精品解析：天津市第二中学2025届高三下学期开学考试数学试题

2024-2025(二)天津二中高三年级学情调查 数学学科试卷 一、选择题(本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 2. 设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在单调递减 B. 是奇函数，且在单调递增 C. 是偶函数，且在单调递减 D. 是偶函数，且在单调递增 5. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A. y与x具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心（，） C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 6. 设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. 直线是函数图象的对称轴 B. 在区间上有两个极值点 C. 在区间上单调递减 D. 函数的图象可由向左平移个单位长度得到 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，A为双曲线右支上一点，直线交y轴于点M，原点O到直线距离为，且﹐则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（ ） A. B. C. D. 20 二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分.) 10. 是虚数单位，则，则的值为______． 11. 二项式的展开式中含项的系数为___________. 12. 已知抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为______. 13. 袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球.每次从中任取个球，然后放回个红球.设第一次取到白球的个数为，则的数学期望___________；第二次取到个白球个红球的概率为___________. 14. 在边长为2的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，则______；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 15. 已知函数，若方程有2个实数根，则的取值范围是______． 三、解答题(本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 16. 在锐角中，角的对边分别为，且 （1）求; （2）若,求; （3）若求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的一个顶点为(0，2)，离心率为 分别为椭圆的上、下顶点，动直线 交椭圆 于 两点(异于椭圆顶点)，满足 ，过点 作 ，垂足为 . （1）求椭圆的标准方程; （2）证明直线 过定点，并求出此定点的坐标; （3）写出 面积的最大值. 19. 已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和： （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围. 20. 设函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，，且，求证：； （3）设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025(二)天津二中高三年级学情调查 数学学科试卷 一、选择题(本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2. 设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】由等比数列的通项公式可得，， 当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足； 当是递减数列，可得或，故必要性不满足； 所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为，，， 所以， 因此， 故选：C 4. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在单调递减 B. 是奇函数，且在单调递增 C. 是偶函数，且在单调递减 D. 是偶函数，且在单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义分析可知是偶函数，再利用导数判断原函数的单调性. 【详解】因为的定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 又因为， 当时，则，可得， 则， 所以在单调递增． 故选：D． 5. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A. y与x具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心（，） C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D 【解析】 【详解】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确； 回归直线过样本点的中心（），B正确； 该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确； 该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误． 故选D． 6. 设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断. 【详解】对于A，若，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，且，根据线面垂直的性质可知，故B正确； 对于C，若，则，可能会平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 故选：B 7. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. 直线是函数图象的对称轴 B. 在区间上有两个极值点 C. 在区间上单调递减 D. 函数的图象可由向左平移个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代入法判断A，利用整体换元法判断B，利用三角函数的单调性判断C，利用三角函数平移的性质判断D即可. 【详解】因为函数的图象关于点中心对称，所以， 可得，结合，得，所以． 对于A，， 所以直线不是函数图象的对称轴，故A不正确； 对于B，当时，， 所以函数在区间上只有一个极值点，故B不正确； 对于C，当时，， 所以函数在区间上单调递减，故C正确； 对于D，左移个单位长度后得到，故D错误． 故选：C． 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，A为双曲线右支上一点，直线交y轴于点M，原点O到直线距离为，且﹐则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义结合条件，取的中点为，可得，进而可得，即得. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 取的中点为，连接，则， 因为为的中点，原点O到直线距离为， 所以，又， 所以， 所以， 所以，即. 故选：B. 9. 某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（ ） A. B. C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得. 【详解】 如图，把几何体补全为长方体，则， ， 所以该包装盒的容积为， 故选：C 二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分.) 10. 是虚数单位，则，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算，进而利用复数相等的意义可求得，进而可求的值. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：. 11. 二项式的展开式中含项的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二项展开式的通项公式求出，即可得到答案； 【详解】因为， 当，即时，， 所以展开式中含项的系数为， 故答案为：. 12. 已知抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得A，B两点的坐标，进一步得以线段AB为直径的圆的方程，令，即可求解. 【详解】由题意过点且垂直于x轴的直线l的方程为，将其与抛物线方程联立，得， 解得，不妨设， 则以线段AB为直径的圆即以点为圆心半径为的圆，它的方程为， 设以线段AB为直径的圆和y轴的交点为， 在中令，得， 所以以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为. 故答案为：. 13. 袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球.每次从中任取个球，然后放回个红球.设第一次取到白球的个数为，则的数学期望___________；第二次取到个白球个红球的概率为___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可计算出的值；记事件第一次取到的白球有个，其中、、，记事件第二次取到个白球个红球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，. 记事件第一次取到的白球有个，其中、、， 则，，， 记事件第二次取到个白球个红球， 则，，， 由全概率公式可得. 故答案为：；. 14. 在边长为2的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，则______；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以为基底，表示，可得，.再结合平面向量基本定理，表示出，利用数量积的概念和二次函数在给定区间上的值域求其最小值. 【详解】如图： 因为，所以，，所以. 因为在线段上，可设，. 所以， . 所以 因为，， 所以，. 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：；. 15. 已知函数，若方程有2个实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意对分类讨论，并通过数形结合即可得解. 【详解】题分析：令，已知函数， 依题意与图象有2个不同的交点． 当时，与图象有1个交点，不符合题意． 当时，函数与的图象如图所示， 两个函数图象始终有2个交点，所以，符合题意． 当时，函数与的图象如图所示， 因为，， 所以，，解得， 所以，． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：在讨论当时，通过画图得出，由此即可顺利得解. 三、解答题(本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 16. 在锐角中，角的对边分别为，且 （1）求; （2）若,求; （3）若求的值. 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可得求解， （2）根据余弦定理即可求解， （3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. 【小问1详解】 由于，所以，由得， 所以，且三角形为锐角三角形，所以． 【小问2详解】 由余弦定理有， 解得或（舍），故． 【小问3详解】 由，三角形为锐角三角形,可得， ． 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接交于，连接， 由底面为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面; （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，通过证明，可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，即可求解点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 则，，， 故平面的一个法向量为， 设为平面的法向量，则，即， 令，则，故， 所以， 根据题意，可得平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知为平面的法向量，， 所以， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的一个顶点为(0，2)，离心率为 分别为椭圆的上、下顶点，动直线 交椭圆 于 两点(异于椭圆顶点)，满足 ，过点 作 ，垂足为 . （1）求椭圆的标准方程; （2）证明直线 过定点，并求出此定点的坐标; （3）写出 面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析，定点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据MA⊥MB列方程，化简后确定直线所过定点坐标. （3）先求得点的轨迹，然后求得面积的最大值. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 依题意可知直线不过点， 若直线的斜率不存在，则为锐角，不满足MA⊥MB， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去并化简得， ，整理得. 设，则， ， 由于，所以， 即， ， ， ， ， 即， 整理得， 由于，故解得，所以直线的方程为， 所以直线过定点，此时在椭圆内，满足直线与椭圆有个公共点. 【小问3详解】 设，由于， 所以点的轨迹是以为直径的圆（点除外）， 所以到，也即到的距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，再将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再代入，化简得到值. 19. 已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和： （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的基本量求解首项、公比即可得和的通项公式； （2）根据数列的通项，奇数项部分通项进行裂项，偶数项部分错位相减法求和，然后分奇偶项求和即可得数列的前项和； （3）根据等差数列的性质可得，利用含参不等式分离参数可得对恒成立，令，判断其单调性得最值即可得实数的取值范围． 【小问1详解】 由题可知数列是公差为的等差数列， 且，则，解得， 所以， 设等比数列的公比为，且，， 则，解得， 所以， 所以和的通项公式为，． 【小问2详解】 由（1）得为，， 所以， 当为奇数时，则， 因为当为偶数时， 设①， 则②， ①—②： ， 所以， 所以求数列的前项和为 ， 故； 【小问3详解】 由题意可得， 由，得， 所以对恒成立， 令，则 当时，，当时，，当时，， 所以最大， 所以． 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 20. 设函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，，且，求证：； （3）设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）递增区间为，，递减区间为 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间. （2）根据极值点列方程，由进行化简，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. （3）利用导数研究的最大值，利用构造函数法，结合对进行分类讨论以及导数求得的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，， 当时或；时， ∴的递增区间为，，递减区间为； 【小问2详解】 函数有两个极值点，， 则，是方程的两个不相等的实根，所以，，即，． 所以． 令，则 所以，在上单调递减．，即． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵，，∴，在上单调递增． ∴， ∴对于任意，总存在，使成立， 等价于在上恒成立， 令，则在上恒成立． ，， i．当时．，在上单调递减，，不合题意； ii．当时，令，得， ①当，即时，在上单调递减，存在不合题意； ②，即时，在上单调递增，，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛： 求解函数在闭区间上的最值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间确定极值点；（6）比较极值点和区间端点的函数值来求得最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $