6.2.3 向量的数乘运算(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

017 随堂检测 重反馈 1. 下列向量关系式中,正确的是 ( ) A.MN-NM B.AB+AC=BC C.AB-AC=BC D. MN+NP+PO=MO 2.已知0是平面上一点,OA=a.0B=b,0C=c.0D=d,且四边形ABCD为平行四边形,则( ) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 3.(多选)已知OD+OE=0M,则下列结论正确的是 () B.OM+D0-0E COV-0F-D0 A.OD+FO-OV D.DO+FO=V0 4.在△ABC中,若IABI=IACI=lAB-ACI.则 BAC= 5.如图所示,已知平行四边形ABCD内一点0,且OA,0B,OC分别为a,b.c,则 0D= (用a,b,c表示). 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3] 6.2.3 向量的数乘运算 新课程标准解读 学科核心素养 了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义 数学抽象 理解并掌握向量数乘的运算律,会进行向量的数乘运算 逻辑推理 理解并掌握两向量共线的性质和判断方法,并能熟练地运用这些知识处理有 逻辑推理 关向量共线问题 教材梳理 明要点 情境导入 一根细绳东西方向摆放,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,如果蚂 [提示] 蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a,那么它在同一方向上运动3秒 1.类比实数的运算,可 钟的位移对应的向量怎样表示?是3a吗?蚂蚁向西运动3秒钟的位移 以,即a+a+a=3a. 2.3a与a的方向相 对应的向量又怎样表示?是-3a吗? [提示] 同,-3a与a的方向 新知初探 相反。 知识点一 向量的数乘运算及运算律 1.向量的数乘 (1)定义:一般地,我们规定实数A与向量a的积是一个 ,这 种运算叫做向量的数乘,记作 (2)规定:①1Aal三 ②当入>0时,a的方向与a的方向 :当A<0时,Aa的方向 与a的方向 ;当A=0时,a= ;(-1)a= 012 2. 向量数乘的运算律 设A,u为实数,那么 [提醒] (1)A(a)= /.向量的数秦仍是 (2)(A+u)a= 向量: (3)A(a+b)= 2.实数入与向量不能 特别地,我们有(-A)a=-(a)=^(-a),(a-b)=^a-$ 提醒 相加; 3.若入a=0.则入= 知识点二 共线向量定理 0或a=0: 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在 实数A,使 4.当a0时,向量 想一想 共线向量定理中为什么规定a,0? 的卑位向量. 三预习自测 1.判断 (2)若向量b与a共线,则存在唯一的实数A使b=Aa (3)若b三Aa,则a与b共线(其中A为实数) 2.已知非零向量a.b满足a=4b,则 A. laI=Ib1 B.4lal=Ib1 C.a与b的方向相同 D.a与的方向相反 3. ( A.2a+3b B.a-3b C.2a-3b D.2a-2b 题型探究 提技能 题型一 向量的线性运算 [方法总结1] 例1.(1)化简:[2(2a+4b)-4(5a-26)]; 向量线性运算的方法 (/)向量的线性运 算是向量的加、减。 (2)已知3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),求x 数乘三种运算的通 称,类似于代数多项 式的运算,主要是 “合并同类项”·提 取公因式”: 但这里 的“同类项”“公因 式”指向量,实数是 向量的系数: (2)向量也可以通 过列方程来解,把所 求向量当作未知数, 利用移项,合并同类 [方法总结1] 项,系数化为/等步 骤求解。 □13 D踪训练1 [方法总结2] (1)已知e,e.是两个不共线的向量,向量a=e.