第2章 3 从速度的倍数到向量的数乘(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

例３：方法一：在ＯＡＦＥ中，ＯＦ为对角线，且ＯＡ，ＯＦ，ＯＥ起 点相同，应用平行四边形法则，得→ＯＦ ＝→ＯＡ ＋→ＯＥ ＝ ａ ＋ ｂ． ∵ →ＯＣ ＝ －→ＯＦ，∴ →ＯＣ ＝ － ａ － ｂ． 而→ＯＢ ＝ －→ＯＥ ＝ － ｂ，→ＯＤ ＝ －→ＯＡ ＝ － ａ， ∴ →ＯＢ ＝ － ｂ，→ＯＣ ＝ － ａ － ｂ，→ＯＤ ＝ － ａ． 方法二：由正六边形的几何性质，得 →ＯＤ ＝ － ａ，→ＯＢ ＝ － ｂ，→ＢＣ ＝ －→ＯＡ ＝ － ａ． 在△ＯＢＣ中，→ＯＣ ＝→ＯＢ ＋→ＢＣ ＝ － ａ － ｂ． 方法三：由正六边形的几何性质，得 →ＯＢ ＝ － ｂ，→ＯＤ ＝ － ａ． 在ＯＢＣＤ中，→ＯＣ ＝→ＯＢ ＋ →ＯＤ ＝ － ａ － ｂ． 对点训练３：Ｃ　 根据向量运算法则可得→ＢＤ ＝→ＢＣ ＋ →ＣＤ ＝→ＡＣ －→ＡＢ ＋→ＣＤ， 又→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＣ ＝ ｂ，→ＣＤ ＝ ｃ，所以→ＢＤ ＝ ｂ － ａ ＋ ｃ，故选Ｃ． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 只有⑥不正确． ２． Ｂ　 →ＡＢ ＝→ＣＢ －→ＣＡ ＝ －→ＢＣ －→ＣＡ ＝ － ａ － ｂ，故选Ｂ． ３． Ｄ　 原式＝（→ＡＣ －→ＡＢ）＋（→ＣＤ ＋→ＤＢ）＝→ＢＣ ＋→ＣＢ ＝ ０． ４． ２　 ｜→ＡＢ －→ＣＢ ＋→ＣＤ ｜ ＝ ｜→ＡＢ ＋→ＢＣ ＋→ＣＤ ｜ ＝ ｜→ＡＣ ＋→ＣＤ ｜ ＝ ｜→ＡＤ ｜ ＝ ２． ５．（１）原式＝ →ＮＱ ＋→ＱＰ ＋ →ＭＮ － →ＭＰ ＝ →ＮＰ ＋（→ＰＭ ＋ →ＭＮ）＝ →ＮＰ ＋ →ＰＮ ＝ ０． （２）（→ＢＡ －→ＢＣ）－（→ＥＤ －→ＥＣ）＝（→ＣＢ ＋→ＢＡ）－（→ＣＥ ＋ →ＥＤ）＝→ＣＡ －→ＣＤ ＝→ＤＣ ＋→ＣＡ ＝→ＤＡ． § ３　 从速度的倍数到向量的数乘 必备知识　 探新知 知识点１　 向量　 （２）①相同　 ②相反　 ③０ 知识点２　 （１）（λｕ）ａ　 （２）λａ ＋ ｕａ　 （３）λａ ＋ λｂ 知识点３　 存在唯一一个实数λ使ａ ＝ λｂ 关键能力　 攻重难 例１：（１）原式＝ ４ａ ＋ ４ｂ － ３ａ ＋ ３ｂ － ８ａ ＝ － ７ａ ＋ ７ｂ． （２）原式＝ ５ａ － ４ｂ ＋ ｃ － ６ａ ＋ ４ｂ － ２ｃ ＝ － ａ － ｃ． （３）原式＝ ２３ ４ａ －３ｂ ＋ １ ３ ｂ － ３ ２ ａ ＋ ７ ４( )ｂ ＝ ２３ ５２ ａ － １１１２( )ｂ ＝ ５ ３ ａ － １１ １８ｂ． 对点训练１：（１）Ｃ　 （２）Ａ　 （１）①③④正确，②错，７（ａ ＋ ｂ） － ８ｂ ＝ ７ａ ＋ ７ｂ － ８ｂ ＝ ７ａ － ｂ． （２）３（ａ ＋ ２ｂ）－ ２（３ｂ ＋ ｃ）－ ２（ａ ＋ ｂ）＝（３ － ２）ａ ＋（６ － ６ － ２）ｂ － ２ｃ ＝ ａ － ２（ｂ ＋ ｃ）＝ ａ － ２ａ ＝ － ａ． 