第10讲 简单几何体的表面积与体积（2大知识点+10大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第10讲 简单几何体的表面积与体积 目录 题型归纳 1 题型01 棱柱表面积的有关计算 3 题型02 棱锥表面积的有关计算 4 题型03 棱台表面积的有关计算 5 题型04 柱体体积的有关计算 6 题型05 锥体体积的有关计算 7 题型06 台体体积的有关计算 9 题型07 圆柱表面积的有关计算 10 题型08 圆锥表面积的有关计算 11 题型09 圆台表面积的有关计算 12 题型10 球的表面积和体积 13 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 18 知识点01多面体的表面积和体积 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的表面积：； （2）棱锥的表面积：； （3）棱台的表面积： 2、棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积和高的乘积的，即 （3）棱台的体积：V＝(S上＋S下＋)h 知识点02旋转体的表面积和体积 1、侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2、圆柱、圆锥、圆台的体积公式： （1）圆柱的体积公式： （2）圆锥的体积公式： （3）圆台的体积公式：V＝(S上＋S下＋)h 3、球的体积公式： 球的表面积公式： 题型01棱柱表面积的有关计算 【例1】（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要 铁板（精确到，）． 【变式3】（21-22高一下·吉林长春·期中）如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2)与的长； (3)此三棱柱的表面积． 题型02 棱锥表面积的有关计算 【例2】（23-24高一下·云南保山·期中）已知三棱锥P-ABC，满足，，则三棱锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·安徽六安·期中）某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（23-24高一下·河南新乡·期中）已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为 . 【变式3】（23-24高一下·湖南株洲·期中）已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积. 题型03 棱台表面积的有关计算 【例3】（23-24高一下·广东广州·期中）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．3 B． C． D．48 【变式1】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）石墩随处可见，形状各异，美化了我们的环境，已知某正四棱台石墩的上、下底面边长分别为40cm，58cm，侧棱长为41cm，则该石墩的侧面积为（    ） A．8036cm2 B．13000cm2 C．7840cm² D．12804cm² 【变式2】（22-23高一下·福建南平·期末）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2.该正四棱台的表面积为 . 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 题型04 柱体体积的有关计算 【例4】（23-24高一下·山东烟台·期中）在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ）    A．7 B．6 C．4 D．3 【变式2】．（23-24高一下·山东济宁·期中）如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为 ． 【变式3】（22-23高一下·福建宁德·期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.    (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积. 题型05 锥体体积的有关计算 【例5】（23-24高一下·云南保山·期中）已知圆锥的体积为2，高为3，则其底面半径为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·山东济南·期中）如图，将两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为4的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若该正子体的体积为，则 . 【变式3】（23-24高一下·湖南常德·期中）如图所示正方体中的棱长为，连得到三棱锥 (1)求三棱锥表面积与正方体表面积之比 (2)求三棱锥的体积 题型06 台体体积的有关计算 【例6】（23-24高一下·浙江·期中）已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·山东烟台·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·福建漳州·期中）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 .    【变式3】（23-24高一下·海南·期中）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为．    (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 题型07 圆柱表面积的有关计算 【例7】（23-24高一下·山西大同·期中）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·吉林长春·期中）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的侧面积为（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式2】（23-24高一下·陕西铜川·期末）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为 ． 【变式3】（23-24高一下·福建福州·期中）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． (1)求圆柱的侧面积； (2)求三棱柱的体积． 题型08 圆锥表面积的有关计算 【例8】（23-24高一下·吉林·期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·山东临沂·期末）将一个直角边长为的等腰直角三角形绕其斜边旋转一周，所形成几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 【变式3】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥. 