+2e.b=3e.-5e。,则4a 1.证明或判断三点共 (用e,e表示). -3b= 践的方法 (/)一般来说,要 (2)已知向量a.b.未知向量x,y.向量a.b.x,y满足关系式3x-2y=a. -4x+3v=b.则向量x= 判新A,B,C三点是 ,】= 否共线,只需看是否 题型二 向量共线的判定及应用 存在实数A,使得AB =A AC(或BC (1)若OA=2a-b.OB=3a+bOC-a-3b.求证:A.B.C三点共线; = (2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值 AB等)即可; 要证A8.C三点共线,只需诞:A/A即4一入4 (2)利用结论:若 A. B,C三点共线. 0为直线外一点一存 在实数X,.使OA: xoB+o且x+H =/. 2.利用向量共线求参 数的方法 判断、证明向量共线 [方法总结2] 问题的思路是根据共 D跟踪训练2 线向量定理寻求唯一 (1)设e.e.是两个不共线的向量,若向量n=-e. +he.(k=R)与向量 的实数入,使得b三 ) n=e-2e.共线,则 .。 )a(a*o).而己知 向量共线求入,常根 A.=0 B.=1 C.h=2 据向量共线的条件转 化为相应向量系数相 (2)若A.B.C三点共线,0为直线外一点,且0A=x0B+v0C,则x+y= 等求解,利用待定系 数法建立方程,从而 题型三 用已知向量表示未知向量 解方程求得入的值 _## 若两向量不共线,必 有向量的系数为零 1.M.N分别是DC,AB的中点,已知AB=e.,AD=e,试 用e,e.表示向量AC.MN 014 [母体探究] 变式:(变条件)在本例中,若条件改为BC=e.AD=e,试用e,e.表示 [方法总结3] 向量MN. 用已知向量表示未知 向量的两种方法 (/)直接法 合图的特位,把待来 语 初量枝在三角形我平心 中 合向的王角法到成 平行迹形法则及头攻向 定理屈已知向表示未 [方法总结3] 知问量 跟踪训练3 (2)方程法:当直 接表示比较困难时。 可以首先利用三角形 法则或平行四边形法 AB=a,AC=b,则PO= ,_ 则建立关于所求向量 和己知向量的等量关 系,然后解关于所求 向量的方程. (2)如图,平行四边形ABCD中,AB=a.AD=b,M是DC的 中点,则向量AM= .(用a,b表示) 随堂检测 重反馈 1.已知m,n是实数,a.b是向量,则下列命题中正确的有 ①m(a-b)=ma-mb ②(m-n)a=ma-na ③若ma=mb,则a=b ④若ma=na,则m=n A.①④ B.①② C.①③ D.③④ 2.(多选)下列运算正确的是 ( ) A.(-3).2a=-6g B.2(a+b)-(2b-a)=3a C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.2(3a-b)=6a-2b 3.化简.(3a+) {4#△)- 4.设e.与e是两个不共线向量,AB=3e.+2e,CB=ke.+e,CD=3e.-2ke,若A,B.D三点共线 则r= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[4]题型探究提技能 想一想 例1：如图，在平面内任取一点0，作向量 (1)若将条件a0去掉，即当a=0时，显然a与b共线： O=a,0=b,则向量B=a-b,再作 (2)当a=0时，若b≠0，则不存在实数A,使b=Aa,但此时向 向量BC=c,则向量C=a-b-c 量a与b共线： (3)当a=0时，若b=0,则对任意实数入，都有b=Aa,与存在 跟踪训练1：(1)D成=D正+E+A店=d+e 唯一一个实数A矛盾. +a. 预习自测 (2)D成=C-C⑦=-B成-Ci=-b 1.(1)V(2)×(3)√(1)由向量数乘的定义可知正确. -c. (2)当a=0时，A不一定存在. (3)EC=EA+AB+BC=a+b+e. (3)由共线向量定理可知正确 (4)EC=-C=-(+)=-c-d. 2.Ca=4h,4>0,.lal=41b1且a与b方向相同. 鲍(D2D根据向量的线性运算法期，可得网+.c原式=（兮+号口+1-4）b=2a-动故选C BC-BA=PA+AC=PC. 