例２：→ＢＭ ＝ １３ →ＢＣ ＝ １６ →ＢＡ ＝ １６ （ →ＯＡ －→ＯＢ） ＝ １６ （ａ － ｂ）， ∴ →ＯＭ ＝→ＯＢ ＋ →ＢＭ ＝ ｂ ＋ １６ ａ － １ ６ ｂ ＝ １ ６ ａ ＋ ５ ６ ｂ． ∵ →ＣＮ ＝ １３ →ＣＤ ＝ １６ →ＯＤ， ∴ →ＯＮ ＝→ＯＣ ＋→ＣＮ ＝ １２ →ＯＤ ＋ １６ →ＯＤ ＝ ２３ →ＯＤ ＝ ２３ （ →ＯＡ ＋ →ＯＢ）＝ ２ ３ ａ ＋ ２ ３ ｂ， →ＭＮ ＝ →ＯＮ － →ＯＭ ＝ ２３ （ａ ＋ ｂ）－ １ ６ ａ － ５ ６ ｂ ＝ １ ２ ａ － １ ６ ｂ． 对点训练２：（１）ＢＣＤ　 （２）见解析 【解析】　 （１）因为→ＡＥ ＋→ＡＦ ＝→ＡＣ，所以→ＡＥ ＋→ＡＦ －→ＡＣ ＝ ０，故Ａ 错误→． ＡＥ ＝→ＡＢ ＋→ＢＥ ＝→ＡＢ ＋ １３ →ＢＤ ＝→ＡＢ ＋ １３ （ →ＡＤ －→ＡＢ）＝ ２３ →ＡＢ ＋ １ ３ →ＡＤ，故Ｂ正确→． ＡＦ ＝→ＡＢ ＋ →ＢＦ ＝→ＡＢ ＋ ２３ →ＢＤ ＝→ＡＢ ＋ ２３ （ →ＡＤ － →ＡＢ）＝ １３ →ＡＢ ＋ ２３ →ＡＤ，故Ｃ正确．因为Ｅ为ＢＤ上靠近Ｂ的三等 分点，所以→ＢＥ ＝ １２ →ＥＤ，利用相似性质可得→ＢＱ ＝ １２ →ＡＤ，则→ＦＱ ＝ →ＢＱ －→ＢＦ ＝ １２ →ＡＤ － ２３ →ＢＤ ＝ １２ → ＡＤ － ２３ （ → ＡＤ －→ＡＢ）＝ ２３ →ＡＢ － １６ → ＡＤ． 故Ｄ正确．故选ＢＣＤ． （２）∵ ＤＥ∥ＢＣ，→ＡＤ ＝ ２３ →ＡＢ ＝ ２３ ａ，∴ →ＡＥ ＝ ２３ →ＡＣ ＝ ２３ ｂ， ∵ △ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，∴ →ＤＥ ＝ ２３ →ＢＣ ＝ ２３ （ｂ － ａ）． ∵ △ＡＤＮ∽△ＡＢＭ，且→ＡＤ ＝ ２３ →ＡＢ，∴ →ＡＮ ＝ ２３ →ＡＭ． 又∵ →ＡＭ ＝→ＡＢ ＋ →ＢＭ ＝ ａ ＋ １２ →ＢＣ ＝ ａ ＋ １２ （ｂ － ａ）＝ ａ ＋ ｂ ２ ， ∴ →ＡＮ ＝ １３ （ａ ＋ ｂ）． 例３：证明：（１）∵ →ＡＢ ＝ ａ ＋ ｂ，→ＢＣ ＝ ２ａ ＋ ８ｂ， →ＣＤ ＝ ３（ａ － ｂ）， ∴ →ＢＤ ＝→ＢＣ ＋→ＣＤ ＝ ２ａ ＋ ８ｂ ＋ ３（ａ － ｂ） ＝ ２ａ ＋ ８ｂ ＋ ３ａ － ３ｂ ＝ ５（ａ ＋ ｂ）＝ ５→ＡＢ． ∴ →ＡＢ、→ＢＤ共线， 又∵它们有公共点Ｂ，∴ Ａ、Ｂ、Ｄ三点共线． （２）∵ ｋａ ＋ ｂ与ａ ＋ ｋｂ共线， ∴存在实数λ，使ｋａ ＋ ｂ ＝ λ（ａ ＋ ｋｂ） 即ｋａ ＋ ｂ ＝ λａ ＋ λｋｂ，∴ （ｋ － λ）ａ ＝（λｋ － １）ｂ， ∵ ａ、ｂ是不共线的两个非零向量， ∴ ｋ － λ ＝ λｋ － １ ＝ ０，∴ ｋ２ － １ ＝ ０． ∴ ｋ ＝ ± １． 