求原圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积的值. 题型09 圆台表面积的有关计算 【例9】（23-24高一下·山东临沂·期中）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式1】（23-24高一下·山东枣庄·期中）一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·天津滨海新·期中）圆台的上､下底面半径分别是，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是 . 【变式3】（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值． 题型10 球的表面积和体积 【例10】（23-24高一下·河南郑州·期中）若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式1】（23-24高一下·安徽六安·期中）在矩形中，，，沿对角线将折起，使点到达点（平面）的位置，连接，形成四面体.则在折起的过程中，四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 【变式3】（23-24高一下·安徽合肥·期中）在直三棱柱中，. (1)若外接圆的半径是1，求直三棱柱的表面积； (2)若直三棱柱外接球的体积是，求此直三棱柱的高. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东广州·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径.若球的表面积为，则圆柱的表面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（21-22高一下·吉林长春·期中）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（21-22高一下·广东佛山·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台的高为2 B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球的体积是 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 三、填空题 7．（23-24高一下·天津·期中）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设组合体无盖，且内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．若球的半径为，组合体的容积为，则该组合体内壁表面积为 ． 8．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，则的值是 ． 四、解答题 9．（21-22高一下·湖南株洲·期中）如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积． 10．（23-24高一下·四川广安·期中）如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积和体积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 11．（23-24高一下·青海西宁·期中）如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．    (1)求这个圆台型花盆的体积； (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·云南昆明·期中）“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆涪陵·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河北唐山·期中）所有棱长都相等的四面体的体积为，则其表面积为（    ） A． B．12 C． D． 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．图3是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，已知圆锥SO母线长l＝5，底面半径r＝4，则下列结论中正确的有（    ）    A．圆锥的表面积为 B．圆锥侧面展开图的圆心角为 C．圆锥的体积为 D．圆锥的轴截面是锐角三角形 6．（22-23高一下·全国·期中）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（　　） A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为 三、填空题 7．（23-24高一下·北京丰台·期末）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为，则该圆柱的体积为 ，该陀螺的表面积为 ． 8．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 . 四、解答题 9．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面，并说明原因； (2)求（1）中截面多边形的面积： (3)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值． 10．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，已知三棱柱的所有棱长都为1，，点P为线段上的动点． (1)若点恰为线段上靠近点的三等分点，求三棱锥和三棱柱的体积之比； (2)求的最小值及此时的值． 11．（20-21高一下·浙江·期末）正四棱台的下底边长，它的内切球半径为3． （1）求正四棱台的表面积； （2）求与底面所成角的正弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 简单几何体的表面积与体积 目录 题型归纳 1 题型01 棱柱表面积的有关计算 3 题型02 棱锥表面积的有关计算 7 题型03 棱台表面积的有关计算 10 题型04 柱体体积的有关计算 13 题型05 锥体体积的有关计算 16 题型06 台体体积的有关计算 20 题型07 圆柱表面积的有关计算 23 题型08 圆锥表面积的有关计算 26 题型09 圆台表面积的有关计算 28 题型10 球的表面积和体积 32 分层练习 36 夯实基础 36 能力提升 46 知识点01多面体的表面积和体积 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的表面积：； （2）棱锥的表面积：； （3）棱台的表面积： 2、棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积和高的乘积的，即 （3）棱台的体积：V＝(S上＋S下＋)h 知识点02旋转体的表面积和体积 1、侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2、圆柱、圆锥、圆台的体积公式： （1）圆柱的体积公式： （2）圆锥的体积公式： （3）圆台的体积公式：V＝(S上＋S下＋)h 3、球的体积公式： 球的表面积公式： 题型01棱柱表面积的有关计算 【例1】（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要 铁板（精确到，）． 