题型探究提技能 (2)E=C2=0i-0元=b-c 跟踪训练2：(1)A店(2)C(1)根据平面向量线性运算法则 例1：(1)42(2a+4b)-4(5a-2b)]=(4a+8b-20a+8b) 计算可得(AB+C)+(B配-C⑦)=A店+C成+B配+D元=A =子(-160+16b)=-4a+4h +B丽+D元+C成=A成.故答案为A成 (2)因为3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),所以6a-3b+3e+ (2)Bi-BC-O+0币+Di=(Bd-B武)-(O-Oi)+Di x=-2a+6b.即x=-8a+9b-3c. =CA-DA +DA=CA. 跟踪训练1：(1)-5e1+23e2(2)3a+2b4a+3h(1):a= 例3：由平行四边形的性质可知C=A=c,由向量的减法可知 e+2e,b=3e1-5e2,.4a-3b=4(e+2e3）-3(3e,-5e3) BC=A元-店=b-a,由向量的加法可知B励=B元+C⑦=b-a =-5e1+23e2 +C. (2)由3x-2y=a①，-4x+3y=b2,①×3+2×2，得x=3a [母体探究] +2b,代人①得3×(3a+2b)-2y=a,即y=4a+3h.x=3a 变式：如图，因为四边形ACDE是平行四边 +2b,y=4a+3b. 形，所以Ci=A正=c,B配=A心-A成=b 例2：(1)证明：A-0成-0=(3a+b)-(2a-b)=a+2b. a,BD=BC+CD=b-a+e. BC=0元-0i=(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2A, 跟踪训练3：(1)AC=0心-Oi=c-a 、A方与BC共线，且有公共点BA,B,C三点共线 (2)Ai=0i-0i=d-a. (2)8a+b与ka+2b共线， (3)AD-AB=BD=0D-08=d-b. ∴存在实数A,使得8a+h=A(a+2b), 即(8-Ak)a+(k-2A)b=0. (4)Ai+C=0-Oi+0亦-0元=b-a+f-c (5)㎡-Bm=0求-0i-(0i-0i)=f-b-d+b=f-d a与6不共线…信20 随堂检测重反馈 解得A=±2，.春=2A=±4 1.D根据向量的概念可得A,B错误：4-A亡=C极C错误： 跟踪训练2：(1)D(2)1(1)由共线向量定理可知存在实数 +N+P同=M,故D正确.故选D A,使m=An,即-e,+e=A(e3-2e,)=Ae-2Ae,又e,与 2.B易知0i-O=AB,O元-Oi=D元，而在平行四边形ABCD 中有店=D元0丽-0=0元-0币，即b-a=e-d也即a e2是不共线向量∴ f-1=-2λ lk=A. 解得 k=2' 1 b+e-d=0.故选B A=2 3.BDO品+E=E,A错误：化为Oi-Oi=O凉，即Od+0元= (2)~A,B,C三点共线∴存在实数A,使得方=AB配，即O成 0,B正确：对0币+0.=0i移项可得Oi-0=0i.C错误； -0i=A(0元-0)，.O=(1+A)0-A0元，则x=1+A,y 由-0币-0正=-0i,即D+市=d,D正确.故选BD. =-A,x+y=1. 4号=M花1=1店-花=1G函1，放△ABC为等边三角 例3：因为A∥C,A=21C,所以A店=2D心，D元=A应 形，放L4C=号 ()花=而+心=乌+之 5.a+c-b0i=Oi+Ai=O+B元=O+0元-oi=a+c (2)丽=而++不=-成-办+=-名-e -b. += 6.2.3向量的数乘运算 [母体探究】 教材梳理 明要点 变式：因为M=M而+D+不，=元+C成+B 新知初探 知识点一 所以2M=(M币+MC)+D+C成+(A+B. 1.(1)向量Aa(2)1A11al相同相反0-a 又因为M,N分别是DC,AB的中点， 2.(1)(w)a(2)Aa+ua(3)Aa+Ab 所以M币+MC=0,A+B=0.所以2M示=Di+C 知识点二 唯一一个b=A@ 所以(-而-配)=之-之 319 跟踪训练3：()A(2)b+宁4(1)如图 则o元=a+b.B=a-b. 因为1lal=1b1=2. 