6.2.4 第2课时 向量数量积的运算(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

018 随堂检测重反馈 1.(2024·河北张家口阶段性检测)已知1al=√2，Ib1=22,a与b的夹角是150°，则a·b= A.-45 B.45 C.-25 D.25 2.若△ABC为等腰直角三角形且C=90°，AB=2,则AB·BC= ( A.-2 B.2 C.-22 D.22 3.若1al=2,1b1=4,向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为 A-0 B.-2b c D.-4 4.两个向量的夹角的取值范围是 当a与b同向时，夹角为 当a与b反向时，夹 角为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[5] 第二课时 向量数量积的运算 新课程标准解读 学科核心素养 理解向量数量积的运算律，会利用运算律进行数量积运算 数学抽象 掌握向量数量积的性质，能利用数量积解决向量的模、夹角问题。 逻辑推理 会用数量积判断两个向量的垂直关系， 逻辑推理 教材梳理明要点 ●情境导入 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向 [提示] 量的数乘运算满足结合律即入(ua)=(4)a,分配律即（入+u)a=Aa+ 由向量数量积的定 a(入，∈R). 义，可以发现下列运 问题 算律成立：对于问量 向量的数量积是否也满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法分配 a,b,c和实数入，有 律？ [提示] (1)a·b=b·a: (2)(aa),b=入(a e新知初探 b)=a(入b): 知识点向量数量积的运算律 (3)(a+b)·c=a· 1.向量数量积的运算律 e+b·c. (1)a·b= (交换律)： [提醒] (2)(Aa)·b= (结合律)： 1.向量的数量积不满 (3)(a+b)·c= (分配律). 足消除律：若a,b, 2.向量数量积的常用结论 c均为非零向量，且 (1)(a±b)2=la±b12=1a2±2a·b+1b12=a2±2a·b+b2: a·c=b·c,但得不 (2)a2-b2=(a+b)·(a-b)=1a12-1b2: 到a=b: (3)(a+b)2+(a-b)2=2(a12+IbI2): (4)a2+b2=0→a=b=0. [提醒] 019 想一想 2.(a·b）·c≠a· 1.向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？ (b·c）,因为a b,b·c是数量积， 是实数，不是向量， 所以(a·b）·c与 2.已知非零向量a,b,a与b的夹角为8，若a·b<0,则0是钝角对吗？ 向量c共线，a·(b ·c)与问量a共线， 因此，(a·b）·c =a·(b·c)在- 般情况下不成立 目预习自测 1.已知|al=2,1b1=3,则(2a-3b)·(2a+3b)= 2.已知1al=1,Ib1=√2，且(a+b)与a垂直，则a与b的夹角是 3.已知向量a,b的夹角为60°，a|=2,Ib=1,则1a+2b1= 题型探究提技能 题型一数量积求解的综合问题 [方法总结1] 例11)已知a1=5,1b1=4,a与b的夹角为120°，则(a-2b)·(a+b) 数量积运算的综合问 避一般涉及两类 (）求合向量线性 运算的数量积：利用 (2)如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8,AD 向量数量积的运算律 =5,CP=3PD.AP·BP=2,则AB·AD= 转化为直接利用公式 求解的问题： 一[方法总结1] (2）涉及含几何图 形的数量积求解：借 )跟踪训练1 助图形先将两向量分 (1)已知1a1=2,1b1=3,a与b的夹角为120°，则(2a-b)·(a+3b)= 别用已知向量线性表 示，然后再转化为含 线性运算的数量积 (2)(2024·苏州阶段性检测)在△MBC中，4B=3,AC=2,BD=)BC,则 求解. [方法总结2] AD·BD 求向量的模的基本 思路 题型二向量模的计算 a·a=a2=1a2或 例2已知a1=2,1b1=1,向量a,b的夹角为120°，那么1a-4b1=( |a=a"a是求向 量的模及用向量求解 A.2 B.2√7 C.6 D.23 图形中线段长度的依 据。这种通过求自身 ●[方法总结2] 的数量积从而求模的 )跟踪训练2 思想是解决句量的模 的问题的主要方法 (2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足1al=1,1a+2b1=2,且(b-2a)上 此外，根据平面图形 b,则Ib1= ()求向量的模时，要注 意利用图形的性质对 A号 B② D.1 向量的数量积或夹角 2 等进行转化. 020 题型三 向量的夹角与垂直 方向一 求两向量的夹角 例3已知向量a,b满足1a=b1=1及13a-2b=7,求a,b的夹角， [方法总结3] 求两问量夹角的方法 求向量的夹角，主要 ●[方法总结3] 是利用公式cs日= 》跟踪训练3 8治悬女大后的余 已知向量a,b满足|a|=2,b1=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 弦值，从而求得夹 角，可以直接求出a· ( b的值及Ial,Ib1的 B. 3 C.Sm 6 D.2 3 值，然后代入求解 也可以寻找1a,1b1, 方向二 利用数量积解决向量的垂直问题 例4已知la=2,b1=l,向量a,b的夹角为60°，c=a+5h,d=ma-2h. a·b三者之间的关系 再求解。 