【答案】4.7 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】求六棱柱的表面积即可. 【详解】因为正六棱柱的底面棱长为0.4m，所以底面积为：， 棱柱的侧面积为：. 所以正六棱柱的表面积为：. 故答案为：4.7 【变式3】（21-22高一下·吉林长春·期中）如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2)与的长； (3)此三棱柱的表面积． 【答案】(1)； (2)；； (3) 【知识点】正棱柱及其有关计算、棱柱的展开图及最短距离问题、棱柱表面积的有关计算 【分析】（1）先确定该三棱柱的侧面展开图的形状，再求其面积即可； （2）利用平面内两点之间线段最短列方程即可求得的长，利用三角形相似比即可求得的长； （3）利用棱柱全面积求法去求此三棱柱的表面积即可解决． 【详解】（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形， 其对角线长为． （2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点移动到 点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线． 设，即， 在Rt中，由勾股定理得， 解得，或（舍） 所以，又因为， 所以． （3）此三棱柱的表面积 题型02 棱锥表面积的有关计算 【例2】（23-24高一下·云南保山·期中）已知三棱锥P-ABC，满足，，则三棱锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】利用勾股定理得四个侧面都是直角三角形，利用三角形面积公式即可求得三棱锥的表面积. 【详解】由题，， 由勾股定理可得，，，，则有， 所以， 三棱锥的表面积为. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·安徽六安·期中）某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、棱锥表面积的有关计算 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为由圆锥的性质结合题意求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 由圆锥的性质可得侧面展开图的半径为，弧长为， 又圆锥的底面周长为， 所以， 又， 所以，即圆锥的底面半径长为2. 故选：A 【变式2】（23-24高一下·河南新乡·期中）已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为 . 【答案】4 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】根据正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的斜高，再求出表面积. 【详解】如图，四棱锥为正四棱锥，高，底面边长， 过点作于，则是的中点，连接，于是斜高， 所以正四棱锥的表面积. 故答案为：4 【变式3】（23-24高一下·湖南株洲·期中）已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积. 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】易知四面体为正四面体，求出一个三角形面积即可得四面体的表面积. 【详解】因为四面体的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍， 不妨求的面积，取的中点为，连接； 因为是边长为2的正三角形，易知， 所以. 可得四面体的表面积为 题型03 棱台表面积的有关计算 【例3】（23-24高一下·广东广州·期中）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．3 B． C． D．48 【答案】B 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】根据已知先求斜高，然后可得表面积. 【详解】如图，作平面，，垂足分别为，连接. 由题可知，，所以， 所以表面积. 故选：B 【变式1】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）石墩随处可见，形状各异，美化了我们的环境，已知某正四棱台石墩的上、下底面边长分别为40cm，58cm，侧棱长为41cm，则该石墩的侧面积为（    ） A．8036cm2 B．13000cm2 C．7840cm² D．12804cm² 【答案】C 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值． 【详解】设，，，可得正四棱台的斜高为， 所以棱台的侧面积为． 故选：C． 【变式2】（22-23高一下·福建南平·期末）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2.该正四棱台的表面积为 . 【答案】/ 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】根据已知条件和正四棱台的特征计算侧面等腰梯形的面积，然后利用表面积的定义计算可得结果． 【详解】因为正四棱台的侧面等腰梯形，    又正四棱台的上、下底面的边长分别是4、8，高为2， 所以侧面梯形的斜高为，则梯形的面积， 上下底底面面积分别为，， 所以该四棱台的表面积为． 故答案为：． 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 【答案】 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解. 【详解】如图所示，画出正三棱台， 其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点， 则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形， ,, 所以, 所以此三棱台的表面积,    题型04 柱体体积的有关计算 【例4】（23-24高一下·山东烟台·期中）在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法规则求出底面三角形面积，再利用柱体体积公式计算即得. 【详解】直观图对应的原图形为如图所示的，其中， ，因此的面积， 所以三棱柱的体积为. 