6.2.4 第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

跟踪训练3：(1)A(2)6+之&(1)如图 则o元=a+b,Bi=a-b. 因为la1=b1=2, 所示，成=成-励=号成-子成 所以平行四边形OACB是菱形 号（配-）+号函=函+号花=月 又∠AOB=60°， 所以0元与O的夹角为30°，B与O的夹角为60°.即a+b与 子4+b,放选L a的夹角是30°，a-b与a的夹角是60° 跟踪训练I:C如图，作向量A而=BC,则∠BADB (2)=而+成-市+访=+ 是AB与BC的夹角，在△ABC中，因为∠ACB= 随堂检测重反馈 90,BC=AB,所以∠ABC=60,所以∠BAD 1,B对于①，m(a-b)=ma-mb,故①中命题正确：对于② (m-n)a=ma-na,故②中命题正确：对于③，当m=0时，由 =120°，即A与BC的夹角是120 0·a=0·b,不能得到a=b,故③中命题错误；对于①，当a= 例2：(1)①由已知得a·b=1al1b1·cos0=4×2×cos120°= 0时，由ma=na,不能得到m=n,故④中命题错误故选B. -4.②a·a-a·b-2b·b=1a2-a·b-21b2=16- 2.ABD根据向量数乘运算和加，减运算律知A、B、D正确：C (-4)-2×4=12. 中，(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量，而不 (2)①A店与A元的夹角为60°，.A店.A元=HB11A元1cos60 是0，所以该运算错误 =1×1×方=7②：与B配的夹角为120A店，B配 玉0原式=之(2a+)-a-b=a+2动-a-6=0 4-号 B配m120=1x1×(-）=-分③：成与d 因为A,B,D三点共线，敌存在一个实数A,使得店= 的夹角为60，成.花=1配11花·os60°=1×1× ABd,又AB=3e1+2e2.Ci=e1+e2,C=3e1-2ke2,所以B -C⑦-CB=3e,-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e, 分 所以31+2e=A(3-k)c-A(2k+1)e,所以 侣42.解得=-子 3=A(3-), 跟踪训练2：(1)D(2)号(1)由题得1花=1+ 1BC12,所以∠ABC=90°.所以原式=0+4×5cos(180°-C) 6.2.4向量的数量积 +5×3c0s(180°-A)=-20cosC-15cosA=-20×4 第一课时向量数量积的概念、运算及投影向量 15×号 -16-9=-25.故选D. 教材梳理 明要点 新知初探 2)设a.b的夹角为0，则em0=日论=宁，0e0,]。 知识点一 1.非零向量∠A0B=00≤0≤开同向反向 六0 例3：(1)A(2)4(1)根据投影向量的定义，设a,b的夹角为 2号a1b 8,可得向量a在b方向上的投影向量是1 aleos e=a:b。 知识点二 -4e, 2.(2)a·b=0(4)≤ (2)设a与b的夹角为8，且a·b=16.,1a·1b|·s0= 知识点三 16,又，a在b上的投影向量为4e,∴.Ia1·co80e=4e L.投彩投影 .∴.lalcos8=4,.1b1=4. 预习自测 1C设向量a,b的夹角为0，则8e[0,π]，因为1a1=1,b1= 果除训等3：号m0=名流手0为a与b的夹角。 2ab=.所以m0=8论及-号.所以向量a,b 向量a在向量b上的投影向量为1alcm侧=号. 的夹角0=子 随堂检测重反馈 :1.C根据数量积定义即可计算.由题意，a·b=1alIb1cos〈a, 2.32e因为向量a,e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上 b)=2×22×c0s150°=-25.C正确 的投影向量是lal·cos45°·e=32e 2.A 由题意知BC=2,所以AB·B武=AB1·1B1es135= 3.-1A.BC=A1·1 BCleos(180°-B)=-1A1·1BC1 esB=-1.。-即=- 2×2x(-号)=-2 IBCI 3.D向量a在向量b上的投影向量是1acm(a,b)办=2× 题型探究提技能 例1：如图所示，作O=a,O丽=b,且∠A0B m120×=- =60. 4.[0,π]0：根据向量火角的定义可知，两个向量的夹角 以O,O为邻边作平行四边形OACB, 的取值范围是[0，π]，当a与b同向时，夹角为0，当a与b反 向时，夹角为π 320 第二课时向量数量积的运算 跟踪训练3：Ala-b1=√(a-b)下=a+b-2a·b=3, 教材梳理 明要点 设向量a与a-b的夹角为0，则cs0-4:(a-b_2之-l 1a1la-b12×3 新知初探 知识点 ,又因为0e0,].