6.2.1 向量的加法运算(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

>?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !下列命题中正确的有 '!!( -!温度含零上和零下温度"所以温度是向量 .!共线的向量"若起点不同"则终点一定不同 /!向量!与"不共线"则!与"都是非零向量 0!若1!141"1"则! 4" "!,向量#$$$$"" #$$$%&共线-是,直线$" " %&-的 '!!( -!必要不充分条件 .!充分不必要条件 /!充要条件 0!既不充分也不必要条件 #!若#$$$"$% #$$$%&"则四边形$"%&的形状为 '!!( -!平行四边形 .!矩形 /!菱形 0!等腰梯形 $!如图所示"在四边形$"%&中" #$$$$"% #$$$&%"("'分别是$&""%上的点"且#$$$%(% #$$$'$" 求证& #$$$&(% #$$$'"! 请同学们认真完成练案!"" !"% ! "#$%&)* 35$5"!向量的加法运算 新课程标准解读 学科核心素养 理解并掌握向量加法的概念! 数学抽象 了解向量加法的几何意义及运算律! 直观想象 了解向量加法的交换律和结合律"并能作图解释向量加法运算律的合理性! 直观想象!逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的.克雷洛夫寓言/中有一篇.天鹅!梭子鱼和虾/ 的故事"故事的大意是这样的&有一天"天鹅!梭子鱼和虾一起拉一车货物"天鹅想"我的家在天 上应该把货物拉到我家"于是"天鹅伸长脖子拼命往天上飞!梭子鱼想"我的家在河里"应该往河 里拉"于是"梭子鱼使劲往河里拽!虾想"我的家在池塘里"应该把货送到池塘"于是"虾弓着身子 往池塘拉"他们三个累得精疲力尽"车子却纹丝不动! $$' !问题 "!车子为什么纹丝不动$ 这则故事给我们的启示是什么$ $!我们知道"数量能进行运算"因为有了运算而使数的变换无穷"那么向量 是否也能像数一样进行运算呢$ ! !提示" % -./0 知识点一!向量加法的定义及三角形法则 "!向量加法的定义 求两个向量!!!!!!的运算"叫做向量的加法! $!三角形法则 已知非零向量!"""在平面内取任意一点$"作#$$$$"%!" #$$$"% %""则向量#$$$$%叫做!与"的和"记作! 6""即! 6" % #$$$$" 6 #$$$ "%% #$$$ $%!这种求向量和的方法"称为向量加法的!! !!!!法则! ! !提醒"" 知识点二!向量加法的平行四边形法则 "!以同一点)为起点的两个已知向量!"""以)$")"为邻 边作 % )$%""则以)为起点的向量#$$$)%')%是 % )$%"的 对角线(就是向量!与"的和!把这种作两个向量和的方 法叫做向量加法的!!!!!!!!法则! $!对于零向量与任意向量!"规定! 6! %! 6! %!! ! !提醒$"!思考" 知识点三!向量加法的运算律及模之间的关系 "!向量加法的运算律 '"(加法交换律&! 6" %!!!!!!) '$(加法结合律&'! 6"( 6#%!!!!!!! $!1! 6"1与1!1&1"1之间的关系 一般地"我们有1! 6"1 & !!!!!!"当且仅当!""中有一个是零向量 或!""是方向相同的非零向量时"等号成立! ! !提醒," !提示" "!˜™3+,GV4 šŠZm&›œ! # !,<3167ž I™ 3 o Ÿ   ¡ l 1! !提醒"" 1¢,</3£¤¥ ¦§¨©ª«¬­} ®4Š¬­}¯° ! !提醒$" £¤¥¦§¨±’ &«¬­}®° %kl ²³¥¦§¨±’ &«g‘’° ! !思考" V´|{!"µ^, <¶_%H·¢£¤ ¥¦_kl²³¥ ¦¸& 提示# £¤¥¦¹ ¢´h'3!"µ^ ,<¶_%Bkl²³ ¥¦º¹¢´Gg M3!",<¶_!» !",<GgM©%! ¼/¦i½¾0 &=¿3! !提醒," "!‡ˆO",<4 À Á¬­}®4 ¦Â‘ Ã,<3‘’Ä,Å ­,<3—’3,< Æ s ‚ O " , < 3_w #!¬­ÇÁ}®3È É",<Èʟ=" Ę̈¥4 ¦ÍÎ3 _s !5 + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!在平行四边形$"%&中" #$$$$"%!" #$$$$&%""则#$$$$%% '!!( -!! 6" .!! 7" /!$! 6" 0!$! 7" "!如图所示"在矩形$"%&中" #$$$$)6 #$$$)"6 #$$$$&%!!!!! #!化简#$$$*"6 #$$$)*6 #$$$")%!!!!! $!如图所示"已知向量!"""#不共线"作向量! 6" 6#! $$( 5607%89: 56;% 向量的加法运算法则 !!'"(如图 ! "用向量加法的三角形法则作 出! 6") '$(如图 " "用向量加法的平行四边形法 则作出! 6"! ! !方法总结"" !'"