数为23，中位数是，众数是，则的值是（　　） A．﹣5 B．﹣2.5 C．2.5 D．5 【答案】C 【分析】根据平均数得，结合求出x,y,再求中位数和众数. 【详解】∵平均数为23， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴中位数，， ∴， 故选C． 【点睛】考核知识点：众数，中位数.从平均数入手，求x,y是关键. 4．小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是小时、小时、小时、小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（    ） A．小时 B．小时 C．或小时 D．或或小时 【答案】C 【分析】利用众数及中位数的定义解答即可． 【详解】解：当第五位同学的课外阅读时间为4小时时，此时五个数据为4,4,5,8,10，众数为4，中位数为5，不合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为5小时时，此时五个数据为4,5,5,8,10，众数为5，中位数为5，符合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为8小时时，此时五个数据为4,5,8,8,10，众数为8，中位数为8，符合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为10小时时，此时五个数据为4,5,8,10,10，众数为10，中位数为8，不合题意；故第五位同学的每周课外阅读时间为5或8小时．故答案为C． 【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，解题的关键是根申请题意，并结合题意分类讨论解答． 5．如图是九年级（1）班同学的一次体检中每分钟心跳次数的频率分布直方图（次数均为整数）已知该班只有5位同学的心跳每分钟75次，请通过观察右图，指出下列说法中错误的是（    ） A．数据75落在第2小组 B．第4小组的频率为 C．数据75一定是中位数 D．心跳每分钟75次的人数占该班体检人数的 【答案】C 【分析】根据频数直方图结合频数，频率，数据总数以及中位数的含义逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴数据75落在第2小组正确，故本选项不符合题意； B、九年级（1）班同学总人数为：， 所以，第4小组的频率为正确，故本选项不符合题意； C、∵只有5位同学的心跳每分钟75次， ， ， ， ∴数据75有可能是中位数，也有可能不是中位数，故本选项符合题意； D、心跳每分钟75次的人数占该班体检人数的正确，故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；中位数的含义，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，要注意C选项中还有15人的心跳次数不是75． 6．在一次捐款活动中，某学习小组共有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（    ） A．小王的捐款数不可能最少 B．小王的捐款数可能最多 C．将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数可能排在第12位 D．将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数一定比第7名多 【答案】D 【分析】利用平均数的定义即可判断出：A一定正确，平均数一定大于等于最小的数；B有可能，其它12人的捐款数都少于平均数元，那么小王捐款数要比平均数多2元，此时小王最多；C也可能，当最后一名的捐款数远远低于其它人的捐款数时，平均数有可能比第12位低；D不一定，如果前七名每个人皆比平均数多2元，那么后五名每个人只需要比平均数少元即可，此时小王的捐款数和第7名相同．故选D． 【详解】因为小王的捐款数比他所在学习小组中13人捐款的平均数多2元，所以小王的捐款数不会是最少的，捐款数可能最多，也可能排在第12位.故选D. 【点睛】本题考查算术平均数，一般地，对于n个数x1,x2,……xn,我们把，叫做这个n数的算术平均数，算术平均容易受到极端值的影响，理解这一点很重要． 7．在“爱我中华”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：甲：8，7，9，8，8；乙：7，9，6，9，9，则下列说法中错误的是（    ） A．甲得分的方差比乙得分的方差小 B．甲得分的众数是8分，乙得分的众数是9分 C．甲、乙得分的平均数都是8分 D．甲得分的中位数是9分，乙得分的中位数是6分 【答案】D 【分析】分别求出甲、乙的平均数、方差、众数、中位数即可逐一判断． 【详解】（分）， （分）； （分）， （分），故A、C正确； 甲得分次数最多的是8分，故众数为8分，乙得分次数最多的是9分，故众数为9分，故B正确； ∵甲得分从小到大排列为：7、8、8、8、9，∴中位数是8分；∵乙得分从小到大排列为：6、7、9、9、9， ∴中位数是9分，故D错误． 