精品解析：宁夏回族自治区中卫市中宁县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

中宁县2024-2025学年第一学期 期末九年级质量监测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图放置的几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 若反比例函数y＝的图像经过点(2，－1)，则该反比例函数的图像在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 3. 宁夏素有“塞上江南”之美誉，这里既有古老的黄河文明，又有雄浑的大漠风光．某校开展“大美宁夏，闽宁同行”旅游主题活动．选取三个景点：A．沙坡头，B．六盘山，C．水洞沟．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点，则小明和小颖选择同一个景点的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC=2：3，则：（ ） A. 4：9 B. 4：25 C. 9：4 D. 3：2 7. 反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 8. 如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的有（ ）①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面积为60cm2；④BD=4cm． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为______． 10. 在同一时刻物高与影长成比例，小莉量得综合楼的影长为 6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为 0.6 米，则综合楼高为_______米． 11. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图， ，点P为的黄金分割点（），那么的长度为_________． 12. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 13. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 14. 如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面米高的地方，那么物体所经过的路程为______米． 15. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为_____． 16. 如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，求△AOB的面积． 三、解答题（共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）以点为位似中心，在轴的左侧画出将放大2倍后的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 19. 我校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形统计图与扇形统计图．根据图中提供的信息，完成以下问题： （1）本次共调查了______名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角的度数是______，并补全条形统计图； （2）从“不赞同”五位家长中（3女2男）随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用画树状图或列表的方法，求出选中“1男1女”的概率． 20. 如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF． （1）证明：四边形AECF是矩形； （2）若AB=8，求菱形的面积． 21. 如图是一张长，宽矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个相同边长的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒．若要制作一个底面积是的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 22. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 23. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求值． 24. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数、反比例函数关系式； (2)求△AOB的面积 (3) 当自变量x满足什么条件时，> .（直接写出答案） 25. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 26. 如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． （1）______；______；（用含的代数式表示） （2）用含的代数式表示点的坐标． （3）是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中宁县2024-2025学年第一学期 期末九年级质量监测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图放置的几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示． 【详解】解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示． 故选C． 【点睛】本题考查简单组合体三视图． 2. 若反比例函数y＝的图像经过点(2，－1)，则该反比例函数的图像在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解： 反比例函数的图像经过点， ， 反比例函数的图像在第二、四象限，故D正确． 故选：D. 3. 宁夏素有“塞上江南”之美誉，这里既有古老的黄河文明，又有雄浑的大漠风光．某校开展“大美宁夏，闽宁同行”旅游主题活动．选取三个景点：A．沙坡头，B．六盘山，C．水洞沟．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点，则小明和小颖选择同一个景点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 【详解】解：画树状图为： ∵共有9种等可能的结果数，其中小明和小颖选择同一个景点的结果数为3， ∴小明和小颖选择同一个景点的概率为． 故选：C． 4. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形网格的小正方形的边长为１，根据题意，得，则，利用余弦的定义解答即可． 本题考查了勾股定理，余弦计算，熟练掌握定理和定义是解题的关键． 【详解】解：设正方形网格的小正方形的边长为１，如图，根据题意，得，则， 故， 故选：B． 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据已知方程的根的情况来确定根的判别式，通过解不等式来求k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实根， ∴，且， 解得且． 故选：A． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC=2：3，则：（ ） A. 4：9 B. 4：25 C. 9：4 D. 3：2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得． 【详解】四边形ABCD是平行四边形 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟记相似三角形的判定与性质是解题关键． 7. 反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案． 【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示： （2）当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示： 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 8. 如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的有（ ）①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面积为60cm2；④BD=4cm． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为40cm， ∴AD=AB=BC=CD=10． ∵DE⊥AB，垂足为E， sinA=, ∴DE=6cm，AE=8cm，BE=2cm． ∴菱形的面积为：AB×DE=10×6=60cm2． 连接BD， ∵在三角形BED中，BE=2cm，DE=6cm， ∴BD=2cm ∴①②③正确，④错误； ∴结论正确的有三个． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故答案为：． 10. 在同一时刻物高与影长成比例，小莉量得综合楼的影长为 6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为 0.6 米，则综合楼高为_______米． 【答案】16 【解析】 【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出综合楼高度即可列方程解答． 【详解】解：设综合楼高度为xm， 列方程得：， 解得x=16， 故综合楼高为16米． 11. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图， ，点P为的黄金分割点（），那么的长度为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割比为是解题的关键． 根据题意得出，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 12. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系求解即可，一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知该函数在第一、第三象限，则有在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面米高的地方，那么物体所经过的路程为______米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了坡度坡角问题，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：由题意得：斜坡的坡度：，米，， ， ， 中，米， 故物体所经过的路程为米． 故答案为：． 15. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为_____． 【答案】3cm2． 【解析】 【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 【详解】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，底面三角形的高为cm，三棱柱的高为3cm， ∴其左视图为长方形，长为3cm，宽为cm， ∴面积为：3×＝（cm2）， 故答案为：cm2． 