5.3.2.函数的极值与最大（小）值【8大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

5.3.2.函数的极值与最大（小）值 【考点梳理】 · 考点一：求函数的极值 · 考点二：由极值（点）求参数问题 · 考点三：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系 · 考点四：函数的最值与极值的关系 · 考点五：不含参函数的最值问题 · 考点六：由函数的最值求参数问题 · 考点七：已知函数的最值求参数问题 · 考点八：函数的单调性、极值和最值的综合问题 【知识梳理】 知识点01：函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点02：函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点03：函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 知识点04：求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【题型归纳】 题型一：求函数的极值 1．（24-25高二下·全国）求下列函数的单调区间和极值点： (1)； (2). 2．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值为0 B．有极小值，且极小值为 C．有极大值，且极大值为0 D．有极大值，且极大值为 3．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 题型二：由极值（点）求参数问题 4．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（    ） A． B．2 C．2或0 D．0 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系 7．（23-24高二下·四川眉山·期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上有极大值 D．是函数的极小值点 8．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．是极大值点 C．的图象在点处的切线的斜率等于0 D．在区间内一定有2个极值点 9．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论： （1）在区间上单调递增 （2）的单调减区间为和 （3）的极值点有，0，2 （4） 其中结论一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：函数的最值与极值的关系 10．（22-23高二下·甘肃金昌·期中）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极大值点 C．的单调递增区间是 D．无最小值 11．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 12．（21-22高二下·贵州遵义·期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 题型五：不含参函数的最值问题 13．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）函数，已知在时取得极值，则上的最大值为（    ） A． B．1 C．9 D．4 14．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 15．（23-24高二下·江西九江·期末）函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型六：由函数的最值求参数问题 16．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型七：已知函数的最值求参数问题 19．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 20．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 题型八：函数的单调性、极值和最值的综合问题 22．（24-25高二下·广西南宁）已知函数． (1)过原点作曲线的切线，求该切线的方程； (2)设，求在的最值． 23．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 24．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 25．（23-24高二下·天津滨海新）函数的极大值点是（   ） A． B．1 C． D． 26．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 27．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数，下列说法错误的是（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 29．（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值，在处取得最小值 B．的极大值点为，极小值点为 C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．的增区间为和，减区间为 31．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 33．（24-25高二下·河北沧州·开学考试）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 34．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）设函数，则（    ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．存在a，使得点为曲线的对称中心 D．存在a，b，使得为曲线的对称轴 35．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在的值域为 C．函数在点处的切线方程为 D．关于的方程有2个不同的根当且仅当 36．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 37．（24-25高二下·全国）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 38．（23-24高二下·湖南益阳）已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 39．（24-25高二下·全国·课后作业）函数的最小值为 ，最大值为 ． 40．（23-24高二下·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 41．（23-24高二下·天津滨海新·期末）若函数只有一个极值点，则的取值范围是 ． 42．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 43．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）对于函数和，及区间，存在实数使得对任意恒成立，则称在区间上优于.若在区间上优于，则实数的取值范围是 四、解答题 44．（24-25高二下·陕西西安·开学考试）已知函数在处的切线平行于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 45．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数（且）． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：． 46．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数，曲线在处与直线相切. (1)求、的值； (2)求在上的最大值和最小值.（其中为自然对数的底数） 47．（23-24高二下·天津滨海新·期中）设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值． 48．