【点睛】本题主要考查平均数、众数、中位数及方差，熟练掌握这些统计量的意义及计算公式是解题的关键． 8．检测游泳池的水质，要求三次检验的 的平均值不小于，且不大于． 已知第一 次 检测值为，第二次 PH 检测值在至 之间 （包含 和），若该游泳池检测合格，则第三次检测值的范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平均数的定义，不等式组的应用，并结合三次检验的的平均值不小于，且不大于，可得，从而得出答案． 【详解】解：根据题意知， 解得：； 故选：A． 9．有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克a元和b元．根据调查，将两种糖果按甲种糖果x千克与乙种糖果y千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价下降15%，乙种糖果单价上涨20%，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件表示出价格变化前后两种糖果的平均价格，进而得出等式求出即可． 【详解】解：∵甲、乙两种糖果，原价分别为每千克a元和b元， 两种糖果按甲种糖果x千克与乙种糖果y千克的比例混合， ∴两种糖果的平均价格为：， ∵甲种糖果单价下降15%，乙种糖果单价上涨20%， ∴两种糖果的平均价格为：， ∵按原比例混合的糖果单价恰好不变， ∴＝， 整理，得 15ax＝20by ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了加权平均数，解决本题的关键是表示出价格变化前后两种糖果的平均价格． 10．一组大于1的正整数5，7，3，m，7，6的中位数是5.5；唯一的众数是7，则这组数据的平均数是（    ） A． B． C．5或 D．5或 【答案】C 【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据题意分两种情况分析：当重新排列如下：3，m，5，6，7，7；当重新排列如下：m，3，5，6，7，7；根据中位数及题意确定m的值，求解即可． 【详解】解：∵5，7，3，m，7，6的中位数是5.5；唯一的众数是7， 当重新排列如下：3，m，5，6，7，7， 此时中位数为：， ∴且， ∴， 此时平均数为：； 当重新排列如下：m，3，5，6，7，7， 此时中位数为：， ∴， ∴， 此时平均数为：； 综上可得：平均数为5或 故选：C 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．某鞋厂随机调查了1000人的鞋号大小，并得到这组数据的平均数，中位数和众数中，则鞋厂最感兴趣的是 ． 【答案】众数 【分析】本题主要考查众数的知识点，理解众数的实际意义成为解题的关键． 根据众数的意义结合实际解答即可． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故鞋厂最感兴趣的是众数． 故答案为：众数． 12．有5个数，它们的平均数是6，若另外有两个数3 和 2，则这7个数的平均数是 ． 【答案】5 【分析】首先根据5个数的平均数求出其和，然后即可得出7个数的和，进而得出其平均数. 【详解】由题意，得 故答案为：5. 【点睛】此题主要考查平均数的运用，熟练掌握，即可解题. 13．建国中学在暑期开展了“我的书屋•我的梦”读书活动．开学初，经调查全校参加读书活动的学生中，读1本书，读2本书，读3本书，读4本书，读5本书的人数分别占参加活动的学生总人数的，参加活动的学生中平均每人读书 本． 【答案】3 【分析】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是牢记加权平均数的计算公式，难度不大． 利用加权平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：参加活动的学生中平均每人读书（本）． 故答案为：3． 14．已知七年级一班共有42位学生，他们有的步行，有的骑车，还有的乘车来上学，根据以下已知信息回答：乘车来上学的学生占的百分比是 ． 上学方式 步行 骑车 乘车 记录 正正正 人数 9 占百分比 【答案】 【分析】本题主要考查了数据的收集与整理，由表格可求乘车的人数是人，即可求解； 根据表格数据得出正确的信息是解题关键． 【详解】解：由表格得 步行的人数为， 乘车的人数是（人）， 乘车来上学的学生占的百分比： ， 故答案：． 15．，，，，五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，，，，五位同学报出来的数恰好分别是，，，，，则同学心里想的那个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．这道题题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且多设几个未数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决． 