练案1 第1章 1 周期变化-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

［练案部分］ 练案［１］ Ａ组·素养自测 １． Ｃ　 若质点从Ｏ点开始向左摆动，则在１个周期内２次经过Ｏ 点，所以５次经过Ｏ点需要２． ５个周期，又因为周期为１ ｓ，所 以需要２． ５ ｓ． ２． Ａ　 ｆ １７π( )６ ＝ ｆ ２π ＋ ５６( )π ＝ ｆ ５６( )π ＝ ｆ π２ ＋ π( )３ ＝ ｆ π( )３ ＝１． ３． Ａ　 按顺序每４盏灯又重复前面的顺序，是周期性的．又９０ ＝ ４ × ２２ ＋ ２，所以第９０盏灯是红灯． ４． Ｃ　 因为每星期含有７天，而５８ ＝ ７ × ８ ＋ ２，即５８天后是再过 ８个星期后第２天，即星期日，故选Ｃ． ５． Ｂ　 由图知，地球从Ｅ１到Ｅ２用时２９． ５天，月球从月地日一条 线重新回到月地日一条线，完成一个周期． ６． Ａ　 ｆ（２ ０２４）＋ ｆ（２ ０２３）＝ ｆ（６７４ × ３ ＋ ２）＋ ｆ（６７４ × ３ ＋ １）＝ ｆ（２）＋ ｆ（１）＝ ｆ（３ － １）＋ ｆ（１）＝ ｆ（－ １）＋ ｆ（１）＝ ２ ＋ １ ＝ ３．故 选Ａ． ７．梅花　 ２张红桃，３张梅花，１张方块，２张黑桃按顺序排列，每 隔８张又重复出现，又７６ ＝ ８ × ９ ＋ ４，所以第７６张是梅花． ８． ０　 因为定义域为Ｒ的偶函数ｆ（ｘ）为周期函数，其周期为８． 当ｘ∈［－ ４，０］时，ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ １， 所以ｆ（２５）＝ ｆ（８ × ３ ＋ １）＝ ｆ（１）＝ ｆ（－ １）＝ － １ ＋ １ ＝ ０． ９． ０　 ｆ（６）＝ － ｆ（４）＝ ｆ（２）＝ － ｆ（０）＝ ０． １０．【证明】　 ∵定义在Ｒ上的函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ ＋ ａ）＝ － ｆ（ｘ）（ａ是不为零的常数），∴ ｆ（ｘ ＋ ２ａ）＝ － ｆ（ｘ ＋ ａ）＝ ｆ（ｘ），∴ ２ａ是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的一个周期． Ｂ组·素养提升 １． Ｄ　 由图象可知，重复一次所需时间Ｔ ＝２ ｓ，当ｔ ＝２５ ｓ时，因为２５ ＝２ ×１２ ＋１，所以２５ ｓ时的高度与１ ｓ时的高度相同，即２０ ｍｍ． ２． ＡＢＣ　 Ｄ不是周期现象，Ａ，Ｂ，Ｃ均为周期现象． ３． Ａ　 ∵ ｆ（ｘ）是Ｒ上的偶函数，ｇ（ｘ）是Ｒ上的奇函数，且ｇ（ｘ） ＝ ｆ（ｘ － １），∴ ｇ（－ ｘ）＝ ｆ（－ ｘ － １）＝ ｆ（ｘ ＋ １）＝ － ｇ（ｘ）＝ － ｆ（ｘ － １），即ｆ（ｘ ＋ １）＝ － ｆ（ｘ － １）． ∴ ｆ（ｘ ＋ ２）＝ － ｆ（ｘ）． ∴ ｆ（ｘ ＋ ４）＝ ｆ［（ｘ ＋ ２）＋ ２］＝ － ｆ（ｘ ＋ ２）＝ ｆ（ｘ）． ∴函数ｆ（ｘ） 是周期函数，且周期为４． ∴ ｆ（２ ０２４）＝ ｆ（４）＝ ２． ４． ＡＢＣＤ　 由周期性，奇偶性，对称性，作图如下： 由图中ｍ１，ｍ２，ｍ３，ｍ４，ｍ５五条直线可知，关于ｘ的方程ｆ（ｘ） － ｍ ＝ ０在区间［－ ８，８］上有根，则所有根的和可能为０或± ４ 或± ８． ５．（１）１２　 （２）１２０　 （１）５ × ２４１０ ＝ １２． （２）１０ × １２１ ＝ １２０． ６． ４　 设振子的振动周期为Ｔ，则振子由平衡位置Ｏ运动到Ｂ的 时间为Ｔ４ ，而振子以相同的速度通过Ｍ、Ｎ的时间为ｔ１ ＝ １ ｓ， 则Ｏ到Ｎ的时间为ｔ１２ ，又向右经Ｎ—Ｂ—Ｎ的时间为ｔ２ ＝ １，则 Ｎ到Ｂ的时间为ｔ２２ ， ∴ Ｔ４ ＝ ｔ１ ２ ＋ ｔ２ ２ ＝ １ ２ ＋ １ ２ ＝ １． ∴ Ｔ ＝ ４ ｓ． ７．（１）是周期现象，周期为１２分钟． （２）转四圈需要时间为４ × １２ ＝ ４８（分钟）． （３）第一次距地面最高需１２２ ＝ ６（分钟）， 而周期是１２分钟，所以第四次距地面最高需１２ × ３ ＋ ６ ＝ ４２ （分钟）． （４）因为６０ ÷ １２ ＝ ５，所以转６０分钟时你距地面与开始时刻 距地面相同，即４０． ５ － ４０ ＝ ０． ５（米）． ８．发现数“２，３，４，…，１ ９９７，１ ９９８，１ ９９９”按“Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｆ， Ｅ，Ｄ，Ｃ，Ｂ，Ａ”１２个数字循环出现，而１ ９９９ － １ ＝ １２ × １６６ ＋ ６， 也就是说循环出现１６６次后，再从Ｂ数６个，所以数到１ ９９９ 的那根柱子的标号是Ｇ． 