所以0=君 L.(1)b·a(2)A(a·b)a·(Ab)(3)a·c+b·G 例4：由已知得a·b=2×1×cos60°=1. 想一想 若c⊥d,则c·d=0. 1,不相同，向量的数量积运算结果是一个实数，向量的数乘运算 .c·d=(a+5b)·(ma-2h)=ma2+(5m-2)a·b-10b 结果是向量： =4m+5m-2-10=9m-12=0, 2.不对.若8=r时，a·b<0. 4 预习自测 :,m=3 1.-65(2a-3b）·(2a+3b)=4-9b2=4×4-9×9= -65 放当m=子时，c与d垂直 2(a+b)a=0+0h=0ab=-0:-l设a 跟踪训练4：C向量a与b的夹角为60°，1al=1,1b1=2,由 b⊥(2a-Ab)知，b·(2a-Ab)=0,2b·a-Ab=0,2×2× 与6的夹角为om0:流以2-冬.又0e0, 1×co0s60°-A,2=0,解得A=2 1 ]0=r 随堂检测重反馈 1.C由题意得(2a+b)·(2a-b)=4a2-b=4-1=3 3251a+2b1=√/(a+2b)=a+4a·b+4b=2.C因为(4a+5b)2=16a2+40a·b+25b2=16×12+40×1 √/2+4×2×1×0s60°+4×1产=/12=25 ×1×s号+25×12=21，所以1如+561=.故选C 题型探究提技能 例：(1)3(2)2(1)ab=1al1b1c8=5×4×eo120°=3.B由题意知，m7=”=子 -10.(a-2b)·(a+b=a2-a·b-2b3=1a2-lallb1- 公-所以m·g=子12= c0s120°-21b2=25-(-10)-2×42=3 (2)由市=3币得亦=心=亦=和+亦=市+ 子2，因为n·(m+m)=0,所以mn+2=0,即r2+ n3=0.所以t=-4 丽配=市-=市+上应-=动-子应因为市. 4.号 (a+2b)·(5a-4b)=0,lal=1b=1,.6a·b-8+ 配=2，所以（市+子）·（而-子）=2，即市 5=0,即a·b= 5又a·b=lal1b1cos8=cos6,icos0= 布.店-峦=2又市=25亦=64，所以破.前 分0e[0,l.0=号 1 =22 跟踪训练1：(1)-34(2)-子(1)(2a-b)·(a+36)=2d 6.3平面向量基本定理及坐标表示 +5a·b-3b=21a2+51a11 blcos120°-31b12=8-15-27 6.3.1 平面向量基本定理 =-34. (2)如图所示，因为励=子(4配-)， 教材梳理明要点 新知初探 而=}（花+函），所以市，励= 知识点 1.不共线 任一 有且只有一对入1e,+A,2 子（配-脑（花+）=子(2- C 2.不共线 预习自测 3)=-子 1.(1)V(2)×(3)×(2)零向量与任意向量共线，故不能 作基底中的向量， 例2：B1a-4b12=a2-8a·b+16b2=22-8×2×1× (3)基底的选择是不唯一的 os120°+16×12=28，.1a-4b1=2/7. 2.AC平面内任意两个不共线的向量 跟踪训练2：B因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b= 2a·b,又因为la|=1,1a+2b1=2,所以1+4a·b+4b=1+ 都可以作为基底.如图，对于A,A市与 6=4,从面61=号故选且 AB不共线，可作为基底：对于B,D与 B B武为共线向量，不可作为基底：对于 例3：设a与b的夹角为8，由题意得(3a-2b)2=7, C,C与D元不共线，可作为基底：对于D,0币与0正是共线向量， ∴.91a2+4b-12a·b=7, 不可作为基底 又1al=lb1=lda·b=), 3.4e1+3e2由题图可知，0i=3e2.0元=4e1,0i=4e+3e2 题型探究提技能 例，①20①设6+=AaeR).则什：无解6+ e:与e,不共线，即1e,e,+e能作为一个基底.②设e1-2e 又0e[0,m]a,b的夹角为号 =k(e:-2e1)(keR),则e1-2e2=-2e1+ke2, -3213!$!&!向量的数量积 新课程标准解读 学科核心素养 通过物理中功等实例"理解平面向量数量积的概念及其物理意义"会计算平面 向量的数量积! 数学抽象 通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义! 数学运算 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系! 逻辑推理 第一课时!向量数量积的概念(运算及投影向量 !"#$%&'( # )*+, ! !!我们在物理课中学过"力与在力 的方向上移动的距离的乘积称为力对 物体所做的功!如图所示"如果作用在小车上的力+的大小为1+1<"小车 在水平面上位移,的大小为1,1)"力的方向与小车位移的方向所成夹角 为 # "那么这个力所做的功为6%1+11,1=>? # ! 问题 "!显然"功6与力向量+及位移向量,有关"这三者之间有什么关系$ $!给定任意两个向量!"""能确定出一个类似的标量吗$ 如果能"请指出 确定的方法)如果不能"说明理由! ! !提示" % -./0 知识点一!向量的夹角 "!夹角#已知两个!!!!!!!""'如图(")是平面上的任意 一点"作#$$$)$%!" #$$$)"%""则!!!!!!叫做向量!与"的夹 角"夹角 # 的取值范围是!!!!!!!当 # %' 时"!与" !!!!!!)当 # % ) 时"!与" !!!!!!! $!垂直#如果!与"的夹角是!!!!!"则称!与"垂直"记作!!!!!! ! !知识点反思"" 知识点二!两个向量的数量积 "!定义#已知两个非零向量!与""它们的夹角为 # "我们把数量1!11"1=>? # 叫做向量!与"的数量积'或内积("记作!2""即!2" %1!11"1=>? # ! ! !规定"!知识点反思$" !提示" "!] 6 &™ - †aÕ 7 3@A0^_¤` a3?b ! #!6žI 6%1-1171 c =>? d ! 6" ! c " % 1!11"1=>? d ! !知识点反思"" "!!",<?'‘’ no©hVW3¤e &,<3_¤w #!!,<3_¤†! jM3_¤3fgG ‹4 ,<_¤3fg &454 h 64 B!jM _¤3fgs 54 h         # ! !规定" ^,<†|=,<3 ;<bs 5! !知识点反思$" "!;<b1]2& «c ° 4 G H i Ÿ « j° 4 mGHk Giw #!,<3;<b&= "ê;4 G&,<4 Í3Z6lô6mô 6s 5! $#( $!性质#设!""是非零向量"它们的夹角是 # "%是与"方向相同的单位向 量"则& '"(!2%%%2! %1!1=>? # ) '$(! , " + !!!!!!) ',(当! " "时"!2" % 1!11"1"!与"同向" 71!11"1"!与"反向      ! 特别地"!$ %!2! %1!1$ 或 1!1% !2槡!) '&(!2" !!!!!!1!11"1) '#(=>? # % !2" 1!11"1 ! 知识点三!投影向量 "!如图"设!""是两个非零向量" #$$$$"%!" #$$$%&%""我们考虑如 下的变换&过#$$$$"的起点$和终点""分别作#$$$%&所在直线的 垂线"垂足分别为$ " "" " "得到$ " " #$$$$ " "我们称上述变换为向 量!向向量" !!!!!!"$ " " #$$$$ " 叫做向量!在向量"上的!!!!!! 向量! $!如图"在平面内任取一点)"作#$$$)'%!" #$$$)(%"!过点'作直 线)(的垂线"垂足为' " "则)'#$$$$ " 就是向量!在向量"上的 投影向量!设与"方向相同的单位向量为%"!与"的夹角 为 # "则)'#$$$$ " 与%"!" # 之间的关系为)'#$$$$ " %1!1=>? # %! ! !知识点反思," !知识点反思," "!,< ! i,< " 0 3no,<&†,< " kl3,<w #!-.,< ! †,< " kl4 ,< ! i,< " 03no,<~´ ! ‰ 7! 4 » ! † " p j©4 ! i " 03n o,<s !! + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!已知向量!""满足1!1%""1"1%$"!2" %槡$ "则向量!""的夹角为 '!!( -! , ) & .! $ ) , /! ) & 0!7 ) & "!已知1!1%3"%为单位向量"当向量!"%的夹角等于&#2时"向量!在向量%上的投影向 量是!!!!! #!如图所示"在@A ( $"%中"$%B'2"$"%""则#$$$$"2 #$$$"%%!!!!! 5607%89: 56;% 两向量的夹角 ! !方法总结"" !方法总结"" ¶! " , < _ ¤ 3 + E"F¶!",<_ ¤3tu&Ï¢kÕ 3+·!",<‘ ’no4 §!",< 3_¤4 äå«=§ qN £ ° 3 í î ¶w $#! !在 ( $"%中"%%B'2""%%" $ $""则#$$$$"与#$$$"%的夹角是 '!!( -!,'2 .!3'2 /!"$'2 0!"#'2 56<% 直接用数量积公式求数量积 "!'"(已知向量!与"的夹角为"$'2"且1!1%&"1"1%$"求& ! !2") " !2! 