设报的人心里想的数是，因为报与报的两个人报的平均数是，则报的人心里想的数应是，以此类推，最后建立方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示 设报的人心里想的数是，因为报与报的两个人报的平均数是，则报的人心里想的数应是，以此类推： 于是报的人心里想的数是， 报的人心里想的数是， 报的人心里想的数是， 报的人心里想的数是， 于是得 解得： 所以同学报的人心里想的数应是∶ ． 故答案为：． 16．我们把三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的取值为 【答案】＜k≤1或k＝ 【分析】根据题意画出函数的图象，要使直线与函数的图象有且只有2个交点，只需直线经过（2，3）和经过（-1，0）之间，以此进行分析即可． 【详解】解：函数的图象如图所示， ∵直线与函数的图象有且只有2个交点， 当直线经过点（2，3）时，则3=2k+，解得：k=， 当直线经过点（-1，0）时，解得：k=， 当k=1时，平行于y=x+1，与函数的图象也有且仅有两个交点； ∴直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值为：＜k≤1或k＝． 故答案为：＜k≤1或k＝． 【点睛】本题考查一次函数的性质以及中位数的概念，注意数形结合思想的应用是解题的关键． 三、解答题：共8题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~21题每小题10分，第22题12分，第23~24题14分。 17．（8分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1的包裹收费10元；重量超过1的包裹，除1收费10元之外，超过1的部分，每超出1（不足1，按1计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下： 包裹重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹件数 43 30 15 8 4 公司对近60天，每天揽件数量统计如下表： 包裹件数 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 (1)求该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； (2)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，请计算裁员前后公司平均每日利润，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？ 【答案】(1)15元 (2)裁员前公司平均每日利润1000元，裁员后公司平均每日利润975元，裁员对提高公司利润不利 【分析】（1）根据加权平均数公式求解即可； （2）将题目中的天数转化为频率，结合题意可知若不裁员，每天可揽件的上限为450件，若裁员，则每天可揽件的上限为300件，分别计算公司平均每日利润值，即可获得答案． 【详解】（1）解：该公司对每件包裹收取的快递费的平均值为 元； （2）根据对公司近60天，每天揽件数量统计，可得 包裹件数 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件， 平均揽件数为件， 则利润为元， 若裁员，则每天可揽件的上限为300件， 平均揽件数为件， 则利润为元， 故裁员对提高公司利润不利． 【点睛】本题主要考查了加权平均数、频数统计表等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 18．（8分）2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲校10名志愿者的成绩（分）为：． 乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：． 甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表 甲校 乙校 平均数 87 87 中位数 87.5 b 方差 79.4 众数 c 95 (1)由上表填空：_______，_______，______________； (2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由； (3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人． 