对点训练３：【证明】　 （１）∵ →ＢＤ ＝→ＢＣ ＋ →ＣＤ ＝ － ２ａ ＋ ８ｂ ＋ ３（ａ － ｂ）＝ ａ ＋ ５ｂ，→ＡＢ ＝ ａ ＋ ５ｂ， ∴ →ＡＢ ＝→ＢＤ，∴ →ＡＢ∥→ＢＤ， 又→ＡＢ、→ＢＤ有公共点Ｂ，所以Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线． （２）∵ →ＣＡ ＝→ＣＢ ＋→ＢＡ ＝ －→ＢＣ －→ＡＢ ＝ ２ａ － ８ｂ － ａ － ５ｂ ＝ ａ － １３ｂ， →ｘ ＣＢ ＋ →ｙ ＣＤ ＝ ｘ（２ａ － ８ｂ）＋ ３ｙ（ａ － ｂ） ＝（２ｘ ＋ ３ｙ）ａ ＋（－ ８ｘ － ３ｙ）ｂ． ∴ ２ｘ ＋ ３ｙ ＝ １， － ８ｘ － ３ｙ ＝ － １３{ ， 所以ｘ ＝ ２， ｙ ＝ － １{ ， ∴ →ＣＡ ＝ →ｘ ＣＢ ＋ →ｙ ＣＤ，其中ｘ ＋ ｙ ＝ １． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ ２． Ｃ　 对Ａ，当λ ＞ ０时正确，否则错误；对Ｂ，０·ａ是向量而非数 ０；对Ｄ，若ｂ ＝ λａ，则｜ ｂ ｜ ＝ ｜λａ ｜                                                                      ． —９０３— ３． Ａ　 因为Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，所以→ＡＢ ＝ →ｍ ＢＣ，又因为→ＡＢ ＝ ａ ＋ ２ｂ，→ＢＣ ＝ － ２ａ ＋ λｂ，则ａ ＋ ２ｂ ＝ ｍ（－ ２ａ ＋ λｂ），即ａ ＋ ２ｂ ＝ － ２ｍａ ＋ λｍｂ，因此－ ２ｍ ＝ １ λｍ{ ＝ ２ ，解得 ｍ ＝ － １２ λ { ＝ － ４ ，故选Ａ． ４． Ｃ　 →ＡＭ ＝→ＡＢ ＋ →ＢＭ ＝→ＡＢ ＋ １２ →ＢＣ ＝→ＡＢ ＋ １２ （ →ＡＣ －→ＡＢ）＝ １２ →ＡＢ ＋ １ ２ →ＡＣ ＝ １２ （ａ ＋ ｂ）． ５ →． ＯＰ ＝→ＯＡ ＋→ＡＰ ＝→ＯＡ ＋ ４３ →ＡＢ ＝→ＯＡ ＋ ４３ （ →ＯＢ －→ＯＡ）＝ － １３ →ＯＡ ＋ ４ ３ →ＯＢ． § ４　 平面向量基本定理及坐标表示 ４． １　 平面向量基本定理 必备知识　 探新知 知识点　 １． λ１ｅ１ ＋ λ２ｅ２ 　 ２．｛ｅ１，ｅ２｝　 ３．互相垂直　 ４．正交 基　 ５．单位 关键能力　 攻重难 例１：ＢＣ　 由题意可知：ｅ１，ｅ２可以看成一组基底向量，根据 平面向量基本定理可知：Ａ，Ｄ正确，Ｂ不正确；当λ１ ＝ λ２ ＝ μ１ ＝ μ２ ＝ ０时，则λ１ｅ１ ＋ μ１ｅ２ ＝ λ２ｅ１ ＋ μ２ｅ２ ＝ ０，此时任意实数λ均有 λ１ｅ１ ＋ μ１ｅ２ ＝ λ（λ２ｅ１ ＋ μ２ｅ２），故Ｃ不正确；故选ＢＣ． 对点训练１：Ｂ　 平面内只要不共线的向量均可作为表示该 平面内所有向量的基底，有无数组，①错误，②正确；由平面向量 基本定理可得，平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基 底的线性分解形式也是唯一确定的，③正确．故选Ｂ． 