22.3 实际问题与二次函数 同步训练 2024-2025学年人教版 九年级数学上册

22.3 实际问题与二次函数 一、选择题： 1.对于抛物线，下列结论正确的是(    ) A. 图象过原点 B. 顶点是 C. 对称轴是直线 D. 有最小值 2.二次函数为常数，部分，的对应值如下表： 则下列判断中正确的是(    ) A. 函数图象的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时， D. 最小值为 3.二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是(    ) A. 函数有最小值 B. 当时， C. D. 当时，随的增大而减小 4.如图，线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以点为圆心，线段长为半径作圆．设点的运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是(    ) A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系 5.已知函数在上的最大值是，最小值是，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.在年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度单位：米与飞行的水平距离单位：米之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率与加工时间单位：分钟满足的函数关系、、是常数，如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(    ) A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 8.点在二次函数为常数的图象上，当时，二次函数的最大值与最小值的差为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.心理学家研究发现，某年龄段的学生内对概念的接受能力与提出概念所用时间之间满足函数表达式：，则第          时学生接受概念的能力最强． 10.某厂今年一月份新产品的研发资金为元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年三月份新产品的研发资金元关于的函数关系式为          ． 11.二次函数的最大值是          ． 12.已知二次函数均是实数，设该函数最小值为，若，，则的取值范围是          。 13.如图，壮壮同学投掷实心球，出手点处的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是若实心球落地点为，则 ______ 14.已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为，则的值为          ． 三、解答题： 15. 设人民币一年定期储蓄的年利率是，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果本金是元，写出两年后的本息之和元与年利息之间的函数表达式． 16. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球的运动时间单位：之间的关系式是求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 17. 已知二次函数为常数． 若函数图象经过点，求二次函数的表达式； 当时，有最大值为，求的值； 若点，都在该函数的图象上，当时，求的取值范围． 18. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是身高的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手时，绳子刚好经过她的头顶． 求绳子所对应的抛物线的解析式不要求写自变量的取值范围 身高的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶 身高的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出的取值范围． 19. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为，隔离区面积为． 求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 求隔离区面积的最大面积． 20. 如图，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为单位：． 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； 下边缘抛物线落地点的坐标为          ； 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，的取值范围为          ． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：令，则，则抛物线过点，故本选项不符合题意； B.顶点是，故本选项不符合题意； C.对称轴是直线，故本选项符合题意； D.抛物线开口向下，函数有最大值，故本选项不符合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】解：由表格可知， 该函数图象的对称轴为直线， 函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项B正确，符合题意； 当时，或，故选项C错误，不符合题意； 当时，取得最小值，这个最小值小于，故选项D错误，不符合题意； 故选：． 根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3.【答案】  【解析】解：由函数图象可得， 该函数有最小值，故选项A正确， 当时，，故选项B错误， 当时，，故选项C正确， 当时，随的增大而减小，故选项D正确， 故选B． 根据图象和二次函数的性质可以解答本题． 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答． 4.【答案】  【解析】【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，， 即，是一次函数； 的面积为，即，是二次函数 故选C 【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：函数的对称轴为直线， 当时，有最小值，此时， 函数在上的最小值是， ； 当时，，对称轴为直线， 当时，， 函数在上的最大值是，且； ． 故选：． 先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是，得出；再求得当时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得的下限． 本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【解答】 解：当时，则， 解得舍去或， 则小康这次实心球训练的成绩为米． 7.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点，，， 则 解得： ， 最佳加工时间为分钟， 故选：． 8.【答案】  【解析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意可知，点在二次函数为常数的图象上，且，代入解得或舍去，因为抛物线的对称轴为直线，当时，二次函数有最小值，当时，二次函数有最大值，即二次函数的最大值与最小值的差为． 【详解】解：将代入得： ， ， ， 解得：或舍去 ， 即， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， 当时，二次函数有最大值， 即二次函数的最大值与最小值的差为． 故选D． 9.【答案】  【解析】本题主要考查了二次函数性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据二次项系数小于零判断该二次函数的图像开口向下，有最大值，求出对称轴即可． 【详解】解：所用时间为时，学生接受概念的能力最强，理由如下： ， 该二次函数的图像开口向下，有最大值， 此时， 所用时间为时，学生接受概念的能力最强． 故答案为：． 10.【答案】  11.【答案】  【解析】【分析】根据二次函数的性质和最值，即可得到答案． 【详解】解：在中， ，对称轴为， 当时，二次函数取到最大值； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题． 12.【答案】  【解析】解：二次函数的图象向上平移个单位得到， 可知对称轴为直线， 函数的最小值， ，， ， 13.【答案】  【解析】解：如图，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系， 由题意可知，，，其中点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：， 将代入上式， 解得：， 即抛物线的解析式式为：， 为抛物线与轴的交点， 即， 解得：，舍， 故答案为：． 以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，，，其中点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：，将代入上式，求出的值，进而求出抛物线表达式，最后将代入表达式中即可得出答案． 本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系是解题的关键． 14.【答案】    【解析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键． 根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值即可． 【详解】 解：，的解集为， ，方程的解集为，， 该函数的对称轴是直线，即， ， 当时，有最大值， ， 当时，有最小值， 函数最大值与最小值的差为， ，解得：． 故答案为：． 15.【答案】解：元本金一年到期后的本息和是元，元本金一年到期后的本息和是元， ． 两年后的本息之和元与年利率之间的函数表达式是，其中． 16.【答案】解：， 不写不扣分 当时，最大． 答：小球运动秒时，小球最高，最大高度是．  【解析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出的顶点坐标即可． 本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果． 17.【答案】【小题】 解：该函数的图象经过点， ， 解得：， 函数的表达式为， 【小题】 函数的对称轴为直线，开口向上， 当时，有最大值为， 当时，或时取得最大值，， 当时，即， 当时，函数取得最大值，即，解得，，不合题意，舍去； 当时，即 当时，函数取得最大值，即，解得，，符合题意； 综上所述，的值为； 【小题】 点，都在该函数的图象上， ， ， ，即 解得   【解析】  此题考查了二次函数的图象和性质． 把代入函数解析式求出，即可得到答案；   根据的取值分，，三种情况讨论求解即可；   根据题意得到，，由得到，即可求出的取值范围． 18.【答案】解：设抛物线的解析式为：， 抛物线经过点，，， ，解得， 绳子对应的抛物线的解析式为：； 不能， 理由：， ， 有最大值， ， 身高的小兵，站在绳子的正下方，绳子不能通过他的头顶； 当时，， 解得，， ． 故的取值范围为．  【解析】因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：，把，，代入，得到三元一次方程组，解方程组即可； 由自变量的值求出函数值，再比较便可； 由时求出其自变量的值，便可确定的取值范围． 本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题． 19.【答案】【小题】 设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一面的长为， ； 【小题】 ， ，，， 当时，有最大值，最大值， 隔离区面积最大为． 【解析】  设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一面的长为，然后根据长方形面积公式进行求解即可；   利用二次函数的性质进行求解即可． 20.【答案】【小题】 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得舍去， 喷出水的最大射程为； 【小题】 【小题】 【解析】  本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；   由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； 解：对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为， 故答案为：；   根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 解：， ， ，， ，， ， 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，的取值范围为， 故答案为：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$