($$'$&'青岛高一下开学考%如图所示的方格纸中有定点)"*"+","-" ."/"则#$$$)*6 #$$$)+% '!!( -! #$$$ ),!!!!!!.! #$$$ )-!!!!!!/! #$$$ ).!!!!!!0! #$$$ )/ '$(菱形$"%&中" ' "$&%3'2"1 #$$$ $"1%""则1 #$$$"%6 #$$$%&1%!!!!! 56<% 向量加法运算律的应用 "!化简& '"( #$$$ "%6 #$$$ $") '$( #$$$ &"6 #$$$ %&6 #$$$ "%) ',( #$$$ $"6 #$$$ &-6 #$$$ %&6 #$$$ "%6 #$$$ -$! ! !方法总结$" !方法总结"" ¶§_,<3+ E"FÏ¢£¤¥ ¦„ikÐÑ|Ò= ’4 7ӒsÒ4 Ô!,<kÕÖ¬­ }®4 ×ÓÒÖØ Ù="—’3,<5 &‚!",<3_!= [ªz{¬­}®w E#FÏ¢kl²³ ¥¦„ikÐÑ| Ò=’4 ×ڒÛ Üݧ!",<~´ ‡ˆ,<4 7‚!" ,<hiMNsÞ³ §kl²³¥4 7h Ò3’sÒ3V¤ MhVW3,<5& ‚!",<3_! !方法总结$" "! » ! " , < g M ©4 ,</3ßà á_âoámŸãw #!Z",<3/1 67äå|{3Á æ† | { 3 ç o ¡ l4- '! 6"( 6'#6 $( %' " 6$( 6' ! 6 #()! 6" 6#6$ 6%% 0$ 6'! 6#(1 6'" 6 %() $!,<¶_3Z³¥ ¦„' " ' #$$$$ # ( ' # ' #$$$$ $ ( ' $ ' #$$$$ ) ( è( ' * + " ' #$$$$$ * , ' " ' #$$$$ * !±Ýé4 » ' * _ ' " no©4 ' " ' #$$$$ # ( ' # ' #$$$$ $ ( ' $ ' #$$$$ ) ( è( ' * + " ' #$$$$$ " , ! ! $$! !'"(已知正方形$"%&的边长等于""则1#$$$$"6 #$$$$&6 #$$$"%6 #$$$&%1%!!!!! '$(根据图示填空"其中! % #$$$&%"" % #$$$%)"#% #$$$)""$ % #$$$"$! ! ! 6" 6#%!!!!) " " 6$ 6#%!!!!! 56=% 向量加法的实际应用 #!在静水中船的速度为"'槡$ )*)89"水流的速度为"' )*)89"如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸"求船行进 的方向! !母体探究" 变式"&$变条件%本例中条件变为,船沿垂直于水流的方向航行-"其他 条件不变"求船实际行进的方向的正切值'相当于与河岸的夹角(! 变式$&若本例条件不变"求经过,小时"该船的实际航程是多少()$ ! !方法总结," !一架救援直升机从$地沿北偏东3'2方向飞行了&' ()到达"地"再由" 地沿正北方向飞行&' ()到达%地"求此时直升机与$地的相对位置! !方法总结," W¢,<89êë# $3ì½íî E"FQR„¢,< QR't<4 Ôhª 8ï3#$ðñs, <#$w E#F1„W¢, </3kl²³¥ ¦_£¤¥¦4 Ô' t , < ¡ l 1 48ï,<#$w E$Fò󄕖, <31â.4 âo ,<gMô}~~õ ö÷ïó#$! $$) >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!化简#$$$$,6 #$$$,"6 #$$$"%等于 '!!( -! #$$$ $" .! #$$$ "$ /!! 0! #$$$ $% "!已知正六边形$"%&,-"则#$$$"$6 #$$$%&6 #$$$-,% '!!( -! #$$$ %- .! #$$$ $& /! #$$$ ", 0!! #!已知!"""#是非零向量"则'! 6#( 6""" 6'! 6#("" 6'#6!("#6'! 6"("#6'" 6!(中"与向 量! 6" 6#相等的向量的个数为 '!!( -!# .!& /!, 0!$ $!如图所示")为正六边形$"%&,-的中心"化简下列向量& '"( #$$$ )$6 #$$$ )%%!!!!) '$( #$$$ "%6 #$$$ -,%!!!!) ',( #$$$ )$6 #$$$ -,%!!!!! 请同学们认真完成练案!$" 3!$!$!向量的减法运算 新课程标准解读 学科核心素养 理解相反向量的含义"能用相反向量说出向量减法的意义! 数学抽象 掌握向量减法的运算及其几何意义"能熟练地进行向量的加减运算! 直观想象 能熟练地进行向量的加!减综合运算! 直观想象!逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!我们知道"数的运算中"减法是加法的逆运算"其运算法则是,减去一 个数等于加上这个数的相反数-!我们能否类似地定义向量的减法呢$ 问题 "!类比实数0的相反数70"对于向量!"