例２：（１）①②③　 （２）见解析 【解析】　 （１）如图，→ＡＤ ＝→ＡＣ ＋→ＣＤ ＝ － ｂ ＋ １ ２ →ＣＢ ＝ － ｂ － １２ ａ，①正确； →ＢＥ ＝ →ＢＣ ＋ →ＣＥ ＝ ａ ＋ １２ ｂ，②正确； →ＡＢ ＝→ＡＣ ＋→ＣＢ ＝ － ｂ － ａ，→ＣＦ ＝ →ＣＡ ＋ １２ →ＡＢ ＝ ｂ ＋ １２ （－ ｂ － ａ）＝ １ ２ ｂ － １ ２ ａ，③ 正确；④→ＥＦ ＝ １２ →ＣＢ ＝ － １２ ａ，④不正确． （２）因为ＤＣ∥ＡＢ，ＡＢ ＝ ２ＤＣ，Ｅ，Ｆ分别是ＤＣ，ＡＢ的中点， 所以→ＦＣ ＝→ＡＤ ＝ ａ，→ＤＣ ＝→ＡＦ ＝ １２ →ＡＢ ＝ １２ ｂ． →ＥＦ ＝→ＥＤ ＋→ＤＡ ＋→ＡＦ ＝ － １２ →ＤＣ －→ＡＤ ＋ １２ →ＡＢ ＝ － １２ × １ ２ ｂ － ａ ＋ １ ２ ｂ ＝ １ ４ ｂ － ａ． 对点训练２：Ａ　 →ＯＰ ＝→ＯＡ ＋→ＡＰ ＝→ＯＡ ＋ １３ →ＡＢ ＝→ＯＡ ＋ １３ （ →ＯＢ － → ＯＡ）＝ ２３ → ＯＡ ＋ １３ ＯＢ． ∴ ｘ ＝ ２３ ，ｙ ＝ １ ３ ． 例３：设→ＢＭ ＝ ｅ１，→ＣＮ ＝ ｅ２，则→ＡＭ ＝→ＡＣ ＋ →ＣＭ ＝ － ３ｅ２ － ｅ１， →ＢＮ ＝→ＢＣ ＋→ＣＮ ＝ ２ｅ１ ＋ ｅ２ ． ∵ Ａ，Ｐ，Ｍ和Ｂ，Ｐ，Ｎ分别共线， ∴存在实数λ，μ使得→ＡＰ ＝ λ →ＡＭ ＝ － λｅ１ － ３λｅ２，→ＢＰ ＝ μ →ＢＮ ＝ ２μｅ１ ＋ μｅ２ ． 故→ＢＡ ＝→ＢＰ ＋→ＰＡ ＝→ＢＰ －→ＡＰ ＝（λ ＋ ２μ）ｅ１ ＋（３λ ＋ μ）ｅ２ ． 而→ＢＡ ＝→ＢＣ ＋→ＣＡ ＝ ２ｅ１ ＋ ３ｅ２，由平面向量基本定理， 得λ ＋ ２μ ＝ ２， ３λ ＋ μ ＝ ３{ ， 解得 λ ＝ ４５ ， μ ＝ ３５ { ． ∴ →ＡＰ ＝ ４５ →ＡＭ，→ＢＰ ＝ ３５ →ＢＮ， ∴ ＡＰＰＭ ＝ ４，ＢＰＰＮ ＝ ３２ ． 对点训练３：（１）４３ 　 （２） ２ ３ 　 （１）设 →ＡＢ ＝ ａ，→ＡＤ ＝ ｂ，则→ＡＥ ＝ １ ２ ａ ＋ ｂ， →ＡＦ ＝ ａ ＋ １２ ｂ，又∵ →ＡＣ ＝ ａ ＋ ｂ， ∴ →ＡＣ ＝ ２３ （ →ＡＥ ＋→ＡＦ）， 即λ ＝ μ ＝ ２３ ，∴ λ ＋ μ ＝ ４ ３ ． （２）∵ →ＯＰ与→ＯＣ共线， ∴存在实数μ，使→ＯＰ ＝ μ →ＯＣ ＝ ｍμ→ＯＡ ＋ ２ｍμ →ＯＢ． ∵ →ＡＰ ＝→ＯＰ －→ＯＡ， ∴ →ＡＰ ＝ ｍμ →ＯＡ ＋ ２ｍμ →ＯＢ － →ＯＡ ＝（ｍμ － １）→ＯＡ ＋ ２ｍμ →ＯＢ ＝ λ→ＡＢ ＝ λ（→ＯＢ －→ＯＡ）＝ － λ→ＯＡ ＋ λ →ＯＢ． ∵ →ＯＡ与→ＯＢ不共线， ∴ ｍμ － １ ＝ － λ， ２ｍμ ＝ λ{ ， 解得λ ＝ ２３ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 ∵ ２ →ＢＤ ＝→ＤＣ，∴ ２（→ＡＤ －→ＡＢ）＝→ＡＣ －→ＡＤ， ∴ ２（→ＡＤ － ｃ）＝ ｂ －→ＡＤ，∴ →ＡＤ ＝ ２３ ｃ ＋ １ ３ ｂ． ２． Ｃ　 因为Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，所以存在实数ｔ，使→ＡＤ ＝ →ｔ ＡＢ，则→ＣＤ －→ＣＡ ＝ ｔ（→ＣＢ －→ＣＡ）． 所以→ＣＤ ＝→ＣＡ ＋ ｔ（→ＣＢ －→ＣＡ）＝（１ － ｔ）→ＣＡ ＋ →ｔ ＣＢ． 