所示，风=成-应=子-号武： 所以平行四边形OACB是菱形， 子（花-）+子访=号应+号花：角 又∠A0B=60°， 所以0元与0的夹角为30°，B与O的夹角为60°.即a+b与 +兮，故选入 a的夹角是30°，a-b与a的夹角是60. 跟踪训练1：C如图，作向量A⑦=B武，则∠BAD比 (2)=币+成=+访=+ 1 是AB与B配的夹角，在△ABC中，因为∠ACB= 随堂检测重反馈 0,BC=子AB,所以∠ABC=60,所以∠BAD 1.B对于①，m(a-b)=ma-mb,故①中命题正确：对于②， (m-n)a=ma-a,故②中命题正确：对于③，当m=0时，由 =120°.即A与BC的夹角是120 0·a=0·b,不能得到a=b,故③中命题错误：对于④，当a= 例2：(1)①由已知得a·b=1al1b1·cos0=4×2×0s120°= 0时，由ma=na,不能得到m=n.故④中命题错误，故选B. -4.②a·a-a·b-2b·b=1a12-a·b-21b12=16- 2.ABD根据向量数乘运算和加，诚运算律知A,B.D正确：C (-4)-2×4=12. 中.(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量.而不 (2)①：A店与4元的夹角为60°，.A店.A花=1M后11A元cs60 是0，所以该运算错误 =1×1×号=分②：与武的夹角为120°，店.配。 30原武=宁(a+)-a-动=a+动-a-b=0 49 idim12w=1x1×(-）=-之③：成与d 因为A,B,D三点共线，放存在一个实数A,使得店= 的夹角为60成.花=1B配·s60=1x1×号 ABd,又A=3e,+2e,.Ci=ke,+e,C=3e,-2ke,所以B -Ci-C=3C,-2ke-(he,+e2）=(3-k)e-(2k+1), 所以3e1+2e=A(3-)e1-入(2k+1)e,所以 3=A(3-k), 解得=一号 跟踪训练2：(1)D(2)号 (1)由题得1AC12=1A应2+ 12=-A(2k+1), 1BC2,所以∠ABC=90°，所以原式=0+4×5s(180°-C) 6.2.4向量的数量积 +5×30s(180°-A)=-20emC-15e8A=-20×4 第一课时向量数量积的概念、运算及投影向量 15x号 -16-9=-25.故选D 教材梳理明要点 新知初探 (2)设a.b的夹角为0，则cs0=8论=子0e[0,m], 知识点一 1,非零向量 ∠AOB=80≤0≤x同向反向 六0哥 例3：(1)A(2)4(1)根据投影向量的定义，设a,b的夹角为 2号a1b ,可得向量a在b方向上的投影向量是1 alcos Be=-a,b。 知识点二 -4e. 2.(2)a·b=0(4)≤ (2)设a与b的夹角为0，且a·b=16.∴.1a|·1b|·cos0= 知识点三 16,又：a在b上的投影向量为4e,.1a1·cose=4e 1.投影投影 ∴.1alcw0=4.∴.lbl=4. 预习自测 1.C设向量a,b的夹角为0，则0∈[0，π]，因为1al=1,1b1= 跟踪调练3：号。0= 日治：学(0为a与b的夹角. 2ab=.所以m0=日论是-号所以向量a,b 之向量a在向量6上的投影向量为1a1m能=号e 的夹角0=号 随堂检测重反馈 :1.C根据数量积定义即可计算.由题意，a·b=|a|1bleos(a, 2.32e因为向量a,e的夹角等于45，所以向量a在向量e上 b)=v2×22×c0s150°=-23.C正确. 的投影向量是Ial·%450·e=3v2e 2.A 由题意知BC=迈，所以A店·B配=A店1·B配Ieos135°= 3.-1A店.BC=121·1BC1Os(180°-B)=-1AB1·1BC .csB=-孩·B配.。-=-1 2×2x(-号)=-2 IBCI 3D向最a在向最b上的投影向量是1am(a,b合=2× 题型探究提技能 例1：如图所示，作0=a,0=b,且∠A0B m120×号=- =60°. 4.[0,π】0根据向量夹角的定义可知，两个向量的夹角 以O,O为邻边作平行四边形0ACB. 的取值范围是[0，π]，当a与b同向时，夹角为0，当a与b反 向时，夹角为 320