（23-24高二下·天津宝坻·阶段练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，对任意，有成立，求实数b的取值范围． 49．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)证明：存在源数列； (2)（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）记的源数列为，证明：的前项和. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.2.函数的极值与最大（小）值 【考点梳理】 · 考点一：求函数的极值 · 考点二：由极值（点）求参数问题 · 考点三：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系 · 考点四：函数的最值与极值的关系 · 考点五：不含参函数的最值问题 · 考点六：由函数的最值求参数问题 · 考点七：已知函数的最值求参数问题 · 考点八：函数的单调性、极值和最值的综合问题 【知识梳理】 知识点01：函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点02：函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点03：函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 知识点04：求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【题型归纳】 题型一：求函数的极值 1．（24-25高二下·全国）求下列函数的单调区间和极值点： (1)； (2). 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间，无极值点 (2)单调递减区间为和，单调递增区间为，极小值点为1，极大值点为2 【分析】（1）求导，即可根据导函数的符号求解单调区间，然后根据极值的概念求解； （2）求导，即可根据导函数的符号求解函数单调性，即可由极值定义求解. 【详解】（1）. 恒为正， 的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值点. （2） ， 令，得，． 当变化时，和的变化情况如表所示． 1 2 0 0 递减↘ 极小值 递增↗ 极大值 递减↘ 故的单调递减区间为和，单调递增区间为. 是函数的极小值点，是函数的极大值点. 2．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值为0 B．有极小值，且极小值为 C．有极大值，且极大值为0 D．有极大值，且极大值为 【答案】D 【分析】对进行求导，令，得出极值点，根据极值定义进行求解 【详解】由，得， 令， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以时，函数有极大值为 故选：D 3．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义可得，结合，即可求实数的值； （2）由（1）知，根据导函数的符号，可求的单调区间和极值. 【详解】（1）， 由题意知，，所以 又因为，所以； （2）由（1）知， 当时；当时，； 当时， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，取得极大值； 当时，取得极小值， 题型二：由极值（点）求参数问题 4．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围. 【详解】因为函数在上无极值, 所以在上无变号零点，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C. 5．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（    ） A． B．2 C．2或0 D．0 【答案】D 【分析】对函数求导，根据极小值点求参数，注意验证即可得答案. 【详解】由，则，得或2， 时，，在R上单调递增，不满足； 时，，在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设， 所以. 故选：D 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验时不符合题意，即可得解. 【详解】函数，， 若函数在区间上有极值点， 则在区间内有零点， 由可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C． 题型三：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系 7．（23-24高二下·四川眉山·期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上有极大值 D．是函数的极小值点 【答案】D 【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，再结合极大值和极小值点的定义即可得解. 【详解】根据导函数图象知，当时，，当 时， ， 当时，，故AB正确； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，即函数在上有极大值，故C正确； 函数的极小值点为，故D错误. 故选：D. 8．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．是极大值点 C．的图象在点处的切线的斜率等于0 D．在区间内一定有2个极值点 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C不正确； 对于D中，由函数的图象，当时，；当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确. 故选：D. 9．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论： （1）在区间上单调递增 （2）的单调减区间为和 （3）的极值点有，0，2 （4） 其中结论一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据给定的图象求出大于0或小于0的x取值范围，再逐一判断各个命题作答. 【详解】观察图象知，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，（1）错误，（2）正确； 因为的左右两侧导函数符号不变，则不是的极值点，故（3）错误； 由于函数在上单调递增，则，故（4）错误. 所以结论一定正确的个数是1. 故选：A 题型四：函数的最值与极值的关系 10．（22-23高二下·甘肃金昌·期中）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极大值点 C．的单调递增区间是 D．无最小值 【答案】C 【分析】由图象可得出函数的单调区间，进而得出函数的极值点、最值点，即可得出答案. 【详解】对于A项，由已知图象，仅可得出函数的单调性以及极值点，并不能得出函数的值，故A项错误； 对于B项，由已知图象可知， 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以是的极小值点，无极大值点，故B项错误； 对于C项，由B可知，在上单调递增，故C正确； 对于D项，由B可知，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以D错误. 故选：C. 11．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【答案】D 【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解. 【详解】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：区分函数的极值和最值是解决本题的关键. 12．（21-22高二下·贵州遵义·期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 【答案】C 【分析】利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D. 