求实数m为何值时，c与d垂直 [方法总结4] 向量量直问趣的处理 思路 解决与垂直相关鹅目 的依据是a⊥b-a·b ●[方法总结4] =0,利用数量积的 运算代入，结合与向 )跟踪训练4 量的模、夹角相关的 已知向量a与b的夹角为60°，Ia1=1,Ib1=2,当b⊥(2a-Ab)时，实数入 知识解聪 为 A.1 B.2 C. 1 随堂检测 重反馈 1.已知单位向量a,b,则(2a+b)·(2a-b)= A.5 B.5 C.3 D.5 2若两个单位向量a,b的夹角为，则4a+5b1= A.1 B.13 C.21 D.7 3.已知非零向量m,n满足4m=3m1,m与n夹角的余弦值为若n1(m+n),则实数1=（） A.4 B.-4 c暑 D.、9 4已知向量a,b满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且1al=b1=1,则a与b的夹角0= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[6]第二课时向量数量积的运算 跟踪训练3：Ala-b1=√(a-b)下=a+b-2a·b=3, 教材梳理 明要点 设向量a与a-b的夹角为0，则cs0-4:(a-b_2之-l 1a1la-b12×3 新知初探 知识点 ,又因为0e0,].所以0=君 L.(1)b·a(2)A(a·b)a·(Ab)(3)a·c+b·G 例4：由已知得a·b=2×1×cos60°=1. 想一想 若c⊥d,则c·d=0. 1,不相同，向量的数量积运算结果是一个实数，向量的数乘运算 .c·d=(a+5b)·(ma-2h)=ma2+(5m-2)a·b-10b 结果是向量： =4m+5m-2-10=9m-12=0, 2.不对.若8=r时，a·b<0. 4 预习自测 :,m=3 1.-65(2a-3b）·(2a+3b)=4-9b2=4×4-9×9= -65 放当m=子时，c与d垂直 2(a+b)a=0+0h=0ab=-0:-l设a 跟踪训练4：C向量a与b的夹角为60°，1al=1,1b1=2,由 b⊥(2a-Ab)知，b·(2a-Ab)=0,2b·a-Ab=0,2×2× 与6的夹角为om0:流以2-冬.又0e0, 1×co0s60°-A,2=0,解得A=2 1 ]0=r 随堂检测重反馈 1.C由题意得(2a+b)·(2a-b)=4a2-b=4-1=3 3251a+2b1=√/(a+2b)=a+4a·b+4b=2.C因为(4a+5b)2=16a2+40a·b+25b2=16×12+40×1 √/2+4×2×1×0s60°+4×1产=/12=25 ×1×s号+25×12=21，所以1如+561=.故选C 题型探究提技能 例：(1)3(2)2(1)ab=1al1b1c8=5×4×eo120°=3.B由题意知，m7=”=子 -10.(a-2b)·(a+b=a2-a·b-2b3=1a2-lallb1- 公-所以m·g=子12= c0s120°-21b2=25-(-10)-2×42=3 (2)由市=3币得亦=心=亦=和+亦=市+ 子2，因为n·(m+m)=0,所以mn+2=0,即r2+ n3=0.所以t=-4 丽配=市-=市+上应-=动-子应因为市. 4.号 (a+2b)·(5a-4b)=0,lal=1b=1,.6a·b-8+ 配=2，所以（市+子）·（而-子）=2，即市 5=0,即a·b= 5又a·b=lal1b1cos8=cos6,icos0= 布.店-峦=2又市=25亦=64，所以破.前 分0e[0,l.0=号 1 =22 跟踪训练1：(1)-34(2)-子(1)(2a-b)·(a+36)=2d 6.3平面向量基本定理及坐标表示 +5a·b-3b=21a2+51a11 blcos120°-31b12=8-15-27 6.3.1 平面向量基本定理 =-34. (2)如图所示，因为励=子(4配-)， 教材梳理明要点 新知初探 而=}（花+函），所以市，励= 知识点 1.不共线 任一 有且只有一对入1e,+A,2 子（配-脑（花+）=子(2- C 2.不共线 预习自测 3)=-子 1.(1)V(2)×(3)×(2)零向量与任意向量共线，故不能 作基底中的向量， 例2：B1a-4b12=a2-8a·b+16b2=22-8×2×1× (3)基底的选择是不唯一的 os120°+16×12=28，.1a-4b1=2/7. 2.AC平面内任意两个不共线的向量 跟踪训练2：B因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b= 2a·b,又因为la|=1,1a+2b1=2,所以1+4a·b+4b=1+ 都可以作为基底.如图，对于A,A市与 6=4,从面61=号故选且 AB不共线，可作为基底：对于B,D与 B B武为共线向量，不可作为基底：对于 例3：设a与b的夹角为8，由题意得(3a-2b)2=7, C,C与D元不共线，可作为基底：对于D,0币与0正是共线向量， ∴.91a2+4b-12a·b=7, 不可作为基底 又1al=lb1=lda·b=), 3.4e1+3e2由题图可知，0i=3e2.0元=4e1,0i=4e+3e2 题型探究提技能 例，①20①设6+=AaeR).则什：无解6+ e:与e,不共线，即1e,e,+e能作为一个基底.②设e1-2e 又0e[0,m]a,b的夹角为号 =k(e:-2e1)(keR),则e1-2e2=-2e1+ke2, -321