【点睛】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉． 16. 如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，求△AOB的面积． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC=BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD=OE=a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE求解． 试题解析：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E， ∵AC=CB， ∴OD=OE， 设A（-a，），则B（a，）， 故S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE= （+）×2a-a×-a×=3． 点睛：本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据AC=BC，得出OC为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解． 三、解答题（共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）7；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂公式，算术平方根，三角函数，绝对值的化简解答即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查了零指数幂公式，算术平方根，三角函数，绝对值的化简，解方程，熟练掌握三角函数，解方程是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）以点为位似中心，在轴的左侧画出将放大2倍后的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （2）根据分割法计算图形的面积即可． 本题考查了位似作图，计算图形的面积，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，画图如下： 且， 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 故的面积为：． 19. 我校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形统计图与扇形统计图．根据图中提供的信息，完成以下问题： （1）本次共调查了______名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角的度数是______，并补全条形统计图； （2）从“不赞同”的五位家长中（3女2男）随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用画树状图或列表的方法，求出选中“1男1女”的概率． 【答案】（1）200，27，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量计算即可，根据圆心角的计算方法解答即可； （2）画树状图，再根据概率公式求解即可． 本题考查了样本容量，圆心角的计算，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得 (人)， “很赞同”所对应的圆心角的度数是， 不赞同的人数为： (人)， 补图如下： 故答案为：200，27． 【小问2详解】 解：根据题意，有女生3名，男生2名． 画树状图如图，共有20种等可能情况，恰好抽到男、女生各一名的可能性有12种， 故恰好抽到男、女生各一名的概率是 20. 如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF． （1）证明：四边形AECF是矩形； （2）若AB=8，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）32 【解析】 【分析】（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证； （2）根据勾股定理求出AE的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， 又∵AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∴∠1=90°， ∵E、F分别是BC、AD的中点， ∴AF=AD，EC=BC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD=BC， ∴AF∥EC且AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 又∵∠1=90°， ∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； （2）解：在Rt△ABE中，AE=， 所以，S菱形ABCD=8×4=32． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键，也是突破口． 21. 如图是一张长，宽矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个相同边长的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒．若要制作一个底面积是的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】剪去的正方形边长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的正方形边长为，根据“要制作一个底面积是的一个无盖长方体纸盒”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设剪去的正方形边长为． 根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：剪去的正方形边长为． 22. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影长． （结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）过作于，中，根据余弦定义求出即可； （2）过作于，在中，根据余弦定义求出，根据矩形的判定与性质可得米，（米），而，知米，故，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于， 在中， （米）， 即遮阳棚边缘点A到墙体的距离米； 【小问2详解】 解：过作于， 在中， （米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影长约为米． 23. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD． （2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD． （3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值． 【详解】（1）证明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB． ∴ 即AC2=AB•AD． （2）证明：∵E为AB的中点 ∴CE=AB=AE ∴∠EAC=∠ECA． ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD． （3）解：∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴． ∵CE=AB ∴CE=×6=3． ∵AD=4 ∴ ∴． 24. 如图，已知，是一次函数图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数、反比例函数的关系式； (2)求△AOB的面积 (3) 当自变量x满足什么条件时，> .（直接写出答案） 【答案】（1） ，；（2）△AOB的面积为6；（3）x<-4或0<x<2. 【解析】 【分析】（1）把B （2，-4）代入反比例函数y2=得出m的值，然后求出n的值，再把A（-4，2）B（2,-4）代入一次函数的解析式y1=kx+b，运用待定系数法求其解析式； （2）由y1=-x-2即可求得点C的坐标，把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算即可求得． （3）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值大于反比例函数的值，从而求得x的取值范围． 【详解】（1）∵B（2，-4）在反比例函数y2=的图象上， ∴m=-8． ∴反比例函数的解析式为y2=-． ∵点A（-4，n）在y2=-上， ∴n=2． ∴A（-4，2）． ∵y1=kx+b经过A（-4，2），B（2，-4）， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为y1=-x-2． （2）∴C是直线AB与x轴的交点， ∴当y=0时，x=-2． ∴点C（-2，0）． ∴OC=2． ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6． （3）由图象，得， 当x的取值范围是x＜-4或0＜x＜2时，y1＞y2． 【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和坐标轴的交点运用分割法求图形的面积． 25. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得到，结合平行四边形的性质，得到 证明四边形是菱形． （2）①根据平行四边形的性质，得，结合，证明，从而证明平行四边形是菱形； ②延长至点，根据题意，得，结合平行四边形是菱形，得到，结合，，得到从而证明是等腰三角形． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ①证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②证明：延长至点，根据题意，得， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． 26. 如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． （1）______；______；（用含的代数式表示） （2）用含的代数式表示点的坐标． （3）是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或见解析 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，得，，得到 ，，解答即可． （2）延长交于点G，利用矩形的判定和性质，结合三角函数得，根据点的坐标的意义，描述即可． （3）分和两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动， ∴，，， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：延长交于点G， ∵矩形，， ∴， ∴矩形，矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 根据问2证明，得，， ∴， 当时，得， ∴， 解得； 当时，得， ∴， 解得； 综上所述，当或时，结论成立． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角函数，三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $