6.2.2 向量的减法运算(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

6.2平面向量的运算 例3：作出图形，如图.船速■与岸的方向成α角，由图可知本+ 「=，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形 6.2.1向量的加法运算 在△ACD中，11=11=lt1=DD 10 m/min,IADI==10 m/min, 教材梳理 明要点 ICD川2 新知初探 .s= 知识点 14ii2a=45 1.和 故船行进的方向是与水流的方向成135 DB 2.三角形 角的方向。 知识点二 [母体探究] 1,平行四边形 变式1：如图所示，1=1B配1=1e1=102 D 知识点三 m/min,lAB1=le本l=10m/min,则tn∠BAC 1.(1)b+a(2)a+(b+c} 2.lal +lbl 预习自测 _=万，即为所求 4B面 1.A根据向量加法的平行四边形法则求解.平行四边形ABCD 变式2：由题意可知1A1=1C⑦1=10(m/min) 中，AC=AB+Ai=a+b.故选A =0.6(km/h),则经过3小时，该船的实际航 DB 2.AC 程是1.8(km). 3.0Pi+0币+Bd=Pi+Bd+0O亦=P+0币=0. 跟踪训练3：如图所示，设AB配分别是直升机的位移，则4表 4如图，在平面内任取一点0，作0=a,AB=b,则0店=a+b:再 示两次位移的合位移，即A配=A正+B配 作OC=c,以0B,OC为邻边作口0BDC,则Oi=a+b+c. 在R1△ABD中，D成1=20km.1AD1=205km 在R1△ACD中，1Ad1=Ai12+D元12=405km,∠CAD a+b+ =60°. 五+ 即此时直升机位于A地北偏东30方向，且距离A地40尽km 处 题型探究提技能 例1：(1)在平面内任取一点0，作0= a,AB=b,再作向量O2,则O=a+b. atb b 如图所示 (2)在平面内任取一点0，作=a Q A 随堂检测重反馈 O正=b,以OA,OB为邻边作口OBCA,则 b a+b L.DA正+Ei+武=A店+BC=AC O心=a+b.如图所示 跟踪训练1：(1)B(2)1(1)以0P,OQ 2.C因为ABCDEF为正六边形，所以C=A产.所以B+C 为邻边作平行四边形，可知F为所作平行四边形的对角线， F正=BA+A+FE=B正 3.A因为向量的加法满足交换律和结合律，所以(a+c)+b= 故由平行四边形法则可知OF对应的向量OF即所求向量.故 b+(a+c)=b+(e+a)=c+(a+b)=c+(b+a)=a+b 选B +C. 4.(1)O正(2)AD(3)0(1)因为四边形0ABC是以0A.0C 为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故O+O心=O成. (2)因为BC=F2,故B配+2与BC方向相同，长度为BC的长度 的2倍，故B配+F呢=A (3)因为0i=F尼，故0+F2=0A+0i=0 E F H 6.2.2 向量的减法运算 (2)因为在菱形ABCD中，∠B4D=60°，所以△ABD为等边三 角形，所以BC+C=1B1=1A1=1. 教材梳理 明要点 例2：(1)B武+A成=A花+B成=AC 新知初探 知识点 (2)D丽+C+成=B武+C+D丽=(B配+C)+D=B励+1.相等相反 DB=0. 知识点二 (3)店+示+C+配+月=话+底+C+亦+下=花+.相反向量 2.向量b向量a C+D亦+F=A⑦+D派+F=AF+F=0. 预习自测 累踪训练2：(1)2巨(2)①D成②(1)1店+市+B配+1.C向量马C0的模相等，方向相反，互为相反向量。 D元=1A店+BC+Ad+D元i=IAt+ACi=21AC1=22. 2.DC=Bi-BC=a-b.故选D, (2)Da+b+e=DC+C0+08=DB. 3.BC 26+d+c=C0+BA+08=C0+08+BA=CB+Bi=CA. 4.0C求+A元-D正-A=A元+C正-(A币+D成)=A正-A正=0. -318- 题型探究提技能 想一想 例1：如图，在平面内任取一点0，作向量 (1)若将条件a≠0去掉.即当a=0时，显然a与b共线： O=a,0正=b,则向量B=a-b,再作 (2)当a=0时，若b≠0，则不存在实数A,使b=Aa,但此时向 向量B配=c,则向量C=a-b-c. 量a与b共线； (3)当a=0时，若b=0,则对任意实数A,都有b=Aa,与存在 跟踪训练1：(1)D丽=D正++A店=d+e 唯一一个实数入矛盾。 +a. 预习自测 (2)Di=C成-C=-B成-Ci=-b 1.(1)V(2)×(3)V(1)由向量数乘的定义可知正确. -c. (2)当a=0时，A不一定存在 (3)EC=EA+AB+BC=a+b+e. (3)由共线向量定理可知正确， (4)Ed=-c2=-(C+Di)=-e-d 2.Ca=4b,4>0,1a1=41b1且a与b方向相同. 院，2D根据向整的线性运算法则，可得时+3C原式=（兮+号）+(1-46=2a-3h故选C BC -BA =PA+AC=PC. 题型探究提技能 (2)E序=C2=0i-0元=b-c 跟踪训练2：(1)4店(2)C(1)根据平面向量线性运算法则 例1：(1)子[2(2a+4b)-4(5a-2b)]=号(4a+8h-20a+8b) 计算可得(A丽+C)+(B励-⑦)=AB+C市+B丽+D成=A店 =(-1@+16b)=-4a+4h +BD+DC+C2=A应放答案为A店 (2)因为3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),所以6g-3b+3C+ (2)B-B配-0Oi+0品+D=(B-B成)-(O-0币)+D x=-2a+6b,即x=-8a+9b-3c. =CA-DA+DA=CA. 跟踪训练1：(1)-5e1+23e2(2)3a+2b4a+3h(1):a= 例3：由平行四边形的性质可知Ci=A正=c,由向量的减法可知 e1+2e2,b=3e1-5e2,4a-3b=4(e1+2e2）-3(3e1-5e2) 元=A元-AB=b-a,由向量的加法可知B面=B武+C⑦=b-a =-5e1+23e2. +C. (2)由3r-2y=a①，-4r+3y=b②.①×3+②×2，得x=3a [母体探究] +2b,代入①得3×(3a+2b)-2y=a,即y=4a+3h.x=3a 变式：如图，因为四边形ACDE是平行四边 +2b,y=4a+3b. 形，所以C⑦=A正=c,BC=A心-A应=b 例2：(1)证明：A丽=0i-0=(3a+b)-(2a-b)=a+2b, a,BD=BC+CD=b-a+c. BC=0元-0i=(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2AB. 跟踪训练3：(1)A元-O元-Oi=c-a. .AB与B配共线，且有公共点B,A,B,C三点共线 (2)AD=0D-0A=d-a. (2):8a+kb与ka+2b共线， (3)AD-AB=BD=0D-08=d-b. 存在实数A,使得8a+b=A(ka+2b), 即(8-Ak)a+(k-2A)b=0. (4)A+C=0i-0+0亦-0元=b-a+f-c (5)B㎡-Bd=0-0i-(0品-0i)=f-b-d+b=f-d a与6不共线0 随堂检测重反馈 解得A=±2，青=2入=±4 1.D根据向量的概念可得A,B错误：A-A元=C,故C错误： 跟踪训练2：(1)D(2)1(1)由共线向量定理可知存在实数 M不+N+P风=M而，故D正确，故选D A,使m=An.即-e1+he3=A(e2-2e1)=Ae2-2Ae1,又e1与 2.B易知O成-O=AB,O元-O品=D元，而在平行四边形ABCD c是不共线向量∴ -1=-2A解得 k=2 中有AB=D元，0i-O=0元-0i,即b-a=c-d,也即a- k=A, b+c-d=0.故选B A=2 3.BDO品+E0=Ei,A错误：化为Oi-0d=0正，即0币+0证= (2)A,B,C三点共线，.存在实数A,使得AB=AB配，即O Oi,B正确：对Oi+O正=Oi移项可得0a-0呢=Oi,C错误： -Oi=A(0元-0)，O=(1+A)0i-A0C,则x=1+A,y 由-0i-0成=-0i,即Dd+Ei=d,D正确.故选BD =-A,x+y=1. 4号A=A花=1店-A花1=1C1,故△ABC为等边角 例：因为店/C而，A=21C市1，所以=2DC,D元=)应 形，故∠B4C=号 ()花=而+元=6+之 5.a+c-b 0D=0A+AD=04+BC=04+0C-08=a+e (2)=城+耐+-成-而+访=--心 -b. 6.2.3向量的数乘运算 +2e1=481-6 [母体探究] 教材梳理 明要点 变式：因为-M币+Di+A,-配+C店+B 新知初探 知识点一 所以2M=(Mi+M记)+D+CB+(A+B. L.(1)向量Aa(2)1A1Ia相同相反0-a 又因为M,N分别是DC,AB的中点， 2.(1)(4)a(2)Aa+ua(3)Aa+Ab 所以M而+M元=0，A+B=0.所以2M=D+C 知识点二 唯一一个b=Aa 所以=(-而-脑= -319->?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!化简#$$$$,6 #$$$,"6 #$$$"%等于 '!!( -! #$$$ $" .! #$$$ "$ /!! 0! #$$$ $% "!已知正六边形$"%&,-"则#$$$"$6 #$$$%&6 #$$$-,% '!!( -! #$$$ %- .! #$$$ $& /! #$$$ ", 0!! #!已知!"""#是非零向量"则'! 6#( 6""" 6'! 6#("" 6'#6!("#6'! 6"("#6'" 6!(中"与向 量! 6" 6#相等的向量的个数为 '!!( -!# .!& /!, 0!$ $!如图所示")为正六边形$"%&,-的中心"化简下列向量& '"( #$$$ )$6 #$$$ )%%!!!!) '$( #$$$ "%6 #$$$ -,%!!!!) ',( #$$$ )$6 #$$$ -,%!!!!! 请同学们认真完成练案!$" 3!$!$!向量的减法运算 新课程标准解读 学科核心素养 理解相反向量的含义"能用相反向量说出向量减法的意义! 数学抽象 掌握向量减法的运算及其几何意义"能熟练地进行向量的加减运算! 直观想象 能熟练地进行向量的加!减综合运算! 直观想象!逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!我们知道"数的运算中"减法是加法的逆运算"其运算法则是,减去一 个数等于加上这个数的相反数-!我们能否类似地定义向量的减法呢$ 问题 "!类比实数0的相反数70"对于向量!"你能定义,相反向量- 7!吗$ 它有哪些性质$ $!你认为向量的减法该怎样定义$ ! !提示" % -./0 知识点一!相反向量 "!定义#与向量!长度!!!!!!"方向!!!!!!的向量"叫做!的相 反向量"记作7!! $!性质#'"(零向量的相反向量仍是零向量) '$(对于相反向量有&! 6' 7!( %' 7!( 6! %!) ',(如果!""互为相反向量"那么! %7""" %7!"! 6" %!! ! !提醒"" 知识点二!向量的减法运算 "!向量减法的定义 向量!加上"的!!!!!!"叫做!与"的差"即! 7" %! 6' 7"(!求两 个向量差的运算叫做向量的减法! ! !提醒$" !提示" ,<3øm'žù ¦%[\ ! 7" %! 6 ' 7"(" Æøú=", <}»´/0‚", <3}Œ,<! !提醒"" }Œ,<†}~,< =û4 ׫de° _ «+,° !+Сl [\4 }Œ,<üs kl,<! !提醒$" øú=",<}»´ /0‚",<3}Œ ,<! $$* $!向量减法的几何意义 已知向量!"""在平面内任取一点)"作#$$$)$%!" #$$$)"%""则#$$$"$%! 7"!即! 7 "可以表示为从!!!!!!的终点指向!!!!!!的终点的向量"这 就是向量减法的几何意义! ! !提醒," !提醒," "!§µ^,< ! 4 " 3 ý,< ! 7" 4 67þ ÿs«g‘’4 ¯— ’4Ä,!ø° w #!i,<ø3[\ ]4 -.× ! 3—’ Ä, " 3 — ’ § , <4h",<& " 7!! + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !如图"四边形$"%&是平行四边形"$%与"&相交于点)"下列互为相反向量的 是 '!!( -! #$$$ $"与#$$$&% .! #$$$$)与#$$$)% /! #$$$ $)与#$$$%) 0! #$$$%$与#$$$)% "!在 ( $"%中"若#$$$"$%!" #$$$"%%""则#$$$%$% '!!( -!! .!! 6" /!" 7! 0!! 7" #!$多选%下列说法正确的是 '!!( -!相反向量就是方向相反的向量 .!向量#$$$$"与#$$$"$是相反向量 /!两个向量的差仍是一个向量 0!相反向量不一定是平行向量"平行向量一定是相反向量 $!化简& #$$$%,6 #$$$$%7 #$$$&,7 #$$$$&%!!!!! 5607%89: 56;% 向量的减法及其几何意义 !!如图"已知向量!"""#"求作向量! 7" 7#! ! !方法总结"" !如图所示"解答下列各题& '"(用!"$"%表示#$$$&")'$(用""#表示#$$$&") ',(用!"""%表示#$$$,%)'&(用#"$表示#$$$,%! !方法总结"" ¶§!",<3ý, <3!¼#$ -".67ðñs,<3 / ¡l4 - ! 7 " 467…§ 7" 4 “ ”§ ! 6' 7"( Æ6w -#.67j®¢,<ø 3OP{\4 Æ% !,<3‘’no4 ¦ý,<s¯®!" ,<3—’4 Ä,! ø,<3—’3,<! $$+ 56<% 向量的加减混合运算 "!'"( #$$$ *$6 #$$$ "%7 #$$$ "$% '!!( -! #$$$ *"!!!!!.! #$$$ %*!!!!!/! #$$$ $%!!!!!0! #$$$ *% '$(如图"已知六边形$"%&,-是一个正六边形") 是它的中心"其中#$$$)$%!" #$$$)"%"" #$$$)%%#"则#$$$,-% '!!( -!! 6" .!" 7! /!#7" 0!" 7# ! !方法总结$"!提醒" !'"