5.2：导数的运算【4大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第二册)

5.2：导数的运算 【考点归纳】 · 考点一：利用导数公式求函数的导数 · 考点二：导数的运算法则 · 考点三：复合函数求导 · 考点四：与切线有关的综合问题（切点、某点） 【知识梳理】 知识01：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识02：导数的运算法则 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 知识03：复合函数的导数 1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． 重难点规律归纳： 一：求复合函数的导数的步骤 二：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 【题型归纳】 题型一：利用导数公式求函数的导数 1．（24-25高二下·全国）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本初等函数求导法则即可得解. 【详解】由题意，，，. 故选：C. 2．（23-24高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1). (2). (3). (4). (5). (6)y′=. (7). 【分析】根据基本初等函数的导数公式逐个求解即可. 【详解】（1） （2） （3） （4），故 （5），故 （6） （7） 3．（22-23高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据基本初等函数的导数公式求导即可. 【详解】（1）， . （2）. （3）. （4）， . （5）， . （6）. （7）. （8）. 题型二：导数的运算法则 4．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列求函数的导数不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求导法则进行判断 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：B 5．（23-24高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数运算法则即可求解. 【详解】（1） . （2）. （3）. （4）方法一 ： . 方法二 ： ， . 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案； （2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案； （3）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）． 题型三：复合函数求导 7．（23-24高二下·四川凉山·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)（为常数）； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数加法法则和复合函数求导即可； （2）根据导数除法和导数减法法则即可； （3）根据导数乘法法则即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 8．（23-24高二下·贵州黔西·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】结合复合函数导数以及导数运算求得函数的导数. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以 . （4）因为， 所以. 9．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据导数的四则运算公式和复合函数的求导公式进行求解. 【详解】（1），则； （2），则 （3）设，对求导为， 由，对求导为， 根据复合函数的求导法则， 于是 （4）函数，设， 则， 根据复合函数的求导法则， 则； 题型四：与切线有关的综合问题（切点、某点） 10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)4047； (2)； (3)或 【分析】（1）由平均变化率的公式即可求解； （2）依次求出的值，利用导数的几何意义即可求切线方程； （3）首先设出切点坐标，利用可求出切点坐标，可得切线方程． 【详解】（1）在区间上的平均变化率为 ． （2）由，有，从而，， 则切点坐标为，切线斜率为4， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （3）易知直线与曲线不相切， 故设切点为， 则由，可得，即，解得或， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，显然它过点， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点， 综上所述，满足题意的切线方程为或． 11．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）已知函数. (1)若，，求曲线在处的切线方程； (2)当时，曲线过点的切线有三条，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，利用导数几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程化简即可. （2）设切点为,根据导数的几何意义及两点式斜率公式可得，将原问题转化为方程有3个不同的实根问题，从而有两个不同的，且不为0的实根，根据二次方程根的分布列式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，则， 从而， 故所求切线方程为，即. （2）设过点的切线的切点为, 因为，所以，则， 故切线的斜率. 又，所以， 整理得，即. 因为曲线过点的切线有三条， 所以关于的方程有3个不同的实根， 所以关于的方程有两个不同的，且不为0的实根， 则，解得或或， 即的取值范围为. 12．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值； (2)若，过点作曲线的切线，求此切线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，解出在点处的切线斜率，令斜率得即可解出的值； （2）代入化简函数，求出过点的切线方程，进而解出此切线与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】（1）直线的斜率为，所以切线斜率为， 由，，所以， 则，所以. （2） 如图：由题意知：，所以，定义域为， 由，则过点作曲线的切线斜率一定存在， 设切点为，设切线斜率为，则， 则， 又因为切线过两点，所以， 所以，解得，或（舍）， 所以，， 切线方程为，即， 令，，即切线横截距为，纵截距为， 所以此切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 【高分演练】 一、单选题 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：C. 14．（24-25高二下·全国·单元测试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误． 故选：B. 15．（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 16．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）若函数在点处的切线与平行，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据切点与斜率以及导数求得，进而求得. 