故选：D 【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ）    A．7 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可. 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则， 从而有，所以， 即当底面水平放置时，水面高为6. 故选：B. 【变式2】．（23-24高一下·山东济宁·期中）如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为 ． 【答案】#1.5 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】左侧几何体的体积等于长方体体积去掉右侧三棱柱的体积即可求得. 【详解】设左侧几何体的体积为，长方体的体积为， 右侧三棱柱的体积为，则. 故答案为： 【变式3】（22-23高一下·福建宁德·期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.    (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】（1）根据圆柱体积公式直接计算； （2）根据三棱柱体积公式以及正弦定理进行计算即可. 【详解】（1）设底面圆的直径为2r， 由题可知,圆柱的体积， 解得，即圆柱的底面半径为1 （2）因为为正三角形，底面圆的半径为1， 由正弦定理，边长， 所以三棱柱的体积 题型05 锥体体积的有关计算 【例5】（23-24高一下·云南保山·期中）已知圆锥的体积为2，高为3，则其底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据圆锥的体积公式求解. 【详解】解：圆锥的体积 ， 解得， 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算 【分析】利用圆锥的侧面为半圆，求出圆锥的半径进而得高，进一步求出圆锥的体积， 【详解】由于圆锥的侧面展开面为半圆，设圆锥的底面半径为，高为，故， 得,则 所以圆锥的体积为. 故选：D. 【变式2】（23-24高一下·山东济南·期中）如图，将两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为4的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若该正子体的体积为，则 . 【答案】或 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】若为重合的底面连接、交于点，连接，设正四棱锥底面边长为，根据锥体的体积公式求出，再由勾股定理计算可得，若为重合的底面，类似计算可得. 【详解】依题意为正四棱锥的侧棱或底面上的棱， 若为重合的底面，连接、交于点，连接，则平面， 依题意可知正四棱锥的高为，设正方形的边长为， 则，解得， 所以， 所以. 若为重合的底面，连接、交于点，连接，则平面， 依题意可知正四棱锥的高为，设正方形的边长为， 则，解得， 即， 综上可得：或. 故答案为：或 【变式3】（23-24高一下·湖南常德·期中）如图所示正方体中的棱长为，连得到三棱锥 (1)求三棱锥表面积与正方体表面积之比 (2)求三棱锥的体积 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、棱锥表面积的有关计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】（1）根据正三棱锥、正方体表面积公式计算即可求解； （2）正三棱锥体积等于正方体体积减去四个全等的三棱锥体积，根据正方体、三棱锥体积计算公式计算即可. 【详解】（1）在正方体中，， 设三棱锥表面积为，则， 设正方体表面积为，则 所以 （2） 题型06 台体体积的有关计算 【例6】（23-24高一下·浙江·期中）已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据题意，利用圆台的性质，求得圆台的高，结合圆台的体积公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2， 设圆台的高为，可得， 所以圆台的体积为. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·山东烟台·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据正四棱台的体积公式先求棱台的高，再利用勾股定理计算侧棱即可. 【详解】   如上图所示，正四棱台，，易知即棱台的高， 由棱台的体积公式知：， 所以， 所以侧棱长. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·福建漳州·期中）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 .    【答案】193 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】运用台体体积公式求解即可 【详解】由题意可知，该四棱台的上､下底面边长分别为， 故该香料收纳罐的容积为． 故答案为：193. 【变式3】（23-24高一下·海南·期中）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为．    (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】台体体积的有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】（1）根据棱台体积公式即可求出正四棱台的体积； （2）由题意，求出四棱台的斜高，由上下底面面积加上侧面积求得四棱台的表面积. 【详解】（1）正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为， 所以正四棱台的体积为 ． （2）在正四棱台中，如图，   ，，． 在等腰梯形中，过作，垂足为，则， 所以， 正四棱台的表面积为 题型07 圆柱表面积的有关计算 【例7】（23-24高一下·山西大同·期中）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】由圆柱的表面积公式计算即可求解． 【详解】设圆柱的底面半径为，母线为，则， 所以，所以， 故选：B． 【变式1】（23-24高一下·吉林长春·期中）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的侧面积为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】按旋转轴分类计算侧面积即可. 【详解】以长的矩形边所在直线为轴所得圆柱的侧面积为， 以长的矩形边所在直线为轴所得圆柱的侧面积为， 所以圆柱的侧面积为. 故选：D 【变式2】（23-24高一下·陕西铜川·期末）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为 ． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的表面积公式计算，再求母线及底面直径的比. 【详解】设圆柱的底面半径为r，母线为l，则，所以，所以． 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·福建福州·期中）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． (1)求圆柱的侧面积； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1) (2)2 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果； （2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果. 【详解】（1）设底面圆的直径为，则其高也为； 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为； （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1， 因此边长， 所以三棱柱的体积． 题型08 圆锥表面积的有关计算 【例8】（23-24高一下·吉林·期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】设底面半径为，求出底面半径后，再利用圆锥表面积公式即可. 【详解】依题意圆锥的母线， 设底面半径为，则，解得， 则圆锥的表面积为. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·山东临沂·期末）将一个直角边长为的等腰直角三角形绕其斜边旋转一周，所形成几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为，高为的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和. 【详解】如图等腰直角三角形，，则，取的中点，连接，则，且， 将一个直角边长为的等腰直角三角形绕其斜边旋转一周， 所形成的几何体是由底面半径为，高为，母线长为的两个圆锥拼接而成， 所以所形成的几何体的表面积为. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】由条件确定圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥侧面积公式求结论. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥. 求原圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积的值. 【答案】， 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆柱和圆锥的表面积公式结合已知条件求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的表面积， 因为圆锥的底面半径为，高为， 所以圆锥的母线长为， 所以 . 题型09 圆台表面积的有关计算 【例9】（23-24高一下·山东临沂·期中）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】根据台体的侧面积公式运算求解. 【详解】设圆台较小底面的半径为，可知较大的底面半径为， 则，解得， 所以圆台较小底面的半径为4. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·山东枣庄·期中）一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先利用圆台的体积公式求得高，再利用圆台的表面积公式即可得解. 【详解】依题意，设圆台的高为，则，解得， 所以圆台的母线长为， 则圆台的表面积为. 故选：B． 【变式2】（22-23高一下·天津滨海新·期中）圆台的上､下底面半径分别是，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是 . 【答案】 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】先求得圆台的母线，再利用圆台的侧面积求解. 【详解】解：因为圆台的上､下底面半径分别是，圆台的高为4， 所以圆台的母线为， 所以该圆台的侧面积是， 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，由正弦定理可得下底面半径，可求以圆台表面积； （2）由三角形面积公式可求得的面积，在中，由余弦定理得，可得，则的面积，得到底面ABCD面积的最大值，再在轴截面直角梯形中，由勾股定理求出圆台的高，即可求得四棱锥的体积的最大值． 【详解】（1） 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 得， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以下底面半径，上底面半径， 圆台侧面积， ， 所以圆台表面积． （2）在四边形ABCD中，， 在中，由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时“”成立， 所以的面积， 底面ABCD面积的最大值为， 在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得， 所以四棱锥的体积的最大值为． 题型10 球的表面积和体积 【例10】（23-24高一下·河南郑州·期中）若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】由球的体积公式、表面积公式列式即可求解. 【详解】设该球体的半径为，由题意，解得. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·安徽六安·期中）在矩形中，，，沿对角线将折起，使点到达点（平面）的位置，连接，形成四面体.则在折起的过程中，四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】由题意确定外接球球心的位置，进而求出外接球的半径，再求出体积即可. 【详解】 如图，在原矩形中，因为，， 所以，设与交于点， 则是Rt和的外心， 所以， 所以为四面体的外接球的球心，且外接球半径， 则在折起的过程中，四面体的外接球的体积为：. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】根据相切的性质，结合勾股定理、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】作圆锥的轴截面图，如图，    由图，为等边三角形，则， 又，所以， 所以在正中，， 设内切球球心为，半径为，则在上，且，， 在中，，所以，解得， 所以外接球表面积． 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·安徽合肥·期中）在直三棱柱中，. (1)若外接圆的半径是1，求直三棱柱的表面积； (2)若直三棱柱外接球的体积是，求此直三棱柱的高. 