7!2" 7$"2") '$(已知正三角形$"%的边长为""求& ! #$$$ $"2 #$$$ $%) " #$$$ $"2 #$$$ "%) # #$$$ "%2 #$$$ $%! ! !方法总结$" !'"(已知平面上三点$"""%满足1 #$$$$"1%,"1 #$$$"%1%&"1 #$$$%$1%#"则#$$$$"2 #$$$"% 6 #$$$ "%2 #$$$ %$6 #$$$ %$2 #$$$ $"% '!!( -!7C!!!!!!.!C!!!!!!/!$#!!!!!!0!7$# '$(设1!1%""1"1%$"!2" %""则!与"的夹角为!!!!! 56=% 投影向量 #!'"(已知1!1%3"1"1%,"!2" %7"$"与"同向的单位向量为%"则向 量!在向量"方向上的投影向量是 '!!( -!7&% !!.!&% /!7$% 0!$% '$(已知!2" %"3"%为"方向上的单位向量!若!在"上的投影向量 为&%"则1"1%!!!!! ! !方法总结," !已知1!1%,"1"1%#"!2" %"$""方向上的单位向量为%"则向量!在向量 "上的投影向量为!!!!! E#F±Ýé4 ! † " 3_¤s d4 A " ! † A $ " EA " 4 A # &µ ^& ;F 3 _ ¤ s d 5 4 » A " A # r5 ©4 d 5 , "75s+ dw » A " A # t5 ©4 d 5 , d! !方法总结$" [\¶kÐ,<3 ;<b ȇˆ!,<3L0^ _¤4¦j®Ï¢G' ! c " %1!11"1=>? d ! 1¢Úu;<b 3tu&f[!", <3_¤4 Uv&! ,< 3 ‘ ’ ü v n o4 r¦4 ªDJk Õ·!,<wo70 Uv ! !方法总结," no,<3¶8+ |{3µ^,< ! iØ =µ^,< " 03no ,<~´ 1! 1=>? d % Ed s,< ! 4 " 3_ ¤4 % s† " ‹,3` a,<F ! $#) >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!$$'$&'河北张家口阶段性检测%已知1!1%槡$ "1"1%$槡$ "!与"的夹角是"#'2"则!2" % '!!( -!7&槡, .!&槡, /!7$槡, 0!$槡, "!若 ( $"%为等腰直角三角形且%%B'2"$"%$"则#$$$$"2 #$$$"%% '!!( -!7$ .!$ /!7$槡$ 0!$槡$ #!若1!1%$"1"1%&"向量!与向量"的夹角为"$'2"则向量!在向量"上的投影向量为 '!!( -!7 , & " .!7 " $ " /! " $ " 0!7 " & " $!两个向量的夹角的取值范围是!!!!!当!与"同向时"夹角为!!!!!当!与"反向时"夹 角为!!!!! 请同学们认真完成练案!#" 第二课时!向量数量积的运算 新课程标准解读 学科核心素养 理解向量数量积的运算律"会利用运算律进行数量积运算! 数学抽象 掌握向量数量积的性质"能利用数量积解决向量的模!夹角问题! 逻辑推理 会用数量积判断两个向量的垂直关系! 逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!通过前面的学习"我们知道向量的加法运算满足交换律!结合律"向 量的数乘运算满足结合律即 ! ' " !( %' !" (!"分配律即' ! 6 " (! % ! ! 6 " !' ! " "* "(! 问题 向量的数量积是否也满足交换律"数乘结合律及数量积对向量加法分配 律$ ! !提示" % -./0 知识点!向量数量积的运算律 "!向量数量积的运算律 '"(!2" %!!!!!!'交换律() '$(' ! !(2" %!!!!!! %!!!!!!'结合律() ',('! 6"(2#%!!!!!!'分配律(! $!向量数量积的常用结论 '"('! D"( $ %1! D"1 $ %1!1 $ D$!2" 61"1 $ %! $ D$!2" 6" $ ) '$(! $ 7" $ %'! 6"(2'! 7"( %1!1 $ 71"1 $ ) ',('! 6"( $ 6'! 7"( $ %$'1!1 $ 61"1 $ () '&(! $ 6" $ %' + ! %" %!! ! !提醒" !提示" Â, < ; < b 3 [ \4 67ÛxyK1 áŸã„V´,< !"""# _ê; A4 ' E"F ! c " %" c ! w E#F ' A !( c "% A '! c "( % ! c ' A " ( w E$F '! 6"( c #%! c #6" c #! !提醒" "!,<3;<bGz {|}á„È ! 4 " 4 # ~sµ^,<4 ( ! c #%" c # 4 K"G Ö ! %" w $#*