【详解】直线的斜率为， ， 解得，所以. 故选：D 17．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）下列求导运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数运算法则及求导公式，逐项求导判断即可. 【详解】对于A：，A错误； 对于B，令，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 故选：A 18．（23-24高二下·湖北·期中）下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用求导公式分别求出各个选项的导数，即可得出答案． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，是常数，导数为0，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：C． 19．（23-24高二下·山东·期中）已知曲线过点的切线与函数的图象只有一个公共点，则的值为（    ） A．0或1 B．0或 C． D．1 【答案】A 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，分类讨论和时，方程只有一个解求解即可. 【详解】设切线与曲线的切点为， 函数的导函数为，故， 解得，所以，故切线方程为， 当时，，显然成立， 当时，与联立，， 其中，解得， 综上所述，的值为0或1. 故选：A 20．（23-24高二下·江西萍乡·期中）等比数列中，，函数的导函数为，则（    ） A． B．4 C． D．0 【答案】A 【分析】先对函数求导，然后把代入导函数中，结合等比数列的性质即可求解． 【详解】因为等比数列中，，函数， ， 则． 故选：A． 二、多选题 21．（24-25高二下·山东济宁·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用求导法则进行计算，对四个选项逐个判断即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 22．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A． B． C．设函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则求解即可. 【详解】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误； 对于选项B:结合题意可得：,故选项B正确； 对于选项C: ,由， ，解得，故选项C正确； 对于选项D:结合题意可得：,， 解得，故选项D错误. 故选：BC. 23．（22-23高二下·广东阳江·期中）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数运算法则求解即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 24．（23-24高二下·广东湛江·期中）定义域为R的函数的导函数为，若是奇函数，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用奇函数的性质即可判断A选项；利用抽象函数的赋值法可判定B、C选项；利用赋值法结合抽象函数的奇偶性，周期性即可判断D项. 【详解】对于A，因为为奇函数且定义域为R，所以，所以A错误； 对于B，令，则，解得．所以B正确； 对于C，令得，， 即，所以C正确； 对于D，令得．， 因为，，所以，所以， 因为是奇函数，所以是偶函数，所以， 所以，所以，所以，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令,及构造并判定其是否相等，另外结合函数的奇偶性与其导函数奇偶性的关系可得出最终结果，还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更快捷的得出结果. 25．（23-24高二下·陕西渭南·期中）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用导数运算法则及求导公式，逐项计算即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 三、填空题 26．（24-25高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线的斜率为2，则 ． 【答案】2 【分析】求出函数的导数，由，可求的值. 【详解】由题得， 由，得． 故答案为：2 27．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义列出相应方程组，即可求得答案. 【详解】． 由于直线的斜率为，且过点， 故即解得. 故答案为：1；1. 28．（2024·四川·模拟预测）若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 . 【答案】 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，根据两直线相等，列方程可得，进而代入在直线上，求解. 【详解】因为，所以， 设直线与的切点为，则切线方程为，即， 又因为，所以解得，所以切线方程为， 因为，所以， 设直线与的切点为，所以①， 又因为切点在直线上，所以②， 由①和②可得，所以，解得. 故答案为： 29．（23-24高二下·山东菏泽·期中）函数的图象在点处的切线方程的斜率为 . 【答案】 【分析】先求出导函数，接着根据导函数意义求出即为解. 【详解】由题得， 所以函数在点处的切线方程的斜率为. 故答案为：. 30．（23-24高二下·安徽·期中）已知函数为定义在R上的函数的导函数，若，，且，则 . 【答案】 【分析】由题意可得关于直线对称，关于对称，从而求得8为函数的一个周期，进而可求解. 【详解】函数的定义域为，因为， 所以函数关于点对称， 因为，两边求导：， 所以关于直线对称， 又， 所以函数关于对称， 则，又， 所以，即， 所以，所以8为函数的一个周期， 所以，，，， 所以 . 故答案为： 四、解答题 31．（23-24高二下·海南海口·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可． 【详解】（1） （2） （3） （4），则 （5） 32．（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用求导法则求导即得； （2）利用分式函数的求导法则求导即得； （3）利用分式函数的求导法则求导即得； （4）利用复合函数的求导法则求导即得. 【详解】（1） （2） （3） （4） 33．（23-24高二下·四川成都·期中）求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5). 【分析】根据求导四则运算法则和复合函数求导法则进行计算 【详解】（1）由可得； （2）由可得； （3）由得； （4）由， 则； （5）由， 则. 34．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程; (2)求过点且与曲线相切的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求导可得，又，可求切线方程； （2）设曲线在点处的切线过点，求得曲线在点处的切线方程，利用过点，可求解得切线方程. 【详解】（1）由函数，可得， 所以，又， 所以的图象在点处的切线方程为， 即； （2）设曲线在点处的切线过点， 由（1）可得，又， 所以曲线在的切线方程为， 又曲线过点，所以， 解得或， 当时，，化简为， 当时，，化简为, 所以过点且与曲线相切的切线方程为.或. 35．