【答案】(1) (2) 【知识点】棱柱表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】（1）利用正弦定理求出，的长，从而求得直三棱柱的表面积； （2）设，由正弦定理求出底面三角形外接圆半径，设、分别为和的外接圆圆心，则直棱柱的性质可知的中点为三棱柱的外接球球心，利用勾股定理即可求出外接球半径，由球的体积公式即可求出答案. 【详解】（1）因为，所以，. 故直三棱柱的表面积为 . （2）设.因为，所以. 于是是外接圆的半径. 如图，设、分别为和的外接圆圆心，由直棱柱的性质可知的中点为三棱柱的外接球球心， 所以 则球的半径为.. 所以球的体积为，解得. 故直三棱柱的高是 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东广州·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正棱台的体积公式计算得解. 【详解】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则该棱台的高， 所以该棱台的体积. 故选：D 2．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正棱台的体积公式计算即可. 【详解】依题意，该正四棱台的体积. 故选：C 3．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径.若球的表面积为，则圆柱的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的表面积公式和圆柱的表面积公式可得解. 【详解】设球的半径为，则圆柱底面的半径为，高为， 则， 则， 所以圆柱的表面积， 故选：A. 4．（21-22高一下·吉林长春·期中）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 二、多选题 5．（21-22高一下·广东佛山·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得； 【详解】解：依题意球的表面积为， 圆柱的侧面积为，所以AC选项正确． 圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 圆锥的表面积为， 圆柱的表面积为，所以D选项不正确． 故选：ABC 6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台的高为2 B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球的体积是 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 【答案】BCD 【分析】在圆台轴截面利用勾股定理计算判断A选项；利用圆台的侧面积公式计算判断B选项；利用轴截面计算圆台外接球的半径，再利用球的体积公式计算得出结果判断C选项；在圆台的侧面上，从到的最短路径，在计算求得判断D选项； 【详解】对于A,如图所示， 过作交于点，过作交于点, 根据题意在中，, 故A错误； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，设圆台外接球的球心为，半径.由题意可得：. 设，则，由，即， 解得：.即重合，所以.圆台外接球的体积是.故C正确； 对于D，如图示， 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．（23-24高一下·天津·期中）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设组合体无盖，且内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．若球的半径为，组合体的容积为，则该组合体内壁表面积为 ． 【答案】 【分析】先计算出圆柱的高，内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积． 【详解】设圆柱的高为，内壁的表面积为， 由题意可知：， 由于，解得：， 内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积， 即． 故答案为：． 8．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，则的值是 ． 【答案】 【分析】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，结合棱台的体积公式，求得三棱台的体积为，结合，即可求解. 【详解】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则， 因为分别为的中点，可得， 所以三棱台的体积为， 则，所以. 故答案为：. 四、解答题 9．（21-22高一下·湖南株洲·期中）如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积． 【答案】. 【分析】利用四面体表面积的意义直接计算作答. 【详解】因为四面体的各棱长均为，于是得四面体的四个面是全等的正三角形， 所以四面体的表面积. 10．（23-24高一下·四川广安·期中）如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积和体积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求表面积； （2）将四棱台补成三棱锥，结合比例关系分析可知，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：四棱台的体积 ， 分别取中点，连接， 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则， 可得， 所以四棱台的表面积 . （2）延长交于点， 可知，则， 可得， 所以该同学还需要准备至少的水泥. 11．（23-24高一下·青海西宁·期中）如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．    (1)求这个圆台型花盆的体积； (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【答案】(1)体积为； (2)预计花费6123元． 【分析】（1）根据给定条件，利用圆台体积公式计算得解. （2）求出一个圆台型花盆的侧面积，再结合题设求解即得. 【详解】（1）圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，则高， 体积，所以这个圆台型花盆的体积为.    （2）由（1）知，圆台型花盆的侧面积， 则（元），所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·云南昆明·期中）“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量． 