所以１ － ｔ ＝ ４ ３ ， ｔ ＝ λ { ， 解得λ ＝ － １３ ． ３． １　 向量ａ，ｂ不能作为基底，则向量ａ，ｂ共线，可设ａ ＝ λｂ，则 ｋ ＝ － λ， － １ ＝ λ{ ，则ｋ ＝ １． ４． ３　 因｛ａ，ｂ｝是一个基底，故ａ与ｂ不共线，由平面向量基本定 理得３ｘ － ４ｙ ＝ ６ ２ｘ － ３ｙ{ ＝ ３，解得ｘ ＝ ６ｙ{ ＝ ３，则ｘ － ｙ ＝ ３． ５．如图，以ＯＡ，ＯＢ所在射线为邻边，ＯＣ为对角线作平行四边形 ＯＤＣＥ，则→ＯＣ ＝ →ＯＤ ＋→ＯＥ．                                                                       —０１３— § $ 从速度的倍数到向量的数乘 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义． ２．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算进行向量运算． ３．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处 理有关共线向量的问题． 通过学习向量的数乘运算，重 点提升学生的逻辑推理和数学 运算素养． )*+,%-.+ 知识点１　 向量的数乘定义 　 　 实数λ与向量ａ的乘积是一个向量　 ，记作λａ． （１）λａ的大小：｜λａ ｜ ＝ ｜λ ｜ ｜ ａ ｜ ． （２）λａ的方向： ①当λ ＞ ０时，λａ与ａ的方向相同　 ； ②当λ ＜ ０时，λａ与ａ的方向相反　 ； ③当λ ＝ ０时，０ａ ＝ ０　 ． 知识点２　 向量数乘的运算律 　 　 设λ，ｕ是实数，则有 （１）λ（ｕａ）＝ （λｕ）ａ　 ；（结合律） （２）（λ ＋ ｕ）ａ ＝ λａ ＋ ｕａ　 ；（第一分配律） （３）λ（ａ ＋ ｂ）＝ λａ ＋ λｂ　 ．（第二分配律） 知识点３　 共线（平行）向量基本定理 　 　 给定一个非零向量ｂ，则对于任意向量ａ，ａ∥ｂ的充要条件是存在唯一一个实数λ使ａ ＝ λｂ　 ． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%(¹<¾€’Á １．计算： （１）４（ａ ＋ ｂ）－ ３（ａ － ｂ）－ ８ａ； （２）（５ａ － ４ｂ ＋ ｃ）－ ２（３ａ － ２ｂ ＋ ｃ）； （３）２３ （４ａ － ３ｂ）＋ １ ３ ｂ － １ ４ （６ａ － ７ｂ[ ]） ． 【分析】　 运用向量数乘的运算律求解． 　 　 ［归纳提升］ 归纳提升： €"-¯>,ü4= MZ:I£Ÿ-, ü?·:,üX>? [t¨£t“g›4 £täB/»ŸxO ž@&p€"¯>, üX']^LF?) Bp 4 5 - !› 4 £3!/»Ÿ3“€ "?·:ÕºB€" -¿: ． "&( 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD １ 　 　 （１）下列各式计算正确的有 （　 　 ） ①（－ ７）６ａ ＝ － ４２ａ；②７（ａ ＋ ｂ）－ ８ｂ ＝ ７ａ ＋ １５ｂ； ③ａ － ２ｂ ＋ ａ ＋ ２ｂ ＝ ２ａ；④４（２ａ ＋ ｂ）＝ ８ａ ＋ ４ｂ． Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 （２）若ａ ＝ ｂ ＋ ｃ，化简３（ａ ＋ ２ｂ）－ ２（３ｂ ＋ ｃ）－ ２（ａ ＋ ｂ）的结果为 （　 　 ） Ａ． － ａ Ｂ． － ４ｂ Ｃ． ｃ Ｄ． ａ － ｂ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%J(¹<¾€’Á`aÉ+(¹ ２．如图所示，四边形ＯＡＤＢ是以向量→ＯＡ ＝ ａ，→ＯＢ ＝ ｂ为邻边的 平行四边形，又ＢＭ ＝ １３ ＢＣ，ＣＮ ＝ １ ３ ＣＤ，试用ａ，ｂ表示 →ＯＭ， →ＯＮ，→ＭＮ． 【分析】　 用ａ，ｂ表示→ＢＭ→表示→ＯＭ，→ＯＮ→ →ＭＮ ＝ →ＯＮ － →ＯＭ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 （１）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｑ为ＢＣ上一点，ＡＱ交ＢＤ于Ｅ， 且Ｅ，Ｆ为ＢＤ的两个三等分点，则 （　 　 ） Ａ． →ＡＥ ＋ →ＡＦ ＋ →ＡＣ ＝ ０ Ｂ． →ＡＥ ＝ ２３ →ＡＢ ＋ １３ →ＡＤ Ｃ． →ＡＦ ＝ １３ →ＡＢ ＋ ２３ →ＡＤ Ｄ． →ＦＱ ＝ ２３ →ＡＢ － １６ →ＡＤ （２）如图所示，已知在△ＡＢＣ中，→ＡＤ ＝ ２３ →ＡＢ，ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ交ＡＣ 于点Ｅ，ＢＣ边上的中线ＡＭ交ＤＥ于点Ｎ，设→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＣ ＝ ｂ，用ａ，ｂ表 示向量→ＡＥ，→ＤＥ，→ＡＭ，→ＡＮ． 归纳提升： hiØ4`a-59 %BÃÓÔՀ" ÉM”%e§jž f?F : I I ô Ô Õ?<=æÞF˜™ €"ZûÔÕ ． "&) ●67H%½¾(¹&ª”ÄIJ ３．设两个非零向量ａ与ｂ不共线， （１）若→ＡＢ ＝ ａ ＋ ｂ，→ＢＣ ＝ ２ａ ＋ ８ｂ，→ＣＤ ＝ ３（ａ － ｂ），求证：Ａ、Ｂ、Ｄ三点共线； （２）试确定实数ｋ，使ｋａ ＋ ｂ与ａ ＋ ｋｂ共线． 【分析】　 （１）欲证三点Ａ、Ｂ、Ｄ共线，即证存在实数λ，使→ＡＢ ＝ λ →ＢＤ，只要由已知条 件找出λ即可． （２）由两向量共线，列出关于ａ、ｂ的等式，再由ａ与ｂ不共线知，若λａ ＝ μｂ，则λ ＝ μ ＝ ０． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 已知向量→ＡＢ ＝ ａ ＋ ５ｂ，→ＢＣ ＝ － ２ａ ＋ ８ｂ，→ＣＤ ＝ ３（ａ － ｂ）， （１）求证：Ａ、Ｂ、Ｄ三点共线； （２）求证：→ＣＡ ＝ ｘ →ＣＢ ＋ ｙ →ＣＤ（其中ｘ ＋ ｙ ＝ １）． 归纳提升： １． JKÊ<=§Î( ¯-I １̈ ©%gA?…< G Ａ，Ｂ，Ｃ §ÎBC( ¯?