【答案】(1) (2)乙校较好，理由见解析 (3)甲校成绩在90分及以上的约有80人 【分析】（1）先通过扇形统计图求出各组数据的情况，即可求出a、b的值，再根据题目中给出的甲校的具体值，就可以算出c和的值； （2）可从中位数、众数和方差的角度进行分析即可； （3）算出甲校90分以上人数的占比，再用总人数200去乘即可； 【详解】（1）由扇形统计图数据可知，C组数据有三人，占比为30% A的圆心角度数为36° ∴A的占比为×100%=10% ∴B的占比=1-10%-30%-40%=20% ∴a=20 又∵乙校各档次的人数分别为1人、2人、3人、4人 ∴中位数是第五位和第六位数，分别是88和89 ∴b==88.5 根据方差的公式，可算出82.8 观察甲的数据，可发现众数c为87. （2）解：从中位数来看，乙校的中位数高于甲校的中位数，所以乙校志愿者的成绩的中等水平好于甲校； 从众数来看，乙校的众数高于甲校的众数，所以乙校大多数志愿者的成绩好于甲校大多数志愿者的成绩； 从方差来看，乙校的方差低于甲校的方差，乙校志愿者的成绩更加稳定，所以我认为乙校较好．（可以从平均数、中位数、方差、众数等角度分析，言之有理即可） （3）解：甲校成绩在90分以上的有4人，占比为40%； ∴（人） 答：甲校成绩在90分及以上的约有80人． 【点睛】本题考查扇形统计图和表格信息的综合，求平均数、中位数、众数和方差，以及用样本的数据估计总体，理解各统计图的信息并灵活运用是解决本题的关键． 19．（10分）荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，下表是荆州古城某历史景点一周的抽样统计参观人数，如图是门票价格统计． 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 (1)把上表中一周的参观人数作为一个样本，直接指出这个样本的中位数，众数和平均数，分析表中数据还可得到一些信息，如双休日参观人数远远高于平时等，尝试再写出两条相关信息． (2)若“五一”黄金周有甲、乙两旅行团到该景点参观，两团人数之和恰为上述样本数 据的中位数，乙团不超过人，设两团分别购票共付元，甲团人数人． ①求与的函数关系式； ②若甲团人数不超过人，说明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少元？ 【答案】(1)这个样本的中位数是，众数是，平均数是．相关信息：①双休日参观人数为平时的倍左右．②参观人数自周五开始明显上升等均可 (2)①且为正整数；且为正整数；②元 【分析】本题主要考查了算术平均数，中位数，众数；一次函数的应用． （1）利用众数就是出现次数最多的数，中位数就是大小处于中间位置的数，以及平均数的公式即可求出答案； （2）根据（1）可知，两团人数之和是人，所有①与的函数关系式是，②求出团购需付的钱数，即可求出答案 【详解】（1）解：这个样本的中位数是，众数是，平均数是． 相关信息：①双休日参观人数为平时的倍左右．②参观人数自周五开始明显上升等均可． （2）①当甲团人数为人时，乙团人数为人，且为正整数； 由题意：，得． 若，则两团购票的总费用； 若，则两团购票的总费用． ②两团合起购票的花费为元元． 由①知当时，设节省元， 两团合起购票比分开购票可节省， 当时，元． 当时，两团合起购票比分开购票可节省， 故当时，元． 综上所述，两团合起来购票比分开购票最多省元． 20．（10分）《皇帝内径》中提出“五谷为养，五果为助，五兽为益，五菜为充”的饮食原则说明追求饮食营养在我国具有悠久的历史，随着经济的发展，我国居民健康状况和营养水平不断改善，据科学研究显示，与膳食营养相关的问题对我国青少年健康的影响日益凸显．为调查学校食堂提供的早餐是否有利于学生的健康，小明和同学进行以下的研究： （一）调查得：学校食堂为初二学生（年龄岁）提供的早餐食品包含：一盒的牛奶、一份的谷物食品和一个鸡蛋，其中鸡蛋、牛奶和谷物食品的部分营养成分见如表： 鸡蛋（每） 牛奶（每） 谷物食品（每） 能量（） 603 261 1310 蛋白质（g） 25 3 8.1 脂肪（g） 8.6 3.6 4.5 碳水化合物（g） 24 4.5 58.1 （二）小明从食堂提供的鸡蛋中抽取了100个，根据其单个鸡蛋的质量画出频数分布直方图，如图所示． （三）查阅资料得：国家卫生疾控局关于我国岁青少年膳食营养参考摄入量如表所示． 能量需要量（千卡/天） 蛋白质摄入量（克/天） 可接受的脂肪含量（克/天） 男 2500 75 女 2000 60 国家卫生疾控局根据中国居民的饮食习惯，建议全天膳食营养摄取比例为：早餐占，午餐占，晚餐占．已知1千卡约等于． (1)请计算出学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量； (2)根据以上数据进行计算，判断这份早餐是否符合初二学生（年龄岁）的膳食营养需求？若不满足，说明理由，并请你给食堂的早餐提出改善建议． 【答案】(1)学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量为50克 (2)不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求；建议是：适当减少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量 【分析】本题考查的是频数分布直方图，统计表和加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． （1）学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量为50克． （2）不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求；建议是：适当减少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量． 