你能定义,相反向量- 7!吗$ 它有哪些性质$ $!你认为向量的减法该怎样定义$ ! !提示" % -./0 知识点一!相反向量 "!定义#与向量!长度!!!!!!"方向!!!!!!的向量"叫做!的相 反向量"记作7!! $!性质#'"(零向量的相反向量仍是零向量) '$(对于相反向量有&! 6' 7!( %' 7!( 6! %!) ',(如果!""互为相反向量"那么! %7""" %7!"! 6" %!! ! !提醒"" 知识点二!向量的减法运算 "!向量减法的定义 向量!加上"的!!!!!!"叫做!与"的差"即! 7" %! 6' 7"(!求两 个向量差的运算叫做向量的减法! ! !提醒$" !提示" ,<3øm'žù ¦%[\ ! 7" %! 6 ' 7"(" Æøú=", <}»´/0‚", <3}Œ,<! !提醒"" }Œ,<†}~,< =û4 ׫de° _ «+,° !+Сl [\4 }Œ,<üs kl,<! !提醒$" øú=",<}»´ /0‚",<3}Œ ,<! $$* 6.2平面向量的运算 例3：作出图形，如图.船速■与岸的方向成α角，由图可知本+ 「=，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形 6.2.1向量的加法运算 在△ACD中，11=11=lt1=DD 10 m/min,IADI==10 m/min, 教材梳理 明要点 ICD川2 新知初探 .s= 知识点 14ii2a=45 1.和 故船行进的方向是与水流的方向成135 DB 2.三角形 角的方向。 知识点二 [母体探究] 1,平行四边形 变式1：如图所示，1=1B配1=1e1=102 D 知识点三 m/min,lAB1=le本l=10m/min,则tn∠BAC 1.(1)b+a(2)a+(b+c} 2.lal +lbl 预习自测 _=万，即为所求 4B面 1.A根据向量加法的平行四边形法则求解.平行四边形ABCD 变式2：由题意可知1A1=1C⑦1=10(m/min) 中，AC=AB+Ai=a+b.故选A =0.6(km/h),则经过3小时，该船的实际航 DB 2.AC 程是1.8(km). 3.0Pi+0币+Bd=Pi+Bd+0O亦=P+0币=0. 跟踪训练3：如图所示，设AB配分别是直升机的位移，则4表 4如图，在平面内任取一点0，作0=a,AB=b,则0店=a+b:再 示两次位移的合位移，即A配=A正+B配 作OC=c,以0B,OC为邻边作口0BDC,则Oi=a+b+c. 在R1△ABD中，D成1=20km.1AD1=205km 在R1△ACD中，1Ad1=Ai12+D元12=405km,∠CAD a+b+ =60°. 五+ 即此时直升机位于A地北偏东30方向，且距离A地40尽km 处 题型探究提技能 例1：(1)在平面内任取一点0，作0= a,AB=b,再作向量O2,则O=a+b. atb b 如图所示 (2)在平面内任取一点0，作=a Q A 随堂检测重反馈 O正=b,以OA,OB为邻边作口OBCA,则 b a+b L.DA正+Ei+武=A店+BC=AC O心=a+b.如图所示 跟踪训练1：(1)B(2)1(1)以0P,OQ 2.C因为ABCDEF为正六边形，所以C=A产.所以B+C 为邻边作平行四边形，可知F为所作平行四边形的对角线， F正=BA+A+FE=B正 3.A因为向量的加法满足交换律和结合律，所以(a+c)+b= 故由平行四边形法则可知OF对应的向量OF即所求向量.故 b+(a+c)=b+(e+a)=c+(a+b)=c+(b+a)=a+b 选B +C. 4.(1)O正(2)AD(3)0(1)因为四边形0ABC是以0A.0C 为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故O+O心=O成. (2)因为BC=F2,故B配+2与BC方向相同，长度为BC的长度 的2倍，故B配+F呢=A (3)因为0i=F尼，故0+F2=0A+0i=0 E F H 6.2.2 向量的减法运算 (2)因为在菱形ABCD中，∠B4D=60°，所以△ABD为等边三 角形，所以BC+C=1B1=1A1=1. 教材梳理 明要点 例2：(1)B武+A成=A花+B成=AC 新知初探 知识点 (2)D丽+C+成=B武+C+D丽=(B配+C)+D=B励+1.相等相反 DB=0. 知识点二 (3)店+示+C+配+月=话+底+C+亦+下=花+.相反向量 2.向量b向量a C+D亦+F=A⑦+D派+F=AF+F=0. 预习自测 累踪训练2：(1)2巨(2)①D成②(1)1店+市+B配+1.C向量马C0的模相等，方向相反，互为相反向量。 D元=1A店+BC+Ad+D元i=IAt+ACi=21AC1=22. 2.DC=Bi-BC=a-b.故选D, (2)Da+b+e=DC+C0+08=DB. 3.BC 26+d+c=C0+BA+08=C0+08+BA=CB+Bi=CA. 4.0C求+A元-D正-A=A元+C正-(A币+D成)=A正-A正=0. -318-