($$'$&'河北秦皇岛高一上期末%' #$$$$"6 #$$$%"( 6' #$$$"&7 #$$$%&( %!!!!! '$(如图所示"在梯形$"%&中"$& " "%"$%与"&交于 点)"则#$$$"$7 #$$$"%7 #$$$)$6 #$$$)&6 #$$$&$%!!!!! 56=% 向量加减法的综合应用 #!如图所示"四边形$%&,是平行四边形""是该平行 四边形外一点"且#$$$$"%!" #$$$$%%"" #$$$$,%#"试用向量!" ""#表示向量#$$$%&" #$$$"%" #$$$"&! !母体探究" 变式&$变条件%若本例中的条件,点"是该平行四边形外一点-变为,点 "是该平行四边形内一点-"其他条件不变"试用向量!"""#表示向量#$$$%&" #$$$ "%" #$$$ "&! ! !方法总结," !如图"已知#$$$)$%!" #$$$)"%"" #$$$)%%#" #$$$)&%$" #$$$)-%&"试用!" ""#"$"&表示以下向量& '"( #$$$ $%)'$( #$$$ $&)',( #$$$ $&7 #$$$ $")'&( #$$$ $"6 #$$$ %-)'#( #$$$ "-7 #$$$ "&! !方法总结$" "!,<ø13& ¢+ #!,</ôøñþ 3!¼¥' E" F ¬ ­ } ¯ ( s_w E# F ‘ ’ } ‹ ( sý! !提醒" )$©ªz{*+& r'‚!¼¥'4 ‹ ©ªz{,,W¢! !方法总结," "!89ڞ#$ª- ./¨¥]3}~, <ô}Œ,<ôgM ,<70ʟ£¤¥ 3£",<123t 34 f[‡ˆ,<† !Q R , < 3 ð ñ 45w #!6ªW¢,</ô ø3OP{\70 ,</3âoáô ßàá Ü789# $4 iĘ̈¥]6 Ï¢,</3Z³ ¥¦4 89:;< y=>! $#$ >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !下列向量关系式中"正确的是 '!!( -! #$$$ '(% #$$$ (' .! #$$$ $"6 #$$$ $%% #$$$ "% /! #$$$ $"7 #$$$ $%% #$$$ "% 0! #$$$ '(6 #$$$ (*6 #$$$ *+% #$$$ '+ "!已知)是平面上一点" #$$$)$%!" #$$$)"%"" #$$$)%%#" #$$$)&%$"且四边形$"%&为平行四边形"则'!!( -!! 6" 6#6$ %! .!! 7" 6#7$ %! /!! 6" 7#7$ %! 0!! 7" 7#6$ %! #!$多选%已知#$$$)&6 #$$$),% #$$$)'"则下列结论正确的是 '!!( -! #$$$ )&6 #$$$ ,)% #$$$ )' .! #$$$ )'6 #$$$ &)% #$$$ ), /! #$$$ )'7 #$$$ ),% #$$$ &) 0! #$$$ &)6 #$$$ ,)% #$$$ ') $!在 ( $"%中"若1#$$$$"1%1#$$$$%1%1#$$$$"7 #$$$$%1"则 ' "$%%!!!!! %!如图所示"已知平行四边形$"%&内一点)"且#$$$)$" #$$$)"" #$$$)%分别为!"""#"则 #$$$ )&%!!!!'用!"""#表示(! 请同学们认真完成练案!," 3!$!,!向量的数乘运算 新课程标准解读 学科核心素养 了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义! 数学抽象 理解并掌握向量数乘的运算律"会进行向量的数乘运算! 逻辑推理 理解并掌握两向量共线的性质和判断方法"并能熟练地运用这些知识处理有 关向量共线问题! 逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!一根细绳东西方向摆放"一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动"如果蚂 蚁向东运动"秒钟的位移对应的向量为!"那么它在同一方向上运动,秒 钟的位移对应的向量怎样表示$ 是,!吗$ 蚂蚁向西运动,秒钟的位移 对应的向量又怎样表示$ 是7,!吗$ ! !提示" % -./0 知识点一!向量的数乘运算及运算律 "!向量的数乘 '"(定义&一般地"我们规定实数 ! 与向量!的积是一个!!!!!!"这 种运算叫做向量的数乘"记作!!!!!!! '$(规定& ! 1 ! !1%!!!!!!) " 当 ! 4'时" ! !的方向与!的方向!!!!!!)当 ! :'时" ! !的方向 与!的方向!!!!!!)当 ! %'时" ! ! %!!!!!!)' 7"(! %!! !!!!! !提示" "!žIê;31%6 7%Æ ! 6! 6! %,!! #! ,! † ! 3+,} ‹ " 7,! † ! 3+, }Œ ! $##