【详解】（1）根据单个鸡蛋的质量的频数分布直方图，可知： 鸡蛋的单个平均质量 （克）， 答：学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量为50克． （2）根据表1可知，早餐中： 能量：； 蛋白质：； 脂肪：； 其中，能量：（千卡）， 将表（三）中的表格数据乘，，可得早餐区间： 男：能量为；蛋白质为；脂肪为； 女：能量为；蛋白质为；脂肪为； 对比数据可得：对于男生来说，能量摄入过低；对于初二学生来说，蛋白质摄入过高， ∴不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求； 建议是：适当减低少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量， 答：不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求；建议是：适当减少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量． 21．（10分）某一个小微型零件加工厂为了调动员工的生产积极性，计划采用等级基本工资加计件工资的薪酬制度，基本方案是：按工人最近三个月的平均日产量将他们分成普工、熟练工、技术能手三个等级，分别给予每月2200元，2800元和3500元的基本工资，另外再按每个零件3元给付计件工资．为确定工人等级，工厂统计了全厂30名工人最近三个月每人每天平均加工零件的个数（每个月工作时间为22天），数据如下： 零件个数 15 16 17 18 19 20 21 22 25 27 29 30 31 33 人数 1 3 2 2 1 3 3 3 2 2 1 3 3 1 （1）求这30名工人最近三个月每人每天平均加工零件个数的中位数和平均数； （2）工厂计划将普工与技术能手的人数分别控制在25% ~ 30%之间（含25%和30%），且每月工人的工资总额不超过13万元． ①若以最近三个月平均每天加工零件的个数为依据，将平均每天生产18个以下（含18个）的工人确定为普工，平均每天生产28个以上（含28个）的工人确定为技术能手，其余的工人确定为熟练工．请通过计算判断该等级划分是否符合工厂上述要求； ②请直接写出一种符合工厂要求的等级划分方案． 【答案】（1）中位数是个，平均数是23个；（2）①不符合；②见解析 【分析】（1）根据中位数，平均数的定义准确计算即可； （2）①根据题意计算比较，即可作出判断，②根据题即可意，提出合理方案． 【详解】（1）每人每天平均加工零件个数的中位数为：=21.5（个）， 平均数为： = =23（个）， 答：每人每天平均加工零件个数的中位数是21.5个，平均数是23个， （2）①根据题意，得 这30名工人每个月基本工资总额为： =84 800（元）. 这30名工人所生产的零件计件工资总额为： =45 540. 这30名工人每个月工资总额为：84 800+45 540=130 340（元）， 因为130 340>130 000， 所以该等级划分不符合工厂要求； ②方法1：将每天生产18个以下（含18个）的确定为普工，每天生产29个以上（含29个）的确定为技术能手. 方法2：将每天生产19个以下（含19个）的确定为普工，每天生产28个以上（含28个）的确定为技术能手. 方法3：将每天生产19个以下（含19个）的确定为普工，每天生产29个以上（含29个）的确定为技术能手. 【点睛】本题考查了中位数，平均数的计算与应用，熟练掌握各数的计算公式是解题的关键． 22．（12分）某校为积极响应“双减”政策，丰富学生课余生活，特举办校园歌手大赛．本次活动由1至3号的专业评委和4至6号的大众评委进行评分．考虑比赛评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了以下评分方案：先分别计算1至3号评委所给成绩的平均数，4至6号评委所给成绩的平均数，再对专业评委和大众评委的平均成绩分别赋权6和4，计算选手的最终成绩． (1)八年级小厦演唱后各个评委所给分数如下表所示， 评委编号 1 2 3 4 5 6 评分/分 84 85 86 90 90 87 请计算小厦的最终成绩； (2)学校对全校参赛同学成绩前十的学生授予了“校园好声音”称号，七、八年级参加比赛的同学成绩单如下表所示， 七年级 八年级 学生 A B C D E F G H 小厦 J K L 成绩 80 92 78 76 87 88 94 其中有四名同学的成绩被墨汁污染了，但老师提供了以下两条信息： ①七年级和八年级各有3名同学获得“校园好声音”称号； ②七年级六名参赛同学的成绩中位数为a，其中．