【详解】根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，A选项正确； 函数在和上，单调递减，B选项正确； 所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误； 由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C 题型五：不含参函数的最值问题 13．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）函数，已知在时取得极值，则上的最大值为（    ） A． B．1 C．9 D．4 【答案】C 【分析】利用，求得，代入利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解函数的最值. 【详解】因为函数， 所以， 因为在时取得极值， 所以，解得， 所以，， ， 令，则，解得或（舍）， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值为. 故选：C. 14．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而可表示出函数的最小值，然后列方程可求出的值，从而可求出最大值. 【详解】由，得， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为的最小值为，所以， 所以， 因为，， 所以的最大值为. 故选：B 15．（23-24高二下·江西九江·期末）函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】解法一：求出，令，根据的正负确定的单调性即可求解； 解法二：令，通过求导判断函数的单调性即可求解. 【详解】解法一：，则， 令，则在上单调递增， 且，， 故存在，使得，，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以. 解法二：，令， 则，因为， 所以时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， ，即. 故选：. 【点睛】关键点点睛：求导之后，的零点存在，但无法求出，可采用虚设零点，分析零点所在的区间，结合函数的单调性即可推断. 题型六：由函数的最值求参数问题 16．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，然后对导函数再次求导，通过讨论单调性以及零点来求使不等式恒成立的实数a的取值范围. 【详解】由已知，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，，当时， 所以存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，不合题意， 所以则实数a的取值范围是. 故选：B. 17．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意不等式成立转化为，利用导数求最值解不等式即可. 【详解】由于，， ，， ，，即，在上单调递增， 由任意的，都有成立， 所以，即， ， ，又，得， 则实数的取值范围为， 故选：D． 18．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数与函数性质的关系，分类讨论的取值范围，分析得的最值，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以在单调递增， 此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去； 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在单调递减增， ①当时，在区间上单调递增， 所以最小值为，不符合题意舍去； ②当时，在上先减后增， 所以最小值为，解得； ③当时，在上单调递减， 所以最小值为，解得，不符合题意，舍去， 综上所述. 故选：D. 题型七：已知函数的最值求参数问题 19．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 20．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导可得，可求得的极值点，同时确认在各个区间的单调性，即可求得. 【详解】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为， 故选：D 21．（23-24高二下·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】变形不等式得到，设，求导得到函数单调性，得到，令，则求导得到函数单调性和极值最值情况，求出，设，求导得到单调性，并求出，，所以，得到答案. 【详解】不等式，即， 所以．设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以． 令，则． 当时，，单调递增，则， 故满足条件； 当时，在单调递减；在单调递增，则； 设，则，则在上单调递减， 又，所以， 所以，所以的最大值为． 故选：D 题型八：函数的单调性、极值和最值的综合问题 22．（24-25高二下·广西南宁）已知函数． (1)过原点作曲线的切线，求该切线的方程； (2)设，求在的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值 【分析】（1）求导，根据斜率可求解，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，根据导函数的正负即可求解. 【详解】（1）设切点为，由得， 所以所求切线的斜率为，即， 所以，即，故切点为， 所以所求切线的斜率为，切线方程为，即， 故所求切线的方程为． （2）由条件知，． 所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在单调性为：单调递减，单调递增， 所以． 又 ，所以最大值为： 所以在的最小值为，最大值为： 23．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先确定切点坐标，再根据导数的几何意义求切线斜率，依据点斜式可得切线方程. （2）求导，对的不同取值进行讨论，可得函数的单调区间.要注意：函数的定义域. （3）利用（2）的结论，可求问题（3）. 【详解】（1）当时，，. 又，所以. 所以切点坐标为，切线斜率为1， 所以切线方程为即. （2）因为， 当时，恒成立，函数在区间单调递增． 当时，令，解得， 在区间，，函数单调递减， 在区间，，函数单调递增. 综上可知：当时，函数在区间单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，函数无极值， 当时，函数在取得极小值， 所以，解得，所以． 所以实数的取值范围为： 24．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可； （2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间； （3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又在处的切线与直线垂直，所以， 即，所以. （2），. ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，令，得，又，所以. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由，得在上恒成立. 令，，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则在上恒成立. 令，， 则 . 因为，所以，则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 【高分演练】 一、单选题 25．（23-24高二下·天津滨海新）函数的极大值点是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数研究函数的区间单调性求极大值点即可. 【详解】由题设，当时，当或时， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值点是1. 故选：B 26．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 【答案】C 【分析】根据在处取得极值0可得，解出即可. 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 27．