„ÕBCBp ·: λ?LÑ →ＡＢ ＝ λ →ＡＣ （Ê →ＢＣ ＝ λ →ＡＢ x ） 6] ． ¨ ２ ©¶Fˆ‰áF Ａ，Ｂ，Ｃ §Î(¯? Ｏ 0u¯ƒ%ÎBp ·: ｘ，ｙ， L →ＯＡ ＝ ｘ →ＯＢ ＋ ｙ →ＯＣ S ｘ ＋ ｙ ＝ １． ２． ¶F€"(¯‘D :-I <=tJK€"(¯ `a-59B´µ€ "(¯Gn>‘$% -·: λ?LÑ ｂ ＝ λａ（ａ≠０）． D˜™€ "(¯‘ λ?¦´µ €"(¯-–—bc 0šÂ€"¿:šx ‘h ． F³€"Œ( ¯?ŒR€"-¿: 0”?¶FCG¿: I¤Á2?zDh 2‘Ñ λ-¥． "&* KLMN%OPQ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２ａ － ｂ）－（２ａ ＋ ｂ）等于 （　 　 ） Ａ． ａ － ２ｂ Ｂ． － ２ｂ Ｃ． ０ Ｄ． ｂ － ａ ２．已知λ、μ∈Ｒ，下面式子正确的是 （　 　 ） Ａ． λａ与ａ同向 Ｂ． ０·ａ ＝ ０ Ｃ．（λ ＋ μ）ａ ＝ λａ ＋ μａ Ｄ．若ｂ ＝ λａ，则｜ ｂ ｜ ＝ λ ｜ ａ ｜ ３．已知ａ，ｂ是两个不共线的向量，且→ＡＢ ＝ ａ ＋ ２ｂ，→ＢＣ ＝ － ２ａ ＋ λｂ，若Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，则实数λ ＝ （　 　 ） Ａ． － ４ Ｂ． － １ Ｃ． １ Ｄ． ４ ４．如图，已知ＡＭ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上 的中线，若→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＣ ＝ ｂ，则→ＡＭ等于 （　 　 ） Ａ． １２ （ａ － ｂ） Ｂ． － １２ （ａ － ｂ） Ｃ． １２ （ａ ＋ ｂ） Ｄ． － １２ （ａ ＋ ｂ） ５．如图所示，已知→ＡＰ ＝ ４３ →ＡＢ，用 →ＯＡ，→ＯＢ表示→ＯＰ． 请同学们认真完成练案［１８                             ］ § % 平面向量基本定理及坐标表示 ４． １　 平面向量基本定理 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．通过实例理解平面向量基本定理的内容，了解基的含义． ２．会用一组基来表示其他向量．（数学运算、直观想象） ３．能应用平面向量基本定理解决一些平面几何有关的问题． 通过学习平面向量的基本定理有关内 容，重点培养学生的数学抽象，逻辑推 理，数学运算素养． )*+,%-.+ 知识点　 平面向量基本定理 　 　 １．定理：如果ｅ１，ｅ２是同一平面内两个不共线的向量，那么该平面内任意一个向量ａ，存在唯一的一对实数 λ１，λ２，使ａ ＝ λ１ｅ１ ＋ λ２ｅ２　 ． ２．基：把不共线的向量ｅ１，ｅ２叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为｛ｅ１，ｅ２｝　 ． ３．正交基：若基中的两个向量互相垂直　 ，则称这组基为正交基． ４．正交分解：在正交基　 下面向量的线性表示称为正交分解． ５．标准正交基：若基中的两个向量是互相垂直的单位　 向量，则称这组基为标准正交基． "'"