精品解析：湖南省邵阳县第二高级中学2024-2025学年高二下学期入学考试数学试卷

高二入学考试试卷 一､单选题（每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A B. C. D. 3. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 6. 设函数，则曲线在点处切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 8. 设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每小题6分） 9. 已知函数，，则（ ） A. 将函数图象右移个单位可得到函数的图象 B. 将函数的图象右移个单位可得到函数的图象 C. 函数与的图象关于直线对称 D. 函数与的图象关于点对称 10. 如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A. 当时，点P在棱上 B. 当时，点P在棱上 C. 当时，点P在线段上 D. 当时，点P在线段上 11. 已知，过点作圆的切线，切点分别为，则下列命题中真命题是（ ） A. B. 直线的方程为 C. 圆与共有4条公切线 D. 若过点直线与交于两点，则当面积最大时，. 三､填空题（每小题5分） 12. 已知数列满足，则数列的通项公式为__________． 13. 设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________． 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 四､解答题（15题13分、16题与17题各15分、18题与19题各17分） 15. 某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示： 社团 街舞 围棋 武术 人数 48 42 30 为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人. （1）求三个社团分别抽取了多少同学； （2）已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生，若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女同学担任监督职务的概率. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角A大小； （2）若，，求边c及的值. 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，，点为中点，. （1）求证：平面； （2）已知点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知直线与抛物线交于两点，且． （1）求； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二入学考试试卷 一､单选题（每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】，所以. 故选：B 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 5. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 6. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 7. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 8. 设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，由此列出满足的不等式关系，即可求得答案. 【详解】由题意椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点， 则, 且需满足以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点， 即，即，又， 故椭圆离心率的取值范围是， 故选：C 二､多选题（每小题6分） 9. 已知函数，，则（ ） A. 将函数的图象右移个单位可得到函数的图象 B. 将函数的图象右移个单位可得到函数的图象 C. 函数与图象关于直线对称 D. 函数与的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】由三角函数的平移变换可判断A，B；由可判断C；由可判断D. 【详解】因为， 将函数的图象右移个单位可得到， 将函数的图象右移个单位可得到， 故A正确，B错误； 由A选项可知，，所以函数与的图象关于直线对称，故C正确； 若函数与的图象关于点对称， 则在上取点关于的对称点必在上， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A. 当时，点P在棱上 B. 当时，点P在棱上 C. 当时，点P在线段上 D. 当时，点P在线段上 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知，过点作圆的切线，切点分别为，则下列命题中真命题是（ ） A. B. 直线的方程为 C. 圆与共有4条公切线 D. 若过点的直线与交于两点，则当面积最大时，. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心坐标和半径，结合切线性质求，判断A， 求过点的圆的方程，再求其与圆的公共弦可得直线的方程，判断B， 判断圆与圆的位置关系，判断C， 结合三角形面积公式求的面积的最大值，求，判断D， 【详解】因为圆的方程为， 所以圆心的坐标为，半径为，所以， 又，所以， 由已知， 所以，A正确， 因为， 所以点四点共圆，且圆心为的中点， 线段的中点坐标为， 所以圆的方程为，即， 因为，所以圆与圆相交， 又圆的方程可化为 所以圆与圆的公共弦方程为， 故直线的方程为，B正确， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，， 所以圆与圆相交，故两圆只有2条公切线，C错误； 设，则， 的面积， 所以当时，面积取最大值，最大值为，此时，D正确. 故选：ABD. 三､填空题（每小题5分） 12. 已知数列满足，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得. 【详解】数列中，，，显然， 则有，即，而， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为： 13. 设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得. 【详解】因为双曲线，则，，所以， 因为为双曲线右支上一点，所以，又， 所以，，， 由余弦定理， 即，解得，又， 所以. 故答案为： 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 四､解答题（15题13分、16题与17题各15分、18题与19题各17分） 15. 某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示： 社团 街舞 围棋 武术 人数 48 42 30 为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人. （1）求三个社团分别抽取了多少同学； （2）已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生，若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女同学担任监督职务的概率. 【答案】（1）街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，， （2） 【解析】 【分析】（1）设抽样比为，则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，，，由题意列出方程求出，即可得出答案； （2）由（1）知，从围棋社团抽取的同学有7人，其中2名女生记为A，B，5名男生记为C，D，E，F，G．利用列举法，古典概型公式能求出概率． 【小问1详解】 设抽样比为，则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，，. 由题意得，解得 故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，，. 【小问2详解】 由（1）知，从围棋社团抽取的同学有7人，其中2名女生记为A，B，5名男生记为C，D，E，F，G. 从中随机选出2人担任该社团活动监督职务，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种不同的结果， 至少有1名女同学担任监督职务，有，，，，，，，，，，，共11种不同的结果， 所以至少有1名女同学担任监督职务的概率为. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求边c及的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简为，从而可得，结合角的范围可得，从而可求得； （2）由正弦定理求得，再根据余弦定理可求得，由求得，进而求得，，再结合和角正弦公式可得. 【小问1详解】 根据正弦定理， 由可得. 即，即， 因为，所以. 所以，即. 【小问2详解】 由正弦定理，可得，解得， 根据余弦定理可得， 即，，解得或（舍去） 故. 因为，所以，所以， 所以， ， 所以. 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，，点为中点，. （1）求证：平面； （2）已知点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，可证，从而得到，即有平面，可得，由，可得，即可证明平面，即，再由，得，从而证明平面； （2）以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量为，表示出，代入向量夹角公式，可得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 连接. 因为，且，所以， 因为，所以.因为是棱的中点，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 由题意可得，则，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，所以. 因为平面，且，所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 从而，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，求得， 解法1：根据题意，转化为，结合，结合基本不等式，即可求解； 解法2：根据题意，转化为，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，，解得， 当时，， 两式相减可得，， 则， 叠加可得，，则， 而时也符合题意， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 故； 解法1：由，可得， 即，即则，又由， 当且仅当时取等号，故实数的取值范围为． 解法2：由， 可得， 当，即时，， 则，故实数的取值范围为． 19. 已知直线与抛物线交于两点，且． （1）求； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【小问1详解】 设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． 【小问2详解】 因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【点睛】本题解题关键是根据向量数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$