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数与方程的关系，将问题等价为函数图象求交点，利用导数研究函数的单调性与最值，作出图象，可得答案. 【详解】函数有两个零点等价于直线与函数的图象有两个交点． 对求导得，令，解得， 则当时，，单调递减且，当时，，单调递增， 则，作出函数的大致图象和直线，如图所示： 故的取值范围为． 故选：A． 28．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数，下列说法错误的是（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 【答案】C 【分析】对函数求导，根据导函数的正负确定原函数的单调性，通过计算关键点的值判断极值、零点情况以及函数的值域；通过验证是否成立判断D项. 【详解】由，可得， 当或时，；当时，. 即函数在上单调递减；在上单调递增. 对于A，由上分析知在处取得极小值，故A正确； 对于B，结合以上分析，因， 由零点存在性定理知，有3个零点，故B正确； 对于C，因在上递减，在上递增，在上递减， 而，故在区间上的值域为，故C错误； 对于D，因 ，即， 故曲线的对称中心为,即D正确. 故选：C. 29．（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 30．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值，在处取得最小值 B．的极大值点为，极小值点为 C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．的增区间为和，减区间为 【答案】C 【分析】根据图象判断导数符号可知单调性，可判断CD；根据单调性可判断AB. 【详解】由图可知，当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，D错误； 所以的极大值点为，极小值点为，B错误； 又， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，C正确； 所以，所以在处取不到最小值，A错误. 故选：C 31．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围. 【详解】函数，因为，，所以， 故在上单调递增，所以. 又，所以在上也是单调递增，所以. 因为对任意的，总存在，使成立，等价于， 所以，解得，故实数a的范围是. 故选：D. 32．（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形为有两个实根，变形得到，设，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导,即可求解最值得出的取值范围． 【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：由指对数运算等价变换为，即可由的单调性得. 二、多选题 33．（24-25高二下·河北沧州·开学考试）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】AD 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 34．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）设函数，则（    ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．存在a，使得点为曲线的对称中心 D．存在a，b，使得为曲线的对称轴 【答案】BC 【分析】A选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；B选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；C选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断； 【详解】A选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，A选项错误； B选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，B选项正确； C选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，C选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，C选项正确. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，D选项错误； 故选：BC 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心. 35．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在的值域为 C．函数在点处的切线方程为 D．关于的方程有2个不同的根当且仅当 【答案】BC 【分析】A通过判断在上是否恒大于等于0可得选项正误；B利用导数求出在上的单调性，据此可得值域；C由导数知识可得在点处的切线；D将问题转化为图象与直线有两个交点. 【详解】对于A，，，则在上单调递减，故A错误； 对于B，由A分析，，则在上单调递增， 则， 故函数在上的值域为； 对于C，由题，， 则点处的切线方程为，故C正确； 对于D，即图象与直线有两个交点，由上述分析可得大致图象如下， 则要使图象与直线有两个交点，，故D错误. 故选：BC 36．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AD 【分析】先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围. 【详解】，， 当时，，故在上单调递减； 当或时，，故在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值． 令，解得或， 函数在上存在最小值，且为开区间， ，解得． 故选：AD. 37．（24-25高二下·全国·课后作业）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 38．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】由，得，结合函数的单调性可得，由此判断AB，进而可得，构造函数，应用导数求其最大值即可判断CD. 【详解】由，得， 则，，， 两边同时取对数可得：， 又函数在单调递增， ∴，即，故A正确， 由，若，则， 此时，，，B错误； 所以，故， 设，则， 由，，可得，故在单调递增， 由，，可得，故在单调递减， 故，因此的最大值为，故C正确，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点睛：解题的关键是将其通过同构方法变形为，结合的单调性化简，求的最值的关键在于结合消元，将问题转化为求的最值. 三、填空题 39．（24-25高二下·全国·课后作业）函数的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 【分析】求导判断函数单调性，进一步可求得函数的最值. 【详解】，令，令，得， 令，得或，所以函数在上单调递增， 在，上单调递减，所以的极小值为，极大值为． 又当时，，当时，，所以的最小值为，最大值为1． 故答案为：，1. 40．（23-24高二下·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 【答案】 【分析】求导，当时，恒成立，不合要求，，至少有两个变号零点，令，则至少有两个不等正根，由根的判别式和韦达定理得到不等式，求出，得到答案. 【详解】定义域为R，， 当时，恒成立， 故在R上单调递增，故不存在极值，不合要求， 故，且至少有两个变号零点， 令，则需有两个不等正根， 令， 需满足，解得， 综上，，故整数a的最大值为. 故答案为： 41．（23-24高二下·天津滨海新·期末）若函数只有一个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】使用导数研究函数的性质，然后计算得到，再利用的性质分类讨论得到结果. 【详解】设，则，故对有，对有. 所以在上递减，在上递增. 同时，有. 当时，根据的单调性，对有. 所以对有，对有. 从而在和上递减，在上递增. 即在上递减，在上递增，这表明恰有一个极值点，满足条件； 当时，根据的单调性，有 . 