【详解】 设线段、、、的中点分别为、、、，如图所示： 由题可知，四边形为等腰梯形， 设，因为，所以， 设棱台的高为，体积为，棱台的高为，体积为，则， ， 所以，又，所以， 所以该“方斗”可盛米的总质量为． 故选：B． 2．（23-24高一下·重庆涪陵·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱台的性质和已知先求高，然后由棱台的体积公式可得. 【详解】连接AC，，作平面ABCD，由正四棱台性质可知点E在AC上，如图， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4， 所以， 易知四边形为等腰梯形，所以， 所以， 因为上下底面面积分别为：， 所以四棱台的体积为. 故选：C 3．（23-24高一下·河北唐山·期中）所有棱长都相等的四面体的体积为，则其表面积为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件求出正四面体的棱长，再利用正四面体的表面积等于四个等边三角形的面积之和，求解即可． 【详解】如图，正四面体中，设各棱长均为， 过作底面，交于点，   ， ， 正四面体体积， 解得， 所以． 故选：D． 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．图3是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图利用几何关系先求截面为的面积为，再求四边形面积为，然后由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积计算即可. 【详解】设截面与底面的距离为h，在帐篷中的截面为， 设底面中心为O，截面中心为，则， 所以，所以截面为的面积为． 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心O与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解祖暅原理，结合图形帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积计算. 二、多选题 5．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，已知圆锥SO母线长l＝5，底面半径r＝4，则下列结论中正确的有（    ）    A．圆锥的表面积为 B．圆锥侧面展开图的圆心角为 C．圆锥的体积为 D．圆锥的轴截面是锐角三角形 【答案】ABC 【分析】利用圆锥的结构特征，求解表面积以及体积，侧面展开图的圆心角，判断选项的正误即可． 【详解】圆锥SO母线长，底面半径， 则圆锥的表面积为，所以A正确； 圆锥侧面展开图的圆心角，所以B正确； 圆锥的体积为，所以C正确； 由余弦定理得，而，则为钝角， 所以圆锥的轴截面是钝角三角形，所以D不正确． 故选：ABC． 6．（22-23高一下·全国·期中）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（　　） A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为 【答案】AB 【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误. 【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接， 则为正三棱锥的高，为斜高， 又，，， ，故，故AB正确. 而正三棱锥的体积为， 侧面积，故CD错误. 故选：AB.    三、填空题 7．（23-24高一下·北京丰台·期末）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为，则该圆柱的体积为 ，该陀螺的表面积为 ． 【答案】 ； ． 【分析】先求出陀螺的外接球的半径，再利用勾股定理求出圆柱的底面半径，以及圆锥的母线长，从而求出结果． 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，陀螺的外接球的半径为， 由题意可知，，， ， ， 圆柱的体积为， 圆锥的母线长， 该陀螺的表面积为． 故答案为：；． 8．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 . 【答案】 【分析】利用锥体体积公式与棱台体积公式计算出三棱锥与三棱台的体积之比，再结合割补法即可得解. 【详解】由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为， 设三棱台的高为，则点到平面的距离也为， 设上底面面积为，则下底面面积为， 则，， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面，并说明原因； (2)求（1）中截面多边形的面积： (3)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据基本事实确定截面； （2）根据梯形面积公式计算； （3）根据正方体和椎体体积公式计算. 【详解】（1） 取中点，连接，则四边形为平面截正方体所得的截面，原因如下： 因为分别为的中点，所以， 因为为正方体，所以，所以， 所以点四点共面，四边形为平面截正方体所得的截面. （2）由（1）得四边形为等腰梯形，，，， 过点作交于点，则， 在直角三角形中，， 所以. （3）如图平面可将正方体分割成多边形和多边形两部分， 多边形可以分割成四棱锥和三棱锥， 所以， ， 所以， 所以比较小的部分比比较大的部分的体积的比值为. 10．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，已知三棱柱的所有棱长都为1，，点P为线段上的动点． (1)若点恰为线段上靠近点的三等分点，求三棱锥和三棱柱的体积之比； (2)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）应用锥体及柱体的体积计算得到比值； （2）先根据侧面展开图得出三点共线时取最小值，再应用余弦定理计算即可. 【详解】（1） （2）将绕着直线旋转至平面，当P，，C三点共线时，取得最小值 ∵，， ∴ ∴． 此时， 11．（20-21高一下·浙江·期末）正四棱台的下底边长，它的内切球半径为3． （1）求正四棱台的表面积； （2）求与底面所成角的正弦值． 【答案】（1）312；（2） . 【分析】（1）利用正四棱台和球的对称性，做轴截面，观察数据特点得出MP长度，可得上底面正方形边长，利用等体积法求出表面积； （2）先找出线面角为，利用正四棱台的特点，求出 ,，即可求出角的正弦值. 【详解】 （1）如图，做该正棱台的轴截面， 中， ， 所以 ，根据对称性， ， 故 所以 ， 正四棱台上底面是一个边长为 的正方形， 即 （2）正四棱台中，上下底面均为正方形，且侧棱长相等， 在底面的射影为 ， 所以 , 与底面所成角为 , , , , . 【点睛】充分利用正四棱台及其内切球的对称性，利用轴截面来找出突破口，以及等体积法的应用，找准线面角，再进行求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$