练案［２］ Ａ组·素养自测 １． Ｄ　 与３７０°角终边重合的角的集合是｛α ｜ α ＝ ３７０° ＋ ｋ·３６０°， ｋ∈Ｚ｝，当ｋ ＝ － １时，α ＝ １０°．故选Ｄ． ２． Ｄ　 ①②显然为真命题；③为真命题，∵ ４７５°角与１１５°角的终 边相同，１１５°角是第二象限角，∴ ４７５°角是第二象限角；④为 真命题，∵ － ３１５°角与４５°角的终边相同，４５°角是第一象限 角，∴ －３１５°角是第一象限角．故真命题有４个．故选Ｄ． ３． Ａ　 由题意知α ＝ ｋ·１８０° ＋ ４５°，ｋ∈Ｚ． 当ｋ ＝ ２ｎ ＋ １，ｎ∈Ｚ时，α ＝ ２ｎ·１８０° ＋ １８０° ＋ ４５° ＝ ｎ·３６０° ＋ ２２５°，ｎ∈Ｚ，其终边在第三象限； 当ｋ ＝ ２ｎ，ｎ∈Ｚ时，α ＝ ２ｎ·１８０° ＋ ４５° ＝ ｎ·３６０° ＋ ４５°，ｎ∈Ｚ， 其终边在第一象限． 综上，α终边所在的象限是第一或第三象限． ４． Ｃ　 － ２０°是第四象限的角； － ４００° ＝ － ３６０° － ４０°与－ ４０°角的终边相同，是第四象限 的角； － ２ ０００° ＝ － ６ × ３６０° ＋ １６０°与１６０°角的终边相同，是第二象 限的角； ６００° ＝ ３６０° ＋ ２４０°与２４０°角的终边相同，是第三象限的角． ５． Ｃ　 在（－ ３６０°，３６０°）范围内，阴影部分表示为（－ ４５°，１２０°）， 故选Ｃ． ６． Ｄ　 因为α终边在第三象限， 所以１８０° ＋ ｋ·３６０° ＜ α ＜ ２７０° ＋ ｋ·３６０°（ｋ∈Ｚ                                                                   ）， —９４３— 书 练案［１］ 第一章　 三角函数 § １　 周期变化 Ａ组·素养自测 一、选择题 １．如右图，一个质点在平衡位置Ｏ点附 近摆动，如果不计阻力，可将此摆动看 作周期运动，若质点从Ｏ点开始向左 摆动时开始计时，且周期为１ ｓ，则质点第５次经过Ｏ 点所需要的时间为 （　 　 ） Ａ． １． ５ ｓ Ｂ． ２ ｓ Ｃ． ２． ５ ｓ Ｄ． ３ ｓ ２．若函数ｆ（ｘ）是以π２为周期的周期函数，且ｆ π( )３ ＝ １， 则ｆ １７π( )６ 的值是 （　 　 ） Ａ． １ Ｂ． － １ Ｃ． ± １ Ｄ．无法确定 ３．某广场从左向右依次挂着一排小彩灯，每两盏蓝灯之 间按顺序有红灯、黄灯、绿灯各一盏．若左边第一盏灯 是蓝灯，那么第９０盏灯是 （　 　 ） Ａ．红灯 Ｂ．蓝灯 Ｃ．黄灯 Ｄ．绿灯 ４．如果今天是星期五，则５８天后的那一天是星期（　 　 ） Ａ．五 Ｂ．六 Ｃ．日 Ｄ．一 ５．若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道 在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如 图所示，月相变化的周期为２９． ５天（下图是相继两次 满月时，月、地、日相对位置的示意图）．则月球绕地 球一周所用的时间Ｔ为 （　 　 ） Ａ． ２４． ５天 Ｂ． ２９． ５天 Ｃ． ２８． ５天 Ｄ． ２４天 ６．已知定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ ＋３），如图 表示该函数在区间［－ ２，１］上的图象，则ｆ（２ ０２４）＋ ｆ（２ ０２３）等于 （　 　 ） Ａ． ３ Ｂ． ２ Ｃ． １ Ｄ． ０ 二、填空题 ７．把扑克牌按照红桃２张，梅花３张，方块１张，黑桃２ 张的顺序连续排列着，则第７６张牌的花色是　 　 　 ． ８．定义域为Ｒ的偶函数ｆ（ｘ）为周期函数，其周期为８， 当ｘ∈［－ ４，０］时ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ １，则ｆ（２５）＝ 　 　 　 　 ． ９．已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ ＋ ２）＝ － ｆ（ｘ），则ｆ（６）的值为　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．