故，，. 结合，知方程在和上各有一个零点，分别记为. 结合的单调性，知对有，对有. 此时，我们又有. 所以当时，由知，再由知. 所以对有，对有. 从而在和上递减，在和上递增，这表明有三个不同的极值点，不满足条件； 当时，由及，知. 所以对有，对有. 从而在上递减，在和上递增. 此即在上递减，在上递增，这表明恰有一个极值点，满足条件； 当时，由知. 所以对有，对有. 从而在和上递减，在和上递增，这表明有三个不同的极值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造恰当的函数，并分类讨论. 42．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由函数极值点可求得，依题意只需在上恒成立即可，令函数并利用导数求出其在上的最小值即可得结果. 【详解】由题意得，，故， 取，，， 当，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 为函数的极值点，满足要求，故， 所以即在上恒成立， 只需在上恒成立； 令，则，令，解得； 当时，，可知在上单调递减； 当时，，可知在上单调递增； 所以在为在内唯一的极小值点，也是最小值点， 故，即， 即只需即可. 故答案为：. 43．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）对于函数和，及区间，存在实数使得对任意恒成立，则称在区间上优于.若在区间上优于，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可得符合条件的直线应为在的公切线，据此计算验证即可. 【详解】因为，且， 若在区间上优于， 可知符合条件的直线应为在的公切线， 则，可得，则切线方程为， 令在上恒成立， 令，求导可得， 当，可得，在单调递增， 当，可得，在单调递减， 所以，即在上恒成立， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 44．（24-25高二下·陕西西安·开学考试）已知函数在处的切线平行于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求函数的导函数，再根据切线斜率为0计算求参； （2）先求函数的导函数，再求解函数的单调性进而得出函数的极小值即可. 【详解】（1）由可得， 则， 由于，故， （2）， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 45．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数（且）． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得并因式分解，然后对进行分类讨论来求得的单调区间. （2）利用构造函数法，结合导数、零点存在性定理等知识来证得不等式成立. 【详解】（1）， ①当时，当时，，时，， 所以的递增区间是，，递减区间为； ②当时，当时，，时，， 所以的递增区间是，，递减区间为． 综上，当时，的递增区间是，，递减区间为； 当时，的递增区间是，，递减区间为． （2）当时，， 由题意可得，只需证明， 方法一：令， 则， 令，易知在上单调递增，，， 故存在，使得，即， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增， 故时，取得唯一的极小值，也是最小值． ， 所以，即当时，． 方法二：不等式等价于， 只需证， 令，所以， 当时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，即，当且仅当时取得等号， 用替代得到，函数在上单调递增， 且，， 故存在，使得， 所以，当且仅当时取得等号， 所以，即当时，． 【点睛】方法点睛： 对于含参数的函数单调性问题，求导后因式分解，根据参数与导数零点的大小关系进行分类讨论是常用方法.通过确定导数在不同区间的正负，得出函数的单调区间. 证明不等式时常采用构造函数法，可以直接构造函数，通过研究其单调性和最值来证明不等式，如方法一；也可以对不等式进行适当变形后构造函数，利用已有的函数性质进行证明，如方法二利用这一结论进行替换证明. 46．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数，曲线在处与直线相切. (1)求、的值； (2)求在上的最大值和最小值.（其中为自然对数的底数） 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题意可得，可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值； （2）利用导数分析函数在上的单调性，即可求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）因为函数，其中，则， 因为曲线在处与直线相切， 所以，，解得. （2）由（1）可得，所以，， 当时，，当时，， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数在处取得极大值即最大值，则， 又，， 所以，. 47．（23-24高二下·天津滨海新·期中）设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程； (2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【详解】（1）由题意知，，即切点为， 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： （2）令，即得， 令，则得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为，， 的极小值点为，， 又,, 故在区间上的最大值为，最小值为. 48．（23-24高二下·天津宝坻·阶段练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，对任意，有成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增： (2)． 【分析】（1）把代入的表达式，利用导数求出函数的单调区间． （2）根据给定条件，把不等式转化为，求出函数在指定区间上的最大最小值，建立不等式并求解即得． 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，求导得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． （2）由对任意，有成立， 而，则， 由，得， 于是，所以． 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，， 而与，则， 设，求导得， 即函数在上单调递增，则，即有， 从而，于是，即， 设，求导得，函数在上单调递增， 而，因此不等式，即为，而，解得， 所以b的取值范围为． 【点睛】关键点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 49．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)证明：存在源数列； (2)（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）记的源数列为，证明：的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）由由函数单调性和值域结合“源数列”定义即可证明； （2）（i）分离参数，利用导数研究函数的单调性求解最值即可求解； （ii）由（i）得，故，结合得到，即可推出，继而可用放缩法得到，从而利用裂项法求和，证明不等式. 【详解】（1）证明：由， 得， 则在区间上单调递减. 又，当且，，     所以的值域为， 所以，令可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为， 即，都存在唯一的实数，使得， 即存在源数列. （2）（i）恒成立，即恒成立. 令，即恒成立. 令，则， 令，，则，当且仅当时取等号， 所以在区间上单调递减，     所以，即，所以在区间上单调递增，     可得，故. （ii）证明：由（i）得，故， 则（且）， 当时，； 当时，. 综上，的前项和. 【点睛】关键点睛：证明的前项和的关键是利用（i）得到，进而推出，再利用放缩法得到. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$