于是小厦说自己一定能获得“校园好声音”称号，请问小厦的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)86.6（分） (2)正确，理由见解析 【分析】（1）利用算术平均数和加权平均数的求法计算即可； （2）设七年级D同学成绩为y分，根据中位数的概念求出，可得D同学能获得“校园好声音”称号，然后结合小厦的成绩再做出判断． 【详解】（1）解：1至3号评委所给成绩的平均数为：， 4至6号评委所给成绩的平均数为：， 故小厦的最终成绩为：（分）； （2）解：小厦说法正确． 理由：设七年级D同学成绩为y分， 当时，则，不符合题意； 当时，则， ∵， ∴， 解得：，符合题意； 当时，则，不符合题意； 综上所述，，     ∴七年级获奖的三名同学成绩分别为92，87，y， ∵七年级和八年级各有3名同学获得“校园好声音”称号，D同学在七年级排第三名， ∴D同学能获得“校园好声音”称号， ∵小厦的成绩为，且学校对全校参赛同学成绩前十的学生授予了“校园好声音”称号 ∴小厦一定能获得“校园好声音”称号， ∴小厦说法正确． 【点睛】本题考查了算术平均数、加权平均数、中位数的求法以及一元一次不等式的应用，熟记概念是解题的关键． 23．（14分）已知直线分别与轴、轴交于点，点，点为这条直线上的点，轴于点，轴于点． （1）①将下表中的空格填写完整： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0 4 4 4 4 ②根据表格中的数据，下列判断正确的是 ． A． ，B．    ，C．． （2）当点在第一象限时，解答下列问题： ①求证：矩形的周长是一个定值，并求这个定值； ②设矩形的面积为，求证：． （3）当点在第四象限时，直接写出，满足的等式关系． 【答案】（1）①4，4，4，4，4；②A、B、C；（2）①矩形的周长是一个定值，周长为8；②见解析；（3） 【分析】（1）①把表中对应的值相加即可完成； ②根据数据的平均数和方差计算公式计算即可； （2）①设点Q的坐标为，由点Q在第一象限，则，，从而可求得矩形OPQR的周长，且可知周长为定值； ②计算4－S，并判断其符号即可； （3）设点Q的坐标为，由点Q在第四象限，则，，则的关系． 【详解】（1）①填表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ②，故A正确； ∴，故B正确； ∵ ∴ 故C正确； 故答案为：A、B、C （2）①设， ∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∴矩形的周长是一个定值，周长为8； ②∵ ∴． （3）设点Q的坐标为， ∵点Q在第四象限， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了数据的平均数、方差，点在直线上的坐标特征，图形的面积与周长，各象限点的坐标特点等知识，掌握这些知识是解答本题的关键．同时要注意，点的坐标与点到两坐标轴的距离既有联系又有区别． 24．（14分）小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 【答案】(1) (2)①小南跑步的最大速度为8.8千米/小时②他以最大速度跑步的时间至少是 【分析】本题考查的是一次函数的应用及加权平均数的计算， （1）用待定系数法直接计算求出即可； （2）①用待定系数法求出，再将代入计算得出结论；②先求从起跑到速度达到最大这段时间内，心率保持在100次/分钟以上的时长为：，得出停下时，，再用待定系数法求出休息时段心率p与休息时间t的一次函数关系式，进而得出，设最大速度跑步的时间为，列不等式计算解决即可． 【详解】（1）解：由表格知，起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间为一次函数关系， 设小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， 把，分别代入， ， 解得：， 则小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， （2）①由题意得：， 设， 把，分别代入， ， 解得：， ， 当时，， 当时，， 解得：， 答：小南跑步的最大速度为8.8千米/小时； ②当时，， ， 又， 从起跑到速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为： ， 当， 将代入得， 即停下时，， 由休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态可知，休息时段心率p与休息时间t是一次函数关系，设休息时段， 把代入， ， 解得：， ， 当时，， ， 由于休息时心率匀速降低， 因此在休息这段时间小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为， 设最大速度跑步的时间为， 则的时段：， ， 则他以最大速度跑步的时间至少是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$