已知定义在Ｒ上的函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ ＋ ａ）＝ － ｆ（ｘ）（ａ是不为零的常数），证明：２ａ是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的一个周期． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．若钟摆的高度ｈ（ｍｍ）与时间ｔ（ｓ）之间的函数关系如 图所示．则该函数值重复出现一次所需的时间Ｔ及在 ｔ ＝ ２５ ｓ时钟摆的高度为 （　 　 ） Ａ． ２ ｓ，１０ ｍｍ Ｂ． １ ｓ，２０ ｍｍ Ｃ． １ ｓ，１０ ｍｍ Ｄ． ２ ｓ，                                                                  ２０ ｍｍ —９８１— ２．（多选）下列是周期现象的有 （　 　 ） Ａ．地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季 交替变化 Ｂ．海水在月球和太阳引力作用下发生的涨落现象 Ｃ．做简谐运动的物体的位移变化情形 Ｄ．连续掷一枚均匀骰子，出现点数为１，２，３，４，５，６的 情况 ３．已知函数ｆ（ｘ）是Ｒ上的偶函数，ｇ（ｘ）是Ｒ上的奇函 数，且ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ － １），若ｆ（４）＝ ２，则ｆ（２ ０２４）的值 为 （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ０ Ｃ． － ２ Ｄ． ± ２ ４．（多选）已知定义在Ｒ的奇函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ ＋ ８）＝ ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）的图象关于ｘ ＝ ２对称，且在区间［０，２］上 是增函数，若关于ｘ的方程ｆ（ｘ）＝ ｍ在区间［－ ８，８］ 上有根，则所有根的和为 （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ． ± ４ Ｃ． ８ Ｄ． － ８ 二、填空题 ５．已知地球的自转周期约为２４小时，其绕太阳的公转 周期约为３６５天．木星的自转周期约为１０小时，公转 周期约为１２年． （１）如果地球自转５周，那么木星自转　 　 　 　 周； （２）如果在木星上生活１０年，那么等于在地球上生 活　 　 　 　 年． ６．如图所示的弹簧振子在Ａ、Ｂ之间做简谐运动，振子 向右运动时，先后以相同的速度通过Ｍ，Ｎ两点，经历 的时间为ｔ１ ＝ １ ｓ，过Ｎ点后，再经过ｔ２ ＝ １ ｓ第一次反 向通过Ｎ点，则振子的振动周期Ｔ ＝ 　 　 　 　 ｓ． 三、解答题 ７．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要１２分钟， 其中轮心Ｏ距离地面４０． ５米，半径４０米，如果你从 最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的 变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解 答下列问题： （１）你与地面的距离随时间变化而变化，这个现象是 周期现象吗？ （２）转四圈需要多长时间？ （３）你第四次距地面最高需要多少时间？ （４）转６０分钟时，你距地面是多少？ ８．毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学 家．有一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数在戴安 娜神庙的七根柱子（这七根柱子分别标上Ａ，Ｂ，Ｃ，…， Ｇ如下表所示），一直到指出第１ ９９９个数的柱子的 标号是哪一个才能够停止．你能否帮助他尽快结束这 个处罚？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ １３ １２ １１ １０ ９ ８ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２５ ２４ ２３ ２２ ２１ ２０                                                                         … —０９１—