（23-24高二下·贵州黔西·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【答案】(1) (2)，切点为 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）设切点为，得到切线的斜率，再由切线过点，求出的值，即可求出切点坐标与切线方程； 【详解】（1）由题意，函数的导数为，所以， 即曲线在点处的切线斜率为4，且切点为， 所以切线方程为，即为； （2）设切点为，可得切线的斜率为， 所以切线方程为， 又切线过原点，可得，解得， 即切点为， 所以切线方程为，即． 36．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数，． (1)若直线为曲线的一条切线，求出b与k的函数关系式； (2)当时，过点的的切线l也与曲线相切，试求直线l的条数． 【答案】(1) (2)1条 【分析】（1）根据题意，设出切点，表示出切线方程，结合导数的几何意义，列出方程，即可求解； （2）根据题意，由导数的几何意义即可表示出切线方程，再结合切线与曲线相切，即可得到，转化为函数图像的交点即可求解. 【详解】（1）设切点为，则，，则切线方程为， 整理可得，可得，， 则，可得， 故b与k的函数关系式为． （2）过点的切线方程为， 整理可得直线l的方程为． 设直线l与曲线相切于点，可知， 且，，可变为， 结合切线l的方程可得，整理可得． 如图所示，画出与的图像， 可知当时，只有一个交点，即在上只有一个解， 则切线l也只有一条． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2：导数的运算 【考点归纳】 · 考点一：利用导数公式求函数的导数 · 考点二：导数的运算法则 · 考点三：复合函数求导 · 考点四：与切线有关的综合问题（切点、某点） 【知识梳理】 知识01：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识02：导数的运算法则 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 知识03：复合函数的导数 1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． 重难点规律归纳： 一：求复合函数的导数的步骤 二：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 【题型归纳】 题型一：利用导数公式求函数的导数 1．（24-25高二下·全国）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·全国）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 3．（22-23高二下·全国）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 题型二：导数的运算法则 4．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列求函数的导数不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3) 题型三：复合函数求导 7．（23-24高二下·四川凉山·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)（为常数）； (3)． 8．（23-24高二下·贵州黔西·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； 9．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． (4)； 题型四：与切线有关的综合问题（切点、某点） 10．（2024高三·全国）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 11．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）已知函数. (1)若，，求曲线在处的切线方程； (2)当时，曲线过点的切线有三条，求的取值范围. 12．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值； (2)若，过点作曲线的切线，求此切线与坐标轴围成的三角形的面积． 如图：由题意知：，所以，定义域为， 【高分演练】 一、单选题 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·全国·单元测试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·重庆九龙坡）若函数在点处的切线与平行，则（    ） A．2 B．0 C． D． 17．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）下列求导运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·湖北·期中）下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二下·山东·期中）已知曲线过点的切线与函数的图象只有一个公共点，则的值为（    ） A．0或1 B．0或 C． D．1 20．（23-24高二下·江西萍乡·期中）等比数列中，，函数的导函数为，则（    ） A． B．4 C． D．0 二、多选题 21．（24-25高二下·山东济宁·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A． B． C．设函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 23．（22-23高二下·广东阳江·期中）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·广东湛江·期中）定义域为R的函数的导函数为，若是奇函数，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·陕西渭南·期中）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 26．（24-25高二上·全国）若曲线在点处的切线的斜率为2，则 ． 27．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则 ， ． 28．（2024·四川·模拟预测）若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 . 29．（23-24高二下·山东菏泽·期中）函数的图象在点处的切线方程的斜率为 . 30．（23-24高二下·安徽·期中）已知函数为定义在R上的函数的导函数，若，，且，则 . 四、解答题 31．（23-24高二下·海南海口·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 32．（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 33．（23-24高二下·四川成都·期中）求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) (5) 34．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程; (2)求过点且与曲线相切的切线方程. 35．（23-24高二下·贵州黔西·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 36．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数，． (1)若直线为曲线的一条切线，求出b与k的函数关系式